La variazione percentuale indica di quale frazione del valore iniziale una quantità è aumentata o diminuita. Si calcola con un'unica formula: (nuovo - vecchio) ÷ vecchio × 100%. In questa pagina analizzeremo ogni parte della formula, vedremo esempi pratici con prezzi, stipendi e sconti, esamineremo le trappole più comuni e potrai esercitarti subito con un trainer interattivo per consolidare l'argomento.
Cos'è la variazione percentuale
La variazione percentuale è un modo per esprimere quanto è cambiata una quantità come frazione del suo valore iniziale. Si usa per confrontare prezzi, stipendi, numero di follower, risultati di test: qualsiasi coppia di numeri 'prima' e 'dopo'.
Perché usare le percentuali e non, ad esempio, gli euro o le unità? La variazione assoluta non dice nulla sulla scala. Un aumento di 10 € è molto significativo per un prodotto che costa 50 € (è un quinto del prezzo!), ma quasi impercettibile per un prodotto da 1000 € (solo un centesimo). Le percentuali riportano la variazione a una scala comune e permettono un confronto equo: +20% è sempre +20%, sia per una gomma da masticare che per un appartamento.
La formula della variazione percentuale
Il calcolo si svolge sempre in due passaggi:
- Trova la variazione assoluta — sottrai il valore vecchio da quello nuovo: \(\Delta = \text{nuovo} - \text{vecchio}\).
- Dividi la variazione per il valore vecchio e moltiplica per 100% — ottieni la variazione percentuale.
L'elemento più importante nella formula è la base: si divide sempre per il valore vecchio (iniziale), perché il confronto è con ciò che c'era prima. Dividere per il valore nuovo è l'errore più comune in questo argomento.
Aumento o diminuzione: cosa indica il segno del risultato
La formula stessa suggerisce la direzione della variazione. Se il valore nuovo è maggiore del vecchio, la differenza è positiva: la quantità è aumentata. Se è minore, la differenza è negativa: la quantità è diminuita. Quando si risponde alla domanda 'di quale percentuale è diminuito?', il segno 'meno' di solito si omette: si dice 'è diminuito del 5%', non 'è variato del -5%'.
Non confondere le domande 'di quale percentuale?' e 'di quante volte?': sono calcoli diversi. 'Di quale percentuale' si calcola con la formula della variazione, mentre 'di quante volte' si ottiene semplicemente dividendo il valore nuovo per quello vecchio.
Come aumentare o diminuire un prezzo del 10 percento: il problema inverso
Spesso il problema è inverso: la percentuale è nota e bisogna trovare il valore nuovo (o vecchio). In questo caso è comodo usare il coefficiente di variazione:
- aumentare del \(p\%\) — moltiplicare per \(1 + \frac{p}{100}\). Aumentare un prezzo di 1200 € del 25%: \(1200 \times 1,25 = 1500\) €;
- diminuire del \(p\%\) — moltiplicare per \(1 - \frac{p}{100}\). Sconto del 25% su 1200 €: \(1200 \times 0,75 = 900\) €;
- ripristinare il valore vecchio — dividere il valore nuovo per lo stesso coefficiente: se dopo un aumento del 25% un prodotto costa 1500 €, prima costava \(1500 \div 1,25 = 1200\) €.
Il coefficiente evita passaggi superflui: non c'è bisogno di calcolare separatamente 'a quanto corrisponde in euro' e poi sommare; una sola moltiplicazione dà subito la risposta.
Percentuali e punti percentuali: qual è la differenza
Quando cambia una quantità che è già espressa in percentuale (tasso di interesse, affluenza alle urne, quota di mercato), ci sono due modi diversi per descrivere la variazione:
- punti percentuali (p.p.) — la semplice differenza: il tasso era del 10%, è diventato del 12% → è aumentato di 2 punti percentuali;
- percentuali — la variazione relativa calcolata con la solita formula: \((12 - 10) \div 10 \times 100\% = 20\%\) → il tasso è aumentato del 20 percento.
