Proporsiya — bu ikki nisbatning tengligi, masalan \(2:3 = 8:12\). Proporsiyalarni yechish uchun faqat bitta vosita kerak — proporsiyaning asosiy xossasi: chetki hadlar koʻpaytmasi oʻrta hadlar koʻpaytmasiga teng. Maktabda uni «xochma-xoch» qoidasi deb atashadi. Quyida — nisbat va proporsiya nima, nomaʼlum hadni qanday topish, toʻgʻri proporsionallik teskari proporsionallikdan nimasi bilan farq qiladi, retsept, shkala va narx haqidagi masalalar tahlili, foizlarga oʻtish va 10 ta masaladan iborat mashq.
Nisbat va proporsiya nima
Ikkita sonning nisbati — bu ularning boʻlinmasi. \(2:3\) nisbati («ikki uchga nisbati» deb oʻqiladi) bir son ikkinchisidan necha marta katta ekanligini yoki bir son ikkinchisining qanday qismini tashkil etishini koʻrsatadi. Uni ikki usulda yozish mumkin: \(2:3\) yoki \(\frac{2}{3}\) kasr koʻrinishida — bu bir xil maʼnoni bildiradi.
Proporsiya — bu ikki nisbatning tengligi:
Proporsiyada jami toʻrtta son boʻladi va ularning nomlari bor. Yozuvning chekkalaridagi sonlar — chetki hadlar, oʻrtadagi sonlar — oʻrta hadlar. Proporsiya toʻgʻri boʻladi, qachonki ikkala nisbat ham bir xil songa teng boʻlsa.
Proporsiyaning asosiy xossasi: «xochma-xoch» qoidasi
Proporsiyaning asosiy xossasi: chetki hadlar koʻpaytmasi oʻrta hadlar koʻpaytmasiga teng.
Bu qanday hosil boʻladi? \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) tenglikning ikkala tomonini ham \(b \cdot d\) ga koʻpaytiramiz. Chap tomonda \(b\), oʻng tomonda — \(d\) qisqaradi va faqat \(a \cdot d = c \cdot b\) qoladi. Bu sehr emas — tengliklarning oddiy xossasi.
Shay oʻquvchilar buni «proporsiyalarni xochma-xoch yechish» deb atashadi: sonlar diagonal boʻyicha, xochma-xoch koʻpaytiriladi. Xossa teskari tomonga ham ishlaydi: agar toʻrtta son (ularning hech biri nolga teng boʻlmasa) uchun \(a \cdot d = b \cdot c\) tenglik bajarilsa, ulardan toʻgʻri proporsiya tuzish mumkin.
Bu yerdan darhol ikkita koʻnikma kelib chiqadi: proporsiya toʻgʻri ekanligini tekshirish va undagi nomaʼlum sonni topish.
Proporsiyaning nomaʼlum hadini qanday topish
Asosiy xossadan ikkita qisqa qoida kelib chiqadi:
- nomaʼlum chetki had = oʻrta hadlar koʻpaytmasi : maʼlum chetki had;
- nomaʼlum oʻrta had = chetki hadlar koʻpaytmasi : maʼlum oʻrta had.
Ularni yodlab olish shart emas. Bitta universal usul kifoya: xochma-xoch koʻpaytirish, «son \(\cdot\, x\) = son» koʻrinishidagi tenglikni hosil qilish va boʻlish. Buni \(x : 7 = 12 : 21\) proporsiyasi misolida bosqichma-bosqich koʻrib chiqamiz.
Oxirgi bosqich — tekshirish — besh soniya vaqt oladi va deyarli har qanday arifmetik xatoni aniqlaydi, shuning uchun uni oʻtkazib yubormaslik kerak.
Toʻgʻri va teskari proporsionallik
Ikki kattalik toʻgʻri proporsiyali deb ataladi, agar birini bir necha marta oshirganimizda ikkinchisi ham shuncha marta oshsa. Ikkita daftar sotib olindi — ikki marta koʻp pul toʻlandi. Bunday kattaliklarda ularning nisbati doimiy boʻladi.
Kattaliklar teskari proporsiyali boʻladi, agar birini bir necha marta oshirganimizda ikkinchisi shuncha marta kamaysa. Ikki marta koʻp ishchi — bir xil ishga ikki marta kam kun kerak boʻladi. Bunday kattaliklarda ularning koʻpaytmasi doimiy boʻladi.
