Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari (QKF) — bu ko‘p hadlarni uzoq vaqt ko‘paytirib o‘tirmasdan, qavslarni tez ochish va ifodalarni ko‘paytuvchilarga ajratish imkonini beradigan tayyor algebraik ayniyatlardir. Ushbu sahifada barcha yettita formulaning jadvali keltirilgan: yig‘indining va ayirmaning kvadrati, kvadratlar ayirmasi, yig‘indining va ayirmaning kubi, kublar yig‘indisi va ayirmasi. Har bir formulani keltirib chiqarilishi va misollar bilan tahlil qilamiz, oxirida esa QKFni qo‘llashni mashq qilish uchun interaktiv trenajyor mavjud.
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari nima
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari — bu ko‘p hadlarni bir marta ko‘paytirib, natijani yodlab olganda hosil bo‘ladigan ayniyatlardir. Keyinchalik har safar qavslarni ochib o‘tirish shart emas: shunchaki «shablon»ni tanib, o‘z son yoki harflaringizni o‘rniga qo‘yish kifoya.
7-sinf algebra kursida QKF ikki yo‘nalishda ishlaydi:
- chapdan o‘ngga — qavslarni tez ochish va ifodani kvadrat yoki kub darajaga ko‘tarish uchun;
- o‘ngdan chapga — ko‘p hadni ko‘paytuvchilarga ajratish uchun (bu kasrlarni qisqartirish va tenglamalarni yechishda kerak bo‘ladi).
Jami yettita formulani yodda tutish kerak. Quyida eslatma-jadval, so‘ngra har bir formulaning alohida tahlili keltirilgan.
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari jadvali
Barcha yettita qisqartirilgan ko‘paytirish formulasini bitta jadvalda ko‘z oldingizda tutish qulay. Bu yerdagi \(a\) va \(b\) harflari — har qanday ifoda: son, o‘zgaruvchi yoki \(2x\) kabi bir had bo‘lishi mumkin.
| Formula | Yozilishi |
|---|---|
| Yig‘indining kvadrati | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Ayirmaning kvadrati | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Kvadratlar ayirmasi | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Yig‘indining kubi | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Ayirmaning kubi | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Kublar yig‘indisi | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Kublar ayirmasi | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Yig‘indining kvadrati va ayirmaning kvadrati
Yig‘indining kvadrati \((a+b)\) ni o‘ziga ko‘paytirish orqali hosil bo‘ladi:
So‘z bilan aytganda: yig‘indining kvadrati birinchi ifodaning kvadrati, birinchi va ikkinchi ifoda ko‘paytmasining ikkilangani hamda ikkinchi ifodaning kvadratiga teng. Xuddi shunday ayirmaning kvadrati ham keltirib chiqariladi — o‘rta hadning ishorasi manfiy bo‘ladi:
Eng muhimi — \(2ab\) o‘rta hadni tushirib qoldirmaslik: aynan shu sababli \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Yig‘indining kvadrati va ayirmaning kvadratida faqat \(2ab\) oldidagi ishora farq qiladi, \(a^2\) va \(b^2\) chetki hadlari esa doimo musbat bo‘ladi.
Misol. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Yig‘indining kvadratida yaqqol geometrik ma’no bor: bu tomoni \((a+b)\) bo‘lgan katta kvadratning yuzi.
Kvadratlar ayirmasi
Agar bir xil ifodalarning yig‘indisi va ayirmasini ko‘paytirsak, o‘rta hadlar o‘zaro qisqarib ketadi:
Kvadratlar ayirmasi formulasi hosil bo‘ladi: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Bu ko‘paytuvchilarga ajratish uchun eng foydali QKF hisoblanadi: ikkita kvadrat ayirmasini ko‘rishingiz bilan darhol ko‘paytma shakliga keltiring.
Misol (qavslarni ochish). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Misol (ko‘paytuvchilarga ajratish). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Muhim: kvadratlar yig‘indisi \(a^2 + b^2\) ushbu formula bo‘yicha ko‘paytuvchilarga ajralmaydi — faqat ayirma ishlaydi.
Yig‘indining kubi, ayirmaning kubi, kublar yig‘indisi va ayirmasi
Yig‘indining kubi va ayirmaning kubi to‘rtta haddan iborat:
Ayirmaning kubida ishoralar almashinib keladi: \(+\,-\,+\,-\). Yana bir tez-tez uchraydigan xato: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — darajani shunchaki «taqsimlab» bo‘lmaydi, \(3a^2b\) va \(3ab^2\) o‘rta hadlarni tushirib qoldirmaslik kerak.
Misol. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Kublar yig‘indisi va ayirmasi esa alohida turadi — ular aksincha, ifodani ko‘paytuvchilarga ajratadi:
Ikkinchi ko‘paytuvchi yig‘indi yoki ayirmaning chala kvadrati deb ataladi. Uning o‘rta hadidagi ishora birinchi qavsdagi ishoraga qarama-qarshi bo‘ladi: kublar yig‘indisida — \(-ab\), kublar ayirmasida — \(+ab\).
Misol. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalarini qo‘llashga doir misollar
1-misol. Qavslarni ochish: yig‘indining kvadrati
Topshiriq. \((2x+5)^2\) ni kvadratga ko‘taring.
