Il teorema di Viète mette in relazione le radici di un'equazione di secondo grado con i suoi coefficienti: per un'equazione normalizzata \(x^2 + px + q = 0\), la somma delle radici è uguale a \(-p\), mentre il prodotto è uguale a \(q\). Questo permette di trovare le radici a mente, per tentativi, senza usare il discriminante. In questa pagina troverai le formule precise per l'equazione normalizzata e per quella in forma generale, il teorema inverso di Viète, l'algoritmo per la ricerca delle radici, esempi svolti e un simulatore interattivo.
Cos'è il teorema di Viète
Il teorema di Viète è una regola che mette in relazione le radici di un'equazione di secondo grado con i suoi coefficienti. Si formula così: se \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici dell'equazione di secondo grado normalizzata \(x^2 + px + q = 0\), allora
In parole: la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente cambiato di segno, mentre il prodotto delle radici è uguale al termine noto. Il segno meno nella somma è il punto più importante di tutto l'argomento: si scrive proprio \(-p\), non \(p\).
Per un'equazione in forma generale \(ax^2 + bx + c = 0\) (con \(a \neq 0\)), le formule si ottengono dividendo per \(a\):
Il teorema funziona solo se esistono radici reali, ovvero quando \(D \ge 0\). Se il discriminante è negativo, non c'è nulla da cercare: non esistono numeri reali con tale somma e tale prodotto.
Equazione normalizzata e forma generale: quando dividere per a
Si definisce normalizzata un'equazione di secondo grado in cui il coefficiente di \(x^2\) è uguale a uno: \(x^2 + px + q = 0\). È proprio per questa forma che il teorema di Viète è più sintetico, motivo per cui la ricerca delle radici inizia sempre dalla normalizzazione.
Se \(a \neq 1\), l'equazione viene prima divisa per \(a\). Ad esempio, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) dopo la divisione per \(3\) diventa \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), ovvero \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Da qui \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) e \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Lo stesso concetto può essere scritto direttamente per la forma generale, senza normalizzare l'equazione: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). L'errore più comune è applicare le formule "brevi" \(-p\) e \(q\) a un'equazione non normalizzata, ottenendo una somma di \(10\) invece di \(\frac{10}{3}\).
Teorema inverso di Viète
Il teorema di Viète ha un inverso, ed è proprio questo che permette di risolvere le equazioni per tentativi. Si enuncia così: se i numeri \(m\) e \(n\) sono tali che
allora \(m\) e \(n\) sono le radici dell'equazione \(x^2 + px + q = 0\).
La differenza è fondamentale. Il teorema diretto va dalle radici ai coefficienti: le radici sono già note e otteniamo le relazioni tra loro. L'inverso va dai coefficienti alle radici: abbiamo indovinato una coppia di numeri con la somma e il prodotto corretti, quindi abbiamo il pieno diritto di chiamarli radici, senza dover dimostrare altro.
Da qui deriva anche un'utile regola: se \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici, allora il trinomio si scompone in fattori come \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Ad esempio, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Ricerca delle radici con il teorema di Viète: algoritmo
La ricerca delle radici è la principale applicazione pratica del teorema. Funziona più velocemente del discriminante quando le radici sono intere e richiede cinque passaggi.
Segno delle radici in base ai coefficienti p e q
Ancora prima di procedere, è possibile capire il segno delle radici osservando i segni di \(p\) e \(q\). Questo riduce notevolmente i tentativi: si capisce subito se cercare una coppia di numeri positivi, negativi o di segno discorde.
| p e q | Radici | Esempio |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | entrambe > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | entrambe < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | segno discorde | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 e −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorema di Viète o discriminante: cosa scegliere
La formula delle radici tramite il discriminante \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funziona sempre, ma richiede calcoli. Il teorema di Viète è istantaneo, ma funziona solo se le radici sono facilmente intuibili, solitamente piccoli numeri interi.
La regola pratica è:
- l'equazione è normalizzata e \(q\) si scompone in una coppia di piccoli fattori → prova la ricerca con Viète, la risposta si ottiene a mente;
- i coefficienti sono grandi o frazionari, le radici non si intuiscono in 10–15 secondi → calcola il discriminante;
- serve solo il numero di radici o il loro segno, e non le radici stesse → bastano \(D\) e la tabella dei segni sopra.
