Uma equação do segundo grau é uma equação da forma \(ax^2 + bx + c = 0\), onde \(a \neq 0\). O número de raízes é determinado pelo discriminante \(D = b^2 - 4ac\), e as raízes são encontradas pela fórmula \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Esta página reúne tudo sobre o tema: forma padrão e coeficientes, três tipos de equações incompletas, discriminante e seus três casos, fórmula de Bhaskara e sua variante para coeficientes pares, equação reduzida e relações de Girard, fatoração e equações biquadradas — com exemplos passo a passo, análise de erros comuns e um simulador interativo.
O que é uma equação do segundo grau
Equação do segundo grau é uma equação da forma
onde \(x\) é a incógnita, e \(a\), \(b\), \(c\) são números (coeficientes), com \(a \neq 0\). Esta escrita é chamada de forma padrão da equação do segundo grau: os termos estão ordenados por grau decrescente à esquerda e zero à direita.
A condição \(a \neq 0\) não é apenas uma formalidade. É o termo \(ax^2\) que torna a equação quadrática: se \(a = 0\), resta \(bx + c = 0\), que é uma equação linear simples com apenas uma raiz. Por isso, em problemas com parâmetros, a primeira coisa a verificar é se o coeficiente principal não se anula.
É quase sempre possível colocar uma equação na forma padrão: basta expandir parênteses, mover todos os termos para o lado esquerdo e combinar os termos semelhantes. Por exemplo, \(5x^2 = 3x - 2\) torna-se \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) após a transposição, onde \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). O termo "equação quadrática" significa exatamente a mesma coisa — é apenas outro nome para o mesmo conceito.
Equações do segundo grau completas e incompletas
Se todos os três coeficientes forem diferentes de zero, a equação é chamada de completa. Se \(b\) ou \(c\) (ou ambos) forem iguais a zero, ela é incompleta. Existem exatamente três tipos de equações incompletas, e nenhuma delas requer o uso do discriminante: cada uma é resolvida em uma ou duas linhas, sendo a maneira mais rápida de economizar tempo em provas.
A ideia chave para \(ax^2 + bx = 0\) é colocar o termo comum em evidência. O produto \(x(ax + b)\) é igual a zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for zero, o que nos dá duas raízes imediatamente. Para \(ax^2 + c = 0\), a ideia é diferente: isolar \(x^2\) e observar o sinal do número resultante — o quadrado de um número real nunca é negativo.
| Tipo de equação | Como resolver |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Mova c para a direita e divida por a: x2 = −c/a. Extraia a raiz, sem esquecer o sinal duplo.x = 5 e x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Coloque x em evidência: x(ax + b) = 0. O produto é zero quando um dos fatores é zero.x = 0 e x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Divida por a e extraia a raiz de zero. A raiz é sempre única.x = 0 |
Discriminante: como encontrar e quantas raízes existem
O discriminante é um número calculado a partir dos coeficientes de uma equação completa:
A própria palavra significa "o que distingue": o discriminante não resolve a equação por si só, ele apenas distingue três situações — duas raízes, uma raiz ou nenhuma raiz. Portanto, a pergunta "quantas raízes tem a equação" é resolvida sem encontrar as raízes em si.
Calcular \(D\) requer cuidado: \(b^2\) é sempre positivo, mesmo que \(b\) seja negativo, e os sinais de \(a\) e \(c\) entram no produto \(4ac\) como são. Tomemos \(x^2 + 4x - 5 = 0\): aqui \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), então \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). O discriminante é positivo, logo haverá duas raízes.
Fórmula de Bhaskara para equações do segundo grau
Quando \(D \ge 0\), as raízes são encontradas pela fórmula principal do tema:
O sinal \(\pm\) significa dois cálculos: um com adição e outro com subtração. Quando \(D = 0\), ambos os cálculos resultam no mesmo número \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — esta raiz é chamada de raiz dupla.
Dois pontos onde ocorrem erros frequentes: no numerador temos o oposto de \(b\) (para \(b = -7\), isso resulta em \(+7\)), e no denominador temos \(2a\), não apenas \(2\). Quando \(a = 1\), a diferença não é visível, por isso o erro aparece justamente quando o coeficiente principal é diferente de um.
