Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti, ad esempio \(2:3 = 8:12\). Per risolvere le proporzioni, è sufficiente uno strumento: la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi. A scuola viene chiamata regola "a croce". Di seguito: cos'è un rapporto e una proporzione, come trovare il termine incognito, in cosa la proporzionalità diretta differisce da quella inversa, analisi di problemi su ricette, scale e prezzi, introduzione alle percentuali e un simulatore con 10 problemi.
Cos'è un rapporto e una proporzione
Un rapporto tra due numeri è il loro quoziente. Il rapporto \(2:3\) (si legge "due a tre") indica quante volte un numero è più grande dell'altro o quale parte uno rappresenta dell'altro. Può essere scritto in due modi: \(2:3\) o come frazione \(\frac{2}{3}\) — è la stessa cosa.
Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti:
In una proporzione ci sono quattro numeri e hanno dei nomi. I numeri ai lati della scrittura sono i termini estremi, i numeri al centro sono i termini medi. Una proporzione è corretta quando entrambi i rapporti sono uguali allo stesso numero.
Proprietà fondamentale della proporzione: regola "a croce"
Proprietà fondamentale della proporzione: il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
Perché funziona? Moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) per \(b \cdot d\). A sinistra si semplifica \(b\), a destra \(d\), e rimane esattamente \(a \cdot d = c \cdot b\). Nessuna magia, solo una normale proprietà delle uguaglianze.
È proprio questo che gli studenti chiamano "risolvere proporzioni a croce": si moltiplicano i numeri in diagonale, a croce. La proprietà vale anche al contrario: se per quattro numeri (nessuno dei quali è zero) vale \(a \cdot d = b \cdot c\), allora da essi si può formare una proporzione corretta.
Da qui derivano subito due abilità: verificare se una proporzione è corretta e trovare un numero incognito al suo interno.
Come trovare il termine incognito di una proporzione
Dalla proprietà fondamentale derivano due regole brevi:
- termine estremo incognito = prodotto dei medi : termine estremo noto;
- termine medio incognito = prodotto degli estremi : termine medio noto.
Non è necessario memorizzarle a memoria. È sufficiente un unico metodo universale: moltiplicare a croce, ottenere un'uguaglianza del tipo "numero \(\cdot\, x\) = numero" e dividere. Vediamo questo passo dopo passo con la proporzione \(x : 7 = 12 : 21\).
L'ultimo passaggio, la verifica, richiede cinque secondi e corregge quasi ogni errore aritmetico, quindi non va saltato.
Proporzionalità diretta e inversa
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se, all'aumentare di una di esse di un certo numero di volte, l'altra aumenta dello stesso numero di volte. Compriamo il doppio di quaderni, paghiamo il doppio. Per queste grandezze, il loro rapporto è costante.
Le grandezze sono inversamente proporzionali se, all'aumentare di una di esse di un certo numero di volte, l'altra diminuisce dello stesso numero di volte. Il doppio degli operai, la metà dei giorni per lo stesso lavoro. Per queste grandezze, il loro prodotto è costante.
La differenza principale si vede nel momento in cui impostiamo la proporzione. Per una dipendenza diretta, si imposta "così com'è": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Per una dipendenza inversa, il secondo rapporto viene invertito: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Perché? Per la dipendenza inversa, il prodotto è costante: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Dividiamo entrambi i lati per \(a_2 \cdot b_1\) e otterremo proprio \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Quindi, l'"inversione" non è un incantesimo da ricordare, ma una conseguenza del fatto che il prodotto rimane costante, non il rapporto.
| Caratteristica | Diretta | Inversa |
|---|---|---|
| Relazione | maggiore → maggiore | maggiore → minore |
| Costante | rapporto a : b | prodotto a × b |
| Scrittura | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Esempio | 3 penne — 90 ₽, 5 penne — 150 ₽ | 4 imbianchini — 9 giorni, 6 imbianchini — 6 giorni |
Come impostare una proporzione per un problema: ricetta, scala, prezzo
I problemi testuali "con proporzioni" si risolvono secondo uno schema:
- Scrivere la condizione in due colonne in modo che le grandezze uguali stiano una sotto l'altra (porzioni sotto porzioni, grammi sotto grammi).
- Indicare l'incognita con \(x\).
- Determinare il tipo di dipendenza: aumentare mentalmente la prima grandezza e osservare se la seconda aumenta o diminuisce.
- Impostare la proporzione — per la dipendenza inversa, invertire il secondo rapporto.
- Risolvere a croce e verificare se la risposta ottenuta è sensata.
Vediamo con una ricetta. Per 4 porzioni di pancake servono 300 g di farina — quanta farina serve per 6 porzioni? Le porzioni sono di più, quindi serve più farina: la dipendenza è diretta, la proporzione si imposta "così com'è":
Per 6 porzioni servono 450 g di farina. La risposta è sensata: le porzioni sono aumentate di un terzo (quindi 1,5 volte), e la farina necessaria è aumentata di un terzo (quindi 1,5 volte).
