Arifmetik progressiya — bu har bir keyingi hadi oldingisidan bir xil \(d\) soniga (progressiya ayirmasi) katta boʻlgan ketma-ketlikdir. Uning istalgan hadini \(a_n = a_1 + (n-1)d\) formulasi bilan, dastlabki \(n\) ta had yigʻindisini esa \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) formulasi bilan topish mumkin. Ushbu sahifada taʼrif va ayirma, yigʻindining ikkala formulasi, xarakterli xossa, sonning progressiyaga tegishliligini tekshirish, geometrik progressiyadan farqi, tipik OGE masalalari va oʻzini tekshirish uchun interaktiv trenajyor keltirilgan.
Arifmetik progressiya nima
Arifmetik progressiya — bu har bir keyingi hadi oldingisiga bir xil sonni qoʻshish orqali hosil boʻladigan sonli ketma-ketlikdir. Bu son progressiya ayirmasi deyiladi va \(d\) harfi bilan belgilanadi.
Bitta formula bilan taʼrifi: \(a_1, a_2, a_3, \dots\) ketma-ketligi, agar istalgan \(n\) nomer uchun quyidagi tenglik bajarilsa, arifmetik progressiya deyiladi:
3, 7, 11, 15, 19, … ketma-ketligini olaylik. Birinchi hadi \(a_1 = 3\), ayirmasi \(d = 4\): har bir keyingi son oldingisidan roppa-rosa 4 ga katta. Shuning uchun keyingi had 23 ga teng, uchdan oldin esa (agar orqaga davom ettirsak) minus ishorali bir boʻlardi.
Butun progressiya atigi ikkita son — birinchi hadi \(a_1\) va ayirmasi \(d\) orqali aniqlanadi. Bu juftlikni bilgan holda, istalgan hadni aytish, istalgancha dastlabki hadlar yigʻindisini hisoblash va berilgan son ketma-ketlikda uchrashini tekshirish mumkin. Progressiya \((a_n)\) belgisi bilan, uning hadlari esa \(a_1, a_2, a_3\) va hokazo tarzda belgilanadi, bu yerda pastki indeks har doim nomerni bildiradi, qiymatni emas.
Arifmetik progressiya ayirmasi: d ni qanday topish kerak
Ayirma — bu har doim keyingi had minus oldingi had:
Ayirish tartibi muhim: agar teskarisini ayirsangiz, ayirma ishorasi qarama-qarshi boʻlib qoladi. 20, 17, 14, 11, 8 ketma-ketligi uchun ayirma \(17 - 20 = -3\) ga teng, \(+3\) ga emas.
\(d\) ishorasi progressiyaning xulqini toʻliq belgilaydi:
- \(d > 0\) — progressiya oʻsuvchi, hadlar ortib boradi;
- \(d < 0\) — progressiya kamayuvchi, hadlar kamayib boradi;
- \(d = 0\) — barcha hadlar bir xil, masalan 6, 6, 6, 6, … Bu ham arifmetik progressiya, shunchaki oʻzgarmas.
Agar turli nomerli ikkita had maʼlum boʻlsa, ayirma quyidagi formula bilan topiladi:
Misol. \(a_4 = 30\) va \(a_{10} = 6\) boʻlsin. U holda \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), birinchi hadi esa \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\) ga teng. Progressiya boshini tekshiramiz: 42, 38, 34, 30 — toʻrtinchi hadi haqiqatan ham 30.
Ayirma butun son boʻlishi shart emas: 1; 1,5; 2; 2,5 ketma-ketligida ayirma 0,5 ga teng va bu toʻlaqonli arifmetik progressiyadir.
Arifmetik progressiyaning n-chi had formulasi
Mavzuning asosiy formulasi barcha oldingi hadlarni yozib oʻtirmasdan, istalgan hadni topishga imkon beradi:
\(n - 1\) qayerdan keldi? Birinchi haddan n-chi hadgacha yetib borish uchun ayirma n marta emas, balki bir marta kamroq qoʻshiladi: ikkinchi hadgacha — bir qadam, uchinchisigacha — ikki, yigirmanchisigacha — oʻn toʻqqiz.
Misol. 3, 7, 11, 15, 19, … progressiyasi uchun \(a_1 = 3\) va \(d = 4\), demak
Bunday qisqartirilgan yozuv juda qulay: darhol koʻrinib turibdiki, \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), \(a_{100} = 399\). Shu bilan birga, u ayirmani ham koʻrsatadi: istalgan arifmetik progressiyada n-chi had formulasi chiziqli, yaʼni \(a_n = dn + c\) koʻrinishida boʻladi va n oldidagi koeffitsiyent aynan ayirma hisoblanadi.