Asosiy farqni proporsiyani yozish paytida koʻrish mumkin. Toʻgʻri bogʻlanish uchun u «boricha» tuziladi: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Teskari bogʻlanish uchun ikkinchi nisbat oʻgiriladi: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Nima uchun? Teskari bogʻlanish uchun koʻpaytma doimiy boʻladi: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Ikkala tomonni ham \(a_2 \cdot b_1\) ga boʻlsak — aynan \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) hosil boʻladi. Shuning uchun «oʻgirish» — yodda saqlash kerak boʻlgan sehr emas, balki nisbat emas, balki koʻpaytma doimiy qolishining natijasidir.
| Belgi | Toʻgʻri | Teskari |
|---|---|---|
| Bogʻlanish | koʻp → koʻp | koʻp → kam |
| Doimiy | nisbat a : b | koʻpaytma a × b |
| Yozuv | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Misol | 3 ruchka — 90 ₽, 5 ruchka — 150 ₽ | 4 molyarchi — 9 kun, 6 molyarchi — 6 kun |
Retsept, shkala, narx haqidagi masalalarga qanday qilib proporsiya tuzish
«Proporsiya haqida» matnli masalalar bir ssenariy boʻyicha yechiladi:
- Shartni ikki ustunga yozing, shunda bir xil kattaliklar bir-birining ostida tursin (porsiyalar porsiyalar ostida, grammlar grammlar ostida).
- Izlanayotgan kattalikni \(x\) bilan belgilang.
- Bogʻlanish turini aniqlang: birinchi kattalikni miyada oshiring va ikkinchisi oʻsadimi yoki kamayishini koʻring.
- Proporsiyani tuzing — teskari bogʻlanish uchun ikkinchi nisbatni oʻgiring.
- Xochma-xoch yeching va chiqqan javob mantiqiy ekanligini tekshiring.
Retsept misolida koʻrsatamiz. 4 porsiya blinchik tayyorlash uchun 300 g un kerak — 6 porsiya uchun qancha un kerak? Porsiyalar koʻpaydi, demak un ham koʻpayadi: bogʻlanish toʻgʻri, proporsiya «boricha» tuziladi:
6 porsiya uchun 450 g un kerak. Javob mantiqiy: porsiyalar bir yarim marta koʻpaydi, un ham bir yarim marta koʻp kerak boʻldi.
Xuddi shu tarzda shkala (xaritadagi masofa yer yuzasidagi masofaga shkala soniga nisbati kabi nisbatda boʻladi) va narx (tovarlar miqdori miqdorga nisbati narxga nisbati kabi nisbatda boʻladi) haqidagi masalalar yechiladi. Toʻliq tahlillar — quyidagi misollarda.
Proporsiya orqali foizlar
Foiz — bu sonning yuzdan bir qismi, shuning uchun har qanday oddiy foiz masalasi proporsiyaga aylanadi:
Bu yerda toʻrtta sondan biri nomaʼlum — uni xochma-xoch topamiz.
Qismni topish. 240 ning 15% necha boʻladi? \(x : 240 = 15 : 100\) deb tuzamiz, demak \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) va \(x = 36\).
Butunni topish. 21 soni biror sonning 35% ini tashkil qiladi. \(21 : x = 35 : 100\) deb tuzamiz, demak \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) va \(x = 60\).
Foizni topish. 18 soni 45 ning necha foizini tashkil qiladi? \(18 : 45 = p : 100\) deb tuzamiz, demak \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) va \(p = 40\), yaʼni 40%.
Bir usul — uch xil turdagi masala, hech qanday qoʻshimcha narsani yodlash shart emas. Faqat «son foizga qancha oʻsdi yoki kamaydi» degan savol alohida turadi: bunda avval oʻzgarish topiladi, keyin uni dastlabki qiymatga boʻlinadi — bu foiz oʻzgarishi formulasi, oddiy proporsiya emas.
Proporsiyalarni yechishning misollari bosqichma-bosqich tahlil bilan
1-misol. Nomaʼlum oʻrta had
Masala. Proporsiyaning nomaʼlum hadini toping \(15 : x = 45 : 24\).
1-qadam. Qaysi had qayerda ekanligini aniqlaymiz. Chetkilari — 15 va 24, oʻrtadagilari — \(x\) va 45.
2-qadam. Asosiy xossani qoʻllaymiz: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), yaʼni \(360 = 45x\).
3-qadam. Boʻlamiz: \(x = 360 : 45 = 8\).
Tekshirish. \(15 : 8 = 1{,}875\) va \(45 : 24 = 1{,}875\) — nisbatlar teng.
Javob: \(x = 8\).
2-misol. Toʻgʻri proporsionallik: narx va miqdor
Masala. Oltita daftar 210 ₽ turadi. Shunday 10 ta daftar qancha turadi?
