Una disequazione è due espressioni collegate da un segno <, >, ≤ o ≥. Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori della variabile per cui essa si trasforma in una corretta disequazione numerica. La risposta non sarà un singolo numero, ma un intero insieme: un intervallo sull'asse numerico o l'unione di intervalli. Questa pagina raccoglie le basi comuni a tutti i tipi di disequazioni: come leggere i segni, quali trasformazioni sono permesse, perché il segno si inverte quando si divide per un numero negativo e come scrivere correttamente la risposta. E poi — una panoramica di tutti i tipi di disequazioni con link ad analisi dettagliate e un allenatore per mettersi alla prova.
Cosa significa risolvere una disequazione
La soluzione di una disequazione è qualsiasi valore della variabile che la trasforma in una corretta disequazione numerica. Risolvere una disequazione significa trovare tutti questi valori e scriverli come un insieme.
Confronta con un'equazione. Per l'equazione 2x = 8 la risposta è un numero singolo x = 4. Per la disequazione 2x < 8 la risposta sono infiniti numeri: vanno bene sia 3, sia 0, sia -100, sia 3,999. Scriverli uno per uno è impossibile, quindi la risposta viene espressa come un intervallo: x < 4, cioè (-∞; 4).
Verificare se un numero specifico è una soluzione è facile: sostituiscilo alla variabile e guarda se ottieni una disequazione corretta.
- x = 1 nella disequazione 2x < 8: 2 ⋅ 1 = 2 < 8 — corretto, quindi 1 è una soluzione.
- x = 5: 2 ⋅ 5 = 10 < 8 — errato, quindi 5 non è una soluzione.
Due disequazioni sono dette equivalenti se hanno gli stessi insiemi di soluzioni. Tutta la risoluzione di una disequazione è una catena di passaggi a una disequazione equivalente più semplice, finché a sinistra non rimane solo la x.
Segni delle disequazioni: stretti e non stretti
Ci sono quattro segni, e da quello che si trova dipende sia la risposta che la sua scrittura. I segni stretti < e > non includono il punto di confine nella risposta, i segni non stretti ≤ e ≥ — lo includono.
Questa differenza si ripercuote su tutta la risoluzione: un segno stretto porta a un punto vuoto (non incluso) sull'asse e una parentesi tonda nella risposta, un segno non stretto — a un punto pieno (incluso) e una parentesi quadra.
| Segno | Come si legge e cosa dà nella risposta |
|---|---|
| < | minorestrettopunto vuoto, parentesi tonda |
| > | maggiorestrettopunto vuoto, parentesi tonda |
| ≤ | minore o ugualenon strettopunto pieno, parentesi quadra |
| ≥ | maggiore o ugualenon strettopunto pieno, parentesi quadra |
Trasformazioni equivalenti: cosa si può fare con una disequazione
Con una disequazione si può fare quasi tutto ciò che si fa con un'equazione, ma con una differenza importante. Si può sommare e sottrarre liberamente: se si aggiunge o si sottrae la stessa quantità ad entrambe le parti, l'insieme delle soluzioni non cambia. È così che i termini vengono "spostati" attraverso il segno, cambiandone il segno da più a meno.
Moltiplicare e dividere, invece, dipende dal segno del moltiplicatore. Moltiplicando o dividendo entrambe le parti per un numero negativo, il segno della disequazione si inverte: < diventa >, ≤ diventa ≥ e viceversa. La ragione è visibile sui numeri: da 3 < 5, che è corretta, dopo aver moltiplicato per -1 si ottiene -3 e -5, e -3 > -5 — l'ordine dei numeri si è invertito.
