Uma progressão aritmética é uma sequência na qual cada termo seguinte é maior que o anterior por um mesmo número \(d\) (a razão da progressão). Qualquer termo pode ser encontrado pela fórmula \(a_n = a_1 + (n-1)d\), e a soma dos n primeiros termos pela fórmula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Nesta página, explicamos a definição e a razão, ambas as fórmulas de soma, a propriedade característica, como verificar se um número pertence à progressão, a diferença para a progressão geométrica, questões típicas do OGE e um simulador interativo para autoavaliação.
O que é uma progressão aritmética
Progressão aritmética é uma sequência numérica na qual cada termo seguinte é obtido somando o mesmo número ao termo anterior. Esse número é chamado de razão da progressão e é denotado pela letra \(d\).
Definição por uma única fórmula: a sequência \(a_1, a_2, a_3, \dots\) é chamada de progressão aritmética se, para qualquer número \(n\), a igualdade for verdadeira:
Tomemos a sequência 3, 7, 11, 15, 19, … O primeiro termo aqui é \(a_1 = 3\) e a razão é \(d = 4\): cada número seguinte é exatamente 4 unidades maior que o anterior. Portanto, o próximo termo é 23, e antes do 3 (se continuássemos para trás) estaria o número -1.
A progressão inteira é definida por apenas dois números — o primeiro termo \(a_1\) e a razão \(d\). Conhecendo esse par, você pode encontrar qualquer termo, calcular a soma de quantos termos iniciais desejar e verificar se um número específico aparece na sequência. A progressão é denotada pelo símbolo \((a_n)\), e seus termos por \(a_1, a_2, a_3\) e assim por diante, onde o índice inferior sempre indica a posição, não o valor.
Razão da progressão aritmética: como encontrar d
A razão é sempre o termo seguinte menos o anterior:
A ordem da subtração é importante: se subtrair ao contrário, o sinal da razão será invertido. Para a sequência 20, 17, 14, 11, 8, a razão é \(17 - 20 = -3\), e não \(+3\).
O sinal de \(d\) determina completamente o comportamento da progressão:
- \(d > 0\) — progressão crescente, os termos aumentam;
- \(d < 0\) — progressão decrescente, os termos diminuem;
- \(d = 0\) — todos os termos são iguais, por exemplo 6, 6, 6, 6, … Esta também é uma progressão aritmética, apenas constante.
Se dois termos com posições diferentes são conhecidos, a razão é encontrada pela fórmula
Exemplo. Seja \(a_4 = 30\) e \(a_{10} = 6\). Então \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), e o primeiro termo é \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Verificando o início da progressão: 42, 38, 34, 30 — o quarto termo é realmente 30.
A razão não precisa ser um número inteiro: na sequência 1; 1,5; 2; 2,5, a razão é 0,5, e esta é uma progressão aritmética válida.
Fórmula do n-ésimo termo da progressão aritmética
A fórmula principal do tópico permite encontrar qualquer termo sem precisar listar todos os anteriores:
De onde vem o \(n - 1\)? Para chegar do primeiro termo ao \(n\)-ésimo, a razão é somada não \(n\) vezes, mas uma vez a menos: até o segundo termo — um passo, até o terceiro — dois, até o vigésimo — dezenove.
Exemplo. Para a progressão 3, 7, 11, 15, 19, … temos \(a_1 = 3\) e \(d = 4\), portanto
Essa forma simplificada é muito útil: vê-se imediatamente que \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), e \(a_{100} = 399\). Ao mesmo tempo, ela revela a razão: em qualquer progressão aritmética, a fórmula do \(n\)-ésimo termo é linear, da forma \(a_n = dn + c\), e o coeficiente antes de \(n\) é a razão.
Às vezes o primeiro termo é desconhecido, mas outro termo é dado. Então a mesma ideia funciona de forma geral: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Propriedade característica da progressão aritmética
Qualquer termo da progressão, exceto o primeiro, é igual à média aritmética de seus vizinhos:
É precisamente por isso que a progressão é chamada de aritmética. Essa igualdade também funciona no sentido inverso: se em uma sequência cada termo médio é igual à semissoma dos vizinhos, então a sequência é uma progressão aritmética. Tal afirmação é chamada de critério da progressão aritmética, e em problemas é usada para provar que três números formam uma progressão.
Exemplo. Os números 7, \(x\), 23 são três termos consecutivos de uma progressão. Então \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Verificação: 7, 15, 23 — as razões são 8 e 8, tudo confere.
