Ratsional tengsizlik — bu \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) koʻrinishdagi tengsizlik, bu yerda \(P(x)\) va \(Q(x)\) — koʻphadlar, va \(>\) belgisi oʻrniga \(<\), \(\ge\) yoki \(\le\) belgilari boʻlishi mumkin. Bunday tengsizliklar intervallar usuli bilan yechiladi: hammasini chap qismga oʻtkazishadi, koʻpaytuvchilarga ajratishadi, son oʻqida surat va maxrajning nollarini belgilashadi va ishoralarni qoʻyishadi. Quyida — taʼrif, toʻliq algoritm, boʻyalmagan nuqtalar qoidasi, ildizlarning karraligi, tahlil qilingan misollar va tekshiruvchi mashq qiluvchi.
Ratsional tengsizlik nima
Ratsional tengsizlik — bu ikkala qismi ratsional ifodalar, yaʼni koʻphadlar va koʻphadlardan tuzilgan kasrlar bilan yozilgan tengsizlikdir. Hammasini bir qismga oʻtkazgandan soʻng, u har doim quyidagi koʻrinishga keladi
bu yerda \(P(x)\) va \(Q(x)\) — koʻphadlar, va \(\vee\) oʻrnida \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) belgilaridan biri turadi. Oʻng tomonda albatta nol boʻlishi shart — bu shartsiz intervallar usuli ishlamaydi.
Ratsional tengsizliklar ikki turga boʻlinadi. Agar oʻzgaruvchi faqat suratda uchrasa, tengsizlik butun ratsional deb ataladi: boʻlish uchun hech narsa yoʻq va \(x\) ning istalgan qiymatlari mos keladi. Agar oʻzgaruvchi maxrajda boʻlsa, tengsizlik kasr-ratsional (uni kasrli tengsizlik yoki kasr qatnashgan tengsizlik deb ham atashadi) — va shunda darhol \(Q(x) \neq 0\) cheklovi paydo boʻladi.
Nima uchun tengsizlikning ikkala qismini maxrajga koʻpaytirish mumkin emas
Kasrli tengsizlikni yechishda eng katta vasvasa — ikkala qismini maxrajga koʻpaytirib, undan «qutulish»dir. Tenglamalar bilan bunday qilish mumkin, tengsizliklar bilan esa — yoʻq. Sababi oddiy: manfiy songa koʻpaytirilganda tengsizlik belgisi teskariga oʻzgaradi, \(Q(x)\) ifodasining ishorasi esa oldindan nomaʼlum — u \(x\) ga bogʻliq.
\(\frac{5}{x-3} < 1\) tengsizligiga qaraylik. Ikkala qismini \(x - 3\) ga koʻpaytiramiz, goʻyo bu musbat son: \(5 < x - 3\) hosil boʻladi, yaʼni \(x > 8\). Javobni \(x = 0\) ni qoʻyib tekshiramiz: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — tengsizlik toʻgʻri, demak nol ham yechim, lekin \(x > 8\) javobiga kirmadi. Javob yoʻqotildi.
Toʻgʻri yoʻl — hammasini chapga oʻtkazish va bitta kasrga keltirish:
Oxirgi qadamda biz ikkala qismini \(-1\) ga koʻpaytirdik va ishorani teskariga oʻzgartirdik — bu qonuniy, chunki \(-1\) har doim manfiy. Keyin intervallar usuli ishlaydi va javob \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) boʻladi — unda yoʻqotilgan nol ham bor.
Eng oson yodlash usuli: ikkala qismini oʻzgaruvchili ifodaga koʻpaytirish mumkin emas, qoʻshiluvchilarni koʻchirish — har doim mumkin. Koʻchirish tengsizlik belgisini oʻzgartirmaydi.
