Daraja xossalari — bu darajalarni ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va soddalashtirish bo'yicha sakkizta qoida. Ushbu sahifada barcha formulalar bitta jadvalda jamlangan: bir xil asosli darajalarning ko'paytmasi va bo'linmasi, darajani darajaga ko'tarish, ko'paytma va bo'linmaning darajasi, nol, manfiy va kasr ko'rsatkichlar. Har bir xossa nima uchun bunday ishlashi tushuntirilgan, keyin esa bosqichma-bosqich misollar, ishoralar bilan bog'liq xatolar tahlili va o'zingizni darhol tekshirib ko'rishingiz mumkin bo'lgan interaktiv trenajyor keltirilgan.
Daraja nima: asos va ko'rsatkich
Daraja — bu bir xil ko'paytuvchilarni ko'paytirishning qisqacha yozuvi. \(a^n\) yozuvi \(a\) soni o'z-o'ziga \(n\) marta ko'paytirilishini anglatadi:
Bu yerda \(a\) — daraja asosi (ko'paytiriladigan son), \(n\) esa — daraja ko'rsatkichi (necha marta ko'paytirilishi). Masalan, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): asos 3 ga, ko'rsatkich 4 ga teng.
Darhol eslab qolish kerak bo'lgan ikkita yozuv: \(a^1 = a\) (sonning bitta «nusxasi») va \(a^2\) — «kvadrat», \(a^3\) — «kub». Quyidagi barcha qoidalar aynan asoslar va ko'rsatkichlar bilan ishlaydi: ba'zi xossalar bir xil asoslarni, boshqalari esa — bir xil ko'rsatkichlarni talab qiladi. Ushbu ikki holatni farqlash formulalarni yodlashdan ko'ra muhimroqdir.
Barcha daraja xossalari: formulalar jadvali
Sakkizta asosiy daraja xossasini bitta jadvalda ko'z oldingizda tutish qulay. Dastlabki beshtasi har qanday ko'rsatkich uchun ishlaydi, oxirgi uchtasi esa daraja tushunchasini nol, manfiy va kasr ko'rsatkichlarga kengaytiradi.
| Xossa | Formula |
|---|---|
| Ko'paytma bir xil asoslar — ko'rsatkichlarni qo'shamiz | am · an = am+n |
| Bo'linma bir xil asoslar — ko'rsatkichlarni ayiramiz | am : an = am−n |
| Darajani darajaga ko'tarish ko'rsatkichlarni ko'paytiramiz | (am)n = amn |
| Ko'paytmaning darajasi har bir ko'paytuvchi darajaga ko'tariladi | (ab)n = anbn |
| Bo'linmaning darajasi surat va maxraj darajaga ko'tariladi | (a/b)n = an/bn |
| Nol ko'rsatkich noldan farqli har qanday son 1 ga teng | a0 = 1 |
| Manfiy ko'rsatkich kasrga aylantiramiz | a−n = 1/an |
| Kasr ko'rsatkich bu n-darajali ildiz | am/n = ⁿ√(am) |
Bir xil asosli darajalarni ko'paytirish va bo'lish
Bu darajalar bilan eng ko'p bajariladigan ikkita amal.
Ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, asos o'zgarmaydi:
Nima uchun bunday: birinchi ko'paytuvchida \(m\) ta bir xil son, ikkinchisida — \(n\) ta, jami \(m+n\) ta bo'ladi. Masalan, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Bo'lishda ko'rsatkichlar ayiriladi (bo'linuvchining ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichi ayiriladi):
Masalan, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Muhim: darajalarni qo'shish va ayirishda ko'rsatkichlar qo'shilmaydi. \(2^3 + 2^4\) yozuvini bitta darajaga keltirib bo'lmaydi: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), holbuki \(2^7 = 128\). Xossalar faqat ko'paytirish va bo'lish uchun ishlaydi.
Ko'paytirishda asos ham o'zgarmaydi. \(2^3 \cdot 2^4\) — bu \(2^7\), \(4^7\) emas: ko'rsatkichlarni qo'shamiz, asosni esa o'z holicha yozamiz.
