Kvadrat tenglama — bu \(ax^2 + bx + c = 0\) koʻrinishidagi tenglama boʻlib, bunda \(a \neq 0\). Uning ildizlari sonini diskriminant \(D = b^2 - 4ac\) aniqlaydi, oʻzi esa ildizlarni \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) formulasi boʻyicha topishadi. Ushbu sahifada mavzu boʻyicha barchasi toʻplangan: standart shakl va koeffitsiyentlar, toʻliq boʻlmagan tenglamalarning uch turi, diskriminant va uchta holat, ildizlar formulasi va uning «juft» varianti, qisqartirilgan tenglama va Vieta teoremasi, koʻpaytuvchilarga ajratish va bikvadrat tenglamalar — qadam-baqadam misollar, tez-tez uchraydigan xatolarni tahlil qilish va interaktiv mashq bilan.
Kvadrat tenglama nima?
Kvadrat tenglama — bu \(x\) nomaʼlum boʻlib, \(a\), \(b\), \(c\) esa sonlar (koeffitsiyentlar) boʻlgan va \(a \neq 0\) shartini qanoatlantiruvchi
koʻrinishidagi tenglamadir.
Bunday yozuv kvadrat tenglamaning standart shakli deb ataladi: chap tomonda hadlar darajasi kamayish tartibida joylashgan, oʻng tomonda nol turadi.
\(a \neq 0\) sharti — bu shunchaki rasmiyatchilik emas. Aynan \(ax^2\) hadi tenglamani kvadrat qiladi: \(a = 0\) boʻlsa, \(bx + c = 0\), yaʼni bitta ildizga ega boʻlgan oddiy chiziqli tenglama qoladi. Shu sababli parametrli masalalarda birinchi navbatda eng katta koeffitsiyent nolga aylanmayotganligini tekshirishadi.
Tenglamani standart shaklga keltirish deyarli har doim mumkin: qavslarni ochish, barcha hadlarni chap qismga oʻtkazish va oʻxshash hadlarni birlashtirish. Masalan, \(5x^2 = 3x - 2\) tenglamasi oʻtkazishdan keyin \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) ga aylanadi, bu yerdan \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). «Kvadratik tenglama» soʻzi ham aynan shu maʼnoni bildiradi — bu shunchaki nomlanishning boshqa varianti.
Toʻliq va toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar
Agar uchta koeffitsiyent ham noldan farqli boʻlsa, tenglama toʻliq deb ataladi. Agar \(b\) yoki \(c\) (yoki ikkalasi ham) nolga teng boʻlsa — toʻliq boʻlmagan. Toʻliq boʻlmagan turlari aynan uchta va ularning hech biri diskriminantni talab qilmaydi: har biri bir-ikki qatorda yechiladi va bu nazorat ishida vaqtni tejashning eng tezkor usuli.
\(ax^2 + bx = 0\) uchun asosiy gʻoya — umumiy koʻpaytuvchini chiqarish. \(x(ax + b)\) koʻpaytma nolga teng boʻladi, faqat va faqat bitta koʻpaytuvchi nolga teng boʻlganda, bu ikkita ildizni beradi. \(ax^2 + c = 0\) uchun gʻoya boshqacha: \(x^2\) ni topib, hosil boʻlgan sonning belgisiga qarash — haqiqiy sonning kvadrati manfiy boʻlishi mumkin emas.
| Tenglama koʻrinishi | Qanday yechiladi |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c ni oʻng tomonga oʻtkazing va a ga boʻling: x2 = −c/a. Ildizni chiqarishda ikkinchi belgisini unutmaslik kerak.x = 5 va x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x ni qavsdan tashqariga chiqaring: x(ax + b) = 0. Koʻpaytma nolga teng boʻladi, agar koʻpaytuvchilardan biri nolga teng boʻlsa.x = 0 va x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | a ga boʻling va nolning ildizini chiqarib oling. Ildiz har doim bitta.x = 0 |
Diskriminant: qanday topish va nechta ildiz bor
Diskriminant — bu toʻliq tenglamaning koeffitsiyentlari boʻyicha hisoblanadigan son:
Soʻzning oʻzi «farqlovchi» degan maʼnoni bildiradi: diskriminant hech narsani hal qilmaydi, u faqat uchta holatni farqlaydi — ikkita ildiz bor, bitta ildiz bor yoki umuman ildiz yoʻq. Shu sababli «tenglamaning nechta ildizi bor» degan savol ildizlarni topmasdan hal qilinadi.
