Bo'linish belgilari — bu bo'lish amalini bajarish shart emasligini bilish imkonini beruvchi qoidalar: oxirgi raqamlarga qarash yoki sonning barcha raqamlarini qo'shish kifoya. Ushbu sahifada 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 va 25 ga bo'linish belgilari jadvali, 3 va 9 ga bo'linish belgilarini raqamlar yig'indisi orqali ko'rgazmali tahlil qilish, yechimli misollar, tez-tez uchraydigan xatolar va o'zingizni darhol tekshirib ko'rishingiz mumkin bo'lgan interaktiv mashqlar to'plangan.
Bo'linish belgisi nima?
Bo'linish belgisi — bu bo'lish amalini bajarish shart emasligini bilish imkonini beruvchi qoida. Oxirgi raqamlarga qarash yoki sonning barcha raqamlarini qo'shish kifoya.
Bo'linish belgilari sonning «tuzilishini» tezda tushunish kerak bo'lgan hamma joyda yordamga keladi:
- kasrlarni qisqartirishda — sur'at va maxrajni nimaga qisqartirishni darhol bilib olish mumkin;
- sonni tub ko'paytuvchilarga ajratishda;
- umumiy bo'luvchi va umumiy karralini topishda;
- misol va masalalarda javobni tez tekshirishda.
Ikki xil savolni chalkashtirmaslik muhim. «3726 soni 9 ga bo'linadimi?» — bunga bo'linish belgisi javob beradi: raqamlar yig'indisi 3 + 7 + 2 + 6 = 18 soni 9 ga bo'linadi, demak ha. «Qancha bo'ladi?» — bu bo'lishning o'zi: 3726 : 9 = 414. Belgisi faqat «ha» yoki «yo'q» degan javobni beradi, lekin tez va yodda.
Bo'linish belgilari jadvali
Barcha maktab bo'linish belgilari bitta jadvalda ko'z oldida turishi qulay. Rang qayerga qarash kerakligini bildiradi: oxirgi raqamga, raqamlar yig'indisiga, ikki-uch oxirgi raqamdan iborat «quyruq»ga yoki darhol ikkita belgiga.
| Nima uchun | Bo'linish belgisi | Misol |
|---|---|---|
| 2 | oxirgi raqam 0, 2, 4, 6 yoki 8 | 3726 → 6 |
| 3 | raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linadi | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | oxirgi ikki raqam 4 ga bo'linadi | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | oxirgi raqam 0 yoki 5 | 1435 → 5 |
| 6 | bir vaqtning o'zida 2 va 3 ga bo'linadi | 5124 → 4 va 12 |
| 8 | oxirgi uch raqam 8 ga bo'linadi | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linadi | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | oxirgi raqam 0 | 2340 → 0 |
| 11 | raqamlar oxiridan boshlab + va − bilan; yig'indi 11 ga bo'linadi | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | oxirgi ikki raqam 00, 25, 50 yoki 75 | 1875 → 75 |
2, 5 va 10 ga bo'linish belgilari
Eng sodda guruh: faqat oxirgi raqamga qaraymiz, qolganlari muhim emas.
- 2 ga barcha juft sonlar bo'linadi — 0, 2, 4, 6 yoki 8 bilan tugaydiganlar;
- 5 ga — 0 yoki 5 bilan tugaydigan sonlar;
- 10 ga — 0 bilan tugaydigan sonlar.
Sonning uzunligi ahamiyatga ega emas: 987 654 320 soni 0 bilan tugaganligi sababli ham 2, ham 5, ham 10 ga bo'linadi. 1435 esa 5 ga bo'linadi (oxirgi raqami 5), lekin 2 yoki 10 ga bo'linmaydi — son toq.
Shundan foydali xulosa kelib chiqadi: 10 ga faqat bir vaqtning o'zida 2 va 5 ga bo'linadigan sonlar bo'linadi.
3 va 9 ga bo'linish belgilari: raqamlar yig'indisi
Bu yerda oxirgi raqam hech narsani hal qilmaydi — sonning barcha raqamlarining yig'indisi ishlaydi:
- son 3 ga bo'linadi, agar uning raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linsa;
- son 9 ga bo'linadi, agar uning raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linsa.
Agar yig'indi katta bo'lib chiqsa, belgi uni yana bir marta qo'llash mumkin: 899 991 sonining raqamlar yig'indisi 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, 45 ning yig'indisi esa 4 + 5 = 9 — demak, dastlabki son ham 9, ham 3 ga bo'linadi.
