Nishab shaklidagi tenglama — bu chiziqli tenglamani \(y = mx + b\) ko‘rinishida yozish usuli bo‘lib, bunda \(m\) — to‘g‘ri chiziqning nishabligi, \(b\) — esa y-kesishma, ya’ni chiziqning y-o‘qini kesib o‘tadigan nuqtasi. Bu grafik chizish uchun eng qulay shakl, chunki siz nishablik va boshlang‘ich nuqtani to‘g‘ridan-to‘g‘ri tenglamadan o‘qib olishingiz mumkin. Ushbu sahifada siz \(m\) va \(b\) nimani anglatishini, ular yordamida qanday qilib grafik chizishni, ikki nuqta orqali nishablikni topishni va o‘z tenglamangizni qanday tuzishni ko‘rib chiqasiz — barchasi yechilgan misollar va interaktiv trenajyor bilan.
Nishab shaklidagi tenglama nima?
Har qanday to‘g‘ri chiziqni (vertikal bo‘lmagan) nishab shaklida yozish mumkin:
\(m\) va \(b\) harflari bir chiziqdan ikkinchisiga o‘zgarganda o‘zgaradigan yagona narsalardir. Ularni tenglamadan quyidagicha o‘qing:
- \(m\) — nishablik. U chiziq qanchalik tikligini va qaysi tomonga og‘ganligini bildiradi. Nishablik tiklik taqsim gorizontal masofa (rise over run) deganidir: chiziq har bir birlik o‘ngga siljiganda qancha birlik yuqoriga (yoki pastga) ko‘tarilishini bildiradi.
- \(b\) — y-kesishma. Bu chiziq vertikal o‘qni kesib o‘tadigan \(y\)-qiymat, ya’ni \((0, b)\) nuqtasi. \(x = 0\) bo‘lganda, \(mx\) had yo‘qoladi va \(y = b\) qoladi.
Masalan, \(y = 2x + 3\) tenglamasida nishablik \(m = 2\) va y-kesishma \(b = 3\), shuning uchun chiziq y-o‘qini \((0, 3)\) nuqtasida kesib o‘tadi va har 1 birlik o‘ngga siljiganda 2 birlik yuqoriga ko‘tariladi.
m = nishablik
Chiziqning tikligi: tiklik taqsim gorizontal masofa. Musbat qiymat yuqoriga, manfiy qiymat pastga qarab og‘adi.
b = y-kesishma
Chiziq y-o‘qini kesib o‘tadigan nuqta, (0, b) koordinatasida.
Nishab shaklidagi tenglamani qanday grafiklash kerak
Tenglamani \(y = mx + b\) ko‘rinishidan grafiklash uchta oson qadamni talab qiladi — qiymatlar jadvaliga ehtiyoj yo‘q:
- y-kesishmani belgilang. y-o‘qida \((0, b)\) nuqtasiga nuqta qo‘ying. Bu sizning boshlang‘ich nuqtangiz.
- Ikkinchi nuqtani topish uchun nishablikdan foydalaning. \(m\) ni \(\frac{\text{tiklik}}{\text{gorizontal masofa}}\) kasri ko‘rinishida yozing. Birinchi nuqtadan boshlab, yuqoriga (tiklik) va o‘ngga (gorizontal masofa) siljing. \(2\) kabi butun sonli nishablik shunchaki \(\frac{2}{1}\) ga teng.
- Chiziqni chizing ikki nuqta orqali va uni har ikki tomonga davom ettiring.
Quyidagi koordinatalar to‘rida \(y = 2x + 1\) grafigi tasvirlangan: y-kesishma \((0, 1)\) nuqtasida, nishablik \(2 = \frac{2}{1}\) esa keyingi \((1, 3)\) nuqtaga yetib borish uchun 2 birlik yuqoriga, 1 birlik o‘ngga siljishni anglatadi.
Nishablik va y-kesishmani qanday topish kerak
Tenglamadan. Agar u allaqachon \(y = mx + b\) shaklida bo‘lsa, \(x\) ni ko‘paytirib turgan son nishablik \(m\), ozod had esa y-kesishma \(b\) hisoblanadi. Ishoralarga e’tibor bering: \(y = -3x - 4\) tenglamasida nishablik \(m = -3\) va y-kesishma \(b = -4\). Agar tenglama boshqacha ko‘rinishda bo‘lsa (masalan, \(2x + y = 5\)), avval \(y\) ni toping: \(y = -2x + 5\), shunda \(m = -2\) va \(b = 5\).