D ni ehtiyotkorlik bilan hisoblash kerak: \(b^2\) har doim musbat, hatto \(b\) ning oʻzi manfiy boʻlsa ham, \(a\) va \(c\) ning belgilari \(4ac\) koʻpaytmasiga qanday boʻlsa, shunday kiradi. \(x^2 + 4x - 5 = 0\) ni olaylik: bu yerda \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), demak \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminant musbat, va ikkita ildiz boʻladi.
Kvadrat tenglama ildizlari formulasi
Qachonki \(D \ge 0\) boʻlsa, ildizlar mavzuning asosiy formulasi boʻyicha topiladi:
\(\pm\) belgisi ikkita hisoblashni bildiradi: bir marta qoʻshish bilan, boshqa marta ayirish bilan. \(D = 0\) boʻlganda ikkala hisoblash ham bir xil sonni \(x = -\dfrac{b}{2a}\) beradi — bu ildiz ikki karrali deb ataladi.
Eng koʻp xato qilinadigan ikki joy: suratda \(b\) ning minus ishorasi ( \(b = -7\) uchun bu \(+7\)) turadi, maxrajda esa \(2a\), shunchaki \(2\) emas. \(a = 1\) boʻlsa, farq sezilmaydi, shuning uchun xato aynan bosh koeffitsiyenti birdan farqli boʻlgan joyda chiqadi.
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) ni yechamiz: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), demak \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) va \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Juft ikkinchi koeffitsiyent: D₁ bilan formula
Agar \(b\) — juft son boʻlsa, uni \(b = 2k\) deb yozib, «qisqartirilgan» diskriminantni hisoblash qulay:
Hisoblashlardagi sonlar toʻrt marta kamayadi (\(D = 4D_1\)), \(D_1\) ning belgisi esa \(D\) bilan bir xil — demak, ildizlar soni haqidagi xulosa oʻzgarmaydi.
Misol: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Bu yerda \(b = 8\), yaʼni \(k = 4\), va \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Unda \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) va \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Oddiy formula boʻyicha \(D = 100\) bilan ishlash kerak edi — natija bir xil, ammo hisoblashlar koʻproq.
Qisqartirilgan tenglama va Vieta teoremasi
\(a = 1\) boʻlgan tenglama qisqartirilgan deb ataladi va \(x^2 + px + q = 0\) deb yoziladi. Har qanday kvadrat tenglamani \(a\) ga boʻlish orqali bunday koʻrinishga keltirish mumkin: masalan, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) tenglamasi 4 ga boʻlingandan keyin \(x^2 - 3x + 2 = 0\) ga aylanadi.
Qisqartirilgan shakl qimmatlidir, chunki u uchun Vieta teoremasi ishlaydi: ildizlar yigʻindisi \(-p\) ga, koʻpaytmasi esa \(q\) ga teng. \(x^2 - 7x + 10 = 0\) uchun yigʻindisi 7 va koʻpaytmasi 10 boʻlgan ikkita son kerak — ular 2 va 5, va diskriminantni hisoblashga hojat boʻlmadi.
Vieta boʻyicha tanlash, ildizlar butun va kichik boʻlganda yordam beradi, shuningdek, diskriminant orqali topilgan javobni bepul tekshiradi: yigʻindi \(-p\) ga, koʻpaytma \(q\) ga teng boʻlishi kerak. Umumiy shakl, teskari teorema va tanlash algoritmi alohida materialda — Vieta teoremasi — koʻrib chiqilgan.
Kvadrat uch hadni koʻpaytuvchilarga ajratish
Agar \(x_1\) va \(x_2\) ildizlari topilsa, kvadrat uch had koʻpaytuvchilarga quyidagicha ajratiladi:
\(a\) koʻpaytuvchisini unutmaslik kerak —sizsiz tenglik toʻgʻri boʻlmaydi. Ajratishni har doim oson tekshirish mumkin: qavslarni ochib, dastlabki uch had bilan solishtirish. Masalan, \(x^2 + 2x - 8\) ning ildizlari 2 va \(-4\) ga teng, shuning uchun \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Teskarisi ham ishlaydi: agar uch hadni ogʻzaki ajratish mumkin boʻlsa, ildizlar darhol koʻrinadi va diskriminantga hojat yoʻq. Bu yerda qisqa koʻpaytirish formulalari yordam beradi — masalan, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) ildizlarni \(4\) va \(-4\) ni darhol beradi.
Formulalar yordamisiz ishlashning uchinchi usuli — toʻliq kvadratni ajratish. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) da birinchi ikkita hadni yigʻindining kvadrati bilan toʻldiramiz: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), yaʼni \((x + 3)^2 = 4\), bu yerdan \(x + 3 = \pm 2\) va \(x = -1\) yoki \(x = -5\). Aynan shu usul bilan ildizlar formulasi umumiy holda chiqariladi.
