Viyet teoremasi kvadrat tenglama ildizlarini uning koeffitsientlari bilan bog'laydi: qisqartirilgan \(x^2 + px + q = 0\) tenglama uchun ildizlar yig'indisi \(-p\) ga, ko'paytmasi esa \(q\) ga teng. Bu diskriminantdan foydalanmasdan, ildizlarni og'zaki topish imkonini beradi. Ushbu sahifada qisqartirilgan va umumiy ko'rinishdagi tenglamalar uchun aniq formulalar, Viyetning teskari teoremasi, ildizlarni topish algoritmi, ko'rib chiqilgan misollar va interaktiv mashqchi keltirilgan.
Viyet teoremasi nima?
Viyet teoremasi — bu ildizlarni kvadrat tenglama koeffitsientlari bilan bog'laydigan qoida. U quyidagicha ifodalanadi: agar \(x_1\) va \(x_2\) qisqartirilgan kvadrat tenglama \(x^2 + px + q = 0\) ning ildizlari bo'lsa, unda
So'z bilan: ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientga qarama-qarshi ishora bilan, ildizlar ko'paytmasi esa ozod hadga teng. Yig'indidagi minus belgisi butun mavzuning eng muhim joyi: aynan \(-p\) yoziladi, \(p\) emas.
Umumiy ko'rinishdagi \(ax^2 + bx + c = 0\) (bu yerda \(a \neq 0\)) tenglama uchun formulalar \(a\) ga bo'lish orqali olinadi:
Teorema faqat haqiqiy ildizlar mavjud bo'lganda, ya'ni \(D \ge 0\) bo'lganda ishlaydi. Agar diskriminant manfiy bo'lsa, topadigan narsa yo'q: bunday yig'indi va bunday ko'paytmaga ega haqiqiy sonlar mavjud emas.
Qisqartirilgan tenglama va umumiy ko'rinish: a ga qayerda bo'lish kerak
Qisqartirilgan deb ataladigan kvadrat tenglama, bunda \(x^2\) oldidagi koeffitsient birga teng: \(x^2 + px + q = 0\). Aynan u uchun Viyet teoremasi eng qisqa bo'lib ifodalanadi, shuning uchun ildizlarni topish har doim qisqartirishdan boshlanadi.
Agar \(a \neq 1\) bo'lsa, tenglama avval har bir hadini \(a\) ga bo'linadi. Masalan, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) tenglamasi 3 ga bo'lingandan keyin \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\) ga aylanadi, ya'ni \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Bundan \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) va \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ayni shu fikrni tenglamani qisqartirmasdan umumiy ko'rinish uchun ham darhol yozish mumkin: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Eng ko'p yo'l qo'yiladigan xato — "qisqa" \(-p\) va \(q\) formulalarini qisqartirilmagan tenglamaga qo'llash va \(\frac{10}{3}\) o'rniga 10 yig'indisini olish.
Viyetning teskari teoremasi
Viyet teoremasining teskari teoremasi mavjud va aynan u tenglamalarni topish usuli bilan yechishga imkon beradi. U quyidagicha talqin qilinadi: agar \(m\) va \(n\) sonlari shunday bo'lsaki,
unda \(m\) va \(n\) — \(x^2 + px + q = 0\) tenglamaning ildizlari.
Farq prinsipial. To'g'ri teorema ildizlardan koeffitsientlarga qarab yuradi: ildizlar allaqachon ma'lum, biz ularning orasidagi bog'liqlikni topamiz. Teskari esa koeffitsientlardan ildizlarga qarab yuradi: biz kerakli yig'indi va kerakli ko'paytmaga ega bo'lgan sonlar juftligini topdik — va ularni ildizlar deb atashga to'liq haqqimiz bor, boshqa hech narsa isbotlashga hojat yo'q.