Uma forma conveniente de escrever a mesma propriedade: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), ou seja, o dobro do termo médio é igual à soma dos extremos. Dessa forma, a propriedade é mais fácil de aplicar quando os termos são dados por expressões algébricas.
Soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
A soma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) é calculada por uma das duas fórmulas:
A ideia da primeira fórmula é a mesma que, segundo a lenda, o estudante Gauss encontrou ao somar números de 1 a 100. Se somar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante, todos os pares darão a mesma soma. Daí \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
A segunda fórmula é obtida da primeira substituindo \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ela é necessária quando o último termo não é dado e não se quer calculá-lo separadamente.
Exemplo. Vamos encontrar a soma dos vinte primeiros termos da progressão 3, 7, 11, 15, 19, …
Pela primeira fórmula: \(a_{20} = 79\), portanto \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Pela segunda: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
As respostas coincidiram — essa é a melhor verificação de cálculos.
Como saber se um número pertence a uma progressão aritmética
A pergunta "se um número é um termo da progressão" é resolvida por uma equação. O número pertence à progressão se, e somente se, sua posição \(n\) for um número natural: 1, 2, 3 e assim por diante. Um \(n\) fracionário ou não positivo significa que tal termo não existe.
Exemplo 1. O número 99 pertence à progressão 3, 7, 11, 15, 19, …? A fórmula do \(n\)-ésimo termo aqui é \(a_n = 4n - 1\), então resolvemos \(4n - 1 = 99\), de onde \(4n = 100\) e \(n = 25\). A posição é natural — portanto, 99 está na progressão, é o seu vigésimo quinto termo.
Exemplo 2. E o número 2026? De \(4n - 1 = 2026\) obtemos \(4n = 2027\) e \(n = 506{,}75\). A posição é fracionária, portanto 2026 não é um termo desta progressão.
Dica útil para estimativa mental: na progressão com a fórmula \(a_n = 4n - 1\), todos os termos ao serem divididos por 4 deixam resto 3. O número 2026 deixa resto 2, por isso "passa longe" da progressão.
Questões típicas do OGE sobre progressão aritmética
No OGE de matemática, progressões aparecem todos os anos, e quase todas as tarefas se resumem a quatro cenários.
Encontrar o termo pela posição. Dados \(a_1\) e \(d\) (ou alguns primeiros termos) — substituímos em \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Encontrar a posição pelo valor. Dado um número — igualamos a ele a fórmula do \(n\)-ésimo termo e resolvemos a equação para \(n\).
Encontrar a soma. Calculamos \(S_n\) por uma das duas fórmulas; se faltar \(a_n\) — primeiro o encontramos.
Encontrar o número de termos. Da fórmula do \(n\)-ésimo termo, obtém-se uma consequência conveniente: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Vale destacar o problema textual, onde a progressão está escondida na história. Por exemplo: no primeiro dia, um trabalhador fabricou 12 peças, e a cada dia seguinte — 3 peças a mais que no anterior; quantas peças ele fará em 15 dias? Aqui \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Calculamos o último termo: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Então \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) peças.
O principal conselho para essas tarefas: primeiro escreva em uma linha separada o que é dado (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) e o que precisa ser encontrado. Metade dos erros no exame não acontece por causa das fórmulas, mas porque a posição foi confundida com o valor do termo.
Progressão aritmética e geométrica: qual a diferença
Ambas as progressões são regras pelas quais se obtém o próximo termo a partir de um. A diferença está na operação: na aritmética, soma-se o mesmo número \(d\) ao termo; na geométrica, multiplica-se pelo mesmo número \(q\), chamado de razão da progressão.
Daí o comportamento diferente. A progressão aritmética cresce uniformemente, "por degraus": 3, 7, 11, 15 — cada passo adiciona 4. A geométrica cresce como uma avalanche: 3, 6, 12, 24 — cada passo dobra o número, e após dez passos o termo será maior que mil e quinhentos.
Verificar o tipo de sequência é simples: calcule as diferenças dos termos vizinhos e suas razões. Diferenças iguais — progressão aritmética, razões iguais — geométrica. Se não coincidir nem uma nem outra, você tem apenas uma sequência: por exemplo, 1, 4, 9, 16 — são quadrados de números naturais, e não é uma progressão (as diferenças 3, 5, 7 são diferentes, as razões também).
