La formula quadratica risolve qualsiasi equazione di secondo grado nella forma \(ax^2 + bx + c = 0\) (con \(a \neq 0\)). Le sue radici sono date da \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). In questa pagina vedrai cosa significa ogni parte, come usare la formula passo dopo passo, come il discriminante ti dice quante soluzioni aspettarti e vedrai esempi completamente risolti, oltre a un trainer interattivo per fare pratica subito.
Cos'è la formula quadratica
Un'equazione di secondo grado è qualsiasi equazione che puoi scrivere nella forma standard \(ax^2 + bx + c = 0\), dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono numeri e \(a \neq 0\). I numeri \(a\), \(b\) e \(c\) sono chiamati coefficienti: \(a\) è il coefficiente di \(x^2\), \(b\) è il coefficiente di \(x\) e \(c\) è il termine noto.
La formula quadratica fornisce le soluzioni (le radici) direttamente da questi tre coefficienti, senza bisogno di scomporre. Funziona per ogni equazione di secondo grado, anche per quelle che non si scompongono facilmente.
Da dove deriva (dimostrazione): la formula è ciò che ottieni completando il quadrato nell'equazione generale. Dividi \(ax^2 + bx + c = 0\) per \(a\), sposta il termine noto, aggiungi \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) a entrambi i lati per creare un quadrato perfetto ed estrai la radice quadrata. Il risultato è la formula singola qui sotto, valida per qualsiasi \(a\), \(b\), \(c\).
Il discriminante: quante radici
La parte sotto la radice quadrata, \(b^2 - 4ac\), è chiamata discriminante (spesso scritto \(D\)). Non hai bisogno di completare l'intera formula per sapere quante soluzioni ha un'equazione: il segno del discriminante te lo dice immediatamente.
Poiché non puoi estrarre la radice quadrata reale di un numero negativo, il segno di \(D\) divide ogni equazione di secondo grado in esattamente tre casi: due radici, una radice doppia o nessuna radice reale. Su un grafico, questo è il punto in cui la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) incontra l'asse x: due volte, una volta (nel vertice) o per nulla.
| Discriminante D = b² − 4ac | Radici reali | Cosa ottieni |
|---|---|---|
| D > 0 | Due radici reali distinte | La parabola attraversa l'asse x due volte. Usa entrambi i segni: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Una radice reale (doppia) | La parabola tocca l'asse x nel suo vertice. Il ± scompare: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Nessuna radice reale | La parabola non tocca mai l'asse x. Non esiste radice quadrata reale di un numero negativo. |
Come usare la formula quadratica: passaggi
La formula quadratica funziona sempre allo stesso modo. Segui questi cinque passaggi in ordine e non ti deluderà mai: la parte più difficile è solo leggere correttamente i coefficienti (con i loro segni).
Esempi di formula quadratica (passo dopo passo)
Esempio 1. Due radici reali (D > 0)
Risolvi \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Passaggio 1–2. È già in forma standard, quindi leggi i coefficienti: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Passaggio 3. Discriminante: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Passaggio 4. \(D = 25 > 0\), quindi ci sono due radici reali distinte.
Passaggio 5. Sostituisci: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Usando il segno più: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Usando il segno meno: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Radici: \(x = 3\) e \(x = \tfrac{1}{2}\).
Esempio 2. Una radice doppia (D = 0)
Risolvi \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Passaggio 1–2. Già in forma standard: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Passaggio 3. Discriminante: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Passaggio 4. \(D = 0\), quindi c'è esattamente una radice reale (una radice doppia). Il termine \(\pm\) svanisce perché \(\sqrt{0} = 0\).
Passaggio 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Radice: \(x = 3\) (questa equazione è il quadrato perfetto \((x-3)^2 = 0\)).
Esempio 3. Nessuna radice reale (D < 0)
Risolvi \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Passaggio 1–2. Forma standard: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Passaggio 3. Discriminante: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Passaggio 4. \(D = -16 < 0\). Poiché non puoi estrarre la radice quadrata reale di un numero negativo, questa equazione non ha nessuna radice reale: la sua parabola non attraversa mai l'asse x.
Passaggio 5. Non è necessario ulteriore lavoro per soluzioni reali. (Se hai incontrato i numeri complessi, le radici sono \(x = -1 \pm 2i\), ma per una risposta reale ci fermiamo qui.)
Errori comuni con la formula quadratica
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Sbagliare il segno di b, specialmente quando b è negativo.
La formula inizia con −b. Se b = −7, allora −b = +7: i due segni meno si annullano. Scrivi la sostituzione per intero, es. −(−7), prima di semplificare.
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Dimenticare il ± e riportare solo una radice.
Quando D > 0 il ± produce due risposte: una con + e una con −. Calcola sempre sia (−b + √D)/(2a) che (−b − √D)/(2a) a meno che D = 0.
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Dividere solo una parte del numeratore per 2a.
L'intero numeratore, −b ± √D, è diviso per 2a, non solo la parte con √D. Mantienilo come un'unica frazione: (−b ± √D) / (2a).
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Calcolare il discriminante in modo errato quando a o c sono negativi.
In D = b² − 4ac, sottrarre 4ac quando a·c è negativo in realtà aggiunge. Per 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, quindi D = 4 + 12 = 16, non 4 − 12.
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Applicare la formula prima di scrivere l'equazione in forma standard.
Sposta ogni termine su un lato in modo che l'equazione si legga ax² + bx + c = 0 per prima. Ad esempio, x² = 5x − 6 deve diventare x² − 5x + 6 = 0 prima di leggere a, b, c.
Domande frequenti
Cos'è la formula quadratica?
La formula quadratica è x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Fornisce le soluzioni di qualsiasi equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) direttamente dai coefficienti a, b e c.
Come si usa la formula quadratica passo dopo passo?
Scrivi l'equazione in forma standard ax² + bx + c = 0, identifica a, b e c con i loro segni, calcola il discriminante D = b² − 4ac, controlla il suo segno per vedere quante radici ci sono, quindi sostituisci in x = (−b ± √D) / (2a) e semplifica sia la versione con il più che quella con il meno.
Cos'è il discriminante e perché è importante?
Il discriminante è D = b² − 4ac, l'espressione sotto la radice quadrata. Il suo segno ti dice il numero di radici reali senza finire il calcolo: D > 0 dà due radici reali, D = 0 dà una radice doppia e D < 0 non dà radici reali.
Quando dovrei usare la formula quadratica invece della scomposizione?
La scomposizione è veloce quando l'equazione si scompone con piccoli numeri interi. La formula quadratica funziona per ogni equazione di secondo grado, incluse quelle che non si scompongono facilmente o che hanno radici irrazionali o non intere, quindi è l'alternativa affidabile ogni volta che la scomposizione non è ovvia.
Da dove viene la formula quadratica?
Deriva dal completamento del quadrato nell'equazione generale ax² + bx + c = 0: dividi per a, completa il quadrato aggiungendo (b/2a)², riscrivi il lato sinistro come un quadrato perfetto ed estrai la radice quadrata di entrambi i lati. Il risultato è la formula quadratica.
La formula quadratica può non dare alcuna risposta?
Se il discriminante è negativo (D < 0), non c'è soluzione reale perché non puoi estrarre la radice quadrata reale di un numero negativo. L'equazione ha ancora due radici complesse, ma non ci sono radici reali: su un grafico la parabola semplicemente non tocca mai l'asse x.
