Un'equazione di secondo grado è un'equazione del tipo \(ax^2 + bx + c = 0\), dove \(a \neq 0\). Il numero delle sue radici è determinato dal discriminante \(D = b^2 - 4ac\), e le radici stesse si trovano con la formula \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). In questa pagina è raccolto tutto sull'argomento: forma standard e coefficienti, tre tipi di equazioni incomplete, discriminante e tre casi, formula risolutiva e la sua variante «pari», equazione monica e teorema di Viète, scomposizione in fattori ed equazioni biquadratiche — con esempi passo passo, analisi degli errori comuni e un simulatore interattivo.
Cos'è un'equazione di secondo grado
Un'equazione di secondo grado è un'equazione del tipo
dove \(x\) è l'incognita e \(a\), \(b\), \(c\) sono numeri (coefficienti), con \(a \neq 0\). Questa scrittura è detta forma standard dell'equazione di secondo grado: a sinistra i termini sono in ordine decrescente di potenza, a destra c'è lo zero.
La condizione \(a \neq 0\) non è una formalità. È proprio il termine \(ax^2\) a rendere l'equazione di secondo grado: se \(a = 0\), rimane \(bx + c = 0\), cioè una comune equazione lineare con una sola radice. Per questo, nei problemi con parametro, la prima cosa da fare è verificare che il coefficiente principale non si annulli.
È quasi sempre possibile portare un'equazione alla forma standard: aprire le parentesi, spostare tutti i termini nella parte sinistra e ridurre i termini simili. Ad esempio, \(5x^2 = 3x - 2\) dopo lo spostamento diventa \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), da cui \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). L'espressione «equazione quadratica» significa esattamente la stessa cosa: è solo un altro modo per chiamarla.
Equazioni di secondo grado complete e incomplete
Se tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione è detta completa. Se \(b\) o \(c\) (o entrambi) sono zero — incompleta. Ci sono esattamente tre tipi di equazioni incomplete, e nessuna di esse richiede il discriminante: ognuna si risolve in una o due righe, ed è il modo più rapido per risparmiare tempo in una verifica.
L'idea chiave per \(ax^2 + bx = 0\) è il raccoglimento a fattor comune. Il prodotto \(x(ax + b)\) è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero, da cui subito due radici. Per \(ax^2 + c = 0\) l'idea è diversa: esprimere \(x^2\) e guardare il segno del numero ottenuto — il quadrato di un numero reale non può essere negativo.
| Tipo di equazione | Come risolverla |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Sposta c a destra e dividi per a: x2 = −c/a. Estrai la radice, senza dimenticare il secondo segno.x = 5 e x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Metti in evidenza x: x(ax + b) = 0. Il prodotto è zero quando uno dei fattori è zero.x = 0 e x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Dividi per a ed estrai la radice di zero. La radice è sempre unica.x = 0 |
Discriminante: come trovarlo e quante radici ci sono
Il discriminante è un numero che si calcola dai coefficienti dell'equazione completa:
La parola stessa significa «ciò che distingue»: il discriminante non risolve nulla, distingue solo tre situazioni — due radici, una radice o nessuna radice. Pertanto, la domanda «quante radici ha un'equazione» si risolve senza trovare le radici stesse.
Il calcolo di \(D\) va fatto con attenzione: \(b^2\) è sempre positivo, anche se \(b\) stesso è negativo, e i segni di \(a\) e \(c\) entrano nel prodotto \(4ac\) così come sono. Prendiamo \(x^2 + 4x - 5 = 0\): qui \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), quindi \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Il discriminante è positivo, e ci saranno due radici.
Formula risolutiva dell'equazione di secondo grado
Quando \(D \ge 0\), le radici si trovano con la formula principale dell'argomento:
Il segno \(\pm\) indica due calcoli: una volta con l'addizione, un'altra volta con la sottrazione. Con \(D = 0\) entrambi i calcoli danno lo stesso numero \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — questa radice è detta doppia.
I due punti in cui si commettono più spesso errori sono: al numeratore c'è il segno meno di \(b\) (per \(b = -7\) questo è \(+7\)), e al denominatore c'è \(2a\), non semplicemente \(2\). Se \(a = 1\) la differenza non si nota, quindi l'errore emerge proprio dove il coefficiente principale è diverso da uno.
Risolviamo \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), quindi \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) e \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Coefficiente b pari: formula con D₁
Se \(b\) è un numero pari, è conveniente scriverlo come \(b = 2k\) e calcolare il discriminante «ridotto»:
I numeri nei calcoli diventano quattro volte più piccoli (\(D = 4D_1\)), e il segno di \(D_1\) è lo stesso di \(D\) — quindi la conclusione sul numero di radici non cambia.