Si risolvono allo stesso modo i problemi di scala (la distanza sulla mappa sta alla distanza reale come 1 sta al numero della scala) e di prezzo (la quantità di merce sta alla quantità come il costo sta al costo). Analisi complete negli esempi seguenti.
Percentuali tramite proporzione
Una percentuale è la centesima parte di un numero, quindi ogni semplice problema sulle percentuali si trasforma in una proporzione:
Dove uno dei quattro numeri è incognito — ed è quello che troviamo a croce.
Trovare la parte. Quanto fa il 15% di 240? Impostiamo \(x : 240 = 15 : 100\), quindi \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) e \(x = 36\).
Trovare l'intero. Il numero 21 rappresenta il 35% di un certo numero. Impostiamo \(21 : x = 35 : 100\), quindi \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) e \(x = 60\).
Trovare la percentuale. Che percentuale rappresenta 18 su 45? Impostiamo \(18 : 45 = p : 100\), quindi \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) e \(p = 40\), cioè il 40%.
Un unico metodo — tre tipi diversi di problemi, non c'è bisogno di memorizzare altro. A parte rimane solo la domanda "di quanto è aumentata o diminuita la grandezza in percentuale": lì si calcola prima la variazione, e poi la si divide per il valore iniziale — questa è già la formula della variazione percentuale, non una semplice proporzione.
Esempi di risoluzione di proporzioni con spiegazione passo dopo passo
Esempio 1. Termine medio incognito
Problema. Trova il termine incognito della proporzione \(15 : x = 45 : 24\).
Passaggio 1. Identifichiamo quale termine è quale. Gli estremi sono 15 e 24, i medi sono \(x\) e 45.
Passaggio 2. Applichiamo la proprietà fondamentale: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), cioè \(360 = 45x\).
Passaggio 3. Dividiamo: \(x = 360 : 45 = 8\).
Verifica. \(15 : 8 = 1.875\) e \(45 : 24 = 1.875\) — i rapporti sono uguali.
Risposta: \(x = 8\).
Esempio 2. Proporzionalità diretta: prezzo e quantità
Problema. Sei quaderni costano 210 ₽. Quanto costano 10 quaderni uguali?
Passaggio 1. Più quaderni — maggiore è il costo, quindi la dipendenza è diretta.
Passaggio 2. Scriviamo la condizione in modo che le grandezze uguali siano vicine e impostiamo la proporzione "così com'è":
Passaggio 3. A croce: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), quindi \(x = 2100 : 6 = 350\).
Verifica. Un quaderno costa \(210 : 6 = 35\) ₽, e dieci costano \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Coincide.
Risposta: 350 ₽.
Esempio 3. Proporzionalità inversa: operai e giorni
Problema. Otto operai completano un ordine in 15 giorni. In quanti giorni 12 operai completeranno lo stesso ordine, se lavorano alla stessa velocità?
Passaggio 1. Ci sono più operai — serviranno meno giorni. La dipendenza è inversa.
Passaggio 2. Impostiamo la proporzione invertendo il secondo rapporto:
Qui \(x\) sono i giorni per 12 operai, e 15 sono i giorni per 8 operai: si sono scambiati di posto perché la dipendenza è inversa.
Passaggio 3. A croce: \(8 \cdot 15 = 12x\), cioè \(120 = 12x\) e \(x = 10\).
Verifica. Il prodotto è costante: \(8 \cdot 15 = 120\) e \(12 \cdot 10 = 120\). Coincide, e la risposta è sensata — sono serviti meno giorni.
Risposta: 10 giorni.
Esempio 4. Scala della mappa
Problema. La scala della mappa è \(1 : 200\,000\). La distanza tra due paesi sulla mappa è 7 cm. Qual è la distanza tra loro nella realtà?
Passaggio 1. La scala \(1 : 200\,000\) significa: 1 cm sulla mappa corrisponde a 200 000 cm nella realtà. Questo è un rapporto pronto.
Passaggio 2. Impostiamo la proporzione:
Passaggio 3. A croce: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), cioè \(x = 1\,400\,000\) cm.
Passaggio 4. Convertiamo in unità comode: in un chilometro ci sono 100 000 cm, quindi \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Risposta: 14 km.
Esempio 5. Percentuali tramite proporzione
Problema. In una classe ci sono 25 alunni, il 60% di loro è andato in gita. Quanti alunni sono andati in gita?
Passaggio 1. L'intero sono tutti i 25 alunni, corrispondono al 100%. La parte cercata è \(x\) alunni, che corrisponde al 60%.
Passaggio 2. Impostiamo la proporzione "parte : intero = percentuale : 100":
Passaggio 3. A croce: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), quindi \(x = 15\).
Verifica. 15 alunni su 25 sono \(15 : 25 = 0.6\), cioè esattamente il 60%.