Entrambe le affermazioni sono corrette e descrivono lo stesso evento, ma i numeri sono diversi. Per questo motivo, nelle notizie e nella pubblicità, a volte si usa questo meccanismo per far sembrare la variazione più grande o più piccola. Controlla sempre se si parla di punti o di percentuali.
La trappola: +50% e poi -50% non fa zero
Le percentuali calcolate su basi diverse non possono essere sommate o sottratte come numeri normali. Se una quantità aumenta del \(p\%\) e poi diminuisce dello stesso \(p\%\), non tornerà al valore iniziale: la diminuzione viene calcolata sulla nuova base, quella aumentata. Il coefficiente totale \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right) = 1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\) è sempre minore di uno, quindi il risultato finale è sempre inferiore a quello di partenza.
Esempi: calcoliamo la variazione percentuale passo dopo passo
Esempio 1. Il prezzo è aumentato: da 500 € a 600 €
Problema. Un libro costava 500 €, ora costa 600 €. Di quale percentuale è aumentato il prezzo?
Passaggio 1. Troviamo la variazione in euro: \(600 - 500 = 100\) €.
Passaggio 2. Dividiamo per il valore vecchio (la base): \(100 \div 500 = 0,2\).
Passaggio 3. Convertiamo la frazione in percentuale: \(0,2 \times 100\% = 20\%\).
Risposta: il prezzo è aumentato del 20%.
Esempio 2. Il canone è diminuito: da 440 € a 418 €
Problema. Il canone mensile per i servizi di comunicazione era di 440 €, ora è di 418 €. Di quale percentuale è diminuito il canone?
Passaggio 1. Variazione: \(418 - 440 = -22\) € — il canone è diminuito di 22 €.
Passaggio 2. Dividiamo per il valore vecchio: \(-22 \div 440 = -0,05\).
Passaggio 3. In percentuale: \(-0,05 \times 100\% = -5\%\).
Risposta: il canone è diminuito del 5%. Il segno 'meno' indica una diminuzione; rispondendo alla domanda 'di quanto è diminuito', si omette.
Esempio 3. Come aumentare un prezzo del 10 percento
Problema. Un prodotto costa 800 €. Il venditore aumenta il prezzo del 10%. Quale sarà il nuovo prezzo?
Soluzione con il coefficiente. Aumentare del 10% significa moltiplicare per \(1 + \frac{10}{100} = 1,1\):
\(800 \times 1,1 = 880\) €.
Verifica con la formula della variazione: \((880 - 800) \div 800 \times 100\% = 10\%\) — torna.
Invece, per diminuire il prezzo del 10% si moltiplica per \(1 - 0,1 = 0,9\): si otterrà \(800 \times 0,9 = 720\) €.
Esempio 4. Problema inverso: quanto costava il prodotto prima dello sconto
Problema. Dopo uno sconto del 20%, una giacca costa 1.440 €. Quanto costava prima dello sconto?
Passaggio 1. Uno sconto del 20% significa che rimane il \(100\% - 20\% = 80\%\) del prezzo originale, quindi il coefficiente è \(0,8\).
Passaggio 2. Dividiamo il nuovo prezzo per il coefficiente: \(1440 \div 0,8 = 1800\) €.
Verifica: \(1800 \times 0,8 = 1440\) € — corretto.
Risposta: prima dello sconto la giacca costava 1.800 €. Un errore comune è aggiungere il 20% al nuovo prezzo (\(1440 \times 1,2 = 1728\) €): non si può fare, perché lo sconto è stato calcolato sul prezzo vecchio, non su quello nuovo.
Errori comuni nel calcolo della variazione percentuale
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Dividere la variazione per il valore nuovo invece che per quello vecchio: (600 − 500) ÷ 600 = 16,7%.
La base è sempre il valore vecchio, perché il confronto si fa con ciò che c'era prima: (600 − 500) ÷ 500 × 100% = 20%. Prima di iniziare il calcolo, stabilisci chiaramente quale dei due numeri è quello iniziale.
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Sommare e sottrarre percentuali calcolate su basi diverse: '+50% e -50% si torna al punto di partenza', 'sconto del 20% e poi un altro 30% fa un totale del 50%'.