Baʼzida birinchi hadi nomaʼlum, lekin boshqa bir hadi berilgan boʻladi. U holda umumiy koʻrinishdagi oʻsha gʻoya ishlaydi: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi
Progressiyaning istalgan hadi (birinchisidan tashqari) oʻz qoʻshnilarining arifmetik oʻrtachasiga teng:
Aynan shuning uchun progressiya arifmetik deb ataladi. Bu tenglik teskari tomonga ham ishlaydi: agar ketma-ketlikda har bir oʻrta had qoʻshnilarining yarim yigʻindisiga teng boʻlsa, u holda ketma-ketlik arifmetik progressiya boʻladi. Bunday tasdiq arifmetik progressiyaning belgisi deyiladi va masalalarda uchta son progressiyani tashkil etishini isbotlash uchun ishlatiladi.
Misol. 7, \(x\), 23 sonlari progressiyaning uchta ketma-ket hadi. U holda \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Tekshirish: 7, 15, 23 — ayirmalar 8 va 8, hammasi toʻgʻri.
Oʻsha xossaning qulay yozuv shakli: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), yaʼni oʻrta hadning ikki barobari chetki hadlar yigʻindisiga teng. Bunday koʻrinishda xossani hadlar harfiy ifodalar bilan berilganda qoʻllash osonroq.
Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yigʻindisi
Suma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) ikkita formuladan biri bilan hisoblanadi:
Birinchi formulaning gʻoyasi — afsonaga koʻra, maktab oʻquvchisi Gauss 1 dan 100 gacha boʻlgan sonlarni qoʻshishda topgan usuldir. Agar birinchi hadni oxirgisi bilan, ikkinchisini oxiridan oldingisi bilan va hokazo qoʻshsangiz, barcha juftliklar bir xil yigʻindini beradi. Bundan \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Ikkinchi formula birinchisiga \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ni qoʻyish orqali hosil boʻladi — u oxirgi had berilmagan va uni alohida hisoblashni istamagan hollarda kerak boʻladi.
Misol. 3, 7, 11, 15, 19, … progressiyasining dastlabki yigirmata hadi yigʻindisini topamiz.
Birinchi formula boʻyicha: \(a_{20} = 79\), shuning uchun \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Ikkinchisi boʻyicha: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Javoblar mos keldi — bu hisob-kitoblarni tekshirishning eng yaxshi usuli.
Son arifmetik progressiyaga kirishini qanday bilish mumkin
«Son progressiya hadi boʻladimi» degan savol tenglama orqali hal qilinadi. Son progressiyaga faqat va faqat uning \(n\) nomeri natural son boʻlganda kiradi: 1, 2, 3 va hokazo. Kasrli yoki musbat boʻlmagan \(n\) bunday had yoʻqligini anglatadi.
Misol 1. 99 soni 3, 7, 11, 15, 19, … progressiyasiga kiradimi? n-chi had formulasi bu yerda \(a_n = 4n - 1\), shuning uchun \(4n - 1 = 99\) ni yechamiz, bundan \(4n = 100\) va \(n = 25\). Nomer natural — demak, 99 progressiyada bor, bu uning yigirma beshinchi hadi.
Misol 2. 2026 soni-chi? \(4n - 1 = 2026\) dan \(4n = 2027\) va \(n = 506{,}75\) ni olamiz. Nomer kasrli, shuning uchun 2026 bu progressiyaning hadi emas.
Ogʻzaki chamalash uchun foydali maslahat: \(a_n = 4n - 1\) formulali progressiyada barcha hadlar 4 ga boʻlinganda 3 qoldiq beradi. 2026 soni 2 qoldiq beradi, shuning uchun u progressiyadan «oʻtib ketadi».
Arifmetik progressiya boʻyicha tipik OGE masalalari
Matematika boʻyicha OGE da progressiyalar har yili uchraydi va deyarli barcha topshiriqlar toʻrtta syujetga kelib taqaladi.
Nomer boʻyicha hadni topish. \(a_1\) va \(d\) berilgan (yoki bir nechta dastlabki hadlar) — \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ga qoʻyamiz.
Qiymat boʻyicha nomerni topish. Son berilgan — n-chi had formulasini unga tenglashtiramiz va \(n\) ga nisbatan tenglamani yechamiz.
Yigʻindini topish. \(S_n\) ni ikkita formuladan biri bilan hisoblaymiz; agar \(a_n\) yetishmasa — avval uni topamiz.
