Una disequazione razionale è una disequazione del tipo \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi, e al posto del segno \(>\) possono esserci \(<\), \(\ge\) o \(\le\). Tali disequazioni si risolvono con il metodo degli intervalli: si porta tutto a sinistra, si scompone in fattori, si segnano sull'asse numerico gli zeri del numeratore e del denominatore e si dispongono i segni. Di seguito: definizione, algoritmo completo, regola dei punti esclusi, molteplicità delle radici, esempi svolti e trainer con verifica.
Cos'è una disequazione razionale
Una disequazione razionale è una disequazione in cui entrambe le parti sono espressioni razionali, cioè polinomi e frazioni di polinomi. Dopo aver portato tutto in un'unica parte, si riduce sempre alla forma
dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi, e al posto di \(\vee\) c'è uno dei segni \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). A destra deve esserci necessariamente zero: questa è la condizione senza la quale il metodo degli intervalli non funziona.
Le disequazioni razionali si dividono in due tipi. Se la variabile compare solo al numeratore, la disequazione è detta razionale intera: non c'è nulla da dividere, e sono valide tutte le valori di \(x\). Se la variabile è al denominatore, la disequazione è fratta razionale (chiamata anche disequazione frazionaria o disequazione con frazione) — e in questo caso compare subito il vincolo \(Q(x) \neq 0\).
Perché non si possono moltiplicare entrambi i membri per il denominatore
La tentazione più forte quando si risolve una disequazione con frazione è quella di "eliminare il denominatore" moltiplicando entrambi i membri per esso. Con le equazioni si può fare, con le disequazioni no. La ragione è semplice: moltiplicando per un numero negativo il segno della disequazione si inverte, e il segno dell'espressione \(Q(x)\) è sconosciuto in anticipo — dipende da \(x\).
Consideriamo la disequazione \(\frac{5}{x-3} < 1\). Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x - 3\), come se fosse un numero positivo: otterremo \(5 < x - 3\), cioè \(x > 8\). Verifichiamo la risposta sostituendo \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — la disequazione è vera, quindi anche zero è una soluzione, ma non è inclusa nella risposta \(x > 8\). La soluzione è persa.
La via corretta è portare tutto a sinistra e ridurre a un'unica frazione:
Nell'ultimo passaggio abbiamo moltiplicato entrambi i membri per \(-1\) e invertito il segno — questo è lecito perché \(-1\) è sempre negativo. Dopodiché funziona il metodo degli intervalli, e la risposta è \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — che include anche lo zero perso.
Per ricordarlo più facilmente: non si possono moltiplicare entrambi i membri per un'espressione con la variabile, si possono sempre spostare i termini — lo spostamento non cambia il segno della disequazione.
Metodo degli intervalli: algoritmo di soluzione passo dopo passo
Il metodo degli intervalli si basa su una proprietà: tra zeri consecutivi di un'espressione razionale, il suo segno è costante. Pertanto, è sufficiente trovare tutti i punti in cui il numeratore o il denominatore si annullano, dividerli sull'asse numerico e determinare il segno su ciascun intervallo — con un punto di prova o tramite la molteplicità delle radici.
Punti esclusi e punti chiusi: dominio e segno della disequazione
Un errore in una parentesi trasforma una soluzione corretta in una risposta errata, quindi la regola sui punti va imparata separatamente. Funzionano esattamente due considerazioni.
La prima è l'insieme di definizione (dominio). La radice del denominatore viene sempre esclusa, con qualsiasi segno della disequazione. In quel punto la frazione semplicemente non esiste: non si può dividere per zero, quindi il numero non può essere una soluzione, anche se il segno non è stretto.
La seconda è il segno stretto o non stretto. Le radici del numeratore annullano la frazione. Con un segno non stretto (\(\le\) o \(\ge\)) l'uguaglianza a zero ci soddisfa, quindi il punto viene chiuso ed entra nella soluzione con parentesi quadra. Con un segno stretto (\(<\) o \(>\)), lo zero non è valido, e il punto viene escluso.
Ad esempio, per la disequazione \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), il punto \(x = 6\) viene chiuso (zero del numeratore, segno non stretto), mentre il punto \(x = -1\) viene escluso (zero del denominatore). Soluzione: \(x \in (-1; 6]\).
| Che tipo di punto | Come si segna |
|---|---|
| Radice del denominatore, Q(x) = 0 | escluso sempre, con qualsiasi segno — il punto non è nel dominio |
| Radice del numeratore, segno stretto < o > | escluso la frazione è zero, ma serve un segno diverso |
| Radice del numeratore, segno non stretto ≤ o ≥ | chiuso l'uguaglianza a zero è accettata, il punto entra nella soluzione |
Molteplicità delle radici: dove il segno cambia e dove no
I segni sugli intervalli non sono obbligati a alternarsi — questa è la più comune delle incomprensioni. L'alternanza funziona solo quando tutte le parentesi compaiono con esponente uno. La regola più precisa si esprime tramite la molteplicità della radice — l'esponente della parentesi corrispondente.
