La radice quadrata di un numero \(a\) è un numero il cui quadrato è uguale ad \(a\), e per radice quadrata aritmetica si intende solo il suo valore non negativo: \(\sqrt{25} = 5\). Si può estrarre la radice solo da numeri non negativi, ma le proprietà della radice trasformano espressioni complesse in espressioni brevi. In questa pagina: definizione e dominio, tutte le proprietà della radice quadrata con formule, tabella delle radici quadrate da 1 a 20, metodi per estrarre la radice e portare fuori un fattore, esempi svolti, errori comuni e trainer interattivo.
Cos'è la radice quadrata di un numero
La radice quadrata di un numero \(a\) è quel numero il cui quadrato è uguale ad \(a\). L'estrazione della radice e l'elevamento al quadrato sono azioni inverse: da \(7^2 = 49\) segue immediatamente che la radice quadrata di 49 è 7.
Ma un numero positivo ha esattamente due radici quadrate, che differiscono solo per il segno: \(5^2 = 25\) e \((-5)^2 = 25\), cioè le radici quadrate di 25 sono sia \(5\) che \(-5\). Affinché la notazione \(\sqrt{25}\) indichi un unico numero, si è stabilito: il segno \(\sqrt{\phantom{a}}\) indica solo la radice non negativa. Questa è chiamata radice aritmetica.
La notazione ha i suoi nomi: il segno \(\sqrt{\phantom{a}}\) è il radicale, e il numero o l'espressione sotto di esso è l'argomento del radicale.
Radice quadrata aritmetica: definizione e dominio
La radice quadrata aritmetica di un numero non negativo \(a\) è il numero non negativo il cui quadrato è uguale ad \(a\). Si indica con \(\sqrt{a}\) e si legge «radice di a».
Nella definizione sono nascoste due condizioni, ed entrambe sono ugualmente importanti:
- l'argomento del radicale è non negativo: \(a \ge 0\);
- il valore della radice è non negativo: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Da qui otteniamo subito: \(\sqrt{25} = 5\), e non \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); e la notazione \(\sqrt{-9}\) non ha senso nei numeri reali — non esiste un numero il cui quadrato sia negativo.
La prima condizione definisce il dominio dell'espressione con la radice. Ad esempio, \(\sqrt{x-7}\) ha senso per \(x - 7 \ge 0\), cioè per \(x \ge 7\): qualsiasi valore di \(x\) inferiore porterà un numero negativo sotto la radice.
Dalla definizione segue anche l'uguaglianza \((\sqrt{a})^2 = a\) per \(a \ge 0\): elevare la radice al quadrato restituisce il numero sotto il radicale. Funziona anche quando la radice stessa non può essere calcolata esattamente: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabella delle radici quadrate: quadrati dei numeri da 1 a 20
La radice viene estratta esattamente solo quando il numero sotto il radicale è un quadrato perfetto. Pertanto, la tabella dei quadrati funziona anche come tabella delle radici quadrate: si legge in entrambe le direzioni — \(14^2 = 196\), quindi \(\sqrt{196} = 14\).
La tabella aiuta non solo con i numeri interi:
- numeri decimali: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), perché \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- frazioni ordinarie: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — la radice viene estratta separatamente dal numeratore e separatamente dal denominatore;
- numeri tondi: \(\sqrt{2500} = 50\), poiché \(2500 = 25 \cdot 100\), e la radice di ciascun fattore è nota.
Proprietà della radice quadrata
Le proprietà della radice quadrata permettono di calcolare espressioni senza estrarre ogni radice separatamente e di semplificare la risposta.
La radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) per \(a \ge 0\) e \(b \ge 0\). Ad esempio, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — lo stesso risultato di \(\sqrt{144}\).
La radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) per \(a \ge 0\) e \(b > 0\). Ad esempio, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). La condizione \(b > 0\) è rigorosa: non si può dividere per zero.
La radice del quadrato è uguale al valore assoluto: \(\sqrt{a^2} = |a|\), ed è valida per qualsiasi numero \(a\). Qui sta la principale sottigliezza dell'intero argomento. Se \(a \ge 0\), nulla cambia: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ma se \(a\) è negativo, il segno si «raddrizza»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), e non \(-6\) — perché la radice aritmetica non può essere negativa.
Il quadrato della radice restituisce il numero sotto il radicale: \((\sqrt{a})^2 = a\) per \(a \ge 0\).
Ma per la somma e la differenza non esistono proprietà simili: la radice di una somma non è uguale alla somma delle radici. Questo è l'errore più comune dell'argomento, l'analisi è più avanti.
| Proprietà e condizione | Esempio |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bper a ≥ 0 e b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bper a ≥ 0 e b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|per qualsiasi a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aper a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bper b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Come estrarre la radice quadrata da un numero
Un calcolatore non è sempre a portata di mano, e i compiti scolastici sono quasi sempre impostati in modo che la radice possa essere estratta. L'ordine delle azioni è il seguente.
- Controlla la tabella dei quadrati. Se il numero è nella tabella, la risposta è pronta: \(\sqrt{289} = 17\).
