Uma proporção é a igualdade de duas razões, por exemplo, \(2:3 = 8:12\). Para resolver proporções, você precisa apenas de uma ferramenta: a propriedade fundamental da proporção: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios. Na escola, isso é chamado de regra de "multiplicação cruzada". Abaixo, você encontrará o que são razão e proporção, como encontrar um termo desconhecido, como a proporcionalidade direta difere da inversa, a análise de problemas sobre receitas, escalas e preços, e um simulador com 10 problemas.
O que são razão e proporção
Uma razão entre dois números é o seu quociente. A razão \(2:3\) (lê-se "dois para três") mostra quantas vezes um número é maior que o outro ou que parte um representa do outro. Você pode escrevê-la de duas maneiras: \(2:3\) ou como a fração \(\frac{2}{3}\) — é a mesma coisa.
Uma proporção é a igualdade de duas razões:
Uma proporção tem quatro números, e eles têm nomes. Os números nas extremidades da escrita são os termos extremos, os números no meio são os termos médios. Uma proporção é verdadeira quando ambas as razões são iguais ao mesmo número.
Propriedade fundamental da proporção: regra de "multiplicação cruzada"
Propriedade fundamental da proporção: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios.
Por que isso acontece? Multiplique ambos os lados da igualdade \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) por \(b \cdot d\). O \(b\) será cancelado no lado esquerdo, o \(d\) no lado direito, e restará exatamente \(a \cdot d = c \cdot b\). Nenhuma mágica, apenas uma propriedade das igualdades.
É exatamente isso que os alunos chamam de "resolver proporções por multiplicação cruzada": os números são multiplicados na diagonal, cruzado. A propriedade também funciona ao contrário: se para quatro números (nenhum deles zero) vale \(a \cdot d = b \cdot c\), então uma proporção verdadeira pode ser formada com eles.
Isso nos dá imediatamente duas habilidades: verificar se uma proporção é verdadeira e encontrar um número desconhecido nela.
Como encontrar um termo desconhecido em uma proporção
Da propriedade fundamental, derivam duas regras curtas:
- termo extremo desconhecido = produto dos meios : termo extremo conhecido;
- termo médio desconhecido = produto dos extremos : termo médio conhecido.
Não é necessário memorizá-las. Um método universal é suficiente: multiplique cruzado, obtenha uma igualdade do tipo "número \(\cdot\, x\) = número" e divida. Vamos analisar isso passo a passo com a proporção \(x : 7 = 12 : 21\).
A última etapa, a verificação, leva cinco segundos e pega quase qualquer erro aritmético, portanto, não deve ser pulada.
Proporcionalidade direta e inversa
Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais se, ao aumentar uma delas várias vezes, a outra aumenta o mesmo número de vezes. Compramos o dobro de cadernos, pagamos o dobro. Para essas grandezas, a razão é constante.
As grandezas são inversamente proporcionais se, ao aumentar uma delas várias vezes, a outra diminui o mesmo número de vezes. O dobro de trabalhadores significa metade do tempo para o mesmo trabalho. Para essas grandezas, o produto é constante.
A principal diferença é vista no momento em que escrevemos a proporção. Para uma dependência direta, ela é montada "como está": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Para uma inversa, a segunda razão é invertida: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Por quê? Para uma dependência inversa, o produto é constante: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Divida ambos os lados por \(a_2 \cdot b_1\) e você obterá \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Portanto, a "inversão" não é um feitiço a ser lembrado, mas uma consequência do fato de que o produto permanece constante, e não a razão.
| Característica | Direta | Inversa |
|---|---|---|
| Relação | mais → mais | mais → menos |
| Constante | razão a : b | produto a × b |
| Escrita | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Exemplo | 3 canetas — 90 ₽, 5 canetas — 150 ₽ | 4 pintores — 9 dias, 6 pintores — 6 dias |
Como montar uma proporção para um problema: receita, escala, preço
Problemas de texto "sobre proporção" são resolvidos em um único cenário:
- Escreva a condição em duas colunas de forma que grandezas iguais fiquem uma sob a outra (porções sob porções, gramas sob gramas).
- Designe o que é desconhecido com \(x\).
- Determine o tipo de dependência: aumente mentalmente a primeira grandeza e veja se a segunda aumenta ou diminui.
- Monte a proporção — para dependência inversa, inverta a segunda razão.
- Resolva por multiplicação cruzada e verifique se a resposta é razoável.
Vamos mostrar com uma receita. Para 4 porções de panquecas, são necessários 300 g de farinha — quanta farinha para 6 porções? Mais porções, portanto, mais farinha: dependência direta, a proporção é montada "como está":
Para 6 porções, são necessários 450 g de farinha. A resposta é razoável: o número de porções aumentou 1,5 vezes, e a quantidade de farinha necessária também aumentou 1,5 vezes.