Passando attraverso una radice di molteplicità dispari (esponente 1, 3, 5), il segno dell'espressione cambia. Passando attraverso una radice di molteplicità pari (esponente 2, 4), il segno non cambia: la parentesi con esponente pari è non negativa e non altera il segno dell'espressione. La molteplicità si calcola allo stesso modo sia per il numeratore che per il denominatore.
Consideriamo \((x-9)^2(x+3) > 0\). Radici: \(x = 9\) con molteplicità 2 e \(x = -3\) con molteplicità 1. A destra di nove l'espressione è positiva. Passando attraverso 9 — molteplicità pari, il segno rimane lo stesso, sull'intervallo \((-3; 9)\) è ancora più. Passando attraverso \(-3\) — molteplicità dispari, il segno cambia in meno. La soluzione della disequazione stretta è: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), il punto 9 è escluso perché l'espressione lì è zero. Mentre per la non stretta \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) la soluzione è diversa: \(x \in [-3; +\infty)\) — il nove viene chiuso e "incolla" i due intervalli in uno.
| Molteplicità della radice | Segno al passaggio |
|---|---|
| Dispari: (x − a), (x − a)3 | cambia |
| Pari: (x − a)2, (x − a)4 | non cambia |
Asse numerico d'esempio: disposizione dei segni
Mettiamo tutto insieme per la disequazione \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Radici del numeratore: \(x = -7\). Radici del denominatore: \(x = 2\) e \(x = 5\), che definiscono anche il dominio. Tutte e tre le parentesi sono al primo grado, quindi i segni si alternano. Punto di prova \(x = 10\) nell'intervallo più a destra dà \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — iniziamo con un più e andiamo verso sinistra, cambiando segno ad ogni punto.
Esempi di soluzione di disequazioni razionali
Esempio 1. Disequazione frazionaria semplice
Risolvere \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Passo 1. A destra c'è già zero, la frazione è già unica — non c'è nulla da spostare o ridurre.
Passo 2. Dominio. \(x + 5 \neq 0\), cioè \(x \neq -5\).
Passo 3. Zeri. Il numeratore si annulla per \(x = 3\), il denominatore per \(x = -5\).
Passo 4. Punti sull'asse. \(x = 3\) si chiude (zero del numeratore, segno non stretto), \(x = -5\) si esclude (zero del denominatore).
Passo 5. Segni. Punto di prova \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — a destra c'è più. Entrambe le parentesi sono al primo grado, quindi i segni si alternano: su \((-5; 3)\) meno, su \((-\infty; -5)\) più. Verifichiamo: per \(x = -6\) otteniamo \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — corrisponde.
Passo 6. Soluzione. Serve il segno «più o zero»: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Esempio 2. A destra non c'è zero — spostiamo
Risolvere \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Passo 1. Spostiamo l'uno a sinistra. Non si può moltiplicare per \(x - 4\), il segno di questa espressione è sconosciuto:
Passo 2. Riduciamo a un'unica frazione.
Passo 3. Dominio. \(x \neq 4\).
Passo 4. Punti. \(x = -5\) — zero del numeratore, segno non stretto, si chiude. \(x = 4\) — zero del denominatore, si esclude.
Passo 5. Segni. Per \(x = 5\) la frazione vale \(\frac{10}{1} > 0\). Quindi su \((4; +\infty)\) c'è più, su \((-5; 4)\) meno, su \((-\infty; -5)\) più.
Passo 6. Soluzione. \(x \in [-5; 4)\). Verifica dei punti di confine: per \(x = -5\) la frazione vale zero — va bene per \(\le\); per \(x = 4\) la frazione non esiste — non va bene.
Esempio 3. Radice di molteplicità pari e punto isolato
Risolvere \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Passo 1. Dominio. \(x \neq 9\).
Passo 2. Zeri e molteplicità. \(x = 2\) — molteplicità 2 (pari), \(x = -6\) — molteplicità 1, \(x = 9\) — molteplicità 1 al denominatore.
Passo 3. Punti. \(x = 2\) e \(x = -6\) si chiudono (zeri del numeratore con segno non stretto), \(x = 9\) si esclude.
Passo 4. Segni. Punto di prova \(x = 10\): numeratore positivo, denominatore uguale a 1 — più. Andiamo verso sinistra. Attraversando 9 (molteplicità dispari) il segno cambia: su \((2; 9)\) meno. Attraversando 2 (molteplicità pari) il segno non cambia: su \((-6; 2)\) ancora meno. Attraversando \(-6\) (molteplicità dispari) il segno cambia: su \((-\infty; -6)\) più.
