Sonning \(a\) kvadrat ildizi — kvadrati \(a\) ga teng bo'lgan son, arifmetik kvadrat ildiz deb esa faqat uning nomanfiy qiymati ataladi: \(\sqrt{25} = 5\). Ildizni faqat nomanfiy sonlardan chiqarish mumkin, lekin ildiz xossalari og'ir ifodalarni qisqa qilib o'zgartiradi. Ushbu sahifada — ta'rif va aniqlanish sohasi, kvadrat ildizning barcha xossalari formulalar bilan, 1 dan 20 gacha bo'lgan kvadrat ildizlar jadvali, ildiz chiqarish va ko'paytuvchini chiqarish usullari, yechilgan misollar, tez-tez uchraydigan xatolar va interaktiv mashq.
Sonning kvadrat ildizi nima?
Sonning \(a\) kvadrat ildizi — kvadrati \(a\) ga teng bo'lgan son. Ildiz chiqarish va kvadratga ko'tarish o'zaro teskari amallar: \(7^2 = 49\) dan \(49\) ning kvadrat ildizi \(7\) ga tengligi kelib chiqadi.
Ammo musbat sonning ikkita kvadrat ildizi bor va ular faqat ishorasi bilan farqlanadi: \(5^2 = 25\) va \((-5)^2 = 25\), ya'ni \(25\) ning kvadrat ildizlari \(5\) ham, \(-5\) ham bo'ladi. \(\sqrt{25}\) yozuvi bitta sonni bildirishini ta'minlash uchun kelishilgan: \(\sqrt{\phantom{a}}\) belgisi faqat nomanfiy ildizni bildiradi. U arifmetik ildiz deb ataladi.
Yozuvning o'z nomlari bor: \(\sqrt{\phantom{a}}\) belgisi — radikal, uning ostidagi son yoki ifoda — ildiz ostidagi ifoda.
Arifmetik kvadrat ildiz: ta'rif va aniqlanish sohasi
Nomanfiy sonning \(a\) arifmetik kvadrat ildizi deb, kvadrati \(a\) ga teng bo'lgan nomanfiy songa aytiladi. U \(\sqrt{a}\) bilan belgilanadi va «a dan ildiz» deb o'qiladi.
Ta'rifda ikkita shart yashiringan va ikkalasi ham muhim:
- ildiz ostidagi ifoda nomanfiy: \(a \ge 0\);
- ildiz qiymati nomanfiy: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Shundan kelib chiqadiki, \(\sqrt{25} = 5\), \(-5\) emas; \(\sqrt{0} = 0\); va \(\sqrt{-9}\) yozuvi haqiqiy sonlarda ma'noga ega emas — kvadrati manfiy bo'lgan son yo'q.
Birinchi shart ildizli ifoda uchun aniqlanish sohasini belgilaydi. Masalan, \(\sqrt{x-7}\) ifodasi \(x - 7 \ge 0\), ya'ni \(x \ge 7\) da ma'noga ega: \(x\) ning undan kichik har qanday qiymati ildiz ostiga manfiy sonni olib kiradi.
Ta'rifdan \((\sqrt{a})^2 = a\) tengligi ham kelib chiqadi, bunda \(a \ge 0\): ildizni kvadratga ko'tarish ildiz ostidagi sonni qaytaradi. Bu hatto ildizning o'zini aniq hisoblay olmaganimizda ham ishlaydi: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Kvadrat ildizlar jadvali: 1 dan 20 gacha bo'lgan sonlar kvadrati
Ildiz faqat son to'liq kvadrat bo'lgan holdagina butunlay chiqariladi. Shu sababli sonlar kvadrati jadvali kvadrat ildizlar jadvali sifatida ham ishlaydi: uni ikki tomondan o'qiymiz — \(14^2 = 196\), demak \(\sqrt{196} = 14\).
Jadval nafaqat butun sonlar bilan yordam beradi:
- o'nli kasrlar: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), chunki \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- oddiy kasrlar: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — ildiz maxraj va suratdan alohida chiqariladi;
- dumaloq sonlar: \(\sqrt{2500} = 50\), chunki \(2500 = 25 \cdot 100\), va har bir ko'paytuvchidan ildiz ma'lum.
Kvadrat ildiz xossalari
Kvadrat ildiz xossalari har bir ildizni alohida chiqarib o'tirmasdan ifodalarni hisoblashga va javobni soddalashtirishga imkon beradi.
Ko'paytmaning ildizi ildizlar ko'paytmasiga teng: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), bunda \(a \ge 0\) va \(b \ge 0\). Masalan, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — bu \(\sqrt{144}\) bilan bir xil javob.
