L'ordine delle operazioni è l'insieme di regole che stabilisce quale parte di un'espressione matematica calcolare per prima. Il metodo più comune per ricordarlo è PEMDAS: Parentesi, Esponenti, Moltiplicazione e Divisione, Addizione e Sottrazione. Seguendo questo ordine, ogni espressione ha esattamente un risultato corretto. In questa pagina troverai la regola PEMDAS spiegata passo dopo passo, esempi svolti con parentesi ed esponenti, gli errori più comuni degli studenti e un quiz interattivo per fare subito pratica.
Cosa significa PEMDAS: l'ordine delle operazioni
PEMDAS è un acronimo per l'ordine in cui devono essere eseguite le operazioni. Molti studenti lo ricordano con la frase "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Procedi lungo la scala dall'alto verso il basso:
- P — Parentesi. Risolvi prima tutto ciò che si trova all'interno dei simboli di raggruppamento: ( ), [ ], { }.
- E — Esponenti. Poi potenze e radici, come 3² o √9.
- M e D — Moltiplicazione e Divisione. Hanno la stessa priorità. Eseguile insieme, procedendo da sinistra a destra.
- A e S — Addizione e Sottrazione. Anche queste hanno la stessa priorità. Eseguile per ultime, sempre da sinistra a destra.
Il concetto più importante, che molti studenti dimenticano, è che il PEMDAS non consiste in sei passaggi separati. La moltiplicazione non viene sempre prima della divisione, e l'addizione non viene sempre prima della sottrazione. Ogni coppia si trova allo stesso livello e, all'interno di quel livello, si procede semplicemente da sinistra a destra.
La regola da sinistra a destra (M/D e A/S sono equivalenti)
Poiché moltiplicazione e divisione si trovano allo stesso livello, le gestisci nell'ordine in cui appaiono, leggendo da sinistra a destra — non "prima tutte le moltiplicazioni, poi tutte le divisioni". Lo stesso vale per addizione e sottrazione.
Un classico trabocchetto è 20 ÷ 4 × 5. Se facessi prima la moltiplicazione (4 × 5 = 20), otterresti 20 ÷ 20 = 1 — il che è sbagliato. Poiché la divisione è a sinistra, la esegui per prima: 20 ÷ 4 = 5, poi 5 × 5 = 25. La stessa logica si applica a 10 − 6 + 2: procedi da sinistra a destra per ottenere 4 + 2 = 6, non 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS: stessa regola, nome diverso
Nel Regno Unito, in Australia e in molti altri paesi, la stessa regola viene insegnata come BODMAS (a volte BIDMAS o BEDMAS). Le lettere sembrano diverse, ma l'ordine è identico: cambia solo il vocabolario.
- B — Brackets (Parentesi quadre/tonde) è uguale a P — Parentheses.
- O — Orders (Ordini) (o I — Indices, E — Exponents) indica potenze e radici.
- DM e MD sono la stessa coppia a pari priorità, eseguita da sinistra a destra.
- AS è addizione e sottrazione, eseguita da sinistra a destra.
Quindi PEMDAS e BODMAS danno sempre lo stesso risultato. Il confronto qui sotto li allinea lettera per lettera.
| Passaggio | PEMDAS | BODMAS | Cosa fare |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentesi | Brackets | Prima i simboli di raggruppamento |
| 2 | Esponenti | Ordini / Indici | Potenze e radici |
| 3 | Moltiplicazione / Divisione | Divisione / Moltiplicazione | Pari priorità, sinistra → destra |
| 4 | Addizione / Sottrazione | Addizione / Sottrazione | Pari priorità, sinistra → destra |
Esempi ordine delle operazioni (passo dopo passo)
Esempio 1. Moltiplicazione prima dell'addizione
Espressione: 3 + 4 × 2
Passaggio 1 — Parentesi / Esponenti: nessuno qui, quindi procedi.
Passaggio 2 — Moltiplicazione / Divisione: 4 × 2 = 8. L'espressione ora è 3 + 8.
Passaggio 3 — Addizione / Sottrazione: 3 + 8 = 11.
Un errore comune è 14, che deriva dal sommare 3 + 4 per primo. La moltiplicazione deve avvenire prima dell'addizione.
Esempio 2. Parentesi, esponenti, poi da sinistra a destra
Espressione: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Passaggio 1 — Parentesi: 6 + 2 = 8. Ora: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Passaggio 2 — Esponenti: 3² = 9. Ora: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Passaggio 3 — Moltiplicazione / Divisione (da sinistra a destra): 8 × 9 = 72, poi 72 ÷ 4 = 18. Ora: 18 − 5.