Belgilar o'xshash, lekin bir-birini o'rnini bosmaydi. 9 ga bo'linadigan har qanday son 3 ga ham bo'linadi — chunki to'qqizning o'zi uchga bo'linadi. Aksincha bo'lmaydi: raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linishi mumkin, lekin 9 ga bo'linmasligi mumkin, va unda son faqat ikkita belgidan birini bajaradi. Ikkala holat ham quyida tahlil qilingan.
4, 8 va 25 ga bo'linish belgilari: sonning quyruq qismiga qarash
Bu yerda bitta oxirgi raqam kamlik qiladi — bir nechta oxirgi raqamdan iborat «quyruq» kerak:
- 4 ga sonning oxirgi ikki raqami 4 ga bo'linadigan sonni hosil qilsa bo'linadi;
- 8 ga — agar oxirgi uch raqami 8 ga bo'linadigan sonni hosil qilsa;
- 25 ga — agar oxirgi ikki raqam 00, 25, 50 yoki 75 ni hosil qilsa.
Nima uchun quyruq yetarli: 100 ham 4, ham 25 ga bo'linadi, 1000 esa 8 ga bo'linadi. Shuning uchun chapdagi hamma narsa allaqachon kerakli songa bo'linadi va javobga ta'sir qilmaydi.
Shundan muhim xulosa kelib chiqadi: to'rtlik va sakkizlik uchun juftlik yetarli emas. Son juft bo'lishi mumkin, lekin agar uning ikki yoki uch raqamdan iborat quyruq qismi butunlay bo'linmasa, unda butun son ham bo'linmaydi. Quyruqlarni tahlil qilish — quyidagi qo'shimchada.
6 ga bo'linish belgisi
Oltilikning o'ziga xos alohida qoidasi yo'q: 6 = 2 · 3, va ko'paytuvchilar o'zaro tub. Shuning uchun belgi murakkab — son 6 ga bo'linadi, agar u bir vaqtning o'zida 2 va 3 ga bo'linsa.
5124 ni tekshiramiz: oxirgi raqami 4 — son juft, demak 2 ga bo'linadi; raqamlar yig'indisi 5 + 1 + 2 + 4 = 12 soni 3 ga bo'linadi. Ikkala shart ham bajarilgan → 5124 : 6 = 854.
Faqat juftlik yetarli emas: 1000 — juft, lekin uning raqamlar yig'indisi 1 va 3 ga bo'linmaydi, shuning uchun son 6 ga bo'linmaydi. Aksincha yarmi ham ishlamaydi: 4521 ning raqamlar yig'indisi 12 soni 3 ga bo'linadi, lekin sonning o'zi toq — 6 ga ham bo'linmaydi.
Xuddi shunday boshqa murakkab belgilar ham tuziladi: 12 ga — 3 va 4 ga bo'linadi, 15 ga — 3 va 5 ga, 18 ga — 2 va 9 ga, 45 ga — 5 va 9 ga.
11 ga bo'linish belgisi
11 ga bo'linish belgisi belgili navbatlashuvchi raqamlar yig'indisini ishlatadi. Raqamlar oxiridan boshlab, navbatma-navbat belgini o'zgartirib qo'shiladi: plyus, minus, plyus, minus. Agar natija 11 ga bo'linsa (nolga teng bo'lishi ham mumkin), unda butun son ham 11 ga bo'linadi.
Shu belgi ko'pincha boshqacha ifodalanadi: toq o'rinlarda turgan raqamlar yig'indisi bilan juft o'rinlarda turgan raqamlar yig'indisi orasidagi ayirma 11 ga bo'linishi kerak. Bu bir xil qoida.
Bo'linish belgilari bo'yicha misollar
1-misol. 7254 soni qaysi sonlarga bo'linadi
Topshiriq. 7254 sonining 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 sonlaridan qaysilariga bo'linishini aniqlang.
1-qadam. 2 ga. Oxirgi raqami 4 — juft. Bo'linadi: 7254 : 2 = 3627.
2-qadam. 5 va 10 ga. Son 4 bilan tugaydi, 0 yoki 5 bilan emas. Na 5, na 10 ga bo'linmaydi.
3-qadam. 3 va 9 ga. Raqamlar yig'indisi: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. U ham 3, ham 9 ga bo'linadi. Demak, 7254 : 3 = 2418 va 7254 : 9 = 806.
4-qadam. 6 ga. Son 2 va 3 ga bo'linadi — demak, 6 ga bo'linadi: 7254 : 6 = 1209.
5-qadam. 4 ga. Oxirgi ikki raqam 54 hosil qiladi, va 54 soni 4 ga bo'linmaydi. Bo'linmaydi.
Javob. 7254 soni 2, 3, 6 va 9 ga bo'linadi.
2-misol. 4715 soni 3 va 9 ga bo'linadimi
Topshiriq. 4715 sonining 3 va 9 ga bo'linishini tekshiring.