Hadlar sonini topish. n-chi had formulasidan qulay natija kelib chiqadi: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Alohida matnli masala turibdi, unda progressiya syujet ichiga yashiringan. Masalan: ishchi birinchi kuni 12 ta detal tayyorladi, har keyingi kuni esa oldingisidan 3 taga koʻp; 15 kunda u nechta detal tayyorlaydi? Bu yerda \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Oxirgi hadni hisoblaymiz: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). U holda \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) ta detal.
Bunday topshiriqlar boʻyicha asosiy maslahat: avval alohida qatorga nimalar berilganini (\(a_1, d, n, a_n, S_n\)) va nimani topish kerakligini yozib oling. Imtihondagi xatolarning yarmi formulalar tufayli emas, balki nomerni had qiymati bilan adashtirib yuborish tufayli sodir boʻladi.
Arifmetik va geometrik progressiya: farqi nimada
Ikkala progressiya ham bir haddan keyingisini olish qoidalari. Farqi harakatda: arifmetikada hadga bir xil \(d\) soni qoʻshiladi, geometrikada esa bir xil \(q\) soniga koʻpaytiriladi, u progressiya maxraji deb ataladi.
Bundan turli xil xulq kelib chiqadi. Arifmetik progressiya bir tekis, «pogʻonalar boʻylab» oʻsadi: 3, 7, 11, 15 — har bir qadam 4 ni qoʻshadi. Geometrik progressiya koʻchki kabi oʻsadi: 3, 6, 12, 24 — har bir qadam sonni ikki barobar oshiradi va oʻn qadamdan keyin had bir yarim mingdan oshib ketadi.
Ketma-ketlik turini tekshirish oson: qoʻshni hadlarning ayirmalarini va nisbatlarini hisoblang. Bir xil ayirmalar — arifmetik progressiya, bir xil nisbatlar — geometrik. Agar ikkalasi ham mos kelmasa, oldingizda shunchaki ketma-ketlik: masalan, 1, 4, 9, 16 — bu natural sonlarning kvadratlari va u progressiya emas (ayirmalar 3, 5, 7 turlicha, nisbatlar ham).
Maktab dasturida ikkala mavzu 9-sinfda ketma-ket oʻtiladi, shuning uchun formulalarni adashtirish oson. Xotirangizda tayanch saqlang: arifmetikada \(d\) ayirmasi ayiriladi (yoki qoʻshiladi), geometrikada \(q\) maxraji boʻlinadi (yoki koʻpaytiriladi). Qolgan hammasi — natijalar.
Arifmetik progressiya boʻyicha masalalarni yechish misollari
1-misol. Ikki had boʻyicha birinchi had va ayirmani topish
Berilgan. \(a_3 = 14, a_7 = 30\). \(a_1, d\) va \(a_{20}\) ni toping.
1-qadam. Uchinchi haddan yettinchisigacha roppa-rosa \(7 - 3 = 4\) ta qadam bor, har birida d qoʻshiladi. Demak \(a_7 = a_3 + 4d\), yaʼni \(30 = 14 + 4d\), bundan \(4d = 16\) va \(d = 4\).
2-qadam. Birinchi hadga qaytamiz: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3-qadam. n-chi had formulasini yozamiz: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4-qadam. Kerakli hadni hisoblaymiz: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Tekshirish. Progressiya boshini yozamiz: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Uchinchi hadi 14, yettinchisi 30 — mos keldi.
Javob: \(a_1 = 6, d = 4, a_{20} = 82\).
2-misol. Dastlabki 30 ta had yigʻindisi (ikkala formula)
Berilgan. Progressiya \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) \(S_{30}\) ni toping.
1-qadam. Parametrlarni aniqlaymiz: \(a_1 = -5, d = -2 - (-5) = 3\).
2-qadam. Oʻttizinchi hadni topamiz: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3-qadam. Birinchi formula boʻyicha hisoblaymiz: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4-qadam. Ikkinchi formula boʻyicha tekshirish. Avval surat: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Keyin uchinchi qadamdagidek: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Ikkala yoʻl ham 1155 ni berdi — demak, arifmetika toʻgʻri.
Javob: \(S_{30} = 1155\).
3-misol. 7 ga karrali barcha ikki xonali sonlar yigʻindisi
Topshiriq. 7 ga boʻlinadigan barcha ikki xonali sonlar yigʻindisini toping.