Darajani darajaga ko'tarish, ko'paytmaning darajasi va bo'linmaning darajasi
Darajani darajaga ko'tarish — ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:
Masalan, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Ko'paytmaning darajasi — har bir ko'paytuvchi darajaga ko'tariladi:
Masalan, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Bo'linmaning darajasi — surat ham, maxraj ham darajaga ko'tariladi:
Masalan, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Oxirgi ikkita formula ko'pincha o'ngdan chapga ishlatiladi — bu holda ular turli asosli, lekin bir xil ko'rsatkichli darajalarni ko'paytirishga imkon beradi: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Agar asoslar ham, ko'rsatkichlar ham turlicha bo'lsa, ifoda odatda bir xil asosga keltiriladi: sonlar bir xil sonning darajasi ekanligi aniqlanadi. Masalan, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), \(4^3 \cdot 8^2\) ko'paytmasi esa \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\) ga aylanadi.
Nol va manfiy daraja ko'rsatkichi
Noldan farqli har qanday sonning nol darajasi birga teng:
Bu o'ylab topilgan narsa emas, balki bo'lish qoidasining natijasidir: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), lekin ayni shu bo'linma \(216 : 216 = 1\) ga teng. Demak, \(6^0 = 1\). \(0^0\) ifodasi aniqlanmagan.
Manfiy ko'rsatkich birni darajaga bo'lishni anglatadi:
Masalan, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Qulay natija: manfiy darajali kasr teskarisiga aylanadi, ko'rsatkich esa musbat bo'ladi:
Ko'rsatkichdagi minus sonni manfiy qilmaydi. \(2^{-3}\) yozuvi — bu musbat \(\frac{1}{8}\) kasri, \(-8\) emas. Ko'rsatkichdagi ishora «teskarisiga aylantirish» uchun javob beradi, natijaning ishorasi uchun emas.
Asosiysi: jadvaldagi barcha sakkizta xossa nol va manfiy ko'rsatkichlar uchun ham ishlashda davom etadi — masalan, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Kasr ko'rsatkichli daraja va ildizlar
Kasr ko'rsatkich — bu ildizni yozishning boshqacha usuli:
Kasrning maxraji ildiz darajasini, surati esa ildiz ostidagi ifodaning darajasini ko'rsatadi. Misollar: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Cheklov: juft maxrajli \(n\) uchun asos nomanfiy bo'lishi kerak (\(a \geqslant 0\)) — maktab kursida manfiy sondan juft darajali ildiz chiqarilmaydi.
Bu nima uchun kerak: kasr ko'rsatkichlar bilan aynan o'sha xossalar ishlaydi, shuning uchun ildizlarni darajaga o'tkazib, ko'paytirish va bo'lish qulay. Masalan, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Manfiy sonning darajasi: ishora qayerda yo'qoladi
Agar asos manfiy bo'lsa, natijaning ishorasi ko'rsatkichning juft-toqligiga bog'liq:
- juft ko'rsatkich — natija musbat: \((-3)^2 = 9\);
- toq ko'rsatkich — natija manfiy: \((-3)^3 = -27\).
Qavsli va qavssiz yozuvlarni farqlash ayniqsa muhim: \((-3)^2 = 9\), lekin \(-3^2 = -9\). Ikkinchi holatda faqat uch soni kvadratga ko'tariladi, minus esa oldinda qoladi. Bu nazorat ishlarida ishorani yo'qotishning eng keng tarqalgan holati.
Minus birning darajalarini eslab qolish alohida foydali: \((-1)^{100} = 1\), \((-1)^{101} = -1\) — juft ko'rsatkich \(+1\) beradi, toq ko'rsatkich \(-1\) beradi.
Darajali ifodalarda amallar tartibi
Ifodada ham darajalar, ham oddiy amallar bo'lsa, tartib quyidagicha: avval qavslar, keyin darajalar va ildizlar, keyin ko'paytirish va bo'lish, oxirida esa qo'shish va ayirish.
Masalan, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): avval kvadratga ko'taramiz, keyin ko'paytiramiz va qo'shamiz.
