Una progressione aritmetica è una successione in cui ogni termine successivo è maggiore del precedente di una quantità costante \(d\) (ragione della progressione). Ogni suo termine si trova con la formula \(a_n = a_1 + (n-1)d\), mentre la somma dei primi \(n\) termini si calcola con la formula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). In questa pagina analizzeremo la definizione e la ragione, entrambe le formule della somma, la proprietà caratteristica, come verificare se un numero appartiene alla progressione, la differenza con la progressione geometrica, esercizi tipici d'esame e un simulatore interattivo per l'autovalutazione.
Cos'è una progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui ogni termine successivo si ottiene aggiungendo al precedente una quantità costante. Questo numero è chiamato ragione della progressione e si indica con la lettera \(d\).
Definizione con una formula: la successione \(a_1, a_2, a_3, \dots\) si dice progressione aritmetica se per ogni indice \(n\) vale l'uguaglianza
Prendiamo la successione 3, 7, 11, 15, 19, … Il primo termine è \(a_1 = 3\) e la ragione è \(d = 4\): ogni numero successivo è esattamente di 4 unità più grande del precedente. Pertanto, il termine successivo è 23, mentre prima del 3 (se continuassimo all'indietro) ci sarebbe -1.
L'intera progressione è definita da soli due numeri: il primo termine \(a_1\) e la ragione \(d\). Conoscendo questa coppia, puoi determinare qualsiasi termine, calcolare la somma di un numero qualsiasi di termini e verificare se un dato numero è presente nella successione. La progressione si indica con il simbolo \((a_n)\), e i suoi termini con \(a_1, a_2, a_3\) e così via, dove l'indice in basso indica sempre la posizione, non il valore.
Ragione di una progressione aritmetica: come trovare d
La ragione è sempre il termine successivo meno quello precedente:
L'ordine della sottrazione è importante: se sottrai al contrario, il segno della ragione sarà opposto. Per la successione 20, 17, 14, 11, 8 la ragione è \(17 - 20 = -3\), non \(+3\).
Il segno di \(d\) determina il comportamento della progressione:
- \(d > 0\) — progressione crescente, i termini aumentano;
- \(d < 0\) — progressione decrescente, i termini diminuiscono;
- \(d = 0\) — tutti i termini sono uguali, ad esempio 6, 6, 6, 6, … Anche questa è una progressione aritmetica, semplicemente costante.
Se conosci due termini con indici diversi, la ragione si trova con la formula
Esempio. Siano \(a_4 = 30\) e \(a_{10} = 6\). Allora \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), e il primo termine è \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Verifichiamo l'inizio della progressione: 42, 38, 34, 30 — il quarto termine è effettivamente 30.
La ragione non deve essere necessariamente intera: nella successione 1; 1,5; 2; 2,5 la ragione è 0,5, ed è una progressione aritmetica a tutti gli effetti.
Formula del termine n-esimo di una progressione aritmetica
La formula principale dell'argomento permette di trovare qualsiasi termine senza dover scrivere tutti i precedenti:
Da dove viene \(n - 1\)? Per arrivare dal primo termine all'n-esimo, la ragione viene aggiunta non \(n\) volte, ma una volta in meno: per il secondo termine un passo, per il terzo due, per il ventesimo diciannove.
Esempio. Per la progressione 3, 7, 11, 15, 19, … abbiamo \(a_1 = 3\) e \(d = 4\), quindi
Questa forma contratta è molto comoda: si vede subito che \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), e \(a_{100} = 399\). Allo stesso tempo suggerisce la ragione: in ogni progressione aritmetica la formula del termine n-esimo è lineare, del tipo \(a_n = dn + c\), e il coefficiente davanti a \(n\) è proprio la ragione.
A volte il primo termine è ignoto, ma ne è dato un altro. In tal caso vale la stessa idea in forma generale: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Proprietà caratteristica della progressione aritmetica
Ogni termine della progressione, eccetto il primo, è uguale alla media aritmetica dei suoi vicini:
È proprio per questo che la progressione si chiama aritmetica. Questa uguaglianza vale anche al contrario: se in una successione ogni termine medio è uguale alla semisomma dei vicini, allora la successione è una progressione aritmetica. Tale affermazione è chiamata criterio della progressione aritmetica, e negli esercizi viene usata per dimostrare che tre numeri formano una progressione.
Esempio. I numeri 7, \(x\), 23 sono tre termini consecutivi di una progressione. Allora \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Verifica: 7, 15, 23 — le ragioni sono 8 e 8, tutto torna.