Passaggio 4 — Addizione / Sottrazione: 18 − 5 = 13.
Esempio 3. Il trabocchetto da sinistra a destra
Espressione: 20 ÷ 4 × 5
Non ci sono parentesi o esponenti, quindi passiamo direttamente a moltiplicazione e divisione. Hanno pari priorità, quindi leggiamo da sinistra a destra.
Passaggio 1: 20 ÷ 4 = 5 (la divisione è la più a sinistra). Ora: 5 × 5.
Passaggio 2: 5 × 5 = 25.
Se avessi moltiplicato per primo (4 × 5 = 20), avresti ottenuto 20 ÷ 20 = 1 — un errore classico. L'ordine delle lettere M-poi-D non significa che la moltiplicazione vince; conta la direzione sinistra-destra.
Errori comuni con il PEMDAS
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Pensare che la moltiplicazione venga sempre prima della divisione (o l'addizione prima della sottrazione) a causa dell'ordine delle lettere M-D e A-S.
Moltiplicazione e divisione sono equivalenti, così come addizione e sottrazione. All'interno di ogni coppia, procedi da sinistra a destra. In 20 ÷ 4 × 5 dividi per primo perché è a sinistra, ottenendo 25 — non 1.
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Ignorare la regola sinistra-destra per la sottrazione, leggendo 10 − 6 + 2 come 10 − 8 = 2.
Procedi da sinistra a destra: 10 − 6 = 4, poi 4 + 2 = 6. L'addizione non "scavalca" la sottrazione che si trova alla sua sinistra.
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Saltare le parentesi o risolverle per ultime perché appaiono nel mezzo dell'espressione.
I simboli di raggruppamento vanno sempre per primi, ovunque si trovino. In 2 × (3 + 4), calcoli 3 + 4 = 7 prima di moltiplicare, ottenendo 14 — non 2 × 3 + 4 = 10.
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Interpretare male il raggio d'azione di un esponente, trattando −3² e (−3)² come la stessa cosa.
Un esponente si applica solo al numero direttamente sottostante. −3² significa −(3²) = −9, mentre (−3)² significa (−3)(−3) = 9. Usa le parentesi quando vuoi includere il segno.
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Risolvere parentesi annidate dall'esterno verso l'interno.
Inizia dal raggruppamento più interno e procedi verso l'esterno. In 2 × [3 + (4 − 1)], fai prima 4 − 1 = 3, poi 3 + 3 = 6, infine 2 × 6 = 12.
Domande frequenti
Cosa significa PEMDAS?
PEMDAS sta per Parentesi, Esponenti, Moltiplicazione e Divisione, Addizione e Sottrazione. È l'ordine in cui valutare un'espressione matematica. Molti studenti lo ricordano con la frase "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Qual è la differenza tra PEMDAS e BODMAS?
Non c'è differenza nella matematica, solo nei nomi. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) viene insegnato nel Regno Unito e in molti altri paesi, mentre il PEMDAS è usato negli Stati Uniti. Le parentesi (Brackets) sono le stesse delle Parentheses, e gli Ordini (o Indici) sono gli stessi degli esponenti. Entrambi danno lo stesso risultato per ogni espressione.
La moltiplicazione viene sempre prima della divisione nel PEMDAS?
No. Moltiplicazione e divisione hanno pari priorità. Esegui quella che appare per prima leggendo da sinistra a destra. Ad esempio, in 20 ÷ 4 × 5 dividi per primo perché è a sinistra, poi moltiplichi, ottenendo 25.
Perché abbiamo bisogno di un ordine delle operazioni?
Senza un ordine concordato, la stessa espressione potrebbe dare risultati diversi a persone diverse. Ad esempio, 3 + 4 × 2 darebbe 11 se moltiplichi per primo o 14 se sommi per primo. Il PEMDAS assicura che ogni espressione abbia esattamente un risultato corretto.
Come si gestiscono esponenti e segni negativi insieme?
Un esponente si applica solo al valore direttamente sottostante. Quindi −3² equivale a −(3 × 3) = −9, perché l'esponente si lega al 3 prima che venga applicato il segno negativo. Se vuoi includere il negativo, scrivi (−3)², che equivale a 9. Le parentesi controllano cosa copre l'esponente.
Cosa si fa con parentesi o quadre annidate?
Procedi dal gruppo più interno verso l'esterno. In 2 × [3 + (4 − 1)], prima fai 4 − 1 = 3, poi 3 + 3 = 6, infine 2 × 6 = 12. Ogni livello di raggruppamento viene risolto prima di quello che lo contiene.