1-qadam. Daftar koʻp — narxi koʻp, demak bogʻlanish toʻgʻri.
2-qadam. Shartni bir xil kattaliklar yonma-yon turadigan qilib yozamiz va proporsiyani «boricha» tuzamiz:
3-qadam. Xochma-xoch: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), demak \(x = 2100 : 6 = 350\).
Tekshirish. Bir daftar \(210 : 6 = 35\) ₽ turadi, oʻnta daftar esa \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Toʻgʻri keldi.
Javob: 350 ₽.
3-misol. Teskari proporsionallik: ishchilar va kunlar
Masala. Sakkiz ishchi buyurtmani 15 kunda bajaradi. Agar ular bir xil tezlikda ishlasa, 12 ishchi shu buyurtmani necha kunda bajaradi?
1-qadam. Ishchilar koʻpaydi — kunlar kamayadi. Bogʻlanish teskari.
2-qadam. Ikkinchi nisbatni oʻgirib, proporsiyani tuzamiz:
Bu yerda \(x\) — 12 ishchi uchun kunlar, 15 — 8 ishchi uchun kunlar: ular oʻrin almashdi, chunki bogʻlanish teskari.
3-qadam. Xochma-xoch: \(8 \cdot 15 = 12x\), yaʼni \(120 = 12x\) va \(x = 10\).
Tekshirish. Koʻpaytma doimiy: \(8 \cdot 15 = 120\) va \(12 \cdot 10 = 120\). Toʻgʻri keldi va javob mantiqiy — kunlar kamaydi.
Javob: 10 kun.
4-misol. Xarita shkalasi
Masala. Xarita shkalasi \(1 : 200\,000\). Xaritadagi qishloqlar orasidagi masofa 7 sm. Yer yuzida bu masofa qancha?
1-qadam. \(1 : 200\,000\) shkalasi shuni bildiradi: xaritada 1 sm yer yuzida 200 000 sm ga mos keladi. Bu tayyor nisbat.
2-qadam. Proporsiyani tuzamiz:
3-qadam. Xochma-xoch: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), yaʼni \(x = 1\,400\,000\) sm.
4-qadam. Qulay birliklarga oʻtkazamiz: bir kilometrda 100 000 sm bor, shuning uchun \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Javob: 14 km.
5-misol. Proporsiya orqali foizlar
Masala. Sinfda 25 oʻquvchi bor, ularning 60% i sayohatga chiqdi. Necha kishi sayohatga chiqdi?
1-qadam. Butun — bu 25 oʻquvchi, ular 100% ga mos keladi. Izlanayotgan qism — \(x\) kishi, ular 60% ga mos keladi.
2-qadam. «Qism : butun = foiz : 100» proporsiyasini tuzamiz:
3-qadam. Xochma-xoch: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), demak \(x = 15\).
Tekshirish. 25 tadan 15 kishi — bu \(15 : 25 = 0{,}6\), yaʼni aynan 60%.
Javob: 15 kishi.
Proporsiyalarni yechishda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Sonlarni xochma-xoch emas, balki «boʻylab» koʻpaytirish: 5 : 2 = 20 : 8 proporsiyasida 5 · 2 va 20 · 8 ni hisoblash.
Asosiy xossa chetki hadlarni oʻrta hadlar bilan, yaʼni diagonal boʻyicha turgan sonlarni bogʻlaydi: 5 · 8 = 40 va 2 · 20 = 40. Koʻpaytmalar tenglashdi — proporsiya toʻgʻri. A 5 · 2 va 20 · 8 teng emas va hech narsani bildirmaydi.
-
Teskari bogʻlanish haqidagi masalada «toʻgʻri» proporsiya tuzish. Oltita nasos basseynni 10 soatda toʻldiradi; 6 : 15 = 10 : x yozuvi 15 ta nasos uchun 25 soatni beradi.
Nasoslar koʻpaydi — vaqt kamayishi kerak, lekin koʻpaydi: demak, proporsiya notoʻgʻri tuzilgan. Ikkinchi nisbatni oʻgirish kerak: 6 : 15 = x : 10, unda 15x = 60 va x = 4 soat. Javobni har doim mantiqqa tekshiring.
-
«Xochma-xoch» dan keyin teskarisiga boʻlish: 8x = 96 tenglikdan x = 8 : 96 ni olish.
x ni topish uchun koʻpaytmani x yonidagi koʻpaytuvchiga boʻlish kerak: x = 96 : 8 = 12. Topilgan sonni qayta qoʻyish odati foydali: 8 · 12 = 96, hammasi toʻgʻri.
