Kvadrat tenglama formulasi \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) ko'rinishidagi istalgan kvadrat tenglamani yechishga imkon beradi. Uning ildizlari \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) formulasi orqali topiladi. Ushbu sahifada siz har bir qism nimani anglatishini, formuladan bosqichma-bosqich qanday foydalanishni, diskriminant yordamida yechimlar sonini qanday aniqlashni va to'liq yechilgan misollarni ko'rasiz — shuningdek, darhol mashq qilish uchun interaktiv trenajyordan foydalanishingiz mumkin.
Kvadrat tenglama formulasi nima
Kvadrat tenglama — bu \(ax^2 + bx + c = 0\) standart ko'rinishida yozilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglama, bunda \(a\), \(b\) va \(c\) sonlar bo'lib, \(a \neq 0\). \(a\), \(b\) va \(c\) sonlari koeffitsiyentlar deb ataladi: \(a\) — \(x^2\) ning koeffitsiyenti, \(b\) — \(x\) ning koeffitsiyenti, \(c\) esa ozod had.
Kvadrat tenglama formulasi yechimlarni (ildizlarni) to'g'ridan-to'g'ri shu uchta koeffitsiyentdan foydalanib topishga imkon beradi — ko'paytuvchilarga ajratish shart emas. U har qanday kvadrat tenglama uchun ishlaydi, hatto ko'paytuvchilarga oson ajralmaydiganlari uchun ham.
Kelib chiqishi (keltirib chiqarilishi): formula umumiy tenglamada to'la kvadratni ajratish usuli orqali olinadi. \(ax^2 + bx + c = 0\) tenglamasini \(a\) ga bo'ling, ozod hadni o'ng tomonga o'tkazing, har ikki tomonga \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ni qo'shib to'la kvadrat hosil qiling va kvadrat ildiz chiqaring. Natija quyidagi yagona formula bo'lib, u istalgan \(a\), \(b\), \(c\) uchun o'rinli.
Diskriminant: ildizlar soni
Kvadrat ildiz ostidagi \(b^2 - 4ac\) ifodasi diskriminant (ko'pincha \(D\) deb yoziladi) deb ataladi. Tenglamaning nechta yechimi borligini bilish uchun butun formulani hisoblash shart emas — diskriminantning ishorasi buni darhol ko'rsatadi.
Manfiy sonning haqiqiy kvadrat ildizini hisoblab bo'lmaydiganligi sababli, \(D\) ning ishorasi har qanday kvadrat tenglamani uchta holatga ajratadi: ikkita ildiz, bitta takroriy ildiz yoki haqiqiy ildizlar yo'q. Grafikda bu \(y = ax^2 + bx + c\) parabolaning x-o'qi bilan kesishish nuqtalarini bildiradi — ikki marta, bir marta (cho'qqisida) yoki umuman kesishmaydi.
| Diskriminant D = b² − 4ac | Haqiqiy ildizlar | Natija |
|---|---|---|
| D > 0 | Ikkita turli haqiqiy ildiz | Parabola x-o'qini ikki marta kesib o'tadi. Ikkala ishoradan foydalaning: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Bitta haqiqiy ildiz (takroriy) | Parabola x-o'qiga cho'qqisida urinadi. ± belgisi yo'qoladi: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Haqiqiy ildizlar yo'q | Parabola x-o'qiga hech qachon urinmaydi. Manfiy sonning haqiqiy kvadrat ildizi mavjud emas. |
Kvadrat tenglama formulasidan qanday foydalanish kerak: bosqichlar
Kvadrat tenglama formulasi har doim bir xil ishlaydi. Ushbu besh bosqichni tartib bilan bajaring va u sizni hech qachon pand bermaydi — eng qiyin qismi koeffitsiyentlarni (ularning ishoralari bilan) to'g'ri aniqlashdir.
Kvadrat tenglama formulasi misollari (bosqichma-bosqich)
1-misol. Ikkita haqiqiy ildiz (D > 0)
Yeching: \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
1–2-bosqich. Tenglama standart ko'rinishda, koeffitsiyentlarni aniqlaymiz: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
3-bosqich. Diskriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
4-bosqich. \(D = 25 > 0\), demak ikkita turli haqiqiy ildiz mavjud.
5-bosqich. O'rniga qo'yamiz: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Musbat ishora bilan: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Manfiy ishora bilan: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Ildizlar: \(x = 3\) va \(x = \tfrac{1}{2}\).
2-misol. Bitta takroriy ildiz (D = 0)
Yeching: \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
1–2-bosqich. Standart ko'rinishda: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
3-bosqich. Diskriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
4-bosqich. \(D = 0\), demak bitta haqiqiy ildiz (takroriy ildiz) mavjud. \(\pm\) qismi yo'qoladi, chunki \(\sqrt{0} = 0\).
5-bosqich. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Ildiz: \(x = 3\) (bu kvadrat tenglama \((x-3)^2 = 0\) to'la kvadratidir).