Una forma comoda per scrivere la stessa proprietà: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), ovvero il doppio del termine medio è uguale alla somma degli estremi. In questa forma la proprietà è più facile da applicare quando i termini sono espressi tramite lettere.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La somma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) si calcola con una delle due formule:
L'idea della prima formula è quella che, secondo la leggenda, trovò lo scolaro Gauss sommando i numeri da 1 a 100. Se sommi il primo termine con l'ultimo, il secondo con il penultimo e così via, tutte le coppie daranno la stessa somma. Da qui \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
La seconda formula si ottiene dalla prima sostituendo \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — serve quando l'ultimo termine non è dato e non si vuole calcolarlo separatamente.
Esempio. Calcoliamo la somma dei primi venti termini della progressione 3, 7, 11, 15, 19, …
Con la prima formula: \(a_{20} = 79\), quindi \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Con la seconda: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
I risultati coincidono — questo è il miglior modo per verificare i calcoli.
Come scoprire se un numero appartiene a una progressione aritmetica
La domanda «un numero è un termine della progressione?» si risolve con un'equazione. Il numero appartiene alla progressione se e solo se il suo indice \(n\) risulta naturale: 1, 2, 3 e così via. Un \(n\) frazionario o non positivo significa che quel termine non esiste.
Esempio 1. Il numero 99 appartiene alla progressione 3, 7, 11, 15, 19, …? La formula del termine n-esimo qui è \(a_n = 4n - 1\), quindi risolviamo \(4n - 1 = 99\), da cui \(4n = 100\) e \(n = 25\). L'indice è naturale — significa che 99 è nella progressione, è il venticinquesimo termine.
Esempio 2. E il numero 2026? Da \(4n - 1 = 2026\) otteniamo \(4n = 2027\) e \(n = 506{,}75\). L'indice è frazionario, quindi 2026 non è un termine di questa progressione.
Un suggerimento utile per una stima rapida: nella progressione con formula \(a_n = 4n - 1\) tutti i termini divisi per 4 danno resto 3. Il numero 2026 dà resto 2, quindi «manca» la progressione.
Esercizi tipici d'esame sulla progressione aritmetica
Nell'esame di matematica le progressioni compaiono ogni anno, e quasi tutti i compiti si riducono a quattro tipologie.
Trovare un termine dato l'indice. Dati \(a_1\) e \(d\) (o i primi termini) — sostituiamo in \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Trovare l'indice dato il valore. Dato un numero — lo uguagliamo alla formula del termine n-esimo e risolviamo l'equazione per \(n\).
Trovare la somma. Calcoliamo \(S_n\) con una delle due formule; se manca \(a_n\) — lo troviamo prima.
Trovare il numero di termini. Dalla formula del termine n-esimo si ottiene una conseguenza comoda: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Un caso a parte è il problema testuale, dove la progressione è nascosta nella trama. Ad esempio: il primo giorno un operaio ha prodotto 12 pezzi, e ogni giorno successivo 3 pezzi in più del precedente; quanti pezzi produrrà in 15 giorni? Qui \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Calcoliamo l'ultimo termine: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Allora \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) pezzi.
Il consiglio principale per questi esercizi: scrivi prima in una riga separata cosa è dato (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) e cosa bisogna trovare. Metà degli errori all'esame non avviene per le formule, ma perché si confonde l'indice con il valore del termine.
Progressione aritmetica e geometrica: qual è la differenza
Entrambe le progressioni sono regole con cui da un termine si ottiene il successivo. La differenza sta nell'operazione: nella aritmetica si aggiunge allo stesso termine un numero costante \(d\), nella geometrica si moltiplica per un numero costante \(q\), chiamato ragione della progressione.
Da qui il comportamento diverso. La progressione aritmetica cresce uniformemente, «a gradini»: 3, 7, 11, 15 — ogni passo aggiunge 4. La geometrica cresce a valanga: 3, 6, 12, 24 — ogni passo raddoppia il numero, e già dopo dieci passi il termine sarà superiore a millecinquecento.
Verificare il tipo di successione è semplice: calcola le differenze dei termini vicini e i loro rapporti. Differenze uguali — progressione aritmetica, rapporti uguali — geometrica. Se non coincide né l'una né l'altra, davanti a te c'è solo una successione: ad esempio, 1, 4, 9, 16 — sono i quadrati dei numeri naturali, e non è una progressione (le differenze 3, 5, 7 sono diverse, anche i rapporti lo sono).