Vamos resolver \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), portanto \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) e \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Segundo coeficiente par: fórmula com D₁
Se \(b\) for um número par, é conveniente escrevê-lo como \(b = 2k\) e calcular o discriminante "reduzido":
Os números nos cálculos tornam-se quatro vezes menores (\(D = 4D_1\)), e o sinal de \(D_1\) é o mesmo de \(D\) — portanto, a conclusão sobre o número de raízes não muda.
Exemplo: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Aqui \(b = 8\), logo \(k = 4\), e \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Então \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) e \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Pela fórmula comum, teríamos que trabalhar com \(D = 100\) — o resultado é o mesmo, mas com mais aritmética.
Equação reduzida e relações de Girard
Uma equação com \(a = 1\) é chamada de reduzida e escrita como \(x^2 + px + q = 0\). Qualquer equação do segundo grau pode ser reduzida a essa forma dividindo-a por \(a\): por exemplo, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) torna-se \(x^2 - 3x + 2 = 0\) após dividir por 4.
A forma reduzida é valiosa porque nela aplicamos as relações de Girard: a soma das raízes é igual a \(-p\) e o produto é igual a \(q\). Para \(x^2 - 7x + 10 = 0\), precisamos de dois números cuja soma seja 7 e o produto seja 10 — esses números são 2 e 5, e não foi necessário calcular o discriminante.
A tentativa por Girard ajuda quando as raízes são inteiras e pequenas, e também serve para verificar gratuitamente a resposta encontrada via discriminante: a soma deve dar \(-p\) e o produto \(q\). As fórmulas para o caso geral, o teorema recíproco e o algoritmo de busca são discutidos em um material separado — relações de Girard.
Fatoração de trinômios do segundo grau
Se as raízes \(x_1\) e \(x_2\) forem encontradas, o trinômio do segundo grau pode ser fatorado:
O fator \(a\) não pode ser esquecido — sem ele, a igualdade deixa de ser verdadeira. Verificar a fatoração é sempre fácil: basta expandir os parênteses e comparar com o trinômio original. Por exemplo, em \(x^2 + 2x - 8\), as raízes são 2 e \(-4\), portanto \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
O caminho inverso também funciona: se o trinômio puder ser fatorado mentalmente, as raízes são vistas imediatamente e o discriminante não é necessário. Aqui, as fórmulas de produtos notáveis ajudam — por exemplo, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) nos dá as raízes \(4\) e \(-4\) instantaneamente.
Um terceiro método para evitar a fórmula de Bhaskara é completar quadrados. Em \(x^2 + 6x + 5 = 0\), os dois primeiros termos são completados para formar um quadrado perfeito: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), ou seja, \((x + 3)^2 = 4\), de onde \(x + 3 = \pm 2\), resultando em \(x = -1\) ou \(x = -5\). É exatamente esse método que deriva a fórmula de Bhaskara na forma geral.
Equações redutíveis ao segundo grau: biquadradas
Uma equação biquadrada tem a forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): apenas potências pares. Ela é resolvida por substituição \(t = x^2\), com a condição obrigatória \(t \ge 0\) — o quadrado de um número real nunca é negativo.
Após a substituição, obtemos uma equação do segundo grau comum \(at^2 + bt + c = 0\). Resolvemos com o discriminante e, para cada raiz não negativa \(t\), voltamos para \(x = \pm\sqrt{t}\). Daí o número de raízes: até quatro.
Por exemplo, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) após a substituição resulta em \(t^2 - 5t + 4 = 0\) com raízes \(t = 1\) e \(t = 4\). Ambas são positivas, portanto \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\) — totalizando quatro raízes. Se um dos valores de \(t\) fosse negativo, ele seria simplesmente descartado.
O mesmo método resolve equações fracionárias (após reduzir ao mesmo denominador e descartar valores proibidos) e equações com substituições como \(t = x^2 + 3x\).
Exemplos de resolução de equações do segundo grau
Exemplo 1. Equação completa, D > 0
Resolver \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Passo 1. A equação já está na forma padrão: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Passo 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — duas raízes.
Passo 3. \(\sqrt{D} = 5\), portanto \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Passo 4. Verificação por substituição. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Exemplo 2. Discriminante igual a zero
Resolver \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Passo 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Passo 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — uma raiz.
Passo 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Passo 4. Verificação. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Resposta: \(x = 1{,}5\). Note: o lado esquerdo é um quadrado perfeito \((2x - 3)^2\), por isso a raiz é única.