1-qadam. Raqamlarni qo'shamiz: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
2-qadam. 3 ga. 17 soni 3 ga bo'linmaydi (eng yaqin karralilar — 15 va 18). Demak, 4715 ham 3 ga bo'linmaydi.
3-qadam. 9 ga. 17 soni 9 ga ham bo'linmaydi. Demak, 4715 ham 9 ga bo'linmaydi.
Sonning nimalarga bo'linishi mumkinligi. Oxirgi raqami 5 → son 5 ga bo'linadi: 4715 : 5 = 943. 2 va 10 ga bo'linmaydi — u toq.
Javob. 4715 soni na 3, na 9 ga bo'linmaydi.
3-misol. 4 va 8 ga bo'linish: 6248 soni
Topshiriq. 6248 sonining 4 va 8 ga bo'linishini tekshiring.
1-qadam. 4 ga. Oxirgi ikki raqamni olamiz: 48. 48 soni 4 ga bo'linadi (48 : 4 = 12), demak 6248 ham bo'linadi: 6248 : 4 = 1562.
2-qadam. 8 ga. Oxirgi uch raqamni olamiz: 248. Bo'lamiz: 248 : 8 = 31 — bo'linadi. Demak, 6248 : 8 = 781.
Teskarisiga mulohaza yuritishda ehtiyot bo'ling. 4 ga bo'linishdan 8 ga bo'linish kelib chiqmaydi: 6244 sonining 44 quyruq qismi 4 ga bo'linadi (6244 : 4 = 1561), lekin oxirgi uch raqami 244 soni 8 ga bo'linmaydi — son 8 ga bo'linmaydi.
Javob. 6248 soni ham 4, ham 8 ga bo'linadi.
4-misol. 11 ga bo'linish belgisi: 2926 soni
Topshiriq. 2926 sonining 11 ga bo'linishini tekshiring.
1-qadam. Raqamlarni yozib, oxiridan boshlab belgilar qo'yamiz: oxirgi raqam plyus belgisi bilan, keyin navbatma-navbat minus va plyus.
2-qadam. Belgili navbatlashuvchi yig'indini hisoblaymiz: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
3-qadam. Natija 11 soni 11 ga bo'linadi → butun son ham bo'linadi.
Bo'lish orqali tekshirish. 2926 : 11 = 266.
Javob. 2926 soni 11 ga bo'linadi.
5-misol. Bo'linish belgilari yordamida kasrni qisqartirish
Topshiriq. 270/378 kasrini qisqartiring.
1-qadam. Raqamlar yig'indisini hisoblaymiz: 2 + 7 + 0 = 9 va 3 + 7 + 8 = 18. Ikkalasi ham 9 ga bo'linadi → ham sur'at, ham maxraj 9 ga bo'linadi.
2-qadam. 9 ga qisqartiramiz: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. 30/42 hosil bo'ladi.
3-qadam. Ikkala son ham juft → 2 ga qisqartiramiz: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. 15/21 hosil bo'ladi.
4-qadam. Raqamlar yig'indisi 6 va 3 sonlari 3 ga bo'linadi → 3 ga qisqartiramiz.
Javob. 270/378 = 5/7.
Bo'linish belgilari bo'yicha tez-tez uchraydigan xatolar
-
6 ga bo'linishni faqat juftlik bo'yicha tekshirish: son juft bo'lsa — demak, 6 ga bo'linadi.
Ikkala shart ham bir vaqtda bajarilishi kerak: ham 2 ga, ham 3 ga. 7124 soni juft, lekin uning raqamlar yig'indisi 14 soni 3 ga bo'linmaydi, shuning uchun 6 ga bo'linmaydi. Aksincha: 3471 uchlik belgisini o'tadi (yig'indi 15, 3471 : 3 = 1157), lekin toq — 6 ga ham bo'linmaydi.
-
4 ga bo'linish uchun bitta oxirgi raqamga qarash: «8 soni 4 ga bo'linadi, demak 9138 ham mos keladi».
To'rtlik uchun IKITA oxirgi raqam olinadi. 9138 da bu 38, va 38 soni 4 ga bo'linmaydi. To'g'ri misol: 9136 da 36 quyruq qismi, 36 : 4 = 9, demak 9136 : 4 = 2284. Sakkizlik uchun quyruq yanada uzunroq — uch raqam.
-
9 ga bo'linish belgisi oxirgi raqam bo'yicha tekshiriladi: 9 yoki 0 bilan tugaydigan sonlar qidiriladi.
Oxirgi raqam to'qqizlik uchun hech narsani anglatmaydi. Barcha raqamlar yig'indisi hisoblanadi: 4563 da bu 18, yig'indi 9 ga bo'linadi — va son bo'linadi (4563 : 9 = 507), garchi 3 bilan tugasa ham.