Esempio: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Qui \(b = 8\), quindi \(k = 4\), e \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Allora \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) e \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Con la formula normale si sarebbe dovuto lavorare con \(D = 100\) — il risultato è lo stesso, ma l'aritmetica è maggiore.
Equazione monica e teorema di Viète
Un'equazione con \(a = 1\) è detta monica e si scrive come \(x^2 + px + q = 0\). Qualsiasi equazione di secondo grado può essere ridotta a questa forma dividendola per \(a\): ad esempio, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) dopo la divisione per 4 diventa \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
La forma monica è preziosa perché per essa vale il teorema di Viète: la somma delle radici è uguale a \(-p\), e il prodotto è uguale a \(q\). Per \(x^2 - 7x + 10 = 0\) servono due numeri la cui somma sia 7 e il cui prodotto sia 10 — questi sono 2 e 5, e non è stato necessario calcolare il discriminante.
La ricerca per tentativi con Viète è utile quando le radici sono intere e piccole, e inoltre verifica gratuitamente la risposta trovata tramite il discriminante: la somma deve dare \(-p\), il prodotto \(q\). Le formule per la forma generale, il teorema inverso e l'algoritmo di ricerca sono trattati in un materiale separato — teorema di Viète.
Scomposizione di un trinomio di secondo grado in fattori
Se le radici \(x_1\) e \(x_2\) sono state trovate, il trinomio di secondo grado si scompone in fattori:
Non bisogna dimenticare il fattore \(a\) — senza di esso l'uguaglianza non è più valida. Verificare la scomposizione è sempre facile: aprire le parentesi e confrontare con il trinomio originale. Ad esempio, per \(x^2 + 2x - 8\) le radici sono 2 e \(-4\), quindi \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Funziona anche il percorso inverso: se si è riusciti a scomporre il trinomio mentalmente, le radici sono subito visibili e il discriminante non è necessario. Qui aiutano le formule di prodotti notevoli — ad esempio, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) dà le radici \(4\) e \(-4\) istantaneamente.
Un terzo modo per evitare la formula risolutiva è completare il quadrato. In \(x^2 + 6x + 5 = 0\) i primi due termini completano il quadrato di un binomio: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), cioè \((x + 3)^2 = 4\), da cui \(x + 3 = \pm 2\) e \(x = -1\) o \(x = -5\). È proprio con questo metodo che viene derivata la formula risolutiva in forma generale.
Equazioni riducibili a equazioni di secondo grado: biquadratiche
Un'equazione biquadratica ha la forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): le potenze sono solo pari. Si risolve con la sostituzione \(t = x^2\), con la condizione obbligatoria \(t \ge 0\) — il quadrato di un numero reale non può essere negativo.
Dopo la sostituzione si ottiene una comune equazione di secondo grado \(at^2 + bt + c = 0\). La si risolve con il discriminante, e poi per ogni radice non negativa \(t\) si ritorna a \(x = \pm\sqrt{t}\). Da qui il numero di radici: fino a quattro.
Ad esempio, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) dopo la sostituzione dà \(t^2 - 5t + 4 = 0\) con radici \(t = 1\) e \(t = 4\). Entrambe positive, quindi \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\) — quattro radici in totale. Se uno dei valori di \(t\) fosse risultato negativo, sarebbe stato semplicemente scartato.
Con lo stesso metodo si risolvono le equazioni fratte (dopo averle ridotte a denominatore comune e scartato i valori proibiti) e le equazioni con sostituzioni del tipo \(t = x^2 + 3x\).
Esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado
Esempio 1. Equazione completa, D > 0
Risolvere \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Passo 1. L'equazione è già in forma standard: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Passo 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — ci sono due radici.
Passo 3. \(\sqrt{D} = 5\), quindi \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Passo 4. Verifica con sostituzione. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Risposta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Esempio 2. Discriminante uguale a zero
Risolvere \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Passo 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Passo 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — la radice è una.
Passo 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Passo 4. Verifica. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Risposta: \(x = 1{,}5\). Nota: la parte sinistra è un quadrato perfetto \((2x - 3)^2\), quindi la radice è risultata una.
Esempio 3. Discriminante negativo
Risolvere \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Passo 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Passo 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Passo 3. Il discriminante è negativo, quindi non è possibile estrarre \(\sqrt{D}\) tra i numeri reali. Non è necessario applicare la formula risolutiva — la soluzione termina qui.