Intervallar usuli: yechish algoritmi bosqichma-bosqich
Intervallar usuli bitta xususiyatga asoslanadi: ratsional ifodaning qoʻshni nollari orasida uning ishorasi doimiy boʻladi. Demak, surat yoki maxraj nolga aylanadigan barcha nuqtalarni topish, ular bilan son oʻqini boʻlish va har bir qismda ishorani aniqlash — bitta sinov nuqtasi yoki ildizlarning karraligi boʻyicha kifoya.
Boʻyalmagan va boʻyalgan nuqtalar: DTM va tengsizlik belgisi
Bitta qavsdagi xato toʻgʻri yechimni notoʻgʻri javobga aylantiradi, shuning uchun nuqtalar haqidagi qoidani alohida oʻrganish kerak. Ikkita asosiy fikr mavjud.
Birinchisi — aniqlanish sohasi. Maxrajning noli har doim, tengsizlikning istalgan belgisida boʻyalmaydi. Bu nuqtada kasr shunchaki mavjud emas: nolga boʻlish mumkin emas, shuning uchun bu son yechim boʻla olmaydi, hatto belgi qatʼiy boʻlmasa ham.
Ikkinchisi — qatʼiy belgi yoki qatʼiy emas. Suratning nollari kasrni nolga aylantiradi. Qatʼiy boʻlmagan belgi (\(\le\) yoki \(\ge\)) boʻlganda nolga tenglik bizga mos keladi, demak nuqta boʻyaladi va javobga kvadrat qavs bilan kiradi. Qatʼiy belgi (\(<\) yoki \(>\)) boʻlganda nol mos kelmaydi va nuqta boʻyalmaydi.
Masalan, \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) tengsizligida \(x = 6\) nuqtasi boʻyaladi (suratning noli, belgi qatʼiy emas), \(x = -1\) nuqtasi esa boʻyalmaydi (maxrajning noli). Javob: \(x \in (-1; 6]\).
| Qanday nuqta | Qanday belgilaymiz |
|---|---|
| Maxrajning noli, Q(x) = 0 | boʻyalmagan har doim, istalgan belgida — nuqta DTM da yoʻq |
| Suratning noli, belgi qatʼiy < yoki > | boʻyalmagan kasr nolga teng, lekin qatʼiy boshqa belgi kerak |
| Suratning noli, belgi qatʼiy emas ≤ yoki ≥ | boʻyalgan nolga tenglik mos keladi, nuqta javobga kiradi |
Ildizlarning karraligi: qayerda ishora oʻzgaradi, qayerda oʻzgarmaydi
Oraliqlardagi ishoralar shunchaki almashinib kelishi shart emas — bu mavzudagi eng keng tarqalgan notoʻgʻri tushuncha. Almashinish faqat barcha qavslar birinchi darajada boʻlganda ishlaydi. Qoida aniqroq qilib ildizning karraligi — tegishli qavsning daraja koʻrsatkichi orqali aytiladi.
Toq karralikdagi ildizdan oʻtganda (daraja 1, 3, 5) ifodaning ishorasi oʻzgaradi. Juft karralikdagi ildizdan oʻtganda (daraja 2, 4) ishora oʻzgarmaydi: juft darajadagi qavs manfiy emas va ifodaning ishorasini buzmaydi. Karralik surat uchun ham, maxraj uchun ham bir xil hisoblanadi.
\((x-9)^2(x+3) > 0\) ni olaylik. Ildizlar: \(x = 9\) 2-karralik va \(x = -3\) 1-karralik. Toʻqqizdan oʻngda ifoda musbat. \(9\) dan oʻtamiz — karralik juft, ishora saqlanadi, \((-3; 9)\) oraliqda ham plyus. \(-3\) dan oʻtamiz — karralik toq, ishora minusga oʻzgaradi. Qatʼiy tengsizlikning javobi: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), \(9\) nuqtasi boʻyalmagan, chunki u yerda ifoda nolga teng. Qatʼiy boʻlmagan \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) tengsizligining javobi esa boshqacha: \(x \in [-3; +\infty)\) — toʻqqiz boʻyaladi va ikkita oraliqni bittaga «yopishtiradi».