Passo 5. Soluzione. Prendiamo gli intervalli con segno «più» più tutti i punti in cui l'espressione vale zero. Il punto \(x = 2\) si trova all'interno di un intervallo con segno meno, ma l'espressione lì vale zero, quindi entra nella soluzione separatamente:
Un punto «solitario» in questo modo nella soluzione è un chiaro segno di una radice di molteplicità pari con segno non stretto.
Esempio 4. Semplificazione della frazione: trappola del dominio
Risolvere \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Passo 1. Scomponiamo in fattori. Il numeratore è un quadrato perfetto: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Per il denominatore calcoliamo il discriminante: \(D = 81 + 40 = 121\), radici \(x_1 = \frac{1}{5}\) e \(x_2 = -2\), quindi \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Passo 2. Dominio — prima di ogni semplificazione. \(5x - 1 \neq 0\) e \(x + 2 \neq 0\), cioè \(x \neq \frac{1}{5}\) e \(x \neq -2\).
Passo 3. Semplifichiamo. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ma solo se \(x \neq \frac{1}{5}\) — la semplificazione non ripristina il punto escluso.
Passo 4. Risolviamo \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Zeri: \(\frac{1}{5}\) e \(-2\). Per \(x = 1\) la frazione vale \(\frac{4}{3} > 0\). Quindi su \((\frac{1}{5}; +\infty)\) c'è più, su \((-2; \frac{1}{5})\) meno, su \((-\infty; -2)\) più.
Passo 5. Ripristiniamo il dominio. L'intervallo \((-2; \frac{1}{5}]\) sarebbe stato valido per il segno, ma il punto \(\frac{1}{5}\) è escluso: nella disequazione originale il denominatore \(5x^2+9x-2\) per \(x = \frac{1}{5}\) si annulla, la frazione non esiste in quel punto.
Soluzione: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — entrambe le parentesi sono tonde.
Esempio 5. Trinomio di secondo grado al numeratore
Risolvere \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Passo 1. Scomponiamo il numeratore. Per il teorema di Viète, la somma delle radici è 7, il prodotto 10, quindi \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). La disequazione diventa \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Passo 2. Dominio. \(x \neq -4\).
Passo 3. Punti. Tutti e tre i punti sono esclusi: \(-4\) — zero del denominatore, \(2\) e \(5\) — zeri del numeratore con segno stretto.
Passo 4. Segni. Punto di prova \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Tutte le parentesi sono al primo grado, quindi i segni si alternano: su \((5; +\infty)\) più, su \((2; 5)\) meno, su \((-4; 2)\) più, su \((-\infty; -4)\) meno.
Passo 5. Soluzione. Serve il segno «meno» stretto: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Controllo con sostituzione: per \(x = -5\) otteniamo \(\frac{70}{-1} < 0\), per \(x = 3\) otteniamo \(\frac{-2}{7} < 0\) — entrambi gli intervalli sono validi.
Errori comuni nella risoluzione di disequazioni razionali
-
Moltiplicano entrambi i membri per il denominatore: da $\frac{3}{x-8} > 1$ ottengono $3 > x - 8$ e scrivono $x < 11$.
Il segno dell'espressione \(x - 8\) è sconosciuto in anticipo, e moltiplicando per un numero negativo la disequazione si inverte. Verifica: \(x = 0\) dà \(\frac{3}{-8} < 1\) — lo zero non è una soluzione, sebbene sia finito nella risposta \(x < 11\). Corretto: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), cioè \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), da cui \(x \in (8; 11)\).
-
Chiudono lo zero del denominatore perché il segno non è stretto: per $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ scrivono la soluzione con parentesi quadra vicino a sette.
Lo zero del denominatore viene sempre escluso, con qualsiasi segno: in quel punto la frazione semplicemente non esiste. Soluzione corretta: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — vicino a uno parentesi quadra, vicino a sette tonda.
-
Semplificano la frazione e perdono il dominio: da $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ ottengono $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ e includono nella soluzione il punto $x = -3$.
Il dominio si scrive prima della semplificazione, basandosi sul denominatore originale: \(x \neq -3\) e \(x \neq 5\). La frazione semplificata \(\frac{x+3}{x-5}\) è non positiva su \([-3; 5)\) — per \(x = 0\) vale \(-0{,}6\), che è quanto richiesto dal segno \(\le\). Ma il punto \(-3\) è escluso dal dominio, quindi la soluzione è \((-3; 5)\), non \([-3; 5)\).
-
Ritengono che i segni sugli intervalli si alternino sempre, e per $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ mettono un meno a destra di uno.