1-qadam. Bunday sonlarning oʻzi 7 ayirmali arifmetik progressiyani tashkil etadi. Yetti ga karrali eng kichik ikki xonali son — 14, eng kattasi — 98 (keyingisi, 105, allaqachon uch xonali). \(a_1 = 14, d = 7, a_n = 98\) ni olamiz.
2-qadam. Hadlar sonini hisoblaymiz: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3-qadam. Yigʻindini hisoblaymiz: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4-qadam. Ikkinchi formula bilan tekshirish. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Javob: 728.
4-misol. Son progressiyaga kirishini tekshirish
Topshiriq. 145 soni \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) progressiyasining hadi boʻladimi? 142 soni-chi?
1-qadam. Progressiya parametrlari: \(a_1 = 7, d = 5\), demak \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2-qadam. 145 ni tekshiramiz: \(5n + 2 = 145\) tenglamasi \(5n = 143\) va \(n = 28{,}6\) ni beradi. Nomer kasrli, shuning uchun 145 progressiya hadi emas.
3-qadam. 142 ni tekshiramiz: \(5n + 2 = 142\), bundan \(5n = 140\) va \(n = 28\). Nomer natural — son kiradi.
4-qadam. Qoʻyib tekshirish. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Toʻgʻri.
Javob: 145 progressiyaga kirmaydi; 142 kiradi va uning 28-hadi hisoblanadi.
5-misol. Harfiy hadlar bilan xarakterli xossa
Topshiriq. x ning qanday qiymatida \(x - 3, 2x + 1, 4x - 1\) sonlari arifmetik progressiyaning uchta ketma-ket hadi boʻladi?
1-qadam. Xarakterli xossa boʻyicha oʻrta hadning ikki barobari chetki hadlar yigʻindisiga teng:
2-qadam. Qavslarni ochamiz: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3-qadam. Yechamiz: \(2 + 4 = 5x - 4x\), yaʼni \(x = 6\).
4-qadam. Tekshirish. \(x = 6\) ni qoʻyamiz: birinchi hadi \(6 - 3 = 3\), ikkinchisi \(2\cdot 6 + 1 = 13\), uchinchisi \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Ayirmalar: \(13 - 3 = 10\) va \(23 - 13 = 10\) — bir xil.
Javob: \(x = 6\), 10 ayirmali 3, 13, 23 progressiyasi.
6-misol. Progressiyada nechta manfiy had bor
Topshiriq. \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) progressiyasida nechta manfiy had bor?
1-qadam. Parametrlar: \(a_1 = -21, d = 3\). n-chi had formulasi: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2-qadam. «Had manfiy» shartini yozamiz: \(3n - 24 < 0\), bundan \(3n < 24\) va \(n < 8\).
3-qadam. Nomerlar natural, shuning uchun \(n = 1, 2, \dots, 7\) mos keladi — jami yettita had.
4-qadam. Chegarani tekshirish. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — manfiy. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nol manfiy son emas, shuning uchun sakkizinchi hadni hisoblamaymiz. \(a_9 = 3\) — musbat.
Javob: yettita manfiy had.
Arifmetik progressiya masalalaridagi tez-tez uchraydigan xatolar
-
n-chi had formulasida $a_n = a_1 + (n-1)d$ oʻrniga $a_n = a_1 + nd$ deb yozish.
Birinchi haddan n-chi hadgacha nomerdan bir qadam kamroq qilinadi. \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) progressiyasi uchun oʻninchi hadi \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\) ga teng, 45 ga emas. Formulani tez tekshirish: \(n = 1\) ni qoʻying — roppa-rosa \(a_1\) chiqishi kerak.
-
Ayirmani teskari hisoblash: $d = a_1 - a_2$ va ishora qarama-qarshi chiqadi.
Ayirma — bu keyingi had minus oldingi had: \(d = a_2 - a_1\). \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) progressiyasi uchun \(d = 34 - 40 = -6\) toʻgʻri. Bu yerdagi minus ishorasi xato emas, balki kamayuvchi progressiya belgisi.
-
Yigʻindi formulasida 2 ga boʻlishni yoki n ga koʻpaytirishni unutish: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ deb yozish.
«Birinchi bilan oxirgi» juftliklar jamlanadi, ularning soni roppa-rosa \(\dfrac{n}{2}\) ta, shuning uchun 2 ga boʻlish shart. \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) progressiyasi uchun \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) va \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\) boʻladi, 670 emas.
-
Sonning kirishini tekshirishda $n = 0$ yoki manfiy $n$ olib, baribir «kiradi» deb javob berish.