Bo'linmaning ildizi ildizlar bo'linmasiga teng: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), bunda \(a \ge 0\) va \(b > 0\). Masalan, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). \(b > 0\) sharti qat'iy: nolga bo'lib bo'lmaydi.
Son kvadrati ildizi modulga teng: \(\sqrt{a^2} = |a|\), va bu har qanday \(a\) soni uchun to'g'ri. Bu mavzudagi eng asosiy noziklik. Agar \(a \ge 0\) bo'lsa, hech narsa o'zgarmaydi: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ammo manfiy \(a\) uchun «to'g'rilash» belgisi ishlaydi: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), \(-6\) emas — chunki arifmetik ildiz manfiy bo'lishi mumkin emas.
Ildiz kvadrati ildiz ostidagi sonni qaytaradi: \((\sqrt{a})^2 = a\), bunda \(a \ge 0\).
Ammo yig'indi va ayirma uchun shunga o'xshash xossalar mavjud emas: yig'indi ildizi ildizlar yig'indisiga teng emas. Bu mavzudagi eng tez-tez uchraydigan xato, tahlili — quyida.
| Xossa va shart | Misol |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √ba ≥ 0 va b ≥ 0 uchun | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √ba ≥ 0 va b > 0 uchun | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|har qanday a uchun | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aa ≥ 0 uchun | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bb ≥ 0 uchun | √(25 · 3) = 5√3 |
Sonning kvadrat ildizini qanday chiqarish
Kalkulyator har doim ham yonimizda bo'lmaydi, lekin maktab topshiriqlari deyarli har doim ildiz chiqariladigan qilib tanlanadi. Amalga oshirish tartibi quyidagicha.
- Sonlar kvadrati jadvali bo'yicha tekshiring. Agar son jadvalda bo'lsa, javob tayyor: \(\sqrt{289} = 17\).
- Dumaloq ko'paytuvchini ajrating. Nollari bor sonlardan \(100\), \(10\,000\) va hokazolarni ajratish qulay: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Sodda ko'paytuvchilarga ajrating. Bu universal usul: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), daraja ko'rsatkichlarini yarmiga bo'lib, \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\) ni olamiz.
- O'nli kasrni oddiy kasrga aylantiring. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Shu bilan birga, bu razryadni yo'qotishdan saqlaydi.
- Agar to'liq kvadrat bo'lmasa — ildiz irratsional bo'ladi. U holda uni belgisi bilan qoldirishadi (shunday yozishadi: \(\sqrt{30}\)), yoki qo'shni kvadratlar orasida baholashadi.
Tekshirish bir soniya davom etadi: olingan sonni kvadratga ko'taring va ildiz ostidagi son qaytdimi yo'qmi ko'ring. \(24^2 = 576\) — to'g'ri.
Ko'paytuvchini ildiz belgisi ostidan chiqarish
Ildiz kamdan-kam hollarda «xom» qoldiriladi — undan chiqariladigan hamma narsa chiqariladi. \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) xossasi ishlaydi, bunda \(b \ge 0\): ildiz ostidagi sonning eng katta kvadrat bo'luvchisini qidiramiz.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Teskarisi — ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritish: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\), bunda \(a \ge 0\). Masalan, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Manfiy ko'paytuvchi bilan ehtiyot bo'lish kerak: minus ildiz ostiga kirmaydi va tashqarida qoladi. To'g'ri yozuv — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), \(\sqrt{12}\) emas.
Nima uchun bu kerak: ko'paytuvchini chiqargandan so'ng, bir xil ildiz ostidagi ifodaga ega ildizlar o'xshash qo'shiluvchilarga aylanadi va ularni qo'shish mumkin. Ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritish esa ikkita ildizli ifodani taqqoslashning eng tez usuli.
Chiqarilmaydigan kvadrat ildiz nimaga teng
Agar ildiz ostidagi son to'liq kvadrat bo'lmasa, ildiz — irratsional son: uning o'nli yozuvi cheksiz va davriy emas. Masalan, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), va aniq qiymati faqat \(\sqrt{2}\) belgisi bilan yoziladi. Yumaloqlangan javob faqat topshiriqda so'ralganda yoziladi.
Bunday ildizni kalkulyatorsiz baholash mumkin: ildiz ostidagi son joylashgan ikkita qo'shni to'liq kvadratni toping. Taqqoslash qoidasi ishlaydi: \(a \ge 0\) va \(b \ge 0\) uchun \(a < b\) dan \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) kelib chiqadi — katta ildiz ostidagi songa katta ildiz to'g'ri keladi.