Lo stesso accade se si scambiano la parte sinistra e destra: da 7 < y si ottiene y > 7.
| Cosa facciamo ad entrambe le parti | Cosa succede al segno |
|---|---|
| Aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità o espressione | il segno rimane |
| Moltiplichiamo o dividiamo per un numero positivo | il segno rimane |
| Moltiplichiamo o dividiamo per un numero negativo | il segno cambia |
| Scambiamo la parte sinistra e destra | il segno cambia |
| Moltiplichiamo o dividiamo per un'espressione con variabile (x − 2) | non si può fare |
Come scrivere la risposta: asse numerico e intervalli
Quando la variabile rimane da sola, la soluzione è quasi pronta — resta solo da scriverla. Il modo più comodo è prima segnare la risposta sull'asse numerico, e poi da lì calcolare l'intervallo.
Ci sono solo tre regole di scrittura, e non cambiano a seconda del tipo di disequazione:
- parentesi tonda — il punto non è incluso nella risposta (segno stretto, punto vuoto);
- parentesi quadra — il punto è incluso (segno non stretto, punto pieno);
- vicino all'infinito la parentesi è sempre tonda: (-∞; 4), [3; +∞) — non esistono scritture del tipo [-∞; 4], l'infinito non è un numero e non può essere raggiunto.
Se la soluzione risulta essere due pezzi dell'asse, si uniscono con il segno di unione ∪: ad esempio, (-∞; -5) ∪ (3; +∞).
Tipi di disequazioni e metodi per risolverle
Le disequazioni si distinguono in base a come entra la variabile — se è al primo grado, sotto un quadrato, al denominatore o sotto valore assoluto. Questo determina il metodo di risoluzione, quindi il primo passo di ogni soluzione è identificare il tipo di disequazione. La logica generale è sempre la stessa: portare la disequazione alla forma "espressione confrontata con zero", e poi applicare la tecnica appropriata per quel tipo. La tabella sottostante riassume i tipi e i metodi.
Separatamente, vale la pena ricordare come si risolve il valore assoluto — la tabella non lo include. Per a > 0, la disequazione |f(x)| < a è equivalente alla doppia disequazione -a < f(x) < a (si ottiene un sistema), mentre |f(x)| > a è equivalente all'unione f(x) < -a o f(x) > a (si ottiene un'unione di intervalli). Se invece a < 0, non c'è nulla da pensare: il valore assoluto è non negativo, quindi |f(x)| < a non ha soluzioni, mentre |f(x)| > a è vera per tutti gli x ammissibili.
Le disequazioni irrazionali (con radici) e esponenziali vengono trattate nelle scuole superiori: alle trasformazioni ordinarie si aggiunge il lavoro con il dominio dei valori ammissibili.
Analisi dettagliate dei singoli tipi: disequazioni lineari, disequazioni razionali e metodo degli intervalli, e le radici di un trinomio quadratico si trovano comodamente con il teorema di Viète.
| Tipo | Come appare e come si risolve |
|---|---|
| Lineare | ax + b > 0spostiamo i termini e dividiamo per il coefficiente della x |
| Quadratica | ax2 + bx + c > 0troviamo le radici del trinomio e guardiamo la parabola |
| Fratta-razionale | P(x) / Q(x) ≥ 0metodo degli intervalli, i zeri del denominatore vanno esclusi |
| Con valore assoluto | | f(x) | < arisolviamo il valore assoluto per definizione |
| Sistema | due disequazioni in una graffarisolviamo ciascuna, prendiamo l'intersezione |
Sistemi e unioni di disequazioni
Spesso una disequazione si scompone in due, ed è importante non confondere cosa fare con gli insiemi ottenuti.
Un sistema (parentesi graffa) significa "sia l'una che l'altra contemporaneamente". Risolviamo ciascuna disequazione separatamente, segniamo entrambe le risposte su un unico asse e prendiamo l'intersezione — la parte comune. Se non c'è parte comune, il sistema non ha soluzioni.
Un'unione (parentesi quadra) significa "o l'una o l'altra". Qui si prende l'unione — tutto ciò che è colorato da almeno una delle risposte. Un'unione compare, ad esempio, quando si risolve un valore assoluto con il segno "maggiore".