Kvadratga keltiriladigan tenglamalar: bikvadrat tenglamalar
Bikvadrat tenglama \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) koʻrinishiga ega: darajalar faqat juft. U \(t = x^2\) almashtirish yordamida yechiladi, bunda \(t \ge 0\) sharti bilan — haqiqiy sonning kvadrati manfiy boʻlishi mumkin emas.
Almashtirishdan keyin \(at^2 + bt + c = 0\) oddiy kvadrat tenglama hosil boʻladi. Uni diskriminant yordamida yechishadi, soʻngra har bir manfiy boʻlmagan \(t\) ildizi uchun \(x = \pm\sqrt{t}\) ga qaytiladi. Shu sababli ildizlar soni toʻrtgacha boʻlishi mumkin.
Masalan, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) almashtirishdan keyin \(t^2 - 5t + 4 = 0\) ga aylanadi, uning ildizlari \(t = 1\) va \(t = 4\). Ikkalasi ham musbat, shuning uchun \(x = \pm 1\) va \(x = \pm 2\) — jami toʻrtta ildiz. Agar \(t\) ning biri manfiy boʻlsa, u shunchaki tashlab yuboriladi.
Aynan shu usul bilan kasr-ratsional tenglamalar (umumiy maxrajga keltirib va taqiqlangan qiymatlarni tashlab yuborgandan keyin) va \(t = x^2 + 3x\) koʻrinishidagi almashtirishli tenglamalar yechiladi.
Kvadrat tenglamalarni yechish misollari
1-misol. Toʻliq tenglama, D > 0
Yeching \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1-qadam. Tenglama allaqachon standart shaklda: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2-qadam. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — ikkita ildiz bor.
3-qadam. \(\sqrt{D} = 5\), demak \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4-qadam. Oʻrniga qoʻyib tekshirish. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Javob: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
2-misol. Diskriminant nolga teng
Yeching \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1-qadam. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2-qadam. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — ildiz bitta.
3-qadam. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4-qadam. Tekshirish. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Javob: \(x = 1{,}5\). Eʼtibor bering: chap qism toʻliq kvadrat \((2x - 3)^2\) ga teng, shuning uchun ildiz bitta chiqqan.
3-misol. Diskriminant manfiy
Yeching \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1-qadam. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2-qadam. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3-qadam. Diskriminant manfiy, demak \(\sqrt{D}\) ni haqiqiy sonlar orasida chiqarish mumkin emas. Ildizlar formulasini qoʻllashga hojat yoʻq — yechish shu yerda tugaydi.
Javob: haqiqiy ildizlar yoʻq. Bu toʻliq javob, xatolik belgisi emas: \(y = 2x^2 + 3x + 5\) funksiyasining grafigi x oʻqini kesib oʻtmaydi.
4-misol. ax² + c = 0 koʻrinishidagi toʻliq boʻlmagan tenglama
Yeching \(3x^2 - 27 = 0\).
1-qadam. Erkin hadni oʻtkazamiz: \(3x^2 = 27\).
2-qadam. 3 ga boʻlamiz: \(x^2 = 9\).
3-qadam. Kvadrat 9 ga ikkita sonning kvadrati teng: \(x = 3\) va \(x = -3\). Ikkinchi belgisini koʻpincha unutishadi.
4-qadam. Tekshirish. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Javob: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). \(2x^2 + 8 = 0\) tenglamasi bilan solishtiring: u yerda \(x^2 = -4\), va haqiqiy ildizlar yoʻq.
5-misol. ax² + bx = 0 koʻrinishidagi toʻliq boʻlmagan tenglama
Yeching \(5x^2 - 15x = 0\).
1-qadam. Umumiy koʻpaytuvchini qavsdan tashqariga chiqaramiz: \(5x(x - 3) = 0\).
2-qadam. Koʻpaytma nolga teng boʻladi, qachonki koʻpaytuvchilardan biri nolga teng boʻlsa: \(5x = 0\) yoki \(x - 3 = 0\).
3-qadam. Bu yerdan \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4-qadam. Tekshirish. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Javob: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Agar dastlabki tenglamani \(x\) ga qisqartirsak, faqat \(x = 3\) qoladi — \(x = 0\) ildizi yoʻqoladi. Nomaʼlum ifodaga boʻlish mumkin emas.
6-misol. Juft ikkinchi koeffitsiyent
Yeching \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1-qadam. \(b = -22\) — juft, shuning uchun \(k = -11\), va \(a = 5\), \(c = 8\).