-
Oʻlchov birliklarini moslashtirmaslik. Shkala 1 : 50 000 boʻlgan masalada xaritada 3 sm uchun javobni «1,5» deb birliklarsiz yozish yoki uni metr deb atash.
Avval shkalada berilgan birliklarda hisoblaymiz: 3 · 50 000 = 150 000 sm. Va faqat keyin oʻtkazamiz: 150 000 sm = 1500 m = 1,5 km. Javobdagi birliklar son kabi muhimdir.
-
Nisbat va proporsiyani chalkashtirish: proporsiya tuzish haqidagi iltimosga bitta nisbatni «12 : 4» deb yozish.
Nisbat — bu ikkita sonning boʻlinmasi, masalan 12 : 4. Proporsiya — bu ikki nisbatning tengligi, unda toʻrtta son va tenglik belgisi majburiy: 12 : 4 = 30 : 10 (tekshiramiz: 12 · 10 = 120 va 4 · 30 = 120).
Savollar va javoblar
Nisbat proporsiyadan nimasi bilan farq qiladi?
Nisbat — bu ikkita sonning boʻlinmasi, masalan 12 : 4. Proporsiya — bu ikki nisbatning tengligi, unda toʻrtta son boʻladi: 12 : 4 = 30 : 10. Nisbat «necha marta» degan savolga javob beradi, proporsiya esa ikki xil taqqoslash bir xil natija beradi degan fikrni tasdiqlaydi.
Proporsiyaning chetki va oʻrta hadlari nima?
a : b = c : d yozuvida chetki hadlar — chekkada turganlar, yaʼni a va d. Oʻrta hadlar — oʻrtada turganlar, yaʼni b va c. Agar proporsiya kasr koʻrinishida yozilgan boʻlsa, chetki hadlar — birinchi kasrning surat va ikkinchi kasrning maxraji, oʻrta hadlar — birinchi kasrning maxraji va ikkinchi kasrning surati.
Proporsiya toʻgʻri ekanligini qanday tekshirish mumkin?
Xochma-xoch koʻpaytirish va koʻpaytmalarini solishtirish. Masalan, 9 : 12 = 15 : 20 uchun 9 · 20 = 180 va 12 · 15 = 180 deb hisoblaymiz — sonlar tenglashdi, demak proporsiya toʻgʻri. Agar koʻpaytmalar har xil boʻlsa, proporsiya notoʻgʻri.
Proporsiyaning hadlarini oʻrin almashtirish mumkinmi?
Ha, agar qoidalarga amal qilingan holda qilsa. Toʻgʻri proporsiyada chetki hadlarni, oʻrta hadlarni oʻrin almashtirish mumkin, yoki ikkala qismni ham bir vaqtda oʻgirish mumkin — proporsiya toʻgʻri qoladi. 4 : 6 = 10 : 15 dan 4 : 10 = 6 : 15 yoki 6 : 4 = 15 : 10 hosil boʻladi — har yerda diagonal boʻyicha koʻpaytma 60 ga teng. Lekin faqat bitta sonni almashtirish mumkin emas.
«Proporsiyani xochma-xoch yechish» nimani anglatadi?
Bu proporsiyaning asosiy xossasining ogʻzaki nomi. Sonlar diagonal boʻyicha, xochma-xoch koʻpaytiriladi: chetki had chetchisiga va oʻrta had oʻrtasiga. Bu nomaʼlum bir sonli tenglamani hosil qiladi, uni bitta boʻlish bilan yechish mumkin. Asosiy xossadan tashqari alohida «xoch usuli» mavjud emas.
Masaladagi bogʻlanishning toʻgʻri yoki teskari ekanligini qanday aniqlash mumkin?
Birinchi kattalikni miyada 2 marta oshiring va ikkinchisiga qarang. Agar u ham 2 marta oʻssa — bogʻlanish toʻgʻri, proporsiya «boricha» tuziladi. Agar 2 marta kamaysa — bogʻlanish teskari, ikkinchi nisbatni oʻgirish kerak. Yana bir belgisi: toʻgʻri bogʻlanishda kattaliklar nisbati, teskari bogʻlanishda esa ularning koʻpaytmasi doimiy boʻladi.
Foiz masalalarini proporsiya orqali qanday yechish kerak?
«Qism : butun = foiz : 100» proporsiyasini tuzing va nomaʼlum hadni xochma-xoch toping. Masalan, 350 ning 12%: x : 350 = 12 : 100 hosil boʻladi, demak 100x = 4200 va x = 42. Xuddi shu usulda butunni qism boʻyicha, va foizning oʻzini ham topish mumkin.