Kvadrat ildizli hisoblash misollari
1-misol. Ildizli ifodaning qiymati
Hisoblang \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
1-qadam. \(\sqrt{121} = 11\), chunki \(11^2 = 121\).
2-qadam. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), chunki \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
3-qadam. Kasrdan ildiz surat va maxrajdan chiqariladi: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
4-qadam. Qo'shamiz: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Javob: 11.
2-misol. Ko'paytmaning ildizi
Hisoblang \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
1-qadam. Bu ildizlarni alohida chiqarib bo'lmaydi, shuning uchun ularni bitta ildiz ostiga olamiz: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
2-qadam. Ildiz ostidagi ko'paytmani hisoblaymiz: \(8 \cdot 18 = 144\).
3-qadam. \(\sqrt{144} = 12\).
Boshqa yo'l — ko'paytuvchilarni oldindan chiqarish: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) va \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), unda \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Javoblar mos keldi.
Javob: 12.
3-misol. Ko'paytuvchilarga ajratish orqali ildiz chiqarish
Hisoblang \(\sqrt{576}\) va \(\sqrt{6400}\).
1-qadam. 576 soni kvadratlar jadvalida yo'q, shuning uchun uni sodda ko'paytuvchilarga ajratamiz: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
2-qadam. Daraja ko'rsatkichlarini yarmiga bo'lamiz: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
3-qadam. Tekshirish. \(24^2 = 576\) — to'g'ri.
4-qadam. 6400 sonidan dumaloq ko'paytuvchini ajratish qulayroq: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Tekshirish: \(80^2 = 6400\).
Javob: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
4-misol. Ko'paytuvchini chiqarish va o'xshash qo'shiluvchilarni keltirish
Soddalashtiring \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
1-qadam. Har bir ildizdan ko'paytuvchilarni chiqaramiz: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), demak \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
2-qadam. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
3-qadam. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
4-qadam. Faqat bir xil ildiz ostidagi ifodaga ega ildizlarni qo'shish mumkin: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), va \(\sqrt{3}\) li qo'shiluvchi alohida qoladi.
Javob: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
5-misol. O'zgaruvchili son kvadrati ildizi
Soddalashtiring \(\sqrt{(x-4)^2}\), bunda \(x < 4\).
1-qadam. Kvadrat ildizi xossasiga ko'ra \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — darhol modulni yozamiz, \(x - 4\) ni emas.
2-qadam. Modulni shart bo'yicha ochamiz. Agar \(x < 4\) bo'lsa, unda \(x - 4\) ayirma manfiy bo'ladi, va manfiy sonning moduli — unga teskari son: \(|x-4| = 4 - x\).
3-qadam. Tekshirish. \(x = 1\) ni olamiz: chapda \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), o'ngda \(4 - 1 = 3\) — to'g'ri keldi.
Javob: \(4 - x\). Taqqoslash uchun, \(x \ge 4\) bo'lganda javob \(x - 4\) bo'ladi.
6-misol. Ildizli sonlarni taqqoslash
Taqqoslang \(3\sqrt{5}\) va \(5\sqrt{2}\).
1-qadam. Ikkala son ham musbat, shuning uchun ko'paytuvchilarni ildiz ostiga kiritamiz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
2-qadam. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
3-qadam. Ildiz ostidagi sonlarni taqqoslaymiz: \(45 < 50\), va katta ildiz ostidagi songa katta ildiz to'g'ri keladi.
Javob: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Kvadrat ildiz bilan ishlashda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Modulni unutib, $\sqrt{a^2} = a$ deb yozishadi.
To'g'ri tenglik — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Manfiy son uchun bu muhim: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), \(-13\) emas. Arifmetik ildiz manfiy bo'lishi mumkin emas, shuning uchun ildiz ostidagi belgi «to'g'rilanadi».
-
Yig'indi ildizi ildizlar yig'indisiga teng deb hisoblashadi: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Bunday xossa yo'q. Avval ildiz ostidagi amalni bajaramiz: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), 7 emas. Xossalar faqat ko'paytma va bo'linma uchun mavjud: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) va \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
$\sqrt{49} = \pm 7$ deb javob berishadi.
\(\sqrt{49} = 7\) — arifmetik ildiz har doim bitta va u nomanfiy. Ikki qiymat boshqa topshiriqda paydo bo'ladi: \(x^2 = 49\) tenglamasining ildizlari \(x = 7\) va \(x = -7\). Ildiz yozuvini tenglama yechimi bilan almashtirish mumkin emas.
-
«Minusga minus» deb o'ylab, $\sqrt{-16} = -4$ deb yozishadi.