Ogni percentuale successiva viene calcolata su una nuova base. Moltiplica i coefficienti: 1,5 × 0,5 = 0,75 (risultato finale -25%); 0,8 × 0,7 = 0,56 (sconto totale del 44%, non del 50%).
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Interpretare 'diminuire del 20%' come 'moltiplicare per 0,2'.
Moltiplicare per 0,2 significa mantenere il 20% del valore (cioè diminuire dell'80%!). Diminuire DEL 20% significa moltiplicare per 1 − 0,2 = 0,8.
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Confondere percentuali e punti percentuali: chiamare un aumento del tasso dal 10% al 12% 'un aumento del 2%'.
'Di 2 punti percentuali' si riferisce alla semplice differenza. In termini percentuali, invece, il tasso è aumentato del (12 − 10) ÷ 10 × 100% = 20%. Per indicare la differenza tra due percentuali, usa la parola 'punti'.
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Confondere 'di quante volte' e 'di quale percentuale': chiamare un aumento di 3 volte un 'aumento del 300%'.
Un aumento di 3 volte corrisponde a un +200%: del 300% del nuovo valore, il 100% è il valore iniziale, quindi l'aumento è solo del 200%. La formula non mente: (300 − 100) ÷ 100 × 100% = 200%.
Domande e risposte
Come si calcola di quale percentuale un numero è maggiore di un altro?
Con la stessa formula: si divide la differenza tra i numeri per il numero CON CUI si fa il confronto, e si moltiplica per 100%. 'Di quale percentuale 80 è maggiore di 64?' — (80 − 64) ÷ 64 × 100% = 25%. Attenzione: 'di quale percentuale 64 è minore di 80' darà una risposta diversa — (80 − 64) ÷ 80 × 100% = 20%, perché la base di confronto è diversa.
Come si calcola la variazione percentuale con la calcolatrice o in Excel?
Con la calcolatrice: dividi il valore nuovo per quello vecchio, sottrai 1 e moltiplica per 100. Ad esempio, 600 ÷ 500 = 1,2 → 1,2 − 1 = 0,2 → 20%. In Excel o Fogli Google: se il valore vecchio è nella cella A1 e quello nuovo in B1, la formula è =(B1-A1)/A1. Poi, imposta il formato della cella su 'Percentuale'.
Cosa fare se il valore vecchio è uguale a zero?
La variazione percentuale non è definita, perché non si può dividere per zero. Se un canale aveva 0 iscritti e ora ne ha 50, non è corretto parlare di 'un aumento di una certa percentuale': è una crescita da zero. In questi casi, si indica la variazione assoluta (+50 iscritti).
Che differenza c'è tra variazione percentuale e differenza percentuale?
La variazione percentuale è direzionale: c'è un valore 'vecchio' e uno 'nuovo', e si divide per quello vecchio. La differenza percentuale confronta due numeri equivalenti senza un ordine preciso: si divide il valore assoluto della loro differenza per la loro media. Nei problemi scolastici e nella vita di tutti i giorni (prezzi, stipendi, sconti), si usa quasi sempre la variazione percentuale.
Se una quantità è aumentata del 100%, di quante volte è aumentata?
Di 2 volte. Un aumento del 100% significa che alla quantità è stata aggiunta un'altra quantità uguale a se stessa. Di conseguenza, un aumento del 200% corrisponde a un aumento di 3 volte, e un aumento del 50% a un aumento di 1,5 volte. Viceversa: 'è aumentata di 4 volte' significa 'del 300%'.
Come si calcola la variazione percentuale di un prezzo su più mesi?
Ci sono due opzioni. La variazione totale per il periodo si calcola con la formula standard, usando il primo e l'ultimo valore. Se invece si conoscono le variazioni percentuali di ogni mese, non si possono sommare: bisogna moltiplicare i coefficienti. Un aumento del 10% seguito da un aumento del 20% dà 1,1 × 1,2 = 1,32, cioè +32%, non +30%.