| Ildizning karraligi | Oʻtishdagi ishora |
|---|---|
| Toq: (x − a), (x − a)3 | oʻzgaradi |
| Juft: (x − a)2, (x − a)4 | oʻzgarmaydi |
Misolda son oʻqi: ishoralarni qoʻyamiz
Hammasini \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) tengsizligida jamlaymiz. Suratning nollari: \(x = -7\). Maxrajning nollari: \(x = 2\) va \(x = 5\), ular DTM ni ham belgilaydi. Barcha uchta qavs birinchi darajada, shuning uchun ishoralar almashinib keladi. Eng oʻng oraliqdagi \(x = 10\) sinov nuqtasi \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) ni beradi — plyusdan boshlaymiz va chapga har bir nuqtada ishorani oʻzgartirib boramiz.
Ratsional tengsizliklarni yechish misollari
1-misol. Oddiy kasrli tengsizlik
Yechish \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
1-qadam. Oʻng tomonda allaqachon nol, kasr allaqachon bitta — koʻchirish va keltirish shart emas.
2-qadam. DTM. \(x + 5 \neq 0\), yaʼni \(x \neq -5\).
3-qadam. Nollar. Surat \(x = 3\) da nolga teng, maxraj — \(x = -5\) da.
4-qadam. Oʻqdagi nuqtalar. \(x = 3\) ni boʻyaymiz (suratning noli, belgi qatʼiy emas), \(x = -5\) ni boʻyalmaymiz (maxrajning noli).
5-qadam. Ishoralar. \(x = 4\) sinov nuqtasi: \(\frac{1}{9} > 0\) — oʻngda plyus. Ikkala qavs ham birinchi darajada, demak ishoralar almashinib keladi: \((-5; 3)\) da minus, \((-\infty; -5)\) da plyus. Tekshiramiz: \(x = -6\) da \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) hosil boʻladi — mos keladi.
6-qadam. Javob. «Plyus yoki nol» belgisi kerak: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
2-misol. Oʻngda nol emas — koʻchiramiz
Yechish \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
1-qadam. Birni chapga oʻtkazamiz. \(x - 4\) ga koʻpaytirish mumkin emas, bu ifodaning ishorasi nomaʼlum:
2-qadam. Bitta kasrga keltiramiz.
3-qadam. DTM. \(x \neq 4\).
4-qadam. Nuqtalar. \(x = -5\) — suratning noli, belgi qatʼiy emas, boʻyaymiz. \(x = 4\) — maxrajning noli, boʻyalmaydi.
5-qadam. Ishoralar. \(x = 5\) da kasr \(\frac{10}{1} > 0\) ga teng. Demak \((4; +\infty)\) da plyus, \((-5; 4)\) da minus, \((-\infty; -5)\) da plyus.
6-qadam. Javob. \(x \in [-5; 4)\). Chegaraviy nuqtalarni tekshirish: \(x = -5\) da kasr nolga teng — \(\le\) uchun mos keladi; \(x = 4\) da kasr mavjud emas — mos kelmaydi.
3-misol. Juft karralikdagi ildiz va ajratilgan nuqta
Yechish \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
1-qadam. DTM. \(x \neq 9\).
2-qadam. Nollar va karraliklar. \(x = 2\) — 2-karralik (juft), \(x = -6\) — 1-karralik, \(x = 9\) — maxrajda 1-karralik.
3-qadam. Nuqtalar. \(x = 2\) va \(x = -6\) ni boʻyaymiz (suratning nollari qatʼiy boʻlmagan belgida), \(x = 9\) ni boʻyalmaymiz.