No currículo escolar, ambos os tópicos são abordados no 9º ano, por isso as fórmulas são fáceis de confundir. Mantenha em mente: na aritmética, a razão \(d\) é somada, na geométrica, a razão \(q\) é multiplicada. Todo o resto são consequências.
Exemplos de resolução de problemas sobre progressão aritmética
Exemplo 1. Encontrar o primeiro termo e a razão a partir de dois termos
Dados. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Encontrar \(a_1\), \(d\) e \(a_{20}\).
Passo 1. Do terceiro termo até o sétimo há exatamente \(7 - 3 = 4\) passos, em cada um soma-se \(d\). Portanto \(a_7 = a_3 + 4d\), ou seja, \(30 = 14 + 4d\), de onde \(4d = 16\) e \(d = 4\).
Passo 2. Voltamos ao primeiro termo: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Passo 3. Escrevemos a fórmula do \(n\)-ésimo termo: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Passo 4. Calculamos o termo desejado: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Verificação. Listamos o início da progressão: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. O terceiro termo é 14, o sétimo é 30 — coincidiu.
Resposta: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Exemplo 2. Soma dos 30 primeiros termos (ambas as fórmulas)
Dados. Progressão \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Encontrar \(S_{30}\).
Passo 1. Determinamos os parâmetros: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Passo 2. Encontramos o trigésimo termo: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Passo 3. Calculamos pela primeira fórmula: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Passo 4. Verificação pela segunda fórmula. Primeiro o numerador: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Depois como no terceiro passo: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Ambos os caminhos deram 1155 — portanto, a aritmética está correta.
Resposta: \(S_{30} = 1155\).
Exemplo 3. Soma de todos os números de dois dígitos divisíveis por 7
Tarefa. Encontrar a soma de todos os números de dois dígitos que são divisíveis por 7.
Passo 1. Tais números formam por si só uma progressão aritmética com razão 7. O menor número de dois dígitos divisível por sete é 14, o maior é 98 (o próximo, 105, já tem três dígitos). Obtemos \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Passo 2. Calculamos o número de termos: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Passo 3. Calculamos a soma: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Passo 4. Verificação pela segunda fórmula. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Resposta: 728.
Exemplo 4. Verificar se um número pertence à progressão
Tarefa. O número 145 é um termo da progressão \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? E o número 142?
Passo 1. Parâmetros da progressão: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), portanto \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Passo 2. Verificamos 145: a equação \(5n + 2 = 145\) resulta em \(5n = 143\) e \(n = 28{,}6\). A posição é fracionária, portanto 145 não é um termo da progressão.
Passo 3. Verificamos 142: \(5n + 2 = 142\), de onde \(5n = 140\) e \(n = 28\). A posição é natural — o número pertence.
Passo 4. Verificação por substituição. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Correto.
Resposta: 145 não pertence à progressão; 142 pertence e é o seu 28º termo.
Exemplo 5. Propriedade característica com termos algébricos
Tarefa. Para qual valor de \(x\) os números \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) são três termos consecutivos de uma progressão aritmética?
Passo 1. Pela propriedade característica, o dobro do termo médio é igual à soma dos extremos:
Passo 2. Expandimos os parênteses: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Passo 3. Resolvemos: \(2 + 4 = 5x - 4x\), ou seja, \(x = 6\).
Passo 4. Verificação. Substituímos \(x = 6\): primeiro termo \(6 - 3 = 3\), segundo \(2\cdot 6 + 1 = 13\), terceiro \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Diferenças: \(13 - 3 = 10\) e \(23 - 13 = 10\) — iguais.
Resposta: \(x = 6\), progressão 3, 13, 23 com razão 10.
Exemplo 6. Quantos termos negativos existem na progressão
Tarefa. Quantos termos negativos existem na progressão \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Passo 1. Parâmetros: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Fórmula do \(n\)-ésimo termo: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Passo 2. Escrevemos a condição "o termo é negativo": \(3n - 24 < 0\), de onde \(3n < 24\) e \(n < 8\).
Passo 3. As posições são naturais, portanto servem \(n = 1, 2, \dots, 7\) — no total sete termos.
Passo 4. Verificação do limite. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativo. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — zero não é um número negativo, portanto o oitavo termo já não contamos. \(a_9 = 3\) — positivo.
Resposta: sete termos negativos.
Erros comuns em problemas de progressão aritmética
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Na fórmula do $n$-ésimo termo, escrevem $a_n = a_1 + nd$ em vez de $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Do primeiro termo até o \(n\)-ésimo, faz-se um passo a menos que a posição. Para a progressão \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) o décimo termo é \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), e não 45. Verificação rápida da fórmula: substitua \(n = 1\) — deve resultar exatamente em \(a_1\).