Separatamente, c'è la doppia disequazione del tipo -3 < 2x + 1 ≤ 7: questa è una scrittura abbreviata di un sistema. Le trasformazioni si eseguono su tutte e tre le parti contemporaneamente — si sottrae, si divide, e dividendo per un numero negativo si invertono entrambi i segni.
Esempi di risoluzione di disequazioni
Esempio 1. Verificare se un numero è soluzione
Compito. x = -1 è soluzione della disequazione 3x + 5 ≥ 1?
Passo 1. Sostituiamo -1 al posto di x: 3 ⋅ (-1) + 5 = -3 + 5 = 2.
Passo 2. Confrontiamo con il lato destro: 2 ≥ 1 — disequazione numerica corretta.
Risposta. Sì, -1 è una delle soluzioni. Ma risolvere una disequazione significa trovare tutti questi numeri, non uno solo: qui la risposta è x ≥ -4/3.
Esempio 2. Disequazione lineare con cambio di segno
Compito. Risolvere 7 - 3x < 1.
Passo 1. Spostiamo 7 a destra (cioè sottraiamo 7 da entrambe le parti — il segno della disequazione non cambia): -3x < 1 - 7, quindi -3x < -6.
Passo 2. Dividiamo entrambe le parti per -3. Il divisore è negativo, quindi il segno si inverte: x > 2.
Passo 3. Segniamo sull'asse: punto vuoto in 2, coloriamo tutto verso destra.
Risposta. x > 2, cioè x ∈ (2; +∞).
Esempio 3. Disequazione quadratica
Compito. Risolvere x² - 4x - 5 ≤ 0.
Passo 1. Troviamo le radici del trinomio: D = 16 + 20 = 36, √D = 6, da cui x₁ = -1, x₂ = 5.
Passo 2. Il coefficiente di x² è positivo, quindi i rami della parabola sono rivolti verso l'alto: tra le radici il trinomio è negativo, fuori dalle radici — positivo.
Passo 3. Ci serve il segno ≤ 0, cioè i valori negativi e le radici stesse (segno non stretto) — prendiamo il segmento tra le radici inclusi gli estremi.
Risposta. x ∈ [-1; 5].
Esempio 4. Disequazione con valore assoluto
Compito. Risolvere |x + 1| > 4.
Passo 1. Il valore assoluto è maggiore di un numero positivo — significa che l'espressione sotto il valore assoluto è o maggiore di 4, o minore di -4. Otteniamo un'unione: x + 1 > 4 oppure x + 1 < -4.
Passo 2. Risolviamo ciascuna: dalla prima x > 3, dalla seconda x < -5.
Passo 3. Questa è un'unione, quindi prendiamo l'unione degli intervalli, non l'intersezione.
Risposta. x ∈ (-∞; -5) ∪ (3; +∞).
Esempio 5. Sistema di disequazioni
Compito. Risolvere il sistema ⎧ 2x + 1 > -3 ⎨ x - 4 ≤ 0 ⎩
Passo 1. Prima disequazione: 2x > -4, dividiamo per il positivo 2 — il segno rimane, x > -2.
Passo 2. Seconda disequazione: x ≤ 4.
Passo 3. Segniamo entrambe le risposte su un unico asse e prendiamo l'intersezione — la parte colorata due volte. Il confine sinistro non è incluso (segno stretto), il destro è incluso (non stretto).
Risposta. x ∈ (-2; 4].
Errori comuni nella risoluzione delle disequazioni
-
Hanno diviso entrambe le parti per un numero negativo e hanno lasciato lo stesso segno.
Quando si moltiplicano o dividono entrambe le parti per un numero negativo, il segno cambia obbligatoriamente in quello opposto. Da -5x ≥ 10 si ottiene x ≤ -2, non x ≥ -2. Ci si può verificare con la sostituzione: x = -3 dà 15 ≥ 10 — corretto, quindi la risposta corretta è effettivamente "minore o uguale".
-
Scrivono una parentesi quadra vicino all'infinito: [-∞; 7].