4-qadam. Ishoralar. \(x = 10\) sinov nuqtasi: surat musbat, maxraj 1 ga teng — plyus. Chapga boramiz. \(9\) dan oʻtganda (karralik toq) ishora oʻzgaradi: \((2; 9)\) da minus. \(2\) dan oʻtganda (juft karralik) ishora oʻzgarmaydi: \((-6; 2)\) da ham minus. \(-6\) dan oʻtganda (karralik toq) ishora oʻzgaradi: \((-\infty; -6)\) da plyus.
5-qadam. Javob. «Plyus» ishorali oraliqlarni va ifoda nolga teng boʻlgan barcha nuqtalarni olamiz. \(x = 2\) nuqtasi minusli oraliq ichida joylashgan, lekin ifodaning oʻzi u yerda nolga teng, demak u javobga alohida kiradi:
Javobdagi bunday «yolgʻiz» nuqta — qatʼiy boʻlmagan belgida juft karralikdagi ildizning aniq belgisidir.
4-misol. Kasrni qisqartirish: DTM bilan tuzoq
Yechish \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
1-qadam. Koʻpaytuvchilarga ajratamiz. Surat — toʻliq kvadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Maxraj uchun diskriminantni hisoblaymiz: \(D = 81 + 40 = 121\), ildizlar \(x_1 = \frac{1}{5}\) va \(x_2 = -2\), shuning uchun \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
2-qadam. DTM — har qanday qisqartirishdan oldin. \(5x - 1 \neq 0\) va \(x + 2 \neq 0\), yaʼni \(x \neq \frac{1}{5}\) va \(x \neq -2\).
3-qadam. Qisqartiramiz. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), lekin faqat \(x \neq \frac{1}{5}\) boʻlganda — qisqartirish boʻyalmagan nuqtani qaytarmaydi.
4-qadam. \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) ni yechamiz. Nollar: \(\frac{1}{5}\) va \(-2\). \(x = 1\) da kasr \(\frac{4}{3} > 0\) ga teng. Demak \((\frac{1}{5}; +\infty)\) da plyus, \((-2; \frac{1}{5})\) da minus, \((-\infty; -2)\) da plyus.
5-qadam. DTM ni qaytaramiz. \((-2; \frac{1}{5}]\) oraliq ishoraga mos kelgan boʻlar edi, lekin \(\frac{1}{5}\) nuqtasi boʻyalmagan: dastlabki tengsizlikda \(x = \frac{1}{5}\) da \(5x^2+9x-2\) maxraji nolga aylanadi, kasr u yerda mavjud emas.
Javob: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — ikkala qavs ham yumaloq.
5-misol. Suratda kvadrat uchhad
Yechish \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
1-qadam. Suratni koʻpaytuvchilarga ajratamiz. Viyet teoremasiga koʻra ildizlar yigʻindisi 7 ga, koʻpaytmasi 10 ga teng, demak \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Tengsizlik \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) koʻrinishini oladi.
2-qadam. DTM. \(x \neq -4\).
3-qadam. Nuqtalar. Barcha uchta nuqta boʻyalmagan: \(-4\) — maxrajning noli, \(2\) va \(5\) — suratning nollari qatʼiy belgida.
4-qadam. Ishoralar. \(x = 6\) sinov nuqtasi: \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Barcha qavslar birinchi darajada, shuning uchun ishoralar almashinib keladi: \((5; +\infty)\) da plyus, \((2; 5)\) da minus, \((-4; 2)\) da plyus, \((-\infty; -4)\) da minus.
5-qadam. Javob. Qatʼiy minus kerak: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Oʻrniga qoʻyish orqali tekshirish: \(x = -5\) da \(\frac{70}{-1} < 0\) ni olamiz, \(x = 3\) da \(\frac{-2}{7} < 0\) ni olamiz — ikkala oraliq ham mos keladi.
Ratsional tengsizliklarni yechishda tez-tez uchraydigan xatolar
-
Ikkala qismini maxrajga koʻpaytirishadi: $\frac{3}{x-8} > 1$ dan $3 > x - 8$ ni hosil qilib, $x < 11$ deb yozishadi.