Misollar: daraja xossalarini qanday qo'llash kerak
1-misol. Bitta ifodada ko'paytirish va bo'lish
Topshiriq. \(x^7 \cdot x^4 : x^9\) ifodasini soddalashtiring.
1-qadam. Ko'paytirish: asoslar bir xil, ko'rsatkichlarni qo'shamiz — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
2-qadam. Bo'lish: ko'rsatkichlarni ayiramiz — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Javob. \(x^2\) (\(x \neq 0\) bo'lganda).
2-misol. Koeffitsiyentli ko'paytmaning darajasi
Topshiriq. \((3a^4)^3\) ifodasini darajaga ko'taring.
1-qadam. Har bir ko'paytuvchi darajaga ko'tariladi: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
2-qadam. Alohida hisoblaymiz: \(3^3 = 27\), darajani darajaga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Javob. \(27a^{12}\). Bu yerda tez-tez uchraydigan xato — uch sonini kubga ko'tarishni unutib, \(3a^{12}\) deb yozishdir.
3-misol. Ko'paytmada manfiy ko'rsatkich
Topshiriq. \(8^{-2} \cdot 8^{5}\) ni hisoblang.
1-qadam. Asoslar bir xil — ko'rsatkichlarni odatdagi qoida bo'yicha qo'shamiz, minus shunchaki qo'shishda qatnashadi: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
2-qadam. \(8^3 = 512\).
Javob. \(512\). E'tibor bering: \(8^{-2}\) ni kasrga aylantirish shart emas edi — daraja xossalari manfiy ko'rsatkichlar bilan to'g'ridan-to'g'ri ishlaydi.
4-misol. Manfiy darajali kasr
Topshiriq. \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\) ni hisoblang.
1-qadam. Manfiy ko'rsatkich kasrni teskarisiga aylantiradi: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
2-qadam. Surat va maxrajni kvadratga ko'taramiz: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Javob. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
5-misol. Kasr ko'rsatkich
Topshiriq. \(81^{\frac{3}{4}}\) ni hisoblang.
1-qadam. Ko'rsatkichning maxraji — ildiz darajasi: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
2-qadam. \(\sqrt[4]{81} = 3\), chunki \(3^4 = 81\).
3-qadam. Kubga ko'tarish qoldi: \(3^3 = 27\).
Javob. \(27\). Ildizni avval chiqarish qulayroq — sonlar \(81^3\) ni hisoblagandan ko'ra kichikroq bo'ladi.
6-misol. Murakkab ifoda
Topshiriq. \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\) ni hisoblang.
1-qadam. Suratdagi darajani darajaga ko'tarish: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
2-qadam. Bir xil asosli darajalarni bo'lish: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
3-qadam. \(3^2 = 9\).
Javob. \(9\). Umumiy qoida: avval qavslar va darajani darajaga ko'tarishni bajaramiz, keyin ko'paytirish va bo'lish bilan ishlaymiz.
Darajalar bilan ishlashda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Darajalarni **qo'shishda** ko'rsatkichlarni qo'shish: $2^2 + 2^2 = 2^4$ deb yozish.
Ko'rsatkichlar faqat ko'paytirishda qo'shiladi. Bu yerda \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), \(2^4 = 16\) — tenglik noto'g'ri. Darajalar yig'indisini umuman bitta darajaga keltirib bo'lmaydi, uni faqat qavsdan tashqariga chiqarish mumkin: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Asoslarni ham ko'paytirish: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarmaydi, faqat ko'rsatkich o'zgaradi: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
$(a+b)^n = a^n + b^n$ deb o'ylash, yig'indini ko'paytma bilan adashtirish.
Darajani faqat ko'paytmaga «tarqatish» mumkin: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — to'g'ri. Lekin \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), holbuki \(2^2 + 3^2 = 13\). Yig'indi uchun qisqa ko'paytirish formulalari kerak, daraja xossalari emas.
-
$a^0 = 0$ deb o'ylash.
Aksincha: noldan farqli har qanday sonning nol darajasi birga teng — \(9^0 = 1\). Natijada nol faqat asosning o'zi nol bo'lganda chiqadi (\(0^n = 0\), \(n > 0\) bo'lganda), \(0^0\) ifodasi esa aniqlanmagan.