-
Agar son 3 ga bo'linsa, demak 9 ga ham bo'linadi deb hisoblash.
Faqat bir tomonga ishlaydi: 9 ga bo'linadi → 3 ga ham bo'linadi. Teskarisi noto'g'ri. 8241 ning raqamlar yig'indisi 15: 3 ga bo'linadi (8241 : 3 = 2747), lekin 9 ga bo'linmaydi.
-
11 ga bo'linish belgisi uchun barcha raqamlarni oddiygina qo'shish, 3 va 9 kabi.
O'n bir uchun yig'indi belgili navbatlashuvchi bo'ladi: raqamlar oxiridan boshlab, har biridan keyin belgi o'zgarib qo'shiladi. 6479 uchun bu 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → bo'linadi (6479 : 11 = 589). Oddiy raqamlar yig'indisi bu yerda 26 ga teng va hech narsani bildirmaydi.
-
Bo'linish belgisi bo'lish amali bilan chalkashtiriladi: «5391 soni 9 ga bo'linadimi» degan savolga «ha, 18» deb javob berish.
18 — bu raqamlar yig'indisi, belgi uchun oraliq natija. Bo'linmani alohida hisoblash kerak: 5391 : 9 = 599. Belgisi faqat «bo'linadi / bo'linmaydi» degan javobni beradi.
Savollar va javoblar
Bo'linish belgisi sodda so'z bilan nima?
Bu bo'lish amalini bajarish shart emasligini bilish imkonini beruvchi qoida. Odatda sonning oxirgi raqamlariga qarash yoki uning barcha raqamlarini qo'shish kifoya.
Son 3 ga bo'linishini qanday bilish mumkin?
Sonning barcha raqamlarini qo'shing. Chiqqan yig'indi 3 ga bo'linsa, sonning o'zi ham 3 ga bo'linadi. Masalan, 2571 ning raqamlar yig'indisi 2 + 5 + 7 + 1 = 15, va 15 soni 3 ga bo'linadi → 2571 : 3 = 857.
3 ga bo'linish belgisi 9 ga bo'linish belgisidan nima bilan farq qiladi?
Qoida bir xil — raqamlar yig'indisini hisoblaymiz, lekin uni turli sonlarga tekshiramiz: uchlik uchun yig'indi 3 ga, to'qqizlik uchun — 9 ga bo'linishi kerak. Shuning uchun 9 ga bo'linadigan har qanday son 3 ga ham bo'linadi, aksincha har doim ham emas: 9420 ning raqamlar yig'indisi 15 soni 3 ga bo'linadi (9420 : 3 = 3140), lekin 9 ga bo'linmaydi.
Agar raqamlar yig'indisi katta bo'lib chiqsa, nima qilish kerak?
Belgini yana bir marta qo'llang — endi yig'indining o'ziga. 777 771 sonining raqamlar yig'indisi 36, 36 ning yig'indisi esa 3 + 6 = 9. To'qqizlik 9 ga bo'linadi, demak dastlabki son ham 9 ga bo'linadi (va shu bilan birga 3 ga ham): 777 771 : 9 = 86 419.
7 ga bo'linish belgisi bormi?
Yettilik uchun oddiy qoida, masalan raqamlar yig'indisi kabi, yo'q va maktab bo'linish belgilari jadvaliga kiritilmaydi. Bir usul bor: oxirgi raqamni olib tashlang, uni ikkilang va qolgan sondan ayiring. Masalan, 343 uchun: 3 ni olib tashlaymiz, ikkilaymiz — 6, hisoblaymiz 34 − 6 = 28. 28 soni 7 ga bo'linadi, demak 343 ham bo'linadi: 343 : 7 = 49.
12, 15 va 45 ga bo'linish belgilari qanday?
Ular murakkab — son ikkita belgini bir vaqtda o'tashi kerak: 12 ga — 3 va 4 ga bo'linishi, 15 ga — 3 va 5 ga, 45 ga — 5 va 9 ga bo'linishi. Ko'paytuvchilar o'zaro tub bo'lishi muhim: 12 = 2 · 6 ajratmasi to'g'ri kelmaydi, chunki 18 soni ham 2, ham 6 ga bo'linadi, lekin 12 ga bo'linmaydi.
Bo'linish belgilari qaysi sinfda o'rganiladi?
6-sinfda matematika darslarida: avval 10, 5 va 2 ga bo'linish belgilari, keyin 3 va 9 ga. 4, 8, 11 va 25 ga bo'linish belgilari odatda qo'shimcha ravishda tahlil qilinadi — ular kasrlarni qisqartirishda va olimpiadalarda foydali bo'ladi.