- Separa il fattore tondo. Per i numeri con zeri, è conveniente separare \(100\), \(10\,000\) e così via: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Scomponi in fattori primi. Questo è un metodo universale: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), dividiamo gli esponenti per due e otteniamo \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Trasforma un numero decimale in una frazione ordinaria. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Allo stesso tempo, questo evita la perdita di cifre.
- Se non c'è un quadrato perfetto — la radice è irrazionale. In tal caso, la si lascia nel risultato come simbolo (si scrive così: \(\sqrt{30}\)), oppure la si stima tra quadrati consecutivi.
La verifica richiede un secondo: eleva il numero ottenuto al quadrato e verifica se si è tornati al numero originale. \(24^2 = 576\) — corretto.
Portare fuori un fattore dal segno di radice
Raramente si lascia la radice «grezza» — si porta fuori tutto ciò che può essere estratto. Funziona la proprietà \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) per \(b \ge 0\): cerchiamo il massimo divisore quadrato del numero sotto il radicale.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
L'azione inversa è portare un fattore sotto la radice: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) per \(a \ge 0\). Ad esempio, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Con un fattore negativo, è necessaria cautela: il meno non entra sotto la radice e rimane fuori. La notazione corretta è \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), e non \(\sqrt{12}\).
A cosa serve: dopo aver portato fuori un fattore, le radici con lo stesso argomento diventano termini simili e possono essere sommate. E portare un fattore sotto la radice è il modo più veloce per confrontare due espressioni con radici.
Quanto fa una radice quadrata che non si estrae
Se il numero sotto il radicale non è un quadrato perfetto, la radice è un numero irrazionale: la sua rappresentazione decimale è infinita e non periodica. Ad esempio, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), e il valore esatto si scrive solo con il simbolo \(\sqrt{2}\). Una risposta arrotondata si scrive solo quando richiesto dal problema.
Si può stimare una tale radice senza calcolatrice: trovare due quadrati perfetti consecutivi tra cui si trova il numero sotto il radicale. Funziona la regola di confronto: per \(a \ge 0\) e \(b \ge 0\), da \(a < b\) segue \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — a un numero sotto il radicale più grande corrisponde una radice più grande.
Esempi di calcolo con radici quadrate
Esempio 1. Valore di un'espressione con radici
Calcola \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Passo 1. \(\sqrt{121} = 11\), perché \(11^2 = 121\).
Passo 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), perché \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Passo 3. La radice di una frazione si estrae separatamente dal numeratore e dal denominatore: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Passo 4. Sommiamo: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Risposta: 11.
Esempio 2. Radice di un prodotto
Calcola \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Passo 1. Singolarmente queste radici non si estraggono, quindi le uniamo in una sola: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Passo 2. Calcoliamo il prodotto sotto la radice: \(8 \cdot 18 = 144\).
Passo 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Altro percorso — portare fuori i fattori in anticipo: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) e \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), quindi \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Le risposte coincidono.
Risposta: 12.
Esempio 3. Estrazione della radice per scomposizione in fattori
Calcola \(\sqrt{576}\) e \(\sqrt{6400}\).
Passo 1. Il numero 576 non è nella tabella dei quadrati, quindi lo scomponiamo in fattori primi: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Passo 2. Dividiamo gli esponenti per due: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Passo 3. Verifica. \(24^2 = 576\) — corretto.
Passo 4. Per il numero 6400 è più conveniente separare il fattore tondo: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Verifica: \(80^2 = 6400\).
Risposta: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Esempio 4. Portare fuori un fattore e ridurre i termini simili
Semplifica \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Passo 1. Portiamo fuori i fattori da sotto ogni radice: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), quindi \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Passo 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Passo 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Passo 4. Si possono sommare solo le radici con lo stesso argomento: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), mentre il termine con \(\sqrt{3}\) rimane separato.
Risposta: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Esempio 5. Radice del quadrato di una variabile
Semplifica \(\sqrt{(x-4)^2}\) per \(x < 4\).
Passo 1. Per la proprietà della radice del quadrato \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — scriviamo subito il valore assoluto, non \(x - 4\).
Passo 2. Apriamo il valore assoluto secondo la condizione. Se \(x < 4\), allora la differenza \(x - 4\) è negativa, e il valore assoluto di un numero negativo è il numero opposto: \(|x-4| = 4 - x\).
Passo 3. Verifica. Prendiamo \(x = 1\): a sinistra \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), a destra \(4 - 1 = 3\) — coincide.
Risposta: \(4 - x\). Per confronto, per \(x \ge 4\) la risposta sarebbe \(x - 4\).
Esempio 6. Confronto di espressioni con radici
Confronta \(3\sqrt{5}\) e \(5\sqrt{2}\).
Passo 1. Entrambi i numeri sono positivi, quindi portiamo il fattore sotto la radice: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Passo 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Passo 3. Confrontiamo i numeri sotto il radicale: \(45 < 50\), e a un numero sotto il radicale più grande corrisponde una radice più grande.