Ikki nuqta orqali nishablik. Berilgan ikki \((x_1, y_1)\) va \((x_2, y_2)\) nuqtalari uchun nishablik \(y\) dagi o‘zgarishning \(x\) dagi o‘zgarishga nisbati:
\((1, 2)\) va \((3, 8)\) nuqtalari uchun: \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Koordinatalarni surat va maxrajda bir xil tartibda ayiring, aks holda ishora o‘zgarib ketadi.
Nishab shaklida tenglama tuzish
Tenglama tuzish uchun sizga shunchaki nishablik \(m\) va y-kesishma \(b\) kerak, so‘ngra ularni \(y = mx + b\) ga qo‘ying.
- Nishablik va y-kesishma berilganda. \(m = -2\) va \(b = 5\) bo‘lsa, tenglama \(y = -2x + 5\) bo‘ladi. Tayyor.
- Nishablik va bitta nuqta berilganda. Nishablik va \((x, y)\) nuqtasini \(y = mx + b\) ga qo‘ying va \(b\) ni toping. Masalan: \((2, 3)\) nuqtasidan o‘tuvchi \(m = 4\) nishablik uchun \(3 = 4(2) + b\), shunda \(b = 3 - 8 = -5\) va tenglama \(y = 4x - 5\) bo‘ladi.
- Ikki nuqta berilganda. Avval yuqoridagi formula bilan nishablikni toping, so‘ngra \(b\) ni topish uchun bitta nuqtadan foydalaning, xuddi oldingi qadamdagi kabi.
Nishablikning ishorasi chiziq qaysi tomonga yo‘nalganini bir qarashda aytib beradi.
| Nishablik m | Chiziq yo‘nalishi | Misol |
|---|---|---|
| m > 0 | Ko‘tariladi chapdan o‘ngga (yuqoriga) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Pasayadi chapdan o‘ngga (pastga) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Gorizontal — tekis chiziq | y = 3 |
| aniqlanmagan | Vertikal — nishab shaklida emas | x = 5 |
Nishab shaklidagi tenglama misollari
1-misol. m va b ni o‘qing, so‘ngra grafik chizing
Tenglama: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
1-qadam — qismlarni aniqlang. Nishablik \(m = \frac{1}{2}\) va y-kesishma \(b = -2\).
2-qadam — y-kesishmani belgilang. y-o‘qida \((0, -2)\) nuqtasiga nuqta qo‘ying.
3-qadam — nishablikdan foydalaning. \(m = \frac{1}{2}\) degani 1 birlik yuqoriga, 2 birlik o‘ngga degani. \((0, -2)\) dan \((2, -1)\) ga, so‘ngra \((4, 0)\) ga siljing.
4-qadam — chiziqni chizing shu nuqtalar orqali. U sekin ko‘tariladi, chunki nishablik musbat, lekin 1 dan kichik.
2-misol. Ikki nuqta orqali nishablikni topish
Nuqtalar: \((-1, 4)\) va \((2, -2)\)
1-qadam — formulani qo‘llang. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
2-qadam — ishorani tekshiring. Nishablik manfiy, demak chiziq chapdan o‘ngga pasayadi. Bu nuqtalarga mos keladi: \(x\) ortganda, \(y\) kamayadi.
Bu chiziqning nishabligi \(m = -2\).
3-misol. Nishablik va nuqta orqali tenglama tuzish
Berilgan: nishablik \(m = 3\), \((2, 1)\) nuqtasidan o‘tadi.
1-qadam — \(y = mx + b\) dan boshlang \(m = 3\) bilan: \(\; y = 3x + b\).
2-qadam — \((2, 1)\) nuqtasini qo‘ying: \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
3-qadam — \(b\) ni toping: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Tenglama: \(y = 3x - 5\).
4-misol. Nishab shakliga keltirish
Tenglama: \(4x + 2y = 6\)
1-qadam — \(y\) hadini ajrating. Ikkala tomondan \(4x\) ni ayiring: \(2y = -4x + 6\).
2-qadam — 2 ga bo‘ling: \(\; y = -2x + 3\).
3-qadam — m va b ni o‘qing. Endi u nishab shaklida: nishablik \(m = -2\), y-kesishma \(b = 3\).
