Traccia il grafico della funzione $y=-2x^2+8x-5$
Per tracciare il grafico di una funzione quadratica $y=-2x^2+8x-5$, eseguiamo i seguenti passaggi:
- Determiniamo le coordinate del vertice della parabola
La funzione ha la forma $y=a(x-h)^2+k$, dove $(h,k)$ sono le coordinate del vertice.
Per la nostra funzione $y=-2x^2+8x-5$, il coefficiente $a=-2$.
La coordinata $x$ del vertice: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
La coordinata $y$ del vertice: $k = f(h) = -2(2)^2+8(2)-5 = -2(4)+16-5 = -8+16-5 = 3$
Quindi, il vertice della parabola si trova nel punto $(2,3)$.
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Determiniamo la direzione dei rami della parabola
Poiché il coefficiente $a=-2$ è negativo, i rami della parabola sono diretti verso il basso.
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Troviamo i punti di intersezione con gli assi coordinati
Con l'asse $y$ (quando $x=0$):
$y = -2(0)^2+8(0)-5 = -5$
Il punto di intersezione con l'asse $y$: $(0,-5)$
Con l'asse $x$ (quando $y=0$):
$0 = -2x^2+8x-5$
$2x^2-8x+5 = 0$
Usiamo la formula discriminante: $D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(5) = 64-40 = 24$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
$x_1 \approx 3.22$ e $x_2 \approx 0.78$
I punti di intersezione con l'asse $x$: $(0.78,0)$ e $(3.22,0)$
- Tracciamo il grafico
Il grafico rappresenta una parabola con vertice nel punto $(2,3)$, rami diretti verso il basso, e interseca l'asse $y$ nel punto $(0,-5)$, e l'asse $x$ nei punti $(0.78,0)$ e $(3.22,0)$.