Da mesma forma, resolvem-se problemas de escala (a distância no mapa está para a distância real assim como 1 está para o número da escala) e de preço (a quantidade de mercadoria está para a quantidade assim como o custo está para o custo). Análises completas estão nos exemplos abaixo.
Porcentagens através de proporção
Porcentagem é a centésima parte de um número, portanto, qualquer problema simples de porcentagem se transforma em uma proporção:
Onde um dos quatro números é desconhecido — é esse que encontramos por multiplicação cruzada.
Encontrar a parte. Quanto é 15% de 240? Montamos \(x : 240 = 15 : 100\), então \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) e \(x = 36\).
Encontrar o todo. O número 21 representa 35% de algum número. Montamos \(21 : x = 35 : 100\), então \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) e \(x = 60\).
Encontrar a porcentagem. Que porcentagem 18 representa de 45? Montamos \(18 : 45 = p : 100\), então \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) e \(p = 40\), ou seja, 40%.
Um método — três tipos diferentes de problemas, nada mais precisa ser memorizado. Separadamente, apenas a questão "em quantos por cento a grandeza aumentou ou diminuiu": primeiro encontra-se a variação e depois divide-se pelo valor original — esta já é a fórmula da variação percentual, e não uma proporção simples.
Exemplos de resolução de proporções com análise passo a passo
Exemplo 1. Termo médio desconhecido
Problema. Encontre o termo desconhecido na proporção \(15 : x = 45 : 24\).
Passo 1. Identificamos quais são os termos. Extremos são 15 e 24, médios são \(x\) e 45.
Passo 2. Aplicamos a propriedade fundamental: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), ou seja, \(360 = 45x\).
Passo 3. Dividimos: \(x = 360 : 45 = 8\).
Verificação. \(15 : 8 = 1.875\) e \(45 : 24 = 1.875\) — as razões são iguais.
Resposta: \(x = 8\).
Exemplo 2. Proporcionalidade direta: preço e quantidade
Problema. Seis cadernos custam 210 ₽. Quanto custam 10 cadernos iguais?
Passo 1. Mais cadernos — maior o custo, portanto, a dependência é direta.
Passo 2. Escrevemos a condição de forma que grandezas iguais fiquem próximas e montamos a proporção "como está":
Passo 3. Multiplicação cruzada: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), então \(x = 2100 : 6 = 350\).
Verificação. Um caderno custa \(210 : 6 = 35\) ₽, e dez custam \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Coincide.
Resposta: 350 ₽.
Exemplo 3. Proporcionalidade inversa: trabalhadores e dias
Problema. Oito trabalhadores executam uma encomenda em 15 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores executarão a mesma encomenda, se trabalharem com a mesma velocidade?
Passo 1. Mais trabalhadores — menos dias serão necessários. A dependência é inversa.
Passo 2. Montamos a proporção, invertendo a segunda razão:
Aqui \(x\) são os dias para 12 trabalhadores, e 15 são os dias para 8 trabalhadores: eles trocaram de lugar porque a dependência é inversa.
Passo 3. Multiplicação cruzada: \(8 \cdot 15 = 12x\), ou seja, \(120 = 12x\) e \(x = 10\).
Verificação. O produto é constante: \(8 \cdot 15 = 120\) e \(12 \cdot 10 = 120\). Coincide, e a resposta é razoável — menos dias.
Resposta: 10 dias.
Exemplo 4. Escala do mapa
Problema. A escala do mapa é \(1 : 200.000\). A distância entre as vilas no mapa é de 7 cm. Qual é a distância entre elas na realidade?
Passo 1. A escala \(1 : 200.000\) significa: 1 cm no mapa corresponde a 200.000 cm na realidade. Esta é uma razão pronta.
Passo 2. Montamos a proporção:
Passo 3. Multiplicação cruzada: \(1 \cdot x = 200.000 \cdot 7\), ou seja, \(x = 1.400.000\) cm.
Passo 4. Convertemos para unidades convenientes: um quilômetro tem 100.000 cm, portanto, \(1.400.000 : 100.000 = 14\) km.
Resposta: 14 km.
Exemplo 5. Porcentagens através de proporção
Problema. Na turma há 25 alunos, 60% deles foram para o passeio. Quantas pessoas foram ao passeio?
Passo 1. O todo são os 25 alunos, que correspondem a 100%. A parte procurada é \(x\) pessoas, que corresponde a 60%.
Passo 2. Montamos a proporção "parte : todo = porcentagem : 100":
Passo 3. Multiplicação cruzada: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), então \(x = 15\).
Verificação. 15 pessoas de 25 é \(15 : 25 = 0.6\), ou seja, exatamente 60%.
Resposta: 15 pessoas.