2-qadam. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3-qadam. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4-qadam. Tekshirish. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Javob: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Oddiy diskriminant \(D = 324\) bergan boʻlardi — natija bir xil, lekin hisoblash uzoqroq edi.
7-misol. Avval standart shaklga keltirish
Yeching \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1-qadam. Qavslarni ochamiz: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), yaʼni \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2-qadam. Toʻqqizni chap tomonga oʻtkazamiz: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Faqat endi koeffitsiyentlarni yozib olish mumkin: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3-qadam. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4-qadam. Dastlabki tenglamada tekshirish. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Javob: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Bu yerda tez-tez uchraydigan xatolik — har bir qavsni 9 ga tenglashtirish: «koʻpaytma nolga teng» qoidasi faqat nol uchun ishlaydi.
8-misol. Uch hadni koʻpaytuvchilarga ajratish
\(2x^2 - 5x - 3\) uch hadini koʻpaytuvchilarga ajrating.
1-qadam. Uch hadni nolga tenglashtirib, ildizlarni topamiz: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2-qadam. \(a(x - x_1)(x - x_2)\) formulasiga qoʻyamiz: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3-qadam. Ikkini ikkinchi qavsga kiritish qulay: \((x - 3)(2x + 1)\).
4-qadam. Qavslarni ochib tekshirish. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Javob: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
9-misol. Bikvadrat tenglama
Yeching \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1-qadam. \(t = x^2\) almashtirishni kiritamiz, bunda \(t \ge 0\). Tenglama \(t^2 - 13t + 36 = 0\) ga aylanadi.
2-qadam. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3-qadam. Ikkala qiymat ham manfiy emas, shuning uchun \(x\) ga qaytamiz: \(x^2 = 9\) dan \(x = \pm 3\), \(x^2 = 4\) dan — \(x = \pm 2\) hosil boʻladi.
4-qadam. Tekshirish. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Juft darajalar uchun manfiy qiymatlar ham shu sonlarni beradi.
Javob: \(x = \pm 2\) va \(x = \pm 3\) — toʻrtta ildiz.
Kvadrat tenglamalarni yechishda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Tenglamani standart shaklga keltirmasdan diskriminantni hisoblash: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ uchun darhol $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ deb olinadi.
Avval hamma narsani chapga oʻtkazib, oʻxshash hadlarni birlashtiramiz: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), yaʼni \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Faqat shu yerdan \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Ildizlar formulasi faqat standart shakl bilan ishlaydi.
-
$b$ ni kvadratga koʻtarishda belgisini yoʻqotish: $x^2 - 9x + 14 = 0$ uchun $D = -81 - 56$ deb yoziladi.
Har qanday sonning kvadrati manfiy emas: \((-9)^2 = 81\), \(-81\) emas. Toʻgʻri \(D = 81 - 56 = 25\), ildizlar \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), yaʼni 7 va 2. Tekshirish: \(49 - 63 + 14 = 0\) va \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Suratda $b$ oʻrniga $-b$ qoldiriladi: $x^2 + 5x - 6 = 0$ uchun $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ deb hisoblanadi.
Formulada \(-b\) turadi, shuning uchun \(b = 5\) boʻlsa, suratda \(-5\) boʻladi: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), bu yerdan \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Oʻrniga qoʻyib tekshirish tasdiqlaydi: \(1 + 5 - 6 = 0\) va \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
$D = 0$ boʻlganda «ildiz yoʻq» deb yoziladi: $x^2 + 14x + 49 = 0$ tenglamasining diskriminanti nolga teng, va yechim toʻxtatiladi.
Ildizlar faqat \(D < 0\) boʻlganda yoʻq. \(D = 0\) boʻlganda ildiz aynan bitta: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Tekshirish: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
$4x^2 - 9x = 0$ tenglamasini $x$ ga qisqartirib, yagona ildiz $x = 2{,}25$ hosil qilinadi.
Nomaʼlum ifodaga boʻlish mumkin emas: \(x\) nolga teng boʻlishi mumkin va \(x = 0\) ildizi yoʻqoladi. Toʻgʻri umumiy koʻpaytuvchini chiqarish kerak: \(x(4x - 9) = 0\), bu yerdan \(x_1 = 0\) va \(x_2 = 2{,}25\). Tekshirish: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
$x^2 = 16$ tenglamasida faqat $x = 4$ yoziladi.