Shundan foydali qoida kelib chiqadi: agar \(x_1\) va \(x_2\) ildizlar bo'lsa, unda ko'phad \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) ko'paytuvchilarga ajraladi. Masalan, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Viyet teoremasi bo'yicha ildizlarni topish: algoritmi
Ildizlarni topish — teoremaning asosiy amaliy qo'llanilishi. U diskriminantdan tezroq ishlaydi, ayniqsa ildizlar butun son bo'lganda, va besh qadamdan iborat.
p va q koeffitsientlariga ko'ra ildizlar ishoralari
Topishdan oldin ham ildizlar qanday ishoraga ega bo'lishini bilish mumkin — buning uchun \(p\) va \(q\) ishoralariga qarash kifoya. Bu topish jarayonini sezilarli darajada qisqartiradi: darhol ikkita musbat son, ikkita manfiy son yoki har xil ishorali sonlar juftligini qidirish kerakligini bilib olish mumkin.
| p va q | Ildizlar | Misol |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | ikkalasi ham > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | ikkalasi ham < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | har xil ishorali | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 va −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Viyet teoremasi yoki diskriminant: qaysi birini tanlash kerak
Diskriminant orqali ildizlar formulasi \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) har doim ishlaydi, lekin hisoblashlarni talab qiladi. Viyet teoremasi darhol ishlaydi, lekin faqat ildizlar topiladigan bo'lsa — odatda bu kichik butun sonlar.
Amaliy qoida quyidagicha:
- tenglama qisqartirilgan, va \(q\) kichik sonlar ko'paytmasiga ajraladi → Viyet bo'yicha topishni sinab ko'ring, javob og'zaki olinadi;
- koeffitsientlar katta yoki kasrli, ildizlar 10–15 soniyada topilmaydi → diskriminantni hisoblang;
- faqat ildizlar soni yoki ildizlar ishoralari kerak, lekin ildizlarning o'zi kerak emas → \(D\) va yuqoridagi ishoralar jadvali kifoya.
Birlashtirish ham foydali: diskriminantni hisoblab, ildizlarni topdingiz — javobni Viyet bo'yicha tekshiring. Yig'indi \(-p\) ga, ko'paytma \(q\) ga teng bo'lishi kerak. Bunday tekshirish bir necha soniya davom etadi va deyarli har qanday arifmetik xatoni aniqlaydi.
Viyet teoremasi bo'yicha yechimli misollar
1-misol. Ildizlarni topish: ikkala ildiz ham musbat
Yeching \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
1-qadam. Tenglama qisqartirilgan: \(p = -9\), \(q = 20\).
2-qadam. Diskriminantni tekshiramiz: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — ikkita ildiz bor.
3-qadam. Bog'liqliklarni yozamiz: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
4-qadam. 20 sonining ko'paytmalarini ko'rib chiqamiz: \(1\cdot 20\) (yig'indi 21), \(2\cdot 10\) (yig'indi 12), \(4\cdot 5\) (yig'indi 9) — oxirgi juftlik mos keladi. Ikkala ko'paytuvchi ham musbat, chunki \(q > 0\), va \(p < 0\).
5-qadam. O'rniga qo'yib tekshirish. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Javob: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
2-misol. Har xil ishorali ildizlar
Yeching \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
1-qadam. Tenglama qisqartirilgan: \(p = 3\), \(q = -28\).
2-qadam. \(q < 0\), demak ildizlar har xil ishorali va diskriminant avtomatik ravishda musbat: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
3-qadam. Bog'liqliklar: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
4-qadam. 28 ning ko'paytmalarini ko'rib chiqamiz: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Farqi 3 bo'lgan juftlik kerak — 4 va 7 juftligi mos keladi. Yig'indi manfiy bo'lgani uchun, modul bo'yicha katta ildizni minus ishorasi bilan olamiz: \(4\) va \(-7\).
5-qadam. Tekshirish. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Javob: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
3-misol. Umumiy ko'rinishdagi tenglama (a ≠ 1)
Yeching \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
1-qadam. \(a = 3\) koeffitsienti bo'lgani uchun, "qisqa" \(-p\) va \(q\) formulalarini qo'llash mumkin emas. Umumiy ko'rinishdan foydalanamiz: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
2-qadam. Ko'paytma 1 ga teng — demak ildizlar o'zaro teskari: agar biri \(t\) bo'lsa, ikkinchisi \(\tfrac{1}{t}\) bo'ladi. Yig'indi \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) esa \(t = 3\) ekanligini bildiradi, chunki \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
3-qadam. O'rniga qo'yib tekshirish. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Javob: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
4-misol. O'zining ildizlari bo'yicha tenglama tuzish
Topshiriq. Ildizlari \(-4\) va \(6\) ga teng bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglama tuzing.