1-qadam. Yig‘indining kvadrati formulasini aniqlaymiz: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), bu yerda \(a = 2x\), \(b = 5\).
2-qadam. Har bir hadni hisoblaymiz:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Javob. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
2-misol. Kvadratlar ayirmasi formulasiga keltirish
Topshiriq. \((3x-4)(3x+4)\) ko‘paytmasini toping.
1-qadam. Bizning oldimizda bir xil ifodalarning ayirmasi va yig‘indisi ko‘paytmasi turibdi — bu kvadratlar ayirmasi \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), bu yerda \(a = 3x\), \(b = 4\).
2-qadam. Har bir ifodani kvadratga ko‘taramiz: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Javob. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
3-misol. Ko‘paytuvchilarga ajratish
Topshiriq. \(x^2 - 36\) va \(x^3 + 27\) ni ko‘paytuvchilarga ajrating.
Kvadratlar ayirmasi. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Kublar yig‘indisi. \(27 = 3^3\) ekanligini payqaymiz, demak \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). \(a = x\), \(b = 3\) bo‘lganda \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) formulasini qo‘llaymiz:
Chala kvadratdagi \(-3x\) ishorasiga e’tibor bering — kublar yig‘indisida o‘rta had manfiy ishora bilan bo‘ladi.
4-misol. Yig‘indining kubi
Topshiriq. \((x+2)^3\) qavslarini oching.
1-qadam. Yig‘indining kubi formulasi: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), bu yerda \(a = x\), \(b = 2\).
2-qadam. Hadlarni ketma-ket hisoblaymiz:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Javob. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
QKF bilan ishlashda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Ikkilangan ko‘paytmani unutish: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ deb yozish.
Yig‘indining va ayirmaning kvadratida doimo \(2ab\) o‘rta hadi bo‘ladi: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Buni tekshirish oson — \((a+b)(a+b)\) ni ustun shaklida ko‘paytiring, o‘rta had o‘zi chiqadi.
-
Ayirmaning kvadrati va kvadratlar ayirmasidagi ishoralarni chalkashtirish.
Ayirmaning kvadratida minus faqat o‘rta hadda bo‘ladi: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (chetki hadlar — musbat). Kvadratlar ayirmasida esa minus — kvadratlarning o‘zi orasida: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Bular har xil formulalar.
-
Kub darajani «taqsimlash»: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Bunday qilish mumkin emas. Yig‘indining kubi to‘rtta haddan iborat: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) formulasi — bu butunlay boshqa narsa (kublar yig‘indisi), u ko‘paytuvchilarga ajratish haqida.
-
Kublar yig‘indisi/ayirmasining chala kvadratiga ikkilangan ko‘paytmani ($2ab$) qo‘yish.
Chala kvadrat — bu \(a^2 \pm ab + b^2\), \(ab\) oldida ikki raqami bo‘lmaydi. Ishora birinchi qavsdagi ishoraga qarama-qarshi: kublar yig‘indisi \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kublar ayirmasi \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Kvadratlar yig‘indisi $a^2 + b^2$ ni ko‘paytuvchilarga ajratishga urinish.
Faqat kvadratlar ayirmasi \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) ko‘paytuvchilarga ajraladi. Maktab kursida kvadratlar yig‘indisi \(a^2 + b^2\) ko‘paytuvchilarga ajralmaydi.
Savol va javoblar
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari jami nechta?
Yettita: yig‘indining kvadrati, ayirmaning kvadrati, kvadratlar ayirmasi, yig‘indining kubi, ayirmaning kubi, kublar yig‘indisi va kublar ayirmasi. Ularning barchasi yuqoridagi jadvalda jamlangan.
Yig‘indining kvadrati nimaga teng?
Birinchi ifodaning kvadrati, birinchi va ikkinchi ifoda ko‘paytmasining ikkilangani hamda ikkinchi ifodaning kvadratiga teng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ayirmaning kvadratida o‘rta had manfiy ishora bilan bo‘ladi: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kvadratlar ayirmasini qanday ko‘paytuvchilarga ajratish mumkin?
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) formulasi bo‘yicha. Masalan, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Ikkala had ham to‘liq kvadrat ekanligini va ular orasida minus turganini ko‘rish kifoya.
Nima uchun $(a+b)^2$ $a^2 + b^2$ ga teng emas?
Chunki \((a+b)(a+b)\) ni ko‘paytirganda yana ikkita bir xil \(ab\) hadi hosil bo‘ladi, ular \(2ab\) o‘rta hadini beradi. Uni tushirib qoldirib bo‘lmaydi: to‘g‘risi \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Yig‘indining kubi kublar yig‘indisidan nimasi bilan farq qiladi?
Yig‘indining kubi \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — bu qavslarni ochish. Kublar yig‘indisi \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — aksincha, ifodani ko‘paytuvchilarga ajratish. Bular har xil formulalar, ularni chalkashtirmang.
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari nechanchi sinfda o‘tiladi?
Odatda 7-sinf algebra darslarida: avval yig‘indining va ayirmaning kvadrati, kvadratlar ayirmasi, keyin kublar uchun formulalar. Ulardan keyinchalik ifodalarni soddalashtirish, kasrlarni qisqartirish va tenglamalarni yechishda faol foydalaniladi.