-
Ko'rsatkichlarni teskari tartibda ayirish: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Bo'linuvchining ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichi ayiriladi, aksincha emas: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Bu yerda tartib oddiy ayirishdagi kabi muhim.
-
Manfiy ko'rsatkich sonni manfiy qiladi deb o'ylash: $2^{-2} = -4$.
Manfiy ko'rsatkich kasrni anglatadi, minusni emas: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Natija musbatligicha qoladi.
-
Manfiy asosning ishorasini yo'qotish: $(-4)^2 = -16$ deb yozish.
Juft ko'rsatkichda minus «yo'qoladi»: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Qavssiz yozuv esa boshqacha ma'noni anglatadi: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Qavslar hamma narsani hal qiladi.
Daraja xossalari haqida savol-javoblar
Ko'paytirishda darajalar qo'shiladimi yoki ko'paytiriladimi?
Bir xil asosli darajalarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, asos esa o'zgarmaydi: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Masalan, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Ko'rsatkichlar boshqa holatda — darajani darajaga ko'targanda ko'paytiriladi: \((a^m)^n = a^{mn}\).
Bo'lishda darajalar qo'shiladimi yoki ayiriladimi?
Ayiriladi: bo'linuvchining ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichi ayiriladi, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) (\(a \neq 0\) bo'lganda). Masalan, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Sonning nol darajasi nimaga teng?
Agar asos nol bo'lmasa, birga teng: \(a^0 = 1\). Bu bo'lish qoidasidan kelib chiqadi — \(a^n : a^n\) bo'linmasi bir vaqtning o'zida ham \(a^0\) ga, ham birga teng. Maktab kursida \(0^0\) ifodasi aniqlanmagan.
Manfiy daraja ko'rsatkichidan qanday qutulish mumkin?
Ifodani kasrga aylantirish kerak: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Masalan, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Agar asosning o'zi kasr bo'lsa, u shunchaki teskarisiga aylanadi, ko'rsatkich esa musbat bo'ladi.
Daraja asosi va ko'rsatkichi nima?
\(a^n\) yozuvida \(a\) soni — daraja asosi, ya'ni takrorlanadigan ko'paytuvchi; \(n\) — daraja ko'rsatkichi, u nechta shunday ko'paytuvchi borligini aytadi. \(5^4\) yozuvida asos 5 ga, ko'rsatkich 4 ga teng, qiymati esa 625 ga teng.
Turli asosli darajalarni ko'paytirish mumkinmi?
Agar ko'rsatkichlar bir xil bo'lsa, bitta darajaga keltirish mumkin: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Masalan, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Agar asoslar ham, ko'rsatkichlar ham turlicha bo'lsa, ifoda avval umumiy asosga keltiriladi (imkon bo'lsa), aks holda o'z holicha qoldiriladi.
Jami nechta daraja xossasi bor?
Asosiylari sakkizta: bir xil asosli darajalarni ko'paytirish va bo'lish, darajani darajaga ko'tarish, ko'paytmaning darajasi, bo'linmaning darajasi, nol ko'rsatkich, manfiy ko'rsatkich va kasr ko'rsatkich. Turli darsliklarda ular turlicha guruhlanadi, shuning uchun «beshta xossa» yoki «o'nta xossa» degan ta'riflar uchraydi, lekin mazmuni bir xil — barcha qoidalar yuqoridagi jadvalda keltirilgan.
Kasr daraja ko'rsatkichi nimani anglatadi?
Ildizni. Kasrning maxraji — ildiz darajasi, surati — ildiz ostidagi ifodaning darajasi: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Masalan, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Juft maxraj uchun asos nomanfiy bo'lishi kerak.
Daraja xossalari nechanchi sinfda o'tiladi?
Natural ko'rsatkichli daraja va uning asosiy xossalari 7-sinf algebra darsligida, butun manfiy ko'rsatkichli daraja 8-sinfda, ratsional (kasr) ko'rsatkichli daraja va ildizlar esa 9–11-sinflarda o'tiladi. Bu xossalar OTMga kirish imtihonlarida ifodalarni soddalashtirish uchun kerak bo'ladi.
