I criteri di divisibilità sono regole che permettono di capire se un numero è divisibile per un altro numero intero, senza eseguire la divisione: basta guardare le ultime cifre o sommare tutte le cifre del numero. In questa pagina è raccolta una tabella dei criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 e 25, un'analisi chiara dei criteri per 3 e per 9 tramite la somma delle cifre, esempi con soluzione, errori comuni e un esercitatore interattivo dove puoi subito metterti alla prova.
Cos'è un criterio di divisibilità
Un criterio di divisibilità è una regola che permette di capire se un numero è divisibile per un altro numero intero, senza eseguire la divisione. Basta guardare le ultime cifre o sommare tutte le cifre del numero.
I criteri di divisibilità sono utili ovunque sia necessario comprendere rapidamente la "struttura" di un numero:
- nella semplificazione delle frazioni — si capisce subito per cosa semplificare numeratore e denominatore;
- nella scomposizione in fattori primi;
- nella ricerca del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo;
- nella rapida verifica della risposta in esercizi e problemi.
È importante non confondere due domande diverse. "3726 è divisibile per 9?" — a questo risponde il criterio di divisibilità: la somma delle cifre 3 + 7 + 2 + 6 = 18 è divisibile per 9, quindi sì. E "quanto fa?" — questa è la divisione stessa: 3726 : 9 = 414. Il criterio dà solo la risposta "sì" o "no", ma istantaneamente e a mente.
Tabella dei criteri di divisibilità
Tutti i criteri di divisibilità scolastici sono comodi da tenere sott'occhio in un'unica tabella. Il colore indica dove guardare: l'ultima cifra, la somma delle cifre, la "coda" delle ultime due-tre cifre o subito due criteri.
| Per cosa | Criterio di divisibilità | Esempio |
|---|---|---|
| 2 | l'ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8 | 3726 → 6 |
| 3 | la somma delle cifre è divisibile per 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | le ultime due cifre formano un numero divisibile per 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | l'ultima cifra è 0 o 5 | 1435 → 5 |
| 6 | è divisibile sia per 2 che per 3 contemporaneamente | 5124 → 4 e 12 |
| 8 | le ultime tre cifre formano un numero divisibile per 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | la somma delle cifre è divisibile per 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | l'ultima cifra è 0 | 2340 → 0 |
| 11 | cifre alternate con + e -; la somma è divisibile per 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | le ultime due cifre sono 00, 25, 50 o 75 | 1875 → 75 |
Criteri di divisibilità per 2, 5 e 10
Il gruppo più semplice: si guarda solo all'ultima cifra, le altre non sono importanti.
- sono divisibili per 2 tutti i numeri pari — quelli che terminano con 0, 2, 4, 6 o 8;
- per 5 — i numeri che terminano con 0 o 5;
- per 10 — i numeri che terminano con 0.
La lunghezza del numero non conta: 987 654 320 è divisibile sia per 2, sia per 5, sia per 10, perché termina con zero. E 1435 è divisibile per 5 (ultima cifra 5), ma non è divisibile né per 2 né per 10 — il numero è dispari.
Da qui una conclusione utile: sono divisibili per 10 esattamente quei numeri che sono divisibili sia per 2 che per 5 contemporaneamente.
Criteri di divisibilità per 3 e 9: somma delle cifre
Qui l'ultima cifra non decide nulla — funziona la somma di tutte le cifre del numero:
- un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3;
- un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Se la somma ottenuta è grande, si può applicare il criterio ancora una volta: per il numero 899 991 la somma delle cifre è 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, e per 45 la somma è 4 + 5 = 9 — quindi il numero originale è divisibile sia per 9 che per 3.
I criteri sono simili, ma non si sostituiscono a vicenda. Ogni numero divisibile per 9 è anche divisibile per 3 — poiché il nove stesso è divisibile per tre. Il contrario non è vero: la somma delle cifre può essere divisibile per 3 e non esserlo per 9, e allora il numero soddisfa solo uno dei due criteri. Entrambi i casi sono analizzati di seguito.
Criteri di divisibilità per 4, 8 e 25: si guarda la coda del numero
Un'unica ultima cifra qui non basta — serve una "coda" di alcune ultime cifre:
- un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre formano un numero divisibile per 4;
- per 8 — se le ultime tre cifre formano un numero divisibile per 8;
- per 25 — se le ultime due cifre formano 00, 25, 50 o 75.
Perché la coda è sufficiente: 100 è divisibile sia per 4 che per 25, e 1000 è divisibile per 8. Pertanto, tutto ciò che si trova a sinistra è già divisibile per il numero richiesto e non influisce sul risultato.
Da qui una conseguenza importante: la parità non è sufficiente per quattro e otto. Un numero può essere pari, ma se la sua coda di due o tre cifre non è divisibile per intero, allora non lo è nemmeno il numero intero. L'analisi delle code è nell'inserto qui sotto.
Criterio di divisibilità per 6
Il sei non ha una regola separata: 6 = 2 · 3, e i fattori sono coprimi. Pertanto, il criterio è composto — un numero è divisibile per 6 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3.