Exemplo 3. Discriminante negativo
Resolver \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Passo 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Passo 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Passo 3. O discriminante é negativo, logo não é possível extrair \(\sqrt{D}\) entre os números reais. Não é necessário aplicar a fórmula de Bhaskara — a resolução termina aqui.
Resposta: não há raízes reais. Esta é uma resposta completa, não um sinal de erro: o gráfico da função \(y = 2x^2 + 3x + 5\) simplesmente não cruza o eixo \(x\).
Exemplo 4. Equação incompleta do tipo ax² + c = 0
Resolver \(3x^2 - 27 = 0\).
Passo 1. Movemos o termo independente: \(3x^2 = 27\).
Passo 2. Dividimos por 3: \(x^2 = 9\).
Passo 3. O quadrado é 9 para dois números: \(x = 3\) e \(x = -3\). O sinal duplo é o que mais se esquece.
Passo 4. Verificação. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Compare com a equação \(2x^2 + 8 = 0\): lá \(x^2 = -4\), e não há raízes reais.
Exemplo 5. Equação incompleta do tipo ax² + bx = 0
Resolver \(5x^2 - 15x = 0\).
Passo 1. Colocamos o fator comum em evidência: \(5x(x - 3) = 0\).
Passo 2. O produto é zero quando um dos fatores é zero: \(5x = 0\) ou \(x - 3 = 0\).
Passo 3. Daqui, \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Passo 4. Verificação. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Se simplificarmos a equação original por \(x\), restará apenas \(x = 3\) — a raiz \(x = 0\) será perdida. Não se pode dividir por uma expressão com incógnita.
Exemplo 6. Segundo coeficiente par
Resolver \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Passo 1. \(b = -22\) — é par, portanto \(k = -11\), \(a = 5\), \(c = 8\).
Passo 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Passo 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Passo 4. Verificação. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). O discriminante comum daria \(D = 324\) — a mesma resposta, mas levaria mais tempo para calcular.
Exemplo 7. Primeiro colocar na forma padrão
Resolver \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Passo 1. Expandimos os parênteses: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), ou seja, \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Passo 2. Movemos o nove para a esquerda: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Só agora podemos identificar os coeficientes: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Passo 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Passo 4. Verificação na equação original. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Resposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Um erro comum aqui é igualar cada parêntese a 9: a regra "o produto é zero" só funciona para zero.
Exemplo 8. Fatoração de trinômios
Fatorar \(2x^2 - 5x - 3\).
Passo 1. Igualamos o trinômio a zero e encontramos as raízes: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Passo 2. Substituímos na fórmula \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Passo 3. É conveniente distribuir o dois no segundo parêntese: \((x - 3)(2x + 1)\).
Passo 4. Verificação expandindo. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Resposta: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Exemplo 9. Equação biquadrada
Resolver \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Passo 1. Substituição \(t = x^2\), onde \(t \ge 0\). A equação torna-se \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Passo 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Passo 3. Ambos os valores são não negativos, então voltamos para \(x\): de \(x^2 = 9\) obtemos \(x = \pm 3\), de \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Passo 4. Verificação. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Para valores negativos, potências pares dão os mesmos números.
Resposta: \(x = \pm 2\) e \(x = \pm 3\) — quatro raízes.
Erros comuns ao resolver equações do segundo grau
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Calcular o discriminante sem colocar a equação na forma padrão: para $2x^2 + 3x = x^2 + 5$, tomam logo $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Primeiro, mova tudo para a esquerda e combine termos: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), ou seja, \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Só então \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). A fórmula de Bhaskara funciona exclusivamente com a forma padrão.
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Perder o sinal ao elevar $b$ ao quadrado: para $x^2 - 9x + 14 = 0$, escrevem $D = -81 - 56$.
O quadrado de qualquer número é não negativo: \((-9)^2 = 81\), não \(-81\). O correto é \(D = 81 - 56 = 25\), raízes \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), ou seja, 7 e 2. Verificação: \(49 - 63 + 14 = 0\) e \(4 - 18 + 14 = 0\).
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Deixar $b$ no numerador em vez de $-b$: para $x^2 + 5x - 6 = 0$, calculam $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
A fórmula contém \(-b\), portanto, para \(b = 5\), no numerador teremos \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), de onde \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). A substituição confirma: \(1 + 5 - 6 = 0\) e \(36 - 30 - 6 = 0\).