Nishab shaklidagi tenglama bilan bog‘liq umumiy xatolar
-
m va b ni almashtirib qo‘yish — nishablikni ozod had deb o‘ylash (yoki aksincha).
Nishablik m har doim x ga ko‘paytirilgan son; y-kesishma b esa yolg‘iz turgan son. y = 5x + 2 da nishablik 5, y-kesishma 2 — hech qachon aksincha emas.
-
Nishablik ishorasini tushirib qoldirish, masalan, y = -3x + 1 dagi nishablikni 3 deb atash.
Minus ishorasi nishablikning bir qismidir. Bu yerda m = -3, bu chiziq pasayishini anglatadi. Manfiy nishablik har doim chapdan o‘ngga pastga qarab ketadi.
-
Tiklik va gorizontal masofani aralashtirib yuborish — avval o‘ngga, keyin yuqoriga siljish, natijada nishablik teskari bo‘lib qoladi.
Nishablik — bu tiklik taqsim gorizontal masofa, aksincha emas. 2 = 2/1 nishabligi har 1 birlik o‘ngga siljish uchun 2 birlik yuqoriga ko‘tarilishni anglatadi; 1/2 nishabligi esa har 2 birlik o‘ngga siljish uchun 1 birlik yuqoriga ko‘tarilishni anglatadi. Tiklikni suratda saqlang.
-
y-kesishmani x-qiymati deb o‘qish, masalan, b = 3 ni (3, 0) da belgilash, (0, 3) o‘rniga.
y-kesishma y-o‘qida yashaydi: b har doim (0, b) nuqtasi. Har bir grafikni y-o‘qi bo‘ylab yuqoriga yoki pastga siljish bilan boshlang, x-o‘qi bo‘ylab emas.
-
Nishablik formulasida koordinatalarni turli tartibda ayirish.
Surat va maxrajda bir xil tartibdan foydalaning: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Agar suratda ikkinchi nuqtaning y qiymatidan boshlasangiz, maxrajda ham ikkinchi nuqtaning x qiymatidan boshlang, aks holda ishora o‘zgarib ketadi.
Tez-tez so‘raladigan savollar
Nishab shaklidagi tenglama nima?
Nishab shaklidagi tenglama — bu y = mx + b ko‘rinishida yozilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi, bunda m — nishablik va b — y-kesishma. Bu grafik chizish uchun eng qulay shakl, chunki ham tiklik (m), ham y-o‘qidagi boshlang‘ich nuqta (b) tenglamaning o‘zida ko‘rinib turadi.
y = mx + b dagi m va b nimani anglatadi?
m — nishablik, ya’ni chiziq qanchalik tikligi va u ko‘tarilishi yoki pasayishi, tiklik taqsim gorizontal masofa sifatida o‘lchanadi. b — y-kesishma, ya’ni chiziq vertikal o‘qni kesib o‘tadigan y-qiymat, ya’ni (0, b) nuqtasi.
Ikki nuqta orqali nishablikni qanday topish mumkin?
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) nishablik formulasidan foydalaning: suratda ikki y-qiymatni, maxrajda esa mos keluvchi x-qiymatlarni ayiring. Masalan, (1, 2) va (3, 8) uchun, m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Nishab shaklidagi tenglamani qanday grafiklash kerak?
Avval y-kesishmani (0, b) nuqtasida belgilang. So‘ngra nishablikdan tiklik taqsim gorizontal masofa sifatida foydalanib, ikkinchi nuqtaga o‘ting — tiklik uchun yuqoriga (yoki pastga), gorizontal masofa uchun o‘ngga. Ikki nuqta orqali to‘g‘ri chiziq torting va uni har ikki tomonga davom ettiring.
Nishab shaklida tenglamani qanday yozish kerak?
Nishablik m va y-kesishma b ni toping, so‘ngra ularni y = mx + b ga qo‘ying. Agar sizda faqat nishablik va bitta nuqta bo‘lsa, nuqtani tenglamaga qo‘ying va avval b ni toping. Agar ikki nuqta bo‘lsa, formula bilan nishablikni toping, so‘ngra b ni hisoblang.
Nishablik ishorasi nimani bildiradi?
Musbat nishablik chiziq chapdan o‘ngga ko‘tarilishini bildiradi; manfiy nishablik esa u pasayishini bildiradi. 0 nishablik gorizontal chiziqni hosil qiladi, vertikal chiziq esa aniqlanmagan nishablikka ega, uni nishab shaklida yozib bo‘lmaydi.