Ildiz ostida manfiy son bo'lishi mumkin emas: \((-4)^2 = 16\), \(-16\) emas, shuning uchun \(\sqrt{-16}\) haqiqiy sonlarda mavjud emas. Aytgancha, \(-\sqrt{16} = -4\) ifodasi to'g'ri — minus ildiz oldida turibdi, ostida emas.
-
Manfiy ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritishadi: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) qoidasi faqat \(a \ge 0\) uchun ishlaydi. Minus tashqarida qoladi: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Belgisi bilan tekshirish: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), va \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — teskari sonlar.
-
O'nli kasrning razryadini yo'qotishadi: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Teskarisiga kvadratga ko'tarib tekshiring: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), to'g'ri kelmadi. To'g'ri \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), chunki \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Ishonchli usul — oddiy kasrga o'tish: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Ildiz har doim sondan kichik bo'ladi deb ishonishadi.
Bu faqat birlikdan katta sonlar uchun to'g'ri. 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda hamma narsa teskari: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), va \(0{,}5\) sonidan \(0{,}25\) kichik. 0 va 1 uchun esa ildiz songa teng.
Savollar va javoblar
Arifmetik kvadrat ildiz sodda so'zlar bilan nima?
Bu nomanfiy son bo'lib, uni kvadratga ko'targanda ildiz ostidagi son hosil bo'ladi. \(\sqrt{a}\) bilan belgilanadi, bunda ildiz ostidagi ifoda nomanfiy bo'lishi kerak: \(a \ge 0\). Masalan, \(\sqrt{64} = 8\), chunki \(8 \ge 0\) va \(8^2 = 64\).
Kvadrat ildiz arifmetik kvadrat ildizdan nimasi bilan farq qiladi?
Musbat sonning ikkita kvadrat ildizi bor — ishorasi bilan farqlanadi. Arifmetik deb faqat ularning nomanfiyidan biri ataladi, va aynan uni \(\sqrt{\phantom{a}}\) belgisi bildiradi. Shuning uchun \(\sqrt{25} = 5\), garchi \(x^2 = 25\) tenglamasining ikkita ildizi bor: 5 va \(-5\).
Sonning kvadrat ildizini kalkulyatorsiz qanday chiqarish mumkin?
Avval sonni kvadratlar jadvali bo'yicha tekshiring. Agar u yerda bo'lmasa — ko'paytuvchilarga ajrating va to'liq kvadratlarni ajrating: \(784 = 16 \cdot 49\), shuning uchun \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Javobni har doim teskari amal bilan tekshiring: \(28^2 = 784\).
Manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish mumkinmi?
Haqiqiy sonlarda — yo'q: har qanday sonning kvadrati nomanfiy bo'ladi, shuning uchun \(\sqrt{-9}\) ifodasi ma'noga ega emas. Aynan shu shartdan aniqlanish sohasini topishadi: masalan, \(\sqrt{x-7}\) faqat \(x \ge 7\) da mavjud.
Son kvadrati ildizi nimaga teng?
Bu sonning moduliga teng: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Nomanfiy \(a\) uchun sonning o'zi, manfiy \(a\) uchun unga teskari son hosil bo'ladi: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Ko'paytuvchini ildiz belgisi ostidan qanday chiqarish mumkin?
Ildiz ostidagi sonning eng katta kvadrat bo'luvchisini toping va \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) xossasini qo'llang. Masalan, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Teskari amal — ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritish: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
2 ning kvadrat ildizi nimaga teng?
\(\sqrt{2}\) soni irratsional: uning o'nli yozuvi cheksiz va davriy emas, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Kasr shaklida aniq qiymati mavjud emas, shuning uchun javoblarda uni \(\sqrt{2}\) belgisi bilan qoldirishadi, faqat topshiriq sharti talab qilsagina yumaloqlanadi.
Ildizli ikkita sonni ularni hisoblamasdan qanday taqqoslash mumkin?
Ko'paytuvchilarni ildiz ostiga kiritib, ildiz ostidagi sonlarni taqqoslang: katta ildiz ostidagi songa katta ildiz to'g'ri keladi. Masalan, \(\sqrt{17}\) va 4: \(4 = \sqrt{16}\) va \(17 > 16\) bo'lgani uchun, \(\sqrt{17} > 4\).
Kvadrat ildizlar qaysi sinfda o'rganiladi?
8-sinfda algebra darslarida: avval arifmetik kvadrat ildiz ta'rifi va uning xossalari, keyin ildizli ifodalarni o'zgartirish va \(x^2 = a\) ko'rinishidagi tenglamalarni yechish. Keyin ildizlar diskriminant formulasi va OGE hamda UEGA topshiriqlarida uchraydi.