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Calculam a razão ao contrário: $d = a_1 - a_2$, e o sinal resulta oposto.
A razão é o termo seguinte menos o anterior: \(d = a_2 - a_1\). Para a progressão \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) é correto \(d = 34 - 40 = -6\). O sinal de menos aqui não é um erro, mas um sinal de progressão decrescente.
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Na fórmula da soma, esquecem de dividir por 2 ou multiplicar por $n$: escrevem $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Somam-se pares de "primeiro com último", existem exatamente \(\dfrac{n}{2}\) deles, portanto dividir por 2 é obrigatório. Para a progressão \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) temos \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) e \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), e não 670.
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Ao verificar se um número pertence, obtêm $n = 0$ ou um $n$ negativo e mesmo assim respondem "pertence".
A posição do termo é um número natural, a contagem começa em um. Por exemplo, para a progressão \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) a equação \(10 + 4(n-1) = 6\) resulta em \(n = 0\), o que significa que 6 não pertence à progressão: este número estaria antes do primeiro termo.
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Confundem o que foi encontrado: substituem o valor do termo onde é necessária sua posição, e vice-versa.
\(a_n\) — é o valor, \(n\) — é a posição. Se a tarefa pergunta "qual a posição do termo que é igual a 142", a resposta será 28, e não 142. Hábito útil: escrever antes da resolução a linha "dados: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), encontrar: \(n\)".
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Acreditam que a progressão deve ser crescente e consistir em números inteiros.
A razão pode ser negativa (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), fracionária (1; 1,5; 2; 2,5) e até zero (8, 8, 8, …). Todos os três casos são progressões aritméticas legítimas, e todas as fórmulas funcionam para eles sem alterações.
Perguntas e respostas
O que é uma progressão aritmética em palavras simples?
É uma sequência de números na qual cada número seguinte é obtido a partir do anterior somando o mesmo número \(d\) — a razão da progressão. Por exemplo, 3, 7, 11, 15, 19, … — é uma progressão com primeiro termo 3 e razão 4.
Qual é a fórmula do n-ésimo termo da progressão aritmética?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro termo, \(d\) é a razão, \(n\) é a posição. Se não for conhecido o primeiro, mas algum outro termo, funciona a forma geral \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Como encontrar a razão da progressão aritmética?
Subtraia o termo anterior de qualquer termo: \(d = a_n - a_{n-1}\). Se forem dados dois termos com posições diferentes, use \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Por exemplo, com \(a_5 = 23\) e \(a_9 = 43\) obtemos \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), e o primeiro termo é \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Como encontrar o primeiro termo da progressão aritmética?
Da fórmula do \(n\)-ésimo termo: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Por exemplo, se \(a_{12} = 60\) e \(d = 4\), então \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Verificação: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Como encontrar a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética?
Pela fórmula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), se o último termo for conhecido, ou pela fórmula \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), se apenas o primeiro termo e a razão forem conhecidos. Ambas dão o mesmo resultado, portanto a segunda é conveniente para verificar a primeira.
Como encontrar o número de termos da progressão aritmética?
Da fórmula do \(n\)-ésimo termo: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Por exemplo, na progressão \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) a razão é 5, portanto \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) termos.
Qual a diferença entre progressão aritmética e geométrica?
Na aritmética, soma-se a razão \(d\) a cada termo, e na geométrica, multiplica-se cada termo pela razão \(q\). Fórmulas do \(n\)-ésimo termo: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) contra \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Para determinar o tipo, calcule as diferenças dos termos vizinhos e suas razões: diferenças iguais — aritmética, razões iguais — geométrica.
A razão pode ser negativa ou igual a zero?
Sim. Com \(d < 0\) a progressão decresce (por exemplo, 20, 17, 14, 11), com \(d = 0\) todos os termos são iguais (6, 6, 6, …) — é uma progressão constante. A razão também pode ser fracionária: 1; 1,5; 2; 2,5 — também é uma progressão aritmética.
Em que ano se estuda a progressão aritmética?
No 9º ano nas aulas de álgebra, junto com a progressão geométrica e sequências numéricas. Questões sobre progressões fazem parte do OGE: geralmente é necessário encontrar um termo pela posição, a posição pelo valor, o número de termos ou a soma dos \(n\) primeiros termos.