1-qadam. Yig'indi va ko'paytmani hisoblaymiz: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
2-qadam. Viyetning teskari teoremasiga ko'ra koeffitsientlar \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) va \(q = x_1 x_2 = -24\) ga teng. Bu yerda asosiy tuzoq yashiringan: \(p\) — bu yig'indining qarama-qarshi ishorasi.
3-qadam. Tenglamani yozamiz: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
4-qadam. O'rniga qo'yib tekshirish. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Javob: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Xuddi shu natijani \((x + 4)(x - 6) = 0\) ko'paytuvchilarga ajratish ham beradi.
5-misol. Boshqa birovning javobini Viyet teoremasi bo'yicha tekshirish
Topshiriq. O'quvchi \(x^2 + 5x + 6 = 0\) tenglamasini yechib, javobni \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\) deb yozdi. U xato qilganmi, tekshiring.
1-qadam. Viyet bo'yicha \(x_1 + x_2 = -p = -5\) va \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\) bo'lishi kerak.
2-qadam. Taklif qilingan javobning ko'paytmasi mos keladi (\(2\cdot 3 = 6\)), lekin yig'indisi mos kelmaydi: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Demak, javob noto'g'ri: ishora yo'qolgan.
3-qadam. To'g'ri juftlikni qidiramiz: ko'paytmasi 6 va yig'indisi \(-5\) bo'lgan sonlar kerak — bu \(-2\) va \(-3\) (ikkalasi ham manfiy, chunki \(q > 0\) va \(p > 0\)).
4-qadam. O'rniga qo'yib tekshirish. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Javob: to'g'ri ildizlar — \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Viyet teoremasi bilan ishlashda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Yig'indidagi minusni yo'qotishadi: $x_1 + x_2 = p$ o'rniga $x_1 + x_2 = -p$ yozishadi.
Minus faqat yig'indida turadi, ko'paytma esa o'sha ishora bilan olinadi: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Oddiy \(x^2 - 5x + 6 = 0\) tenglamasi bilan tekshiring: bu yerda \(p = -5\), ildizlar yig'indisi 5 ga teng, va ildizlar haqiqatan ham 2 va 3.
-
Formulalarni $-p$ va $q$ ni qisqartirilmagan tenglamaga qo'llashadi: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ uchun "yig'indi 9, ko'paytma 4" deyishadi.
\(a \neq 1\) bo'lsa, umumiy ko'rinish formulalari ishlaydi: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Bu yerda ildizlar 4 va \(\tfrac{1}{2}\) bo'ladi, 4 va 1 emas. Yoki avval butun tenglamani \(a\) ga bo'ling.
-
Diskriminantni tekshirmasdan ildizlarni topishga urinishadi: $x^2 + x + 1 = 0$ uchun yig'indisi $-1$ va ko'paytmasi $1$ bo'lgan sonlar juftligini topishga harakat qilishadi.
Avval ildizlar borligiga ishonch hosil qiling: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), haqiqiy ildizlar yo'q, topish mumkin emas. Viyet teoremasi faqat \(D \ge 0\) bo'lganda ishlaydi.
-
Ko'paytma bo'yicha juftlikni topishadi, lekin yig'indisini tekshirmaydi: $x^2 - 8x + 12 = 0$ uchun 3 va 4 ni olishadi, chunki ularning ko'paytmasi 12 ga teng.
Har ikkala bog'liqlikni bir vaqtda tekshirish kerak. \(x^2 - 8x + 12 = 0\) uchun ko'paytmasi 12 ni (1; 12), (2; 6), (3; 4) juftliklari beradi, lekin yig'indisi 8 ni faqat 2 va 6 juftligi beradi. Tekshirish: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) va \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Ildizlar bo'yicha tenglama tuzganda, yig'indini $p$ deb oladi: 2 va 5 ildizlari uchun $x^2 + 7x + 10 = 0$ yozadi.
Koeffitsient \(p\) yig'indining qarama-qarshi ishorasi bilan teng: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), ya'ni \(x^2 - 7x + 10 = 0\). O'rniga qo'yish tasdiqlaydi: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Viyet teoremasi faqat butun ildizlar uchun to'g'ri deb hisoblaydi va javobni tekshirish uchun uni qo'llamaydi.