Kvadrat 16 ga \(-4\) sonining kvadrati ham teng. Ikkala ildizni ham yozish kerak: \(x = \pm 4\). Ishonchliroq usuli — standart shaklga \(x^2 - 16 = 0\), yaʼni \((x - 4)(x + 4) = 0\) orqali yechish — shunda ikkala koʻpaytuvchi ham darhol koʻrinadi.
-
Parametrli tenglamada $a \neq 0$ shartini tekshirmaslik: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ uchun darhol diskriminant hisoblanadi.
\(m = 2\) boʻlganda bosh koeffitsiyent nolga aylanadi va tenglama \(3x - 1 = 0\) chiziqli tenglamaga aylanadi, uning yagona ildizi \(x = \dfrac{1}{3}\). \(m = 2\) holati alohida koʻrib chiqiladi, va ildizlar formulasi faqat \(m \neq 2\) boʻlganda qoʻllaniladi.
Savol va javoblar
Kvadrat tenglama nima?
Bu \(ax^2 + bx + c = 0\) koʻrinishidagi tenglama boʻlib, bunda \(a\), \(b\), \(c\) sonlar va \(a \neq 0\). Nomaʼlum ikkinchi darajada qatnashadi, shuning uchun ildizlar ikkita, bitta yoki umuman boʻlmasligi mumkin.
Kvadrat tenglamaning standart shakli qanday koʻrinadi?
Standart (umumiy) shakl — \(ax^2 + bx + c = 0\): barcha hadlar chap tomonda darajasi kamayish tartibida toʻplangan, oʻng tomonda nol turadi. Diskriminantni hisoblashdan oldin har qanday kvadrat tenglama shu shaklga keltiriladi.
Diskriminantni qanday topish mumkin?
\(D = b^2 - 4ac\) formulasi boʻyicha, koeffitsiyentlarni oʻz belgilari bilan birga qoʻyib. Masalan, \(x^2 + 3x - 10 = 0\) uchun \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), va ildizlar \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), yaʼni 2 va \(-5\) ga teng.
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi qanday?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), yoki qisqacha \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). U \(D \ge 0\) boʻlganda qoʻllaniladi; maxrajda aynan \(2a\), nafaqat 2.
Kvadrat tenglamaning nechta ildizi boʻlishi mumkin?
Koʻpi bilan ikkita. \(D > 0\) boʻlganda ildiz ikkita, \(D = 0\) boʻlganda — bitta (ikki karrali), \(D < 0\) boʻlganda haqiqiy ildizlar yoʻq.
Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama nima?
Bu \(b = 0\), \(c = 0\) yoki ikkalasi ham bir vaqtda nolga teng boʻlgan tenglama: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Uchchalasini ham diskriminantsiz yechish mumkin — hadni oʻtkazish yoki \(x\) ni qavsdan tashqariga chiqarish orqali.
Diskriminantsiz kvadrat tenglamalarni qanday yechish mumkin?
Uch yoʻli bor: qisqartirilgan tenglama uchun Vieta teoremasi boʻyicha ildizlarni tanlash, koʻpaytuvchilarga ajratish va toʻliq kvadratni ajratish. Ildizlar kichik butun sonlar boʻlganda tanlash eng tez ishlaydi.
Diskriminant manfiy boʻlsa nima qilish kerak?
Haqiqiy ildizlar yoʻq deb yozib, yechishni tugatish. Manfiy diskriminant — bu normal javob: tegishli parabolaning grafigi x oʻqini kesib oʻtmaydi. Bunday holda ildizlar faqat kompleks sonlar orasida mavjud boʻladi va ularni keyinroq oʻrganishadi.
Topilgan ildizlarni qanday tekshirish mumkin?
Har bir ildizni dastlabki tenglamaga qoʻyib — toʻgʻri tenglik hosil boʻlishi kerak. Qisqartirilgan tenglama uchun Vieta teoremasi boʻyicha tezkor tekshirish ham bor: ildizlar yigʻindisi \(-p\) ga, koʻpaytmasi \(q\) ga teng.
Kvadrat va kvadratik tenglama — bir xil narsa?
Ha, bu bir obyektdir \(ax^2 + bx + c = 0\) ning ikkita nomi. Uni kvadratik funksiya \(y = ax^2 + bx + c\) bilan adashtirmang: tenglama ildizlari funksiya grafigining x oʻqini kesib oʻtgan nuqtalarining absissalaridir.
Kvadrat tenglamalar qaysi sinfda oʻtiladi?
8-sinfda algebradan: avval toʻliq boʻlmagan tenglamalar, keyin diskriminant, ildizlar formulasi va Vieta teoremasi. Keyin mavzu kvadratik funksiya, tengsizliklar, OGE va YaDA masalalarida uchraydi.