\(x - 8\) ifodasining ishorasi oldindan nomaʼlum, manfiyga koʻpaytirilganda esa tengsizlik belgisi teskariga oʻzgaradi. Tekshirish: \(x = 0\) da \(\frac{3}{-8} < 1\) hosil boʻladi — nol yechim emas, garchi \(x < 11\) javobiga kirgan boʻlsa ham. Toʻgʻrisi: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), yaʼni \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), bu yerdan \(x \in (8; 11)\).
-
Maxrajning nolini boʻyashadi, chunki belgi qatʼiy emas: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ da javobni yettida kvadrat qavs bilan yozishadi.
Maxrajning noli har doim, istalgan belgida boʻyalmaydi: bu nuqtada kasr shunchaki mavjud emas. Toʻgʻri javob: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — birda qavs kvadrat, yettida yumaloq.
-
Kasrni qisqartirishadi va DTM ni yoʻqotishadi: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ dan $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ ni olib, javobga $x = -3$ nuqtasini kiritishadi.
DTM ni qisqartirishdan oldin, dastlabki maxraj boʻyicha yozishadi: \(x \neq -3\) va \(x \neq 5\). Qisqartirilgan \(\frac{x+3}{x-5}\) kasri \([-3; 5)\) da musbat emas — \(x = 0\) da u \(-0{,}6\) ga teng, bu \(\le\) belgisi uchun talab qilinadi. Lekin \(-3\) nuqtasi DTM boʻyicha boʻyalmagan, shuning uchun javob — \((-3; 5)\), \([-3; 5)\) emas.
-
Oraliqlardagi ishoralar har doim almashinib keladi deb hisoblashadi va $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ uchun birdan oʻngda minus qoʻyishadi.
Almashinish faqat qavslar birinchi darajada boʻlganda toʻgʻri. \(x = 1\) ildizi 2-karralikka ega, demak u orqali ishora oʻzgarmaydi. Ifoda butun \((-4; +\infty)\) da musbat, faqat birning oʻzida nolga teng. Javob: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Qoʻshiluvchini koʻchirishda tengsizlik belgisini oʻzgartirishadi: $\frac{x}{x-2} \le 3$ dan $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ ni hosil qilishadi.
Qoʻshiluvchini bir qismdan ikkinchisiga koʻchirish tengsizlik belgisini oʻzgartirmaydi — faqat qoʻshiluvchining oʻzining ishorasi oʻzgaradi. Ishora faqat ikkala qismini manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishda teskariga oʻzgaradi. Toʻgʻrisi: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), keyin \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), yaʼni \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Oʻqda faqat suratning nollarini belgilashadi, maxrajni esa «keyin» tekshirishadi: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ uchun bitta $-11$ nuqtasini qoʻyishadi.
Oʻqda barcha nollarni darhol belgilashadi — ham suratning, ham maxrajning, aks holda oraliqlar notoʻgʻri chiqadi. Bu yerda \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), shuning uchun uchta nuqta bor: \(-11\), \(-4\) va \(4\), bitta emas. Hammasi boʻyalmagan (belgi qatʼiy), javob: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Savollar va javoblar
Ratsional tengsizlik nima?
Bu ikkala qismi ratsional ifodalar (koʻphadlar va koʻphadlardan tuzilgan kasrlar) boʻlgan tengsizlikdir. Hammasini chap qismga oʻtkazgandan soʻng, u \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) koʻrinishiga keladi, bu yerda \(P(x)\) va \(Q(x)\) — koʻphadlar, va \(>\) oʻrniga \(<\), \(\le\) yoki \(\ge\) boʻlishi mumkin.
Ratsional tengsizliklarni qanday yechish kerak?