Risposta: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Errori comuni nel lavoro con la radice quadrata
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Scrivono $\sqrt{a^2} = a$, dimenticando il valore assoluto.
L'uguaglianza corretta è \(\sqrt{a^2} = |a|\). Per un numero negativo questo è fondamentale: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), e non \(-13\). La radice aritmetica non può essere negativa, quindi il segno sotto la radice si «raddrizza».
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Ritengono che la radice di una somma sia uguale alla somma delle radici: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Non esiste una tale proprietà. Prima eseguiamo l'operazione sotto la radice: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), e non 7. Le proprietà esistono solo per il prodotto e il quoziente: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) e \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
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Rispondono che $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — la radice aritmetica è sempre una e non è negativa. Due valori compaiono in un altro esercizio: l'equazione \(x^2 = 49\) ha radici \(x = 7\) e \(x = -7\). Non si deve confondere la notazione della radice con la soluzione di un'equazione.
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Scrivono $\sqrt{-16} = -4$, ragionando «meno per meno».
Sotto la radice non può esserci un numero negativo: \((-4)^2 = 16\), e non \(-16\), quindi \(\sqrt{-16}\) non esiste nei numeri reali. Ma l'espressione \(-\sqrt{16} = -4\) è assolutamente corretta — il meno sta davanti alla radice, non sotto.
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Portano sotto la radice un fattore negativo: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
La regola \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) funziona solo per \(a \ge 0\). Il meno rimane fuori: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Verifica con il segno: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), e \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — i numeri sono opposti.
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Perdono cifre con un numero decimale: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Verifica con l'operazione inversa di elevamento al quadrato: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), non coincide. Corretto \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), poiché \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Un metodo affidabile è passare a una frazione ordinaria: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
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Sono sicuri che la radice sia sempre minore del numero stesso.
Questo è vero solo per numeri maggiori di uno. Nell'intervallo da 0 a 1 è il contrario: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), e \(0{,}5\) è maggiore di \(0{,}25\). Per 0 e 1 la radice è uguale al numero stesso.
Domande e risposte
Cos'è la radice quadrata aritmetica in parole semplici?
È un numero non negativo che, elevato al quadrato, dà il numero sotto il radicale. Si scrive \(\sqrt{a}\), e l'argomento del radicale deve essere non negativo: \(a \ge 0\). Ad esempio, \(\sqrt{64} = 8\), perché \(8 \ge 0\) e \(8^2 = 64\).
Qual è la differenza tra radice quadrata e radice quadrata aritmetica?
Le radici quadrate di un numero positivo sono due — opposte per segno. Si chiama aritmetica solo quella non negativa, ed è quella indicata dal segno \(\sqrt{\phantom{a}}\). Pertanto, \(\sqrt{25} = 5\), sebbene l'equazione \(x^2 = 25\) abbia due radici: 5 e \(-5\).
Come si estrae la radice quadrata di un numero senza calcolatrice?
Prima controlla il numero nella tabella dei quadrati. Se non c'è — scomponilo in fattori ed estrai i quadrati perfetti: \(784 = 16 \cdot 49\), quindi \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Verifica sempre la risposta con l'operazione inversa: \(28^2 = 784\).
È possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo?
Nei numeri reali — no: il quadrato di qualsiasi numero è non negativo, quindi l'espressione \(\sqrt{-9}\) non ha senso. È proprio da questa condizione che si cerca il dominio: ad esempio, \(\sqrt{x-7}\) esiste solo per \(x \ge 7\).
Quanto fa la radice quadrata del quadrato di un numero?
Il valore assoluto di quel numero: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Se \(a\) è non negativo, si ottiene il numero stesso, se \(a\) è negativo — il suo opposto: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Come si porta fuori un fattore dal segno di radice?
Trova il massimo divisore quadrato del numero sotto il radicale e applica la proprietà \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Ad esempio, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). L'azione inversa è portare un fattore sotto la radice: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Quanto fa la radice quadrata di 2?
Il numero \(\sqrt{2}\) è irrazionale: la sua rappresentazione decimale è infinita e non periodica, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Non esiste un valore esatto in forma di frazione, quindi nelle risposte si lascia così come simbolo \(\sqrt{2}\), e si arrotonda solo se richiesto dal problema.
Come confrontare due numeri con radici senza calcolarli?
Porta i fattori sotto la radice e confronta i numeri sotto il radicale: a un numero sotto il radicale più grande corrisponde una radice più grande. Ad esempio, \(\sqrt{17}\) e 4: poiché \(4 = \sqrt{16}\) e \(17 > 16\), allora \(\sqrt{17} > 4\).
In quale classe si studiano le radici quadrate?
In 8ª classe durante le lezioni di algebra: prima la definizione di radice quadrata aritmetica e le sue proprietà, poi le trasformazioni di espressioni con radici e la risoluzione di equazioni del tipo \(x^2 = a\). Successivamente, le radici compaiono nella formula del discriminante e negli esercizi degli esami di stato (OGE e ЕГЭ).