Verifichiamo 5124: l'ultima cifra è 4 — il numero è pari, quindi è divisibile per 2; la somma delle cifre 5 + 1 + 2 + 4 = 12 è divisibile per 3. Entrambe le condizioni sono soddisfatte → 5124 : 6 = 854.
La sola parità non basta: 1000 è pari, ma la somma delle sue cifre è 1 e non è divisibile per 3, quindi il numero non è divisibile per 6. Non funziona nemmeno la metà inversa: per 4521 la somma delle cifre è 12 ed è divisibile per 3, ma il numero stesso è dispari — quindi non è divisibile per 6.
Allo stesso modo si costruiscono altri criteri composti: per 12 — divisibile per 3 e per 4, per 15 — per 3 e per 5, per 18 — per 2 e per 9, per 45 — per 5 e per 9.
Criterio di divisibilità per 11
Il criterio di divisibilità per 11 utilizza la somma alternata delle cifre. Le cifre si sommano partendo dall'ultima, alternando il segno: più, meno, più, meno. Se il risultato è divisibile per 11 (incluso zero), allora anche l'intero numero è divisibile per 11.
Lo stesso criterio è spesso formulato diversamente: la differenza tra la somma delle cifre in posizione dispari e la somma delle cifre in posizione pari deve essere divisibile per 11. È la stessa regola.
Esempi sui criteri di divisibilità
Esempio 1. Per quali numeri è divisibile 7254
Esercizio. Determinare per quali dei numeri 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 è divisibile 7254.
Passo 1. Per 2. L'ultima cifra è 4 — pari. È divisibile: 7254 : 2 = 3627.
Passo 2. Per 5 e per 10. Il numero termina con 4, non con 0 o 5. Non è divisibile né per 5 né per 10.
Passo 3. Per 3 e per 9. Somma delle cifre: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. È divisibile sia per 3 che per 9. Quindi, 7254 : 3 = 2418 e 7254 : 9 = 806.
Passo 4. Per 6. Il numero è divisibile sia per 2 che per 3 — quindi è divisibile per 6: 7254 : 6 = 1209.
Passo 5. Per 4. Le ultime due cifre formano 54, e 54 non è divisibile per 4. Non è divisibile.
Risposta. 7254 è divisibile per 2, 3, 6 e 9.
Esempio 2. 4715 è divisibile per 3 e per 9
Esercizio. Verificare la divisibilità del numero 4715 per 3 e per 9.
Passo 1. Sommiamo le cifre: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Passo 2. Per 3. 17 non è divisibile per 3 (i multipli più vicini sono 15 e 18). Quindi, nemmeno 4715 è divisibile per 3.
Passo 3. Per 9. 17 non è nemmeno divisibile per 9. Quindi, 4715 non è divisibile nemmeno per 9.
Cosa sa fare il numero, comunque. L'ultima cifra è 5 → il numero è divisibile per 5: 4715 : 5 = 943. Non è divisibile per 2 e per 10 — è dispari.
Risposta. Il numero 4715 non è divisibile né per 3 né per 9.
Esempio 3. Divisibilità per 4 e per 8: numero 6248
Esercizio. Verificare se 6248 è divisibile per 4 e per 8.
Passo 1. Per 4. Prendiamo le ultime due cifre: 48. Il numero 48 è divisibile per 4 (48 : 4 = 12), quindi anche 6248 lo è: 6248 : 4 = 1562.
Passo 2. Per 8. Prendiamo le ultime tre cifre: 248. Dividiamo: 248 : 8 = 31 — è divisibile. Quindi, 6248 : 8 = 781.
Attenzione al ragionamento inverso. Dalla divisibilità per 4 non segue la divisibilità per 8: per 6244 la coda 44 è divisibile per 4 (6244 : 4 = 1561), ma le ultime tre cifre 244 non sono divisibili per 8 — il numero non è divisibile per 8.
Risposta. 6248 è divisibile sia per 4 che per 8.
Esempio 4. Criterio di divisibilità per 11: numero 2926
Esercizio. Verificare se 2926 è divisibile per 11.
Passo 1. Scriviamo le cifre e assegniamo i segni partendo dalla fine: l'ultima cifra con segno più, poi alternando meno e più.
Passo 2. Calcoliamo la somma alternata: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Passo 3. Il risultato 11 è divisibile per 11 → anche l'intero numero lo è.
Verifica tramite divisione. 2926 : 11 = 266.
Risposta. 2926 è divisibile per 11.
Esempio 5. Semplifichiamo la frazione usando i criteri di divisibilità
Esercizio. Semplificare la frazione 270/378.
Passo 1. Calcoliamo le somme delle cifre: 2 + 7 + 0 = 9 e 3 + 7 + 8 = 18. Entrambe sono divisibili per 9 → sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per 9.
Passo 2. Semplifichiamo per 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Otteniamo 30/42.
Passo 3. Entrambi i numeri sono pari → semplifichiamo per 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Otteniamo 15/21.