È utile anche combinare i metodi: calcola il discriminante e trova le radici, poi verifica il risultato con Viète. La somma deve dare \(-p\) e il prodotto \(q\). Tale verifica richiede pochi secondi e permette di individuare quasi ogni errore di calcolo.
Esempi di risoluzione con il teorema di Viète
Esempio 1. Ricerca delle radici: entrambe positive
Risolvere \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Passaggio 1. L'equazione è normalizzata: \(p = -9\), \(q = 20\).
Passaggio 2. Verifichiamo il discriminante: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — esistono due radici.
Passaggio 3. Scriviamo le relazioni: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Passaggio 4. Esaminiamo le scomposizioni di 20: \(1\cdot 20\) (somma 21), \(2\cdot 10\) (somma 12), \(4\cdot 5\) (somma 9) — la coppia corretta è l'ultima. Entrambi i fattori sono positivi perché \(q > 0\) e \(p < 0\).
Passaggio 5. Verifica per sostituzione. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Risultato: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Esempio 2. Radici di segno discorde
Risolvere \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Passaggio 1. L'equazione è normalizzata: \(p = 3\), \(q = -28\).
Passaggio 2. \(q < 0\), quindi le radici hanno segno discorde e il discriminante è sicuramente positivo: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Passaggio 3. Relazioni: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Passaggio 4. Scomposizioni di 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Serve una differenza di 3 — la coppia 4 e 7 è quella corretta. Poiché la somma è negativa, la radice con valore assoluto maggiore deve avere il segno meno: \(4\) e \(-7\).
Passaggio 5. Verifica. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Risultato: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Esempio 3. Equazione in forma generale (a ≠ 1)
Risolvere \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Passaggio 1. Il coefficiente \(a = 3\), quindi non si possono usare le formule "brevi" \(-p\) e \(q\). Usiamo la forma generale: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Passaggio 2. Il prodotto è 1, quindi le radici sono reciproche: se una è \(t\), l'altra è \(\tfrac{1}{t}\). La somma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) suggerisce \(t = 3\), dato che \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Passaggio 3. Verifica per sostituzione. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Risultato: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Esempio 4. Costruire un'equazione dalle sue radici
Esercizio. Costruire un'equazione di secondo grado normalizzata le cui radici siano \(-4\) e \(6\).
Passaggio 1. Calcoliamo somma e prodotto: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Passaggio 2. Secondo il teorema inverso di Viète i coefficienti sono \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) e \(q = x_1 x_2 = -24\). Qui si nasconde la trappola principale: \(p\) è la somma cambiata di segno.
Passaggio 3. Scriviamo l'equazione: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Passaggio 4. Verifica per sostituzione. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Risultato: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Lo stesso risultato si ottiene dalla scomposizione \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Esempio 5. Verificare il risultato di un altro studente con il teorema di Viète
Esercizio. Uno studente ha risolto l'equazione \(x^2 + 5x + 6 = 0\) e ha scritto: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Verifica se ha sbagliato.
Passaggio 1. Secondo Viète deve essere \(x_1 + x_2 = -p = -5\) e \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Passaggio 2. Nel risultato proposto il prodotto è corretto (\(2\cdot 3 = 6\)), ma la somma no: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Quindi il risultato è errato: è stato perso un segno.
Passaggio 3. Cerchiamo la coppia corretta: servono numeri con prodotto \(6\) e somma \(-5\) — sono \(-2\) e \(-3\) (entrambi negativi perché \(q > 0\) e \(p > 0\)).
Passaggio 4. Verifica per sostituzione. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Risultato: le radici corrette sono \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Errori comuni con il teorema di Viète
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Dimenticare il meno nella somma: scrivere $x_1 + x_2 = p$ invece di $x_1 + x_2 = -p$.
Il meno si trova solo nella somma, il prodotto mantiene lo stesso segno: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Verifica con una semplice equazione \(x^2 - 5x + 6 = 0\): qui \(p = -5\), la somma delle radici è \(5\), e le radici sono effettivamente 2 e 3.
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Applicare le formule $-p$ e $q$ a un'equazione non normalizzata: per $2x^2 - 9x + 4 = 0$ dire "somma 9, prodotto 4".
Finché \(a \neq 1\), si usano le formule della forma generale: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Le radici qui sono 4 e \(\tfrac{1}{2}\), non 4 e 1. Oppure dividi prima l'intera equazione per \(a\).