Risposta: 15 alunni.
Errori comuni nella risoluzione delle proporzioni
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Moltiplicare i numeri "in linea" invece che a croce: nella proporzione 5 : 2 = 20 : 8 calcolare 5 · 2 e 20 · 8.
La proprietà fondamentale collega i termini estremi con i medi, cioè i numeri in diagonale: 5 · 8 = 40 e 2 · 20 = 40. I prodotti coincidono — la proporzione è corretta. Mentre 5 · 2 e 20 · 8 non sono uguali e non dicono nulla.
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In un problema di dipendenza inversa impostare una proporzione "diretta". Sei pompe riempiono una piscina in 10 ore; la scrittura 6 : 15 = 10 : x dà 25 ore per 15 pompe.
Ci sono più pompe — il tempo dovrebbe diminuire, invece è aumentato: quindi la proporzione non è impostata correttamente. Il secondo rapporto va invertito: 6 : 15 = x : 10, allora 15x = 60 e x = 4 ore. Verifica sempre la risposta con il buon senso.
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Dopo aver moltiplicato "a croce", dividere al contrario: dall'uguaglianza 8x = 96 ottenere x = 8 : 96.
Per trovare x, si divide il prodotto per il coefficiente che sta accanto a x: x = 96 : 8 = 12. È una buona abitudine sostituire il numero trovato di nuovo: 8 · 12 = 96, tutto corretto.
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Non uniformare le unità di misura. Nel problema con scala 1 : 50 000 con 3 cm sulla mappa dare la risposta "1,5" senza unità o chiamarla metri.
Prima calcoliamo nelle unità in cui è data la scala: 3 · 50 000 = 150 000 cm. E solo dopo convertiamo: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Le unità nella risposta sono importanti quanto il numero stesso.
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Confondere rapporto e proporzione: alla richiesta di impostare una proporzione scrivere un solo rapporto "12 : 4".
Un rapporto è un singolo quoziente: 12 : 4 = 3. Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti, contiene obbligatoriamente quattro numeri e un segno di uguale: 12 : 4 = 30 : 10 (verifichiamo: 12 · 10 = 120 e 4 · 30 = 120).
Domande e risposte
In cosa differisce un rapporto da una proporzione?
Un rapporto è il quoziente di due numeri, ad esempio 12 : 4. Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti, contiene quattro numeri: 12 : 4 = 30 : 10. Il rapporto risponde alla domanda "quante volte", mentre la proporzione afferma che due confronti di questo tipo danno lo stesso risultato.
Cosa sono i termini estremi e medi di una proporzione?
Nella scrittura a : b = c : d, i termini estremi sono quelli che stanno ai lati, cioè a e d. I medi sono quelli che stanno al centro, cioè b e c. Se la proporzione è scritta come frazioni, gli estremi sono il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda, mentre i medi sono il denominatore della prima e il numeratore della seconda.
Come verificare se una proporzione è corretta?
Moltiplicare a croce e confrontare i prodotti. Ad esempio, per 9 : 12 = 15 : 20 calcoliamo 9 · 20 = 180 e 12 · 15 = 180 — i numeri coincidono, quindi la proporzione è corretta. Se i prodotti sono diversi, la proporzione è errata.
È possibile scambiare i termini di una proporzione?
Sì, se lo si fa secondo le regole. In una proporzione corretta si possono scambiare i termini estremi, si possono scambiare i termini medi, oppure si possono invertire entrambe le parti contemporaneamente — la proporzione rimarrà corretta. Da 4 : 6 = 10 : 15 otteniamo 4 : 10 = 6 : 15 oppure 6 : 4 = 15 : 10 — il prodotto in diagonale è sempre 60. Ma non si può scambiare solo un numero.
Cosa significa "risolvere una proporzione a croce"?
È il nome colloquiale della proprietà fondamentale delle proporzioni. I numeri vengono moltiplicati in diagonale, a croce: estremo per estremo e medio per medio. Si ottiene un'equazione con un'incognita, che si risolve con una singola divisione. Non esiste un "metodo a croce" separato oltre alla proprietà fondamentale.
Come capire se la dipendenza in un problema è diretta o inversa?
Aumenta mentalmente la prima grandezza di 2 volte e osserva la seconda. Se anche questa è raddoppiata, la dipendenza è diretta, la proporzione si imposta "così com'è". Se è diminuita della metà, la dipendenza è inversa, il secondo rapporto va invertito. Un altro segno: per la dipendenza diretta il rapporto tra le grandezze è costante, per quella inversa il loro prodotto.
Come risolvere problemi di percentuali tramite proporzione?
Imposta la proporzione "parte : intero = percentuale : 100" e trova l'incognita a croce. Ad esempio, il 12% di 350: otteniamo x : 350 = 12 : 100, quindi 100x = 4200 e x = 42. Con lo stesso metodo si trova sia l'intero data la parte nota, sia la percentuale stessa.