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Quando $D = 0$, escrevem «sem raízes»: em $x^2 + 14x + 49 = 0$, o discriminante é zero e interrompem a resolução.
Não há raízes apenas quando \(D < 0\). Quando \(D = 0\), há exatamente uma raiz: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Verificação: \(49 - 98 + 49 = 0\).
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Simplificar a equação $4x^2 - 9x = 0$ por $x$ e obter a única raiz $x = 2{,}25$.
Não se pode dividir por uma expressão com incógnita: \(x\) pode ser zero, e a raiz \(x = 0\) é perdida. O correto é colocar o fator em evidência: \(x(4x - 9) = 0\), de onde \(x_1 = 0\) e \(x_2 = 2{,}25\). Verificação: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
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Na equação $x^2 = 16$, escrevem apenas $x = 4$.
O quadrado é 16 também para o número \(-4\). Deve-se escrever ambas as raízes: \(x = \pm 4\). É mais seguro resolver pela forma padrão \(x^2 - 16 = 0\), ou seja, \((x - 4)(x + 4) = 0\) — assim, ambos os fatores são vistos imediatamente.
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Não verificar a condição $a \neq 0$ em equações com parâmetros: em $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$, calculam logo o discriminante.
Quando \(m = 2\), o coeficiente principal torna-se zero e a equação vira linear \(3x - 1 = 0\) com a única raiz \(x = \dfrac{1}{3}\). O caso \(m = 2\) deve ser analisado separadamente, e a fórmula de Bhaskara aplicada apenas quando \(m \neq 2\).
Perguntas e respostas
O que é uma equação do segundo grau?
É uma equação da forma \(ax^2 + bx + c = 0\), onde \(a\), \(b\), \(c\) são números e \(a \neq 0\). A incógnita aparece elevada ao quadrado, por isso pode haver duas, uma ou nenhuma raiz.
Como é a forma padrão da equação do segundo grau?
A forma padrão (geral) é \(ax^2 + bx + c = 0\): todos os termos estão à esquerda em ordem decrescente de grau, com zero à direita. Qualquer equação do segundo grau deve ser reduzida a essa forma antes de calcular o discriminante.
Como encontrar o discriminante?
Pela fórmula \(D = b^2 - 4ac\), substituindo os coeficientes junto com seus sinais. Por exemplo, para \(x^2 + 3x - 10 = 0\), obtemos \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), e as raízes são \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), ou seja, 2 e \(-5\).
Qual é a fórmula de Bhaskara?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ou mais brevemente \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ela é aplicada quando \(D \ge 0\); no denominador temos \(2a\), não apenas 2.
Quantas raízes pode ter uma equação do segundo grau?
No máximo duas. Se \(D > 0\), há duas raízes; se \(D = 0\), uma (raiz dupla); se \(D < 0\), não há raízes reais.
O que é uma equação do segundo grau incompleta?
É uma equação onde \(b = 0\), \(c = 0\) ou ambos: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Todas as três são resolvidas sem o discriminante — movendo o termo ou colocando \(x\) em evidência.
Como resolver equações do segundo grau sem o discriminante?
Existem três caminhos: tentativa por Girard para equações reduzidas, fatoração e completar quadrados. A tentativa é a mais rápida quando as raízes são números inteiros pequenos.
O que fazer se o discriminante for negativo?
Escrever que não há raízes reais e encerrar a resolução. Um discriminante negativo é uma resposta válida: o gráfico da parábola correspondente não cruza o eixo \(x\). Raízes nesse caso só existem no conjunto dos números complexos, que são estudados posteriormente.
Como verificar as raízes encontradas?
Substituir cada raiz na equação original — deve resultar em uma igualdade verdadeira. Para a equação reduzida, há uma verificação rápida pelas relações de Girard: a soma das raízes é \(-p\) e o produto é \(q\).
Equação quadrática e equação do segundo grau são a mesma coisa?
Sim, são dois nomes para o mesmo objeto \(ax^2 + bx + c = 0\). Não confunda com a função quadrática \(y = ax^2 + bx + c\): as raízes da equação são justamente as abscissas dos pontos onde o gráfico da função cruza o eixo \(x\).
Em que ano se estuda equações do segundo grau?
No 9º ano do Ensino Fundamental: primeiro equações incompletas, depois discriminante, fórmula de Bhaskara e relações de Girard. Mais adiante, o tema aparece em funções quadráticas, inequações e problemas de exames.