Intervallar usuli bilan olti qadamda: hammasini chapga oʻtkazish, shunda oʻngda nol qoladi; bitta kasrga keltirish va surat hamda maxrajni koʻpaytuvchilarga ajratish; DTM ni yozish (\(Q(x) \neq 0\)); son oʻqida surat va maxrajning nollarini belgilash; oraliqlarga sinov nuqtasi va ildizlarning karraligi boʻyicha ishoralarni qoʻyish; javobga kerakli ishorali oraliqlarni yozish.
Kasr-ratsional tengsizlik butun ratsional tengsizlikdan nimasi bilan farq qiladi?
Butun ratsionalda oʻzgaruvchi faqat suratda turadi, masalan \((x-1)(x+4) > 0\), va DTM — barcha haqiqiy sonlar. Kasr-ratsionalda oʻzgaruvchi maxrajda mavjud, masalan \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), va \(x \neq -4\) cheklovi paydo boʻladi. Algoritm esa bir xil — faqat boʻyalmagan nuqtalar oʻzgaradi.
Kasrli tengsizliklarni qanday yechish kerak?
Har qanday ratsional tengsizlik kabi: avval hammasini chap qismga oʻtkazish va bitta kasrga keltirish, maxrajdan qutulish emas. Masalan, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\) ga, yaʼni \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\) ga aylanadi. Surat doimiy va manfiy, demak kasr faqat manfiy maxrajda manfiy emas: \(x + 2 < 0\). Javob: \(x \in (-\infty; -2)\).
Nima uchun tengsizlikning ikkala qismini maxrajga koʻpaytirish mumkin emas?
Chunki maxrajning ishorasi \(x\) ga bogʻliq: musbat ifodaga koʻpaytirilganda tengsizlik belgisi saqlanadi, manfiyga koʻpaytirilganda esa — teskariga oʻzgaradi. Oldindan qaysi holat ekanligi nomaʼlum, shuning uchun yechimlarning bir qismi yoʻqoladi, bir qismi esa ortiqcha qoʻshiladi. Qoʻshiluvchilarni koʻchirish har doim mumkin — koʻchirish tengsizlik belgisini oʻzgartirmaydi.
Tengsizlikda DTM ni qanday topish kerak?
Ratsional tengsizlik uchun DTM — bu maxraj nolga aylanmaydigan barcha \(x\) qiymatlaridir. Maxrajni nolga tenglashtiring, tenglamani yeching va topilgan sonlarni chiqarib tashlang. DTM ni dastlabki maxraj boʻyicha, kasrni qisqartirishdan oldin yozish kerak — aks holda boʻyalmagan nuqtalar yoʻqoladi.
Qaysi nuqtalar boʻyalmagan, qaysilari boʻyalgan?
Maxrajning nollari har doim, tengsizlikning istalgan belgisida boʻyalmaydi. Suratning nollari qatʼiy boʻlmagan belgida (\(\le\) yoki \(\ge\)) boʻyaladi va qatʼiy belgida (\(<\) yoki \(>\)) boʻyalmaydi. Javob yozuvida boʻyalmagan nuqtaga yumaloq qavs, boʻyalgan nuqtaga — kvadrat qavs mos keladi.
Ildizning karraligi nima va u intervallar usulida nima uchun kerak?
Karralik — bu qavs yoyilmaga kiradigan darajadir. Toq karralikdagi ildizdan oʻtganda ifodaning ishorasi oʻzgaradi, juft karralikdagi ildizdan oʻtganda esa — saqlanadi. Aynan shuning uchun ishoralar har doim shunchaki almashinib kelmaydi: \((x-9)^2(x+3)\) da \(9\) nuqtasida ishora oʻzgarmaydi.
Ratsional tengsizliklar qaysi sinfda oʻtiladi?
9-sinfda algebra darslarida, kvadrat tengsizliklar va koʻphadlarni koʻpaytuvchilarga ajratishdan soʻng. Intervallar usuli keyinchalik koʻrsatkichli, logarifmik va irratsional tengsizliklar uchun, shuningdek OGE va profil EGE topshiriqlarida qoʻllaniladi.