Nel programma scolastico entrambi gli argomenti si studiano in terza media, quindi le formule si confondono facilmente. Tieni a mente questo punto fermo: nell'aritmetica la ragione \(d\) si sottrae, nella geometrica la ragione \(q\) si divide. Tutto il resto sono conseguenze.
Esempi di risoluzione di esercizi sulla progressione aritmetica
Esempio 1. Trovare il primo termine e la ragione dati due termini
Dato. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Trovare \(a_1\), \(d\) e \(a_{20}\).
Passo 1. Dal terzo al settimo termine ci sono esattamente \(7 - 3 = 4\) passi, in ognuno si aggiunge \(d\). Quindi \(a_7 = a_3 + 4d\), ovvero \(30 = 14 + 4d\), da cui \(4d = 16\) e \(d = 4\).
Passo 2. Torniamo indietro al primo termine: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Passo 3. Scriviamo la formula del termine n-esimo: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Passo 4. Calcoliamo il termine richiesto: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Verifica. Scriviamo l'inizio della progressione: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Il terzo termine è 14, il settimo 30 — coincide.
Risposta: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Esempio 2. Somma dei primi 30 termini (entrambe le formule)
Dato. Progressione \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Trovare \(S_{30}\).
Passo 1. Determiniamo i parametri: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Passo 2. Troviamo il trentesimo termine: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Passo 3. Calcoliamo con la prima formula: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Passo 4. Verifica con la seconda formula. Prima il numeratore: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Poi come nel terzo passo: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Entrambe le vie hanno dato 1155 — significa che l'aritmetica è corretta.
Risposta: \(S_{30} = 1155\).
Esempio 3. Somma di tutti i numeri a due cifre multipli di 7
Esercizio. Trovare la somma di tutti i numeri a due cifre divisibili per 7.
Passo 1. Tali numeri formano essi stessi una progressione aritmetica con ragione 7. Il più piccolo multiplo di sette a due cifre è 14, il più grande è 98 (il successivo, 105, è già a tre cifre). Otteniamo \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Passo 2. Calcoliamo il numero di termini: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Passo 3. Calcoliamo la somma: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Passo 4. Verifica con la seconda formula. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Risposta: 728.
Esempio 4. Verificare se un numero appartiene alla progressione
Esercizio. Il numero 145 è un termine della progressione \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? E il numero 142?
Passo 1. Parametri della progressione: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), quindi \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Passo 2. Verifichiamo 145: l'equazione \(5n + 2 = 145\) dà \(5n = 143\) e \(n = 28{,}6\). L'indice è frazionario, quindi 145 non è un termine della progressione.
Passo 3. Verifichiamo 142: \(5n + 2 = 142\), da cui \(5n = 140\) e \(n = 28\). L'indice è naturale — il numero appartiene.
Passo 4. Verifica per sostituzione. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Corretto.
Risposta: 145 non appartiene alla progressione; 142 appartiene ed è il suo 28-esimo termine.
Esempio 5. Proprietà caratteristica con termini letterali
Esercizio. Per quale valore di \(x\) i numeri \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) sono tre termini consecutivi di una progressione aritmetica?
Passo 1. Per la proprietà caratteristica il doppio del termine medio è uguale alla somma degli estremi:
Passo 2. Svolgiamo le parentesi: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Passo 3. Risolviamo: \(2 + 4 = 5x - 4x\), cioè \(x = 6\).
Passo 4. Verifica. Sostituiamo \(x = 6\): primo termine \(6 - 3 = 3\), secondo \(2\cdot 6 + 1 = 13\), terzo \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Ragioni: \(13 - 3 = 10\) e \(23 - 13 = 10\) — uguali.
Risposta: \(x = 6\), progressione 3, 13, 23 con ragione 10.
Esempio 6. Quanti termini negativi ci sono nella progressione
Esercizio. Quanti termini negativi ha la progressione \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Passo 1. Parametri: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formula del termine n-esimo: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Passo 2. Scriviamo la condizione «il termine è negativo»: \(3n - 24 < 0\), da cui \(3n < 24\) e \(n < 8\).
Passo 3. Gli indici sono naturali, quindi vanno bene \(n = 1, 2, \dots, 7\) — in totale sette termini.
Passo 4. Verifica del limite. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativo. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — lo zero non è un numero negativo, quindi l'ottavo termine non lo contiamo. \(a_9 = 3\) — positivo.
Risposta: sette termini negativi.