3-misol. Haqiqiy ildizlar yo'q (D < 0)
Yeching: \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
1–2-bosqich. Standart ko'rinishda: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
3-bosqich. Diskriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
4-bosqich. \(D = -16 < 0\). Manfiy sonning haqiqiy kvadrat ildizini hisoblab bo'lmagani uchun, bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q — parabolasi x-o'qini hech qachon kesib o'tmaydi.
5-bosqich. Haqiqiy yechimlar uchun boshqa ish talab qilinmaydi. (Agar siz kompleks sonlar bilan tanish bo'lsangiz, ildizlar \(x = -1 \pm 2i\) bo'ladi, lekin haqiqiy javob uchun shu yerda to'xtaymiz.)
Kvadrat tenglama formulasidagi keng tarqalgan xatolar
-
b ning ishorasini noto'g'ri aniqlash, ayniqsa b manfiy bo'lganda.
Formula −b bilan boshlanadi. Agar b = −7 bo'lsa, u holda −b = +7 bo'ladi — ikkita manfiy ishora bir-birini yo'qotadi. Soddalashtirishdan oldin o'rniga qo'yishni to'liq yozing, masalan: −(−7).
-
± belgisini unutish va faqat bitta ildizni yozish.
D > 0 bo'lganda ± belgisi ikkita javobni beradi: biri + bilan, ikkinchisi − bilan. D = 0 bo'lmagan holatlarda har doim (−b + √D)/(2a) va (−b − √D)/(2a) ni hisoblang.
-
Suratning faqat bir qismini 2a ga bo'lish.
Butun surat, ya'ni −b ± √D, 2a ga bo'linishi kerak — faqat √D qismi emas. Uni bitta kasr ko'rinishida saqlang: (−b ± √D) / (2a).
-
a yoki c manfiy bo'lganda diskriminantni noto'g'ri hisoblash.
D = b² − 4ac formulasi bo'yicha, a·c manfiy bo'lganda 4ac ni ayirish aslida qo'shishni anglatadi. 3x² − 2x − 1 uchun, −4·3·(−1) = +12, shuning uchun D = 4 + 12 = 16, 4 − 12 emas.
-
Tenglamani standart ko'rinishga keltirmasdan turib formulani qo'llash.
Avval barcha hadlarni bir tomonga o'tkazing, shunda tenglama ax² + bx + c = 0 bo'ladi. Masalan, x² = 5x − 6 tenglamasi a, b, c ni aniqlashdan oldin x² − 5x + 6 = 0 ko'rinishiga keltirilishi shart.
Ko'p beriladigan savollar
Kvadrat tenglama formulasi nima?
Kvadrat tenglama formulasi x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). U istalgan ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) kvadrat tenglamasining yechimlarini a, b va c koeffitsiyentlari orqali to'g'ridan-to'g'ri topishga imkon beradi.
Kvadrat tenglama formulasidan bosqichma-bosqich qanday foydalanish kerak?
Tenglamani ax² + bx + c = 0 standart ko'rinishiga keltiring, a, b va c ni ishoralari bilan aniqlang, D = b² − 4ac diskriminantni hisoblang, ildizlar sonini aniqlash uchun uning ishorasini tekshiring, so'ngra x = (−b ± √D) / (2a) formulasiga qo'ying va ham musbat, ham manfiy variantlarni soddalashtiring.
Diskriminant nima va u nima uchun muhim?
Diskriminant D = b² − 4ac bo'lib, u kvadrat ildiz ostidagi ifodadir. Uning ishorasi hisob-kitobni tugatmasdan turib haqiqiy ildizlar sonini aytib beradi: D > 0 ikkita haqiqiy ildizni, D = 0 bitta takroriy ildizni, D < 0 esa haqiqiy ildizlar yo'qligini bildiradi.
Qachon ko'paytuvchilarga ajratish o'rniga kvadrat tenglama formulasidan foydalanishim kerak?
Ko'paytuvchilarga ajratish kichik butun sonlar bilan oson bo'lganda qulay. Kvadrat tenglama formulasi esa har qanday kvadrat tenglama uchun ishlaydi, shu jumladan oson ajralmaydigan yoki irratsional ildizlarga ega bo'lganlari uchun ham, shuning uchun u har doim ishonchli yechim hisoblanadi.
Kvadrat tenglama formulasi qayerdan kelib chiqqan?
U ax² + bx + c = 0 umumiy tenglamasida to'la kvadratni ajratish usuli orqali keltirib chiqarilgan: a ga bo'ling, (b/2a)² ni qo'shib kvadratni to'ldiring, chap tomonni to'la kvadrat ko'rinishida yozing va har ikki tomondan kvadrat ildiz chiqaring. Natija kvadrat tenglama formulasidir.
Kvadrat tenglama formulasi yechim bermasligi mumkinmi?
Agar diskriminant manfiy bo'lsa (D < 0), haqiqiy yechim mavjud emas, chunki manfiy sonning haqiqiy kvadrat ildizini hisoblab bo'lmaydi. Tenglama hali ham ikkita kompleks ildizga ega, lekin haqiqiy ildizlar yo'q — grafikda parabola x-o'qiga hech qachon urinmaydi.