Risposta: nessuna radice reale. Questa è una risposta completa, non un segno di errore: il grafico della funzione \(y = 2x^2 + 3x + 5\) semplicemente non interseca l'asse x.
Esempio 4. Equazione incompleta del tipo ax² + c = 0
Risolvere \(3x^2 - 27 = 0\).
Passo 1. Spostiamo il termine noto: \(3x^2 = 27\).
Passo 2. Dividiamo per 3: \(x^2 = 9\).
Passo 3. Il quadrato è 9 per due numeri: \(x = 3\) e \(x = -3\). Il secondo segno viene perso più spesso.
Passo 4. Verifica. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Risposta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Confronta con l'equazione \(2x^2 + 8 = 0\): lì \(x^2 = -4\), e non ci sono radici reali.
Esempio 5. Equazione incompleta del tipo ax² + bx = 0
Risolvere \(5x^2 - 15x = 0\).
Passo 1. Raccogliamo il fattore comune: \(5x(x - 3) = 0\).
Passo 2. Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero: \(5x = 0\) o \(x - 3 = 0\).
Passo 3. Da qui \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Passo 4. Verifica. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Risposta: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Se si semplifica l'equazione originale per \(x\), rimane solo \(x = 3\) — la radice \(x = 0\) andrebbe persa. Non si può dividere per un'espressione con l'incognita.
Esempio 6. Coefficiente b pari
Risolvere \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Passo 1. \(b = -22\) è pari, quindi \(k = -11\), e \(a = 5\), \(c = 8\).
Passo 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Passo 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Passo 4. Verifica. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Risposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Il discriminante normale avrebbe dato \(D = 324\) — lo stesso risultato, ma il calcolo sarebbe stato più lungo.
Esempio 7. Prima portare alla forma standard
Risolvere \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Passo 1. Apriamo le parentesi: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), cioè \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Passo 2. Spostiamo il 9 a sinistra: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Solo ora possiamo scrivere i coefficienti: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Passo 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Passo 4. Verifica nell'equazione originale. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Risposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Un errore comune qui è uguagliare ogni parentesi a 9: la regola «il prodotto è zero» funziona solo per lo zero.
Esempio 8. Scomposizione di un trinomio in fattori
Scomporre \(2x^2 - 5x - 3\) in fattori.
Passo 1. Uguagliamo il trinomio a zero e troviamo le radici: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Passo 2. Sostituiamo nella formula \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Passo 3. È conveniente distribuire il 2 nel secondo fattore: \((x - 3)(2x + 1)\).
Passo 4. Verifica con l'apertura delle parentesi. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Risposta: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Esempio 9. Equazione biquadratica
Risolvere \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Passo 1. Sostituzione \(t = x^2\), con \(t \ge 0\). L'equazione diventa \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Passo 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Passo 3. Entrambi i valori sono non negativi, quindi ritorniamo a \(x\): da \(x^2 = 9\) otteniamo \(x = \pm 3\), da \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Passo 4. Verifica. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Per i valori negativi, le potenze pari danno gli stessi numeri.
Risposta: \(x = \pm 2\) e \(x = \pm 3\) — quattro radici.
Errori comuni nella risoluzione di equazioni di secondo grado
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Calcolare il discriminante senza aver portato l'equazione alla forma standard: per $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ si prendono subito $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Prima si spostano tutti i termini a sinistra e si riducono i termini simili: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), cioè \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Solo da qui \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). La formula risolutiva funziona esclusivamente con la forma standard.
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Perdere il segno nel quadrato di $b$: per $x^2 - 9x + 14 = 0$ si scrive $D = -81 - 56$.
Il quadrato di qualsiasi numero è non negativo: \((-9)^2 = 81\), non \(-81\). Correttamente \(D = 81 - 56 = 25\), radici \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), cioè 7 e 2. Verifica: \(49 - 63 + 14 = 0\) e \(4 - 18 + 14 = 0\).
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Nel numeratore si lascia $b$ invece di $-b$: per $x^2 + 5x - 6 = 0$ si calcola $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Nella formula c'è \(-b\), quindi per \(b = 5\) al numeratore ci sarà \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), da cui \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). La sostituzione conferma: \(1 + 5 - 6 = 0\) e \(36 - 30 - 6 = 0\).
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Con $D = 0$ si scrive «nessuna radice»: per $x^2 + 14x + 49 = 0$ il discriminante è nullo, e la soluzione viene interrotta.