Hadning nomeri — natural son, sanash birdan boshlanadi. Masalan, \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) progressiyasi uchun \(10 + 4(n-1) = 6\) tenglamasi \(n = 0\) ni beradi, demak 6 progressiyaga kirmaydi: bu son birinchi haddan oldin turgan boʻlardi.
-
Nimani topganini adashtirish: had qiymatini nomer kerak boʻlgan joyga qoʻyish va aksincha.
\(a_n\) — bu qiymat, \(n\) — tartib nomeri. Agar masalada «nechanchi hadi 142 ga teng» deb soʻralsa, javob 142 emas, 28 boʻladi. Foydali odat: yechishdan oldin «berilgan: \(a_1 = \dots, d = \dots\), topish kerak: \(n\)» qatorini yozib olish.
-
Progressiya oʻsishi va butun sonlardan iborat boʻlishi shart deb oʻylash.
Ayirma manfiy (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), kasrli (1; 1,5; 2; 2,5) va hatto nol (8, 8, 8, …) boʻlishi mumkin. Ikkala holat ham qonuniy arifmetik progressiyalar va ular uchun barcha formulalar oʻzgarishsiz ishlaydi.
Savollar va javoblar
Arifmetik progressiya nima (soddalashtirilgan)?
Bu sonlar ketma-ketligi boʻlib, har bir keyingi son oldingisiga bir xil \(d\) sonini — progressiya ayirmasini qoʻshish orqali hosil boʻladi. Masalan, 3, 7, 11, 15, 19, … — birinchi hadi 3 va ayirmasi 4 boʻlgan progressiya.
Arifmetik progressiyaning n-chi had formulasi qanday?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), bu yerda \(a_1\) — birinchi had, \(d\) — ayirma, \(n\) — nomer. Agar birinchisi emas, balki boshqa bir hadi maʼlum boʻlsa, umumiy \(a_n = a_k + (n-k)d\) shakli ishlaydi.
Arifmetik progressiya ayirmasini qanday topish kerak?
Istalgan haddan oldingisini ayiring: \(d = a_n - a_{n-1}\). Agar turli nomerli ikkita had berilgan boʻlsa, \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) dan foydalaning. Masalan, \(a_5 = 23\) va \(a_9 = 43\) boʻlganda \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\) ni olamiz, birinchi hadi esa \(23 - 4\cdot 5 = 3\) ga teng.
Arifmetik progressiyaning birinchi hadini qanday topish kerak?
n-chi had formulasidan: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Masalan, agar \(a_{12} = 60\) va \(d = 4\) boʻlsa, \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Tekshirish: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yigʻindisini qanday topish kerak?
Oxirgi hadi maʼlum boʻlsa \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) formulasi bilan, yoki faqat birinchi hadi va ayirmasi maʼlum boʻlsa \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) formulasi bilan. Ikkalasi ham bir xil natija beradi, shuning uchun ikkinchisini birinchisini tekshirish uchun ishlatish qulay.
Arifmetik progressiyaning hadlar sonini qanday topish kerak?
n-chi had formulasidan: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Masalan, \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) progressiyasida ayirma 5 ga teng, shuning uchun \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) ta had bor.
Arifmetik progressiya geometrikdan nimasi bilan farq qiladi?
Arifmetikada har bir hadga \(d\) ayirmasi qoʻshiladi, geometrikada esa har bir had \(q\) maxrajiga koʻpaytiriladi. n-chi had formulalari: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ga qarshi \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Turni aniqlash uchun qoʻshni hadlarning ayirmalarini va nisbatlarini hisoblang: bir xil ayirmalar — arifmetik, bir xil nisbatlar — geometrik.
Ayirma manfiy yoki nolga teng boʻlishi mumkinmi?
Ha. \(d < 0\) boʻlganda progressiya kamayadi (masalan, 20, 17, 14, 11), \(d = 0\) boʻlganda barcha hadlar bir xil (6, 6, 6, …) — bu oʻzgarmas progressiya. Ayirma kasrli ham boʻlishi mumkin: 1; 1,5; 2; 2,5 — bu ham arifmetik progressiya.
Arifmetik progressiya nechanchi sinfda oʻtiladi?
9-sinfda algebra darslarida, geometrik progressiya va sonli ketma-ketliklar bilan birga. Progressiyalar boʻyicha topshiriqlar OGE ga kiradi: odatda nomer boʻyicha hadni, qiymat boʻyicha nomerni, hadlar sonini yoki dastlabki \(n\) ta had yigʻindisini topish talab qilinadi.