Passo 4. Le somme delle cifre 6 e 3 sono divisibili per 3 → semplifichiamo per 3.
Risposta. 270/378 = 5/7.
Errori comuni nei criteri di divisibilità
-
Si verifica la divisibilità per 6 solo guardando la parità: se il numero è pari — allora è divisibile per 6.
Sono necessarie entrambe le condizioni contemporaneamente: sia per 2 che per 3. Il numero 7124 è pari, ma la somma delle sue cifre 14 non è divisibile per 3, quindi non è divisibile per 6. E viceversa: 3471 soddisfa il criterio della divisibilità per 3 (somma 15, 3471 : 3 = 1157), ma è dispari — quindi non è divisibile per 6.
-
Per la divisibilità per 4 si guarda una sola ultima cifra: «8 è divisibile per 4, quindi anche 9138 andrà bene».
Per quattro si prendono DUE ultime cifre. Per 9138 sono 38, e 38 non è divisibile per 4. Esempio corretto: per 9136 la coda è 36, 36 : 4 = 9, quindi 9136 : 4 = 2284. Per otto la coda è ancora più lunga — tre cifre.
-
Il criterio di divisibilità per 9 viene verificato sull'ultima cifra: si cercano numeri che terminano con 9 o con 0.
L'ultima cifra non significa nulla per il nove. Si calcola la somma di tutte le cifre: per 4563 è 18, la somma è divisibile per 9 — e il numero è divisibile (4563 : 9 = 507), anche se termina con 3.
-
Si pensa che se un numero è divisibile per 3, allora è anche divisibile per 9.
Funziona solo in un verso: divisibile per 9 → divisibile anche per 3. Il contrario non è vero. Per 8241 la somma delle cifre è 15: è divisibile per 3 (8241 : 3 = 2747), ma non per 9.
-
Per il criterio dell'11 si sommano semplicemente tutte le cifre, come per 3 e 9.
Per undici la somma è alternata: le cifre si sommano dalla fine, cambiando segno ogni due. Per 6479 è 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → è divisibile (6479 : 11 = 589). La somma normale delle cifre qui è 26 e non dice nulla.
-
Si confonde il criterio di divisibilità con la divisione stessa: alla domanda «5391 è divisibile per 9» si risponde «sì, 18».
18 è la somma delle cifre, un risultato intermedio del criterio. Il quoziente si calcola separatamente: 5391 : 9 = 599. Il criterio risponde solo «divisibile / non divisibile».
Domande e risposte
Cos'è un criterio di divisibilità in parole semplici?
È una regola che permette di capire se un numero è divisibile per intero, senza eseguire la divisione. Di solito basta guardare le ultime cifre del numero o sommare tutte le sue cifre.
Come capire se un numero è divisibile per 3?
Somma tutte le cifre del numero. Se la somma ottenuta è divisibile per 3, allora anche il numero stesso è divisibile per 3. Ad esempio, per 2571 la somma delle cifre è 2 + 5 + 7 + 1 = 15, e 15 è divisibile per 3 → 2571 : 3 = 857.
In cosa differisce il criterio di divisibilità per 3 da quello per 9?
La regola è la stessa — si calcola la somma delle cifre, ma la si verifica rispetto a numeri diversi: per tre la somma deve essere divisibile per 3, per nove — per 9. Pertanto, ogni numero divisibile per 9 è anche divisibile per 3, ma non sempre viceversa: per 9420 la somma delle cifre 15 è divisibile per 3 (9420 : 3 = 3140), ma non per 9.
Cosa fare se la somma delle cifre risulta grande?
Applica il criterio ancora una volta — già alla somma. Per il numero 777 771 la somma delle cifre è 36, per 36 la somma è 3 + 6 = 9. Nove è divisibile per 9, quindi anche il numero originale è divisibile per 9 (e anche per 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Esiste un criterio di divisibilità per 7?
Una regola semplice come la somma delle cifre non esiste per il sette, e non viene inclusa nella tabella scolastica dei criteri. Esiste un trucco: togliere l'ultima cifra, raddoppiarla e sottrarla dal numero rimanente. Ad esempio, per 343: togliamo 3, raddoppiamo — 6, calcoliamo 34 − 6 = 28. Il numero 28 è divisibile per 7, quindi anche 343 lo è: 343 : 7 = 49.
Quali sono i criteri di divisibilità per 12, 15 e 45?
Sono criteri composti — il numero deve soddisfare due criteri contemporaneamente: per 12 — essere divisibile per 3 e per 4, per 15 — per 3 e per 5, per 45 — per 5 e per 9. È importante che i fattori siano coprimi: la scomposizione 12 = 2 · 6 non va bene, poiché 18 è divisibile sia per 2 che per 6, ma non per 12.
In quale classe si studiano i criteri di divisibilità?
In 6ª elementare durante le lezioni di matematica: prima i criteri per 10, 5 e 2, poi per 3 e 9. I criteri per 4, 8, 11 e 25 vengono solitamente trattati in modo aggiuntivo — saranno utili nella semplificazione delle frazioni e nelle gare matematiche.
