I prodotti notevoli sono identità algebriche che permettono di sviluppare espressioni o scomporle in fattori senza dover eseguire lunghe moltiplicazioni. In questa pagina trovi la tabella con le sette formule principali: quadrato del binomio, differenza di quadrati, cubo del binomio, somma e differenza di cubi. Ogni formula è spiegata con dimostrazioni ed esempi, e alla fine trovi un esercitatore interattivo per fare pratica.
Cosa sono i prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono identità che si ottengono moltiplicando polinomi e memorizzando il risultato. Una volta imparato il "modello", non serve più svolgere i calcoli da zero: basta sostituire i propri numeri o variabili.
Nel programma di algebra della scuola secondaria, i prodotti notevoli si usano in due direzioni:
- da sinistra a destra — per sviluppare rapidamente potenze di binomi;
- da destra a sinistra — per scomporre in fattori (utile per semplificare frazioni e risolvere equazioni).
In totale si studiano sette formule. Qui sotto trovi la tabella riassuntiva e poi l'analisi di ciascuna.
Tabella dei prodotti notevoli
È utile avere tutte e sette le formule sott'occhio. Qui \(a\) e \(b\) rappresentano espressioni generiche: un numero, una variabile o un monomio come \(2x\).
| Formula | Espressione |
|---|---|
| Quadrato del binomio | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Quadrato del binomio | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Differenza di quadrati | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Cubo del binomio | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Cubo del binomio | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Somma di cubi | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Differenza di cubi | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Quadrato del binomio
Il quadrato del binomio si ottiene moltiplicando \((a+b)\) per se stesso:
A parole: il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo. Lo stesso vale per il quadrato della differenza, dove il segno del doppio prodotto diventa negativo:
L'importante è non dimenticare il doppio prodotto \(2ab\): è proprio per questo che \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Nel quadrato del binomio cambia solo il segno davanti a \(2ab\), mentre i termini \(a^2\) e \(b^2\) sono sempre positivi.
Esempio. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Il quadrato del binomio ha anche un'interpretazione geometrica: è l'area di un quadrato di lato \((a+b)\).
Differenza di quadrati
Moltiplicando la somma per la differenza degli stessi termini, i termini centrali si annullano:
Si ottiene la formula della differenza di quadrati: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). È il prodotto notevole più utile per la scomposizione in fattori: appena vedi una differenza di due quadrati, trasformala subito in un prodotto.
Esempio (sviluppo). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Esempio (scomposizione). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Attenzione: la somma di quadrati \(a^2 + b^2\) non si scompone con questa formula; funziona solo con la differenza.
Cubo del binomio, somma e differenza di cubi
Il cubo del binomio contiene quattro termini:
Nel cubo della differenza i segni si alternano: \(+\,-\,+\,-\). Anche qui, attenzione all'errore comune: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — non si può semplicemente distribuire l'esponente, i termini centrali \(3a^2b\) e \(3ab^2\) non vanno persi.
Esempio. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Discorso a parte per la somma e differenza di cubi, che servono per scomporre in fattori:
Il secondo fattore è chiamato falso quadrato. Il segno del suo termine centrale è sempre opposto a quello della prima parentesi: nella somma di cubi c'è \(-ab\), nella differenza di cubi c'è \(+ab\).
Esempio. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Esempi di applicazione dei prodotti notevoli
Esempio 1. Sviluppo: quadrato del binomio
Esercizio. Calcola \((2x+5)^2\).
Passaggio 1. Identifichiamo la formula: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), dove \(a = 2x\) e \(b = 5\).
Passaggio 2. Calcoliamo ogni termine:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Risultato. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Esempio 2. Differenza di quadrati
Esercizio. Calcola il prodotto \((3x-4)(3x+4)\).
Passaggio 1. Abbiamo il prodotto tra la differenza e la somma degli stessi termini: è una differenza di quadrati \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), dove \(a = 3x\) e \(b = 4\).
Passaggio 2. Eleviamo al quadrato ogni termine: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Risultato. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Esempio 3. Scomposizione in fattori
Esercizio. Scomponi \(x^2 - 36\) e \(x^3 + 27\).
Differenza di quadrati. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Somma di cubi. Notiamo che \(27 = 3^3\), quindi \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Applichiamo la formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) con \(a = x\) e \(b = 3\):
Attenzione al segno \(-3x\) nel falso quadrato: nella somma di cubi il termine centrale è negativo.
Esempio 4. Cubo del binomio
Esercizio. Sviluppa \((x+2)^3\).
Passaggio 1. Formula del cubo del binomio: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), dove \(a = x\) e \(b = 2\).
Passaggio 2. Calcoliamo i termini in ordine:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Risultato. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Errori comuni con i prodotti notevoli
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Dimenticare il doppio prodotto: scrivere $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Nel quadrato del binomio c'è sempre il doppio prodotto \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). È facile verificare: moltiplica \((a+b)(a+b)\) in colonna e il termine centrale apparirà da solo.
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Confondere i segni nel quadrato del binomio e nella differenza di quadrati.
Nel quadrato del binomio il segno meno sta solo davanti al doppio prodotto: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (i quadrati sono positivi). Nella differenza di quadrati il meno sta tra i due quadrati: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Sono formule diverse.
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Distribuire l'esponente nel cubo: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Non si può fare. Il cubo del binomio ha quattro termini: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). La formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) è la somma di cubi, serve per scomporre.
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Mettere il doppio prodotto $2ab$ nel falso quadrato della somma/differenza di cubi.
Il falso quadrato è \(a^2 \pm ab + b^2\), senza il 2 davanti a \(ab\). Il segno è opposto a quello della prima parentesi: somma di cubi \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), differenza di cubi \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
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Cercare di scomporre la somma di quadrati $a^2 + b^2$.
Si scompone solo la differenza di quadrati \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). La somma di quadrati \(a^2 + b^2\) non si scompone nel programma scolastico.
Domande e risposte
Quanti sono i prodotti notevoli?
Sette: quadrato del binomio (somma e differenza), differenza di quadrati, cubo del binomio (somma e differenza), somma e differenza di cubi. Sono tutti nella tabella sopra.
A cosa è uguale il quadrato del binomio?
Al quadrato del primo, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Nel quadrato della differenza il doppio prodotto è negativo: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Come si scompone la differenza di quadrati?
Con la formula \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ad esempio, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Basta vedere che entrambi i termini sono quadrati perfetti e c'è un meno in mezzo.
Perché $(a+b)^2$ non è uguale a $a^2 + b^2$?
Perché moltiplicando \((a+b)(a+b)\) compaiono due termini \(ab\) che sommati danno il doppio prodotto \(2ab\). Non va perso: la formula corretta è \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Che differenza c'è tra cubo del binomio e somma di cubi?
Il cubo del binomio \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) serve per sviluppare. La somma di cubi \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) serve per scomporre. Sono formule diverse, non confonderle.
In che anno si studiano i prodotti notevoli?
Solitamente in seconda media o al primo anno di superiori: prima quadrato del binomio e differenza di quadrati, poi i cubi. Si usano costantemente per semplificare espressioni, frazioni e risolvere equazioni.