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Cercare le radici senza verificare il discriminante: per $x^2 + x + 1 = 0$ tentare di trovare una coppia di numeri con somma $-1$ e prodotto $1$.
Assicurati prima che le radici esistano: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), non esistono radici reali, la ricerca è impossibile. Il teorema di Viète funziona solo se \(D \ge 0\).
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Cercare la coppia solo in base al prodotto, senza verificare la somma: per $x^2 - 8x + 12 = 0$ prendere 3 e 4 perché il loro prodotto è 12.
Bisogna verificare entrambe le relazioni contemporaneamente. Per \(x^2 - 8x + 12 = 0\) il prodotto 12 è dato dalle coppie (1; 12), (2; 6), (3; 4), ma la somma 8 è data solo dalla coppia 2 e 6. Verifica: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) e \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
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Costruendo l'equazione dalle radici, prendere $p$ uguale alla somma: per le radici 2 e 5 scrivere $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Il coefficiente \(p\) è uguale alla somma cambiata di segno: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), ovvero \(x^2 - 7x + 10 = 0\). La sostituzione conferma: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
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Pensare che il teorema di Viète valga solo per radici intere e non usarlo per verificare il risultato.
Le relazioni \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\) valgono per qualsiasi radice reale: intera, frazionaria o irrazionale. Semplicemente la ricerca a mente è comoda per quelle intere, mentre per le altre il teorema rimane un modo rapido per verificare il risultato trovato con il discriminante.
Domande e risposte
Come si enuncia il teorema di Viète in parole semplici?
Se un'equazione di secondo grado normalizzata \(x^2 + px + q = 0\) ha radici, la loro somma è uguale al secondo coefficiente cambiato di segno, mentre il prodotto è uguale al termine noto: \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\).
A quanto sono uguali la somma e il prodotto delle radici dell'equazione $ax^2 + bx + c = 0$?
Per l'equazione in forma generale la somma delle radici è \(-\dfrac{b}{a}\), mentre il prodotto è \(\dfrac{c}{a}\). Queste formule si ottengono dal caso normalizzato dividendo l'intera equazione per \(a\).
In cosa differisce il teorema inverso di Viète da quello diretto?
Il teorema diretto va dalle radici ai coefficienti: conoscendo le radici, otteniamo la somma \(-p\) e il prodotto \(q\). L'inverso va al contrario: se una coppia di numeri dà la somma e il prodotto corretti, allora quei numeri sono le radici dell'equazione. È proprio il teorema inverso che permette di risolvere le equazioni per tentativi.
Come trovare le radici con il teorema di Viète?
Normalizza l'equazione nella forma \(x^2 + px + q = 0\), verifica che \(D \ge 0\), scrivi \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\), esamina le scomposizioni di \(q\) in coppie di fattori e scegli quella la cui somma è \(-p\). Ad esempio, per \(x^2 + 6x + 8 = 0\) servono numeri con prodotto 8 e somma \(-6\) — sono \(-2\) e \(-4\).
Il teorema di Viète funziona se il coefficiente di $x^2$ non è uno?
Sì, ma nella forma generale: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Le formule brevi \(-p\) e \(q\) valgono solo per l'equazione normalizzata, quindi se \(a \neq 1\) l'equazione va prima divisa per \(a\).
Cosa fare se le radici non si trovano con il teorema di Viète?
Significa che le radici non sono intere o non esistono affatto. Calcola il discriminante: se \(D < 0\) non esistono radici reali, mentre se \(D \ge 0\) trova le radici con la formula \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) e solo dopo verifica il risultato con il teorema di Viète.
Come determinare il segno delle radici senza risolvere l'equazione?
Dai segni di \(p\) e \(q\) quando \(D \ge 0\): se \(q > 0\) e \(p < 0\) — entrambe positive; se \(q > 0\) e \(p > 0\) — entrambe negative; se \(q < 0\) — segno discorde; se \(q = 0\) — una delle radici è zero.
In che classe si studia il teorema di Viète?
In terza media durante le lezioni di algebra, subito dopo le equazioni di secondo grado e il discriminante. Successivamente viene utilizzato per la scomposizione del trinomio di secondo grado \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), nello studio delle radici con parametro e negli esami di stato.