L'infinito non è un numero, non si può "raggiungere", quindi la parentesi vicino a ∞ è sempre tonda: (-∞; 7]. La parentesi quadra si usa solo per un confine finito che è incluso nella risposta.
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Confondono il tipo di parentesi e il tipo di punto: usano la parentesi quadra per un segno stretto.
Segno stretto (<, >) — il confine non è incluso: punto vuoto e parentesi tonda. Segno non stretto (≤, ≥) — il confine è incluso: punto pieno e parentesi quadra. La verifica è semplice: sostituisci il punto di confine stesso nella disequazione originale e guarda se ottieni una disequazione corretta.
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Moltiplicano entrambe le parti per un'espressione con variabile per "eliminare la frazione".
Il segno di tale espressione è sconosciuto, quindi non è chiaro se invertire il segno della disequazione o meno — la trasformazione non è equivalente. Invece, si sposta tutto in un'unica parte, si riduce a un'unica frazione e si applica il metodo degli intervalli.
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Scrivono un singolo numero come risposta: "x = 3" invece di un insieme.
La soluzione di una disequazione è un insieme di valori. Scrivila come intervallo: x > 3, cioè (3; +∞). Un singolo numero può essere solo un elemento della risposta, non la risposta stessa.
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Per un sistema prendono l'unione, e per un'unione prendono l'intersezione.
Per un sistema (parentesi graffa, "e") — intersezione, la parte comune degli intervalli. Per un'unione (parentesi quadra, "o") — unione tramite il segno ∪. E inoltre: una scrittura del tipo "-2 < x > 5" non ha senso — una tale risposta si scrive come unione di due intervalli.
Domande e risposte
Cosa significa risolvere una disequazione?
Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori della variabile per cui essa si trasforma in una corretta disequazione numerica, e scriverli come un insieme. La risposta sarà un intervallo o un'unione di intervalli, non un numero singolo.
Quali tipi di disequazioni esistono?
In base all'espressione con la variabile, si distinguono disequazioni lineari (ax + b > 0), quadratiche (ax² + bx + c > 0), fratte-razionali (variabile al denominatore), con valore assoluto, irrazionali ed esponenziali. Separatamente si distinguono sistemi e unioni di disequazioni. In base al segno, si dividono in strette (<, >) e non strette (≤, ≥).
Quando il segno della disequazione si inverte?
In due casi: quando entrambe le parti vengono moltiplicate o divise per un numero negativo, e quando le parti sinistra e destra vengono scambiate. Nell'addizione, sottrazione e divisione per un numero positivo, il segno rimane invariato.
Quando la parentesi è tonda e quando è quadra?
Tonda — se il punto di confine non è incluso nella risposta (segno stretto, punto vuoto sull'asse). Quadra — se è incluso (segno non stretto, punto pieno). Vicino a +∞ e -∞ la parentesi è sempre tonda.
In cosa differisce la soluzione di una disequazione da quella di un'equazione?
Le trasformazioni sono quasi le stesse, ma per un'equazione la risposta di solito consiste in numeri singoli, mentre per una disequazione — in interi intervalli. Inoltre, una disequazione ha la regola del cambio di segno quando si moltiplica o divide per un numero negativo, cosa che le equazioni non hanno.
Quale disequazione è considerata fratta e dove viene trattata?
Una disequazione è detta fratta (fratta-razionale) quando la variabile si trova al denominatore, ad esempio P(x)/Q(x) ≥ 0; a causa del denominatore, essa ha un dominio di valori ammissibili e non può essere risolta con una semplice divisione. L'algoritmo passo-passo con esempi si trova in un materiale separato disequazioni razionali e metodo degli intervalli.
In quale classe si studiano le disequazioni?
Le disequazioni lineari e gli intervalli numerici si studiano in 8ª classe (secondo il curriculum di Merzlyak — in 9ª), le disequazioni quadratiche e fratte-razionali con il metodo degli intervalli — in 8ª-9ª classe, e quelle irrazionali ed esponenziali — nelle scuole superiori.