\(x_1 + x_2 = -p\) va \(x_1 x_2 = q\) bog'liqliklari har qanday haqiqiy ildizlar — butun, kasrli va irratsional sonlar uchun ham o'rinli. Faqat og'zaki topish butun sonlar uchun qulay, qolganlari uchun esa teorema diskriminant orqali topilgan javobni tekshirishning tezkor usuli bo'lib qoladi.
Savollar va javoblar
Viyet teoremasi sodda so'zlar bilan qanday ifodalanadi?
Agar qisqartirilgan kvadrat tenglama \(x^2 + px + q = 0\) ning ildizlari mavjud bo'lsa, ularning yig'indisi ikkinchi koeffitsientga qarama-qarshi ishora bilan, ko'paytmasi esa ozod hadga teng bo'ladi: \(x_1 + x_2 = -p\) va \(x_1 x_2 = q\).
$ax^2 + bx + c = 0$ tenglamasining ildizlari yig'indisi va ko'paytmasi nimaga teng?
Umumiy ko'rinishdagi tenglama uchun ildizlar yig'indisi \(-\dfrac{b}{a}\) ga, ko'paytmasi esa \(\dfrac{c}{a}\) ga teng. Bu formulalar qisqartirilgan holatdan butun tenglamani \(a\) ga bo'lish orqali olinadi.
Viyetning teskari teoremasi to'g'ri teoremadan nimasi bilan farq qiladi?
To'g'ri teorema ildizlardan koeffitsientlarga qarab yuradi: ildizlarni bilgan holda, biz \(-p\) yig'indisi va \(q\) ko'paytmasini topamiz. Teskari esa teskarisi: agar sonlar juftligi kerakli yig'indi va kerakli ko'paytmani bersa, unda bu sonlar tenglamaning ildizlari bo'ladi. Aynan teskari teorema tenglamalarni topish usuli bilan yechishga imkon beradi.
Viyet teoremasi bo'yicha ildizlarni qanday topish mumkin?
Tenglamani \(x^2 + px + q = 0\) ko'rinishiga keltiring, \(D \ge 0\) ekanligiga ishonch hosil qiling, \(x_1 + x_2 = -p\) va \(x_1 x_2 = q\) ni yozib oling, \(q\) sonining ko'paytmalar juftliklarini ko'rib chiqing va yig'indisi \(-p\) ga teng bo'lgan juftlikni tanlang. Masalan, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) uchun ko'paytmasi 8 va yig'indisi \(-6\) bo'lgan sonlar kerak — bu \(-2\) va \(-4\).
Viyet teoremasi $x^2$ oldidagi koeffitsient birga teng bo'lmaganda ishlaydimi?
Ha, lekin umumiy ko'rinish shaklida: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Qisqa \(-p\) va \(q\) formulalari faqat qisqartirilgan tenglama uchun to'g'ri, shuning uchun \(a \neq 1\) bo'lganda tenglamani avval \(a\) ga bo'lish kerak.
Agar Viyet teoremasi bo'yicha ildizlar topilmasa, nima qilish kerak?
Demak, ildizlar butun son emas yoki umuman mavjud emas. Diskriminantni hisoblang: \(D < 0\) bo'lganda haqiqiy ildizlar yo'q, \(D \ge 0\) bo'lganda esa ildizlarni \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) formula bo'yicha toping va keyin javobni Viyet teoremasi bo'yicha tekshiring.
Ildizlar ishoralarini tenglamani yechmasdan qanday aniqlash mumkin?
\(D \ge 0\) bo'lganda \(p\) va \(q\) ishoralariga qarab: agar \(q > 0\) va \(p < 0\) bo'lsa — ikkala ildiz ham musbat; agar \(q > 0\) va \(p > 0\) bo'lsa — ikkala ildiz ham manfiy; agar \(q < 0\) bo'lsa — ildizlar har xil ishorali; agar \(q = 0\) bo'lsa — ildizlardan biri nolga teng.
Viyet teoremasi qaysi sinfda o'tiladi?
8-sinfda algebra darslarida, kvadrat tenglamalar va diskriminantdan keyin darhol. Keyinchalik u kvadrat uchhadni ko'paytuvchilarga ajratishda \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), parametrli ildizlarni tekshirishda va OGE hamda UEB masalalarida qo'llaniladi.