Erros comuns na resolução de proporções
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Multiplicam os números "ao longo" em vez de cruzado: na proporção 5 : 2 = 20 : 8, calculam 5 · 2 e 20 · 8.
A propriedade fundamental relaciona os termos extremos com os médios, ou seja, os números na diagonal: 5 · 8 = 40 e 2 · 20 = 40. Os produtos coincidiram — a proporção é verdadeira. E 5 · 2 e 20 · 8 não são iguais e não dizem nada.
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Em um problema de dependência inversa, montam uma proporção "direta". Seis bombas enchem uma piscina em 10 horas; a escrita 6 : 15 = 10 : x resulta em 25 horas para 15 bombas.
Mais bombas — menos tempo deveria ser necessário, mas resultou em mais tempo: isso significa que a proporção não foi montada corretamente. A segunda razão deve ser invertida: 6 : 15 = x : 10, então 15x = 60 e x = 4 horas. Sempre verifique a resposta com bom senso.
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Após a "multiplicação cruzada", dividem ao contrário: da igualdade 8x = 96 obtêm x = 8 : 96.
Para encontrar x, o produto é dividido pelo coeficiente que está ao lado de x: x = 96 : 8 = 12. É um bom hábito substituir o número encontrado de volta: 8 · 12 = 96, tudo certo.
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Não concordam as unidades de medida. Em um problema com escala 1 : 50.000, com 3 cm no mapa, dão a resposta "1,5" sem unidades ou a chamam de metros.
Primeiro, calculamos nas unidades em que a escala é dada: 3 · 50.000 = 150.000 cm. E só depois convertemos: 150.000 cm = 1500 m = 1,5 km. As unidades na resposta são tão importantes quanto o próprio número.
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Confundem razão e proporção: ao pedir para montar uma proporção, escrevem uma única razão "12 : 4".
Uma razão é um único quociente: 12 : 4 = 3. Uma proporção é a igualdade de duas razões, ela obrigatoriamente tem quatro números e um sinal de igual: 12 : 4 = 30 : 10 (verificamos: 12 · 10 = 120 e 4 · 30 = 120).
Perguntas e Respostas
Qual a diferença entre razão e proporção?
Uma razão é o quociente de dois números, por exemplo, 12 : 4. Uma proporção é a igualdade de duas razões, ela tem quatro números: 12 : 4 = 30 : 10. A razão responde à pergunta "quantas vezes", e a proporção afirma que duas comparações dessas dão o mesmo resultado.
O que são termos extremos e médios de uma proporção?
Na escrita a : b = c : d, os termos extremos são aqueles que estão nas extremidades, ou seja, a e d. Os termos médios são aqueles que estão no meio, ou seja, b e c. Se a proporção for escrita como frações, os termos extremos são o numerador da primeira fração e o denominador da segunda, e os termos médios são o denominador da primeira e o numerador da segunda.
Como verificar se uma proporção é verdadeira?
Multiplicar cruzado e comparar os produtos. Por exemplo, para 9 : 12 = 15 : 20, calculamos 9 · 20 = 180 e 12 · 15 = 180 — os números coincidiram, então a proporção é verdadeira. Se os produtos forem diferentes, a proporção é falsa.
É possível trocar a ordem dos termos em uma proporção?
Sim, se feito de acordo com as regras. Em uma proporção verdadeira, você pode trocar os termos extremos de lugar, pode trocar os termos médios de lugar, ou pode inverter ambos os lados ao mesmo tempo — a proporção permanecerá verdadeira. De 4 : 6 = 10 : 15, obtemos 4 : 10 = 6 : 15 ou 6 : 4 = 15 : 10 — o produto na diagonal é sempre 60. Mas trocar apenas um número de lugar não é permitido.
O que significa "resolver uma proporção por multiplicação cruzada"?
Este é o nome coloquial para a propriedade fundamental da proporção. Os números são multiplicados na diagonal, cruzado: extremo por extremo e meio por meio. Isso resulta em uma equação com uma incógnita, que é resolvida com uma única divisão. Não existe um "método cruzado" separado além da propriedade fundamental.
Como entender se a dependência em um problema é direta ou inversa?
Aumente mentalmente a primeira grandeza em 2 vezes e observe a segunda. Se ela também dobrou, a dependência é direta, a proporção é montada "como está". Se diminuiu pela metade, a dependência é inversa, a segunda razão deve ser invertida. Outro sinal: para a dependência direta, a razão das grandezas é constante; para a inversa, o produto delas é constante.
Como resolver problemas de porcentagem usando proporção?
Monte a proporção "parte : todo = porcentagem : 100" e encontre o desconhecido por multiplicação cruzada. Por exemplo, 12% de 350: obtemos x : 350 = 12 : 100, então 100x = 4200 e x = 42. Da mesma forma, encontra-se o todo a partir da parte conhecida e a própria porcentagem.