Errori comuni negli esercizi sulla progressione aritmetica
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Nella formula del termine n-esimo scrivono $a_n = a_1 + nd$ invece di $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Dal primo termine all'n-esimo si fa un passo in meno rispetto all'indice. Per la progressione \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) il decimo termine è \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), non 45. Verifica rapida della formula: sostituisci \(n = 1\) — dovrebbe risultare esattamente \(a_1\).
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La ragione viene calcolata al contrario: $d = a_1 - a_2$, e il segno risulta opposto.
La ragione è il termine successivo meno quello precedente: \(d = a_2 - a_1\). Per la progressione \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) è corretto \(d = 34 - 40 = -6\). Il segno meno qui non è un errore, ma un segno di progressione decrescente.
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Nella formula della somma si dimenticano di dividere per 2 o di moltiplicare per $n$: scrivono $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Si sommano coppie «primo con ultimo», ce ne sono esattamente \(\dfrac{n}{2}\), quindi dividere per 2 è obbligatorio. Per la progressione \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) abbiamo \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) e \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), non 670.
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Durante la verifica dell'appartenenza di un numero ottengono $n = 0$ o un $n$ negativo e rispondono comunque «appartiene».
L'indice di un termine è un numero naturale, il conteggio parte da uno. Ad esempio, per la progressione \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) l'equazione \(10 + 4(n-1) = 6\) dà \(n = 0\), il che significa che 6 non appartiene alla progressione: questo numero starebbe prima del primo termine.
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Confondono ciò che è stato trovato: sostituiscono il valore del termine dove serve il suo indice, e viceversa.
\(a_n\) — è il valore, \(n\) — è l'indice. Se nell'esercizio chiedono «qual è il termine che vale 142», la risposta sarà 28, non 142. Abitudine utile: scrivere prima di risolvere la riga «dato: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), trovare: \(n\)».
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Pensano che la progressione debba crescere e consistere di numeri interi.
La ragione può essere negativa (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), frazionaria (1; 1,5; 2; 2,5) e persino nulla (8, 8, 8, …). Tutti e tre i casi sono progressioni aritmetiche legittime, e tutte le formule funzionano senza modifiche.
Domande e risposte
Cos'è una progressione aritmetica in parole semplici?
È una successione di numeri in cui ogni numero successivo si ottiene dal precedente aggiungendo lo stesso numero \(d\) — la ragione della progressione. Ad esempio, 3, 7, 11, 15, 19, … — una progressione con primo termine 3 e ragione 4.
Qual è la formula del termine n-esimo di una progressione aritmetica?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine, \(d\) è la ragione, \(n\) è l'indice. Se non è noto il primo, ma un altro termine, funziona la forma generale \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Come trovare la ragione di una progressione aritmetica?
Sottrai dal termine precedente quello successivo: \(d = a_n - a_{n-1}\). Se sono dati due termini con indici diversi, usa \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Ad esempio, con \(a_5 = 23\) e \(a_9 = 43\) otteniamo \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), e il primo termine è \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Come trovare il primo termine di una progressione aritmetica?
Dalla formula del termine n-esimo: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Ad esempio, se \(a_{12} = 60\) e \(d = 4\), allora \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Verifica: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Come trovare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?
Con la formula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), se è noto l'ultimo termine, o con la formula \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), se sono noti solo il primo termine e la ragione. Entrambe danno lo stesso risultato, quindi la seconda è utile per verificare la prima.
Come trovare il numero di termini di una progressione aritmetica?
Dalla formula del termine n-esimo: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Ad esempio, nella progressione \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) la ragione è 5, quindi \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) termini.
In cosa differisce la progressione aritmetica da quella geometrica?
Nell'aritmetica a ogni termine si aggiunge la ragione \(d\), mentre nella geometrica ogni termine si moltiplica per la ragione \(q\). Formule del termine n-esimo: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) contro \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Per determinare il tipo, calcola le differenze dei termini vicini e i loro rapporti: differenze uguali — aritmetica, rapporti uguali — geometrica.
La ragione può essere negativa o uguale a zero?
Sì. Con \(d < 0\) la progressione decresce (ad esempio, 20, 17, 14, 11), con \(d = 0\) tutti i termini sono uguali (6, 6, 6, …) — è una progressione costante. La ragione può essere anche frazionaria: 1; 1,5; 2; 2,5 — è comunque una progressione aritmetica.
In che classe si studia la progressione aritmetica?
In terza media durante le lezioni di algebra, insieme alla progressione geometrica e alle successioni numeriche. Gli esercizi sulle progressioni fanno parte dell'esame: solitamente è richiesto di trovare un termine dato l'indice, l'indice dato il valore, il numero di termini o la somma dei primi \(n\) termini.