Non ci sono radici solo se \(D < 0\). Se \(D = 0\) la radice è esattamente una: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Verifica: \(49 - 98 + 49 = 0\).
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Semplificare l'equazione $4x^2 - 9x = 0$ per $x$ e ottenere l'unica radice $x = 2{,}25$.
Non si può dividere per un'espressione con l'incognita: \(x\) può essere zero, e la radice \(x = 0\) viene persa. Correttamente si raccoglie il fattore comune: \(x(4x - 9) = 0\), da cui \(x_1 = 0\) e \(x_2 = 2{,}25\). Verifica: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
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Nell'equazione $x^2 = 16$ si scrive solo $x = 4$.
Il quadrato è 16 anche per il numero \(-4\). Bisogna scrivere entrambe le radici: \(x = \pm 4\). È più sicuro risolvere tramite la forma standard \(x^2 - 16 = 0\), cioè \((x - 4)(x + 4) = 0\) — così entrambi i fattori sono subito visibili.
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Non si verifica la condizione $a \neq 0$ in un'equazione con parametro: in $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ si calcola subito il discriminante.
Se \(m = 2\) il coefficiente principale si annulla, e l'equazione diventa lineare \(3x - 1 = 0\) con l'unica radice \(x = \dfrac{1}{3}\). Il caso \(m = 2\) va analizzato separatamente, e la formula risolutiva si applica solo se \(m \neq 2\).
Domande e risposte
Cos'è un'equazione di secondo grado?
È un'equazione del tipo \(ax^2 + bx + c = 0\), dove \(a\), \(b\), \(c\) sono numeri e \(a \neq 0\). L'incognita compare al secondo grado, quindi le radici possono essere due, una o nessuna.
Come si presenta la forma standard di un'equazione di secondo grado?
La forma standard (o generale) è \(ax^2 + bx + c = 0\): tutti i termini sono raccolti a sinistra in ordine decrescente di potenza, a destra c'è lo zero. A questa forma si porta qualsiasi equazione di secondo grado prima di calcolare il discriminante.
Come si trova il discriminante?
Con la formula \(D = b^2 - 4ac\), sostituendo i coefficienti insieme ai loro segni. Ad esempio, per \(x^2 + 3x - 10 = 0\) otteniamo \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), e le radici sono \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), cioè 2 e \(-5\).
Qual è la formula risolutiva di un'equazione di secondo grado?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), o più brevemente \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Si applica quando \(D \ge 0\); al denominatore c'è proprio \(2a\), non 2.
Quante radici può avere un'equazione di secondo grado?
Non più di due. Se \(D > 0\) ci sono due radici, se \(D = 0\) — una (doppia), se \(D < 0\) non ci sono radici reali.
Cos'è un'equazione di secondo grado incompleta?
È un'equazione in cui \(b = 0\), \(c = 0\) o entrambi: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Tutte e tre si risolvono senza discriminante — spostando il termine o raccogliendo \(x\) a fattor comune.
Come si risolvono le equazioni di secondo grado senza discriminante?
Ci sono tre vie: ricerca delle radici per tentativi con il teorema di Viète per l'equazione monica, scomposizione in fattori e completamento del quadrato. La ricerca per tentativi è la più rapida quando le radici sono numeri interi piccoli.
Cosa fare se il discriminante è negativo?
Scrivere che non ci sono radici reali e terminare la soluzione. Un discriminante negativo è una risposta normale: il grafico della parabola corrispondente non interseca l'asse x. Le radici in tal caso esistono solo tra i numeri complessi, che si studiano più tardi.
Come verificare le radici trovate?
Sostituire ogni radice nell'equazione originale — dovrebbe risultare un'uguaglianza vera. Per l'equazione monica c'è anche una rapida verifica con il teorema di Viète: la somma delle radici è uguale a \(-p\), il prodotto è uguale a \(q\).
Equazione di secondo grado e equazione quadratica sono la stessa cosa?
Sì, sono due nomi per lo stesso oggetto \(ax^2 + bx + c = 0\). Non confonderla con la funzione quadratica \(y = ax^2 + bx + c\): le radici dell'equazione sono proprio le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione interseca l'asse x.
In quale classe si studiano le equazioni di secondo grado?
In 8ª classe di algebra: prima le equazioni incomplete, poi il discriminante, la formula risolutiva e il teorema di Viète. Successivamente l'argomento si ritrova nella funzione quadratica, nelle disequazioni, nei problemi dell'esame di stato (OGE) e dell'esame di ammissione all'università (EGE).