L'alternanza è valida solo con parentesi al primo grado. La radice \(x = 1\) ha molteplicità 2, quindi il segno non cambia attraversandola. L'espressione è positiva su tutto \((-\infty; -4)\) eccetto il punto uno, dove vale zero. Soluzione: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Invertono il segno della disequazione spostando un termine: da $\frac{x}{x-2} \le 3$ ottengono $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Spostare un termine da una parte all'altra non cambia il segno della disequazione — cambia solo il segno del termine stesso. Il segno si inverte solo moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero negativo. Corretto: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), poi \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), cioè \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Segnano sull'asse solo le radici del numeratore, e il denominatore lo controllano «dopo»: per $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ mettono un solo punto $-11$.
Sull'asse si segnano tutte le radici contemporaneamente — sia del numeratore che del denominatore, altrimenti gli intervalli risulteranno errati. Qui \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), quindi ci sono tre punti: \(-11\), \(-4\) e \(4\), non uno solo. Sono tutti esclusi (segno stretto), soluzione: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Domande e risposte
Cos'è una disequazione razionale?
È una disequazione in cui entrambe le parti sono espressioni razionali (polinomi e frazioni di polinomi). Dopo aver portato tutto nella parte sinistra, si riduce alla forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi, e al posto di \(>\) può esserci \(<\), \(\le\) o \(\ge\).
Come si risolvono le disequazioni razionali?
Con il metodo degli intervalli in sei passi: spostare tutto a sinistra per avere zero a destra; ridurre a un'unica frazione e scomporre numeratore e denominatore in fattori; scrivere il dominio (\(Q(x) \neq 0\)); segnare sull'asse numerico le radici del numeratore e del denominatore; disporre i segni sugli intervalli usando un punto di prova e la molteplicità delle radici; scrivere come soluzione gli intervalli con il segno richiesto.
In cosa differisce una disequazione fratta razionale da una razionale intera?
In una razionale intera la variabile si trova solo al numeratore, ad esempio \((x-1)(x+4) > 0\), e il dominio sono tutti i numeri reali. In una fratta razionale la variabile è al denominatore, ad esempio \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), e compare il vincolo \(x \neq -4\). L'algoritmo è lo stesso — cambiano solo i punti esclusi.
Come si risolvono le disequazioni con frazione?
Allo stesso modo di qualsiasi disequazione razionale: prima si sposta tutto nella parte sinistra e si riduce a un'unica frazione, non si elimina il denominatore. Ad esempio, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) diventa \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), cioè \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Il numeratore è costante e negativo, quindi la frazione è non negativa solo se il denominatore è negativo: \(x + 2 < 0\). Soluzione: \(x \in (-\infty; -2)\).
Perché non si possono moltiplicare entrambi i membri di una disequazione per il denominatore?
Perché il segno del denominatore dipende da \(x\): moltiplicando per un'espressione positiva il segno della disequazione si mantiene, moltiplicando per una negativa — si inverte. Non si sa in anticipo quale caso si presenta, quindi parte delle soluzioni si perde e parte si aggiunge erroneamente. Si possono sempre spostare i termini — lo spostamento non cambia il segno della disequazione.
Come si trova il dominio in una disequazione?
Per una disequazione razionale, il dominio sono tutti i valori di \(x\) per cui il denominatore non si annulla. Ponete il denominatore uguale a zero, risolvete l'equazione ed escludete i numeri trovati. Il dominio va scritto basandosi sul denominatore originale, prima di semplificare la frazione — altrimenti si perderanno i punti esclusi.
Quali punti sono esclusi e quali chiusi?
Le radici del denominatore sono sempre escluse, con qualsiasi segno della disequazione. Le radici del numeratore si chiudono con segno non stretto (\(\le\) o \(\ge\)) e si escludono con segno stretto (\(<\) o \(>\)). Nella scrittura della soluzione, a un punto escluso corrisponde una parentesi tonda, a un punto chiuso una quadra.
Cos'è la molteplicità di una radice e a cosa serve nel metodo degli intervalli?
La molteplicità è l'esponente con cui una parentesi compare nello sviluppo. Passando attraverso una radice di molteplicità dispari, il segno dell'espressione cambia; passando attraverso una radice di molteplicità pari, il segno rimane lo stesso. È proprio per questo che i segni non sempre si alternano semplicemente: in \((x-9)^2(x+3)\) nel punto 9 il segno rimane invariato.
In quale classe si studiano le disequazioni razionali?
In 9ª classe durante le lezioni di algebra, dopo le disequazioni quadratiche e la scomposizione dei polinomi in fattori. Il metodo degli intervalli viene poi utilizzato per le disequazioni esponenziali, logaritmiche e irrazionali, nonché nei compiti dell'esame OGE e dell'esame di stato di livello avanzato (ЕГЭ).
