O Teorema de Viète relaciona as raízes de uma equação do segundo grau com seus coeficientes: para a equação reduzida \(x^2 + px + q = 0\), a soma das raízes é igual a \(-p\) e o produto é igual a \(q\). Isso permite encontrar as raízes mentalmente por inspeção, sem usar o discriminante. Nesta página, você encontrará as fórmulas exatas para a equação reduzida e para a forma geral, o teorema recíproco de Viète, o algoritmo de inspeção de raízes, exemplos resolvidos e um simulador interativo.
O que é o Teorema de Viète
O Teorema de Viète é uma regra que relaciona as raízes de uma equação do segundo grau com seus coeficientes. Ele é formulado da seguinte forma: se \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação reduzida \(x^2 + px + q = 0\), então
Em palavras: a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente com o sinal trocado, e o produto das raízes é igual ao termo independente. O sinal de menos na soma é o ponto mais importante de todo o tópico: escreve-se \(-p\) e não \(p\).
Para a equação na forma geral \(ax^2 + bx + c = 0\) (onde \(a \neq 0\)), as fórmulas são obtidas dividindo por \(a\):
O teorema funciona apenas quando existem raízes reais, ou seja, quando \(D \ge 0\). Se o discriminante for negativo, não há o que encontrar: não existem números reais com tal soma e tal produto.
Equação reduzida e forma geral: quando dividir por a
Chama-se reduzida a equação do segundo grau em que o coeficiente de \(x^2\) é igual a um: \(x^2 + px + q = 0\). É para ela que o teorema de Viète soa mais simples, por isso a inspeção de raízes sempre começa pela redução.
Se \(a \neq 1\), a equação é primeiro dividida por \(a\) termo a termo. Por exemplo, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) após a divisão por \(3\) torna-se \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), ou seja, \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Daqui, \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) e \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
A mesma ideia pode ser escrita diretamente para a forma geral, sem reduzir a equação: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). O erro mais comum é aplicar as fórmulas "curtas" \(-p\) e \(q\) a uma equação não reduzida e obter a soma \(10\) em vez de \(\frac{10}{3}\).
Teorema recíproco de Viète
O teorema de Viète possui um recíproco, e é ele que permite resolver equações por inspeção. Ele diz o seguinte: se os números \(m\) e \(n\) são tais que
então \(m\) e \(n\) são as raízes da equação \(x^2 + px + q = 0\).
A diferença é fundamental. O teorema direto vai das raízes aos coeficientes: as raízes já são conhecidas, nós obtemos as relações entre elas. O recíproco vai dos coeficientes às raízes: nós adivinhamos um par de números com a soma e o produto necessários — e temos todo o direito de chamá-los de raízes, sem precisar provar mais nada.
Disso segue uma regra útil: se \(x_1\) e \(x_2\) são raízes, então o polinômio pode ser fatorado como \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Por exemplo, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Encontrar raízes pelo teorema de Viète: algoritmo
A inspeção de raízes é a principal aplicação prática do teorema. Ela funciona mais rápido que o discriminante quando as raízes são inteiras e leva cinco passos.
Sinais das raízes pelos coeficientes p e q
Antes mesmo da inspeção, é possível entender quais serão os sinais das raízes apenas observando os sinais de \(p\) e \(q\). Isso reduz drasticamente as tentativas: fica claro se devemos procurar um par de números positivos, dois negativos ou números de sinais opostos.
| p e q | Raízes | Exemplo |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | ambas > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | ambas < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | sinais opostos | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 e −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorema de Viète ou discriminante: o que escolher
A fórmula das raízes pelo discriminante \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funciona sempre, mas exige cálculos. O teorema de Viète funciona instantaneamente, mas apenas se as raízes puderem ser adivinhadas — geralmente pequenos números inteiros.
A regra prática é:
- a equação é reduzida e \(q\) pode ser decomposto em um par de pequenos fatores → tente inspeção por Viète, a resposta sai mentalmente;
- os coeficientes são grandes ou fracionários, as raízes não são óbvias em 10–15 segundos → calcule o discriminante;
- você precisa apenas do número de raízes ou dos sinais das raízes, e não das raízes em si → basta \(D\) e a tabela de sinais acima.
É útil combinar: calculou o discriminante e encontrou as raízes — verifique a resposta por Viète. A soma deve dar \(-p\) e o produto \(q\). Essa verificação leva alguns segundos e evita quase qualquer erro aritmético.
Exemplos de resolução pelo teorema de Viète
Exemplo 1. Inspeção de raízes: ambas as raízes positivas
Resolver \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Passo 1. A equação é reduzida: \(p = -9\), \(q = 20\).
Passo 2. Verificamos o discriminante: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — existem duas raízes.
Passo 3. Escrevemos as relações: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Passo 4. Testamos as decomposições do número 20: \(1\cdot 20\) (soma 21), \(2\cdot 10\) (soma 12), \(4\cdot 5\) (soma 9) — o último par serve. Ambos os fatores são positivos porque \(q > 0\) e \(p < 0\).
Passo 5. Verificação por substituição. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Exemplo 2. Raízes de sinais opostos
Resolver \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Passo 1. A equação é reduzida: \(p = 3\), \(q = -28\).
Passo 2. \(q < 0\), logo as raízes têm sinais opostos e o discriminante é certamente positivo: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Passo 3. Relações: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Passo 4. Decomposições de 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Precisamos de uma diferença de 3 — o par 4 e 7 serve. Como a soma é negativa, a raiz de maior módulo recebe o sinal de menos: \(4\) e \(-7\).
Passo 5. Verificação. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Exemplo 3. Equação na forma geral (a ≠ 1)
Resolver \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Passo 1. O coeficiente \(a = 3\), portanto as fórmulas "curtas" \(-p\) e \(q\) não podem ser usadas. Usamos a forma geral: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Passo 2. O produto é igual a 1 — logo as raízes são inversas: se uma é \(t\), a outra é \(\tfrac{1}{t}\). A soma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) sugere \(t = 3\), pois \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Passo 3. Verificação por substituição. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Resposta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Exemplo 4. Construir uma equação a partir de suas raízes
Tarefa. Construir uma equação do segundo grau reduzida cujas raízes sejam \(-4\) e \(6\).
Passo 1. Calculamos a soma e o produto: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Passo 2. Pelo teorema recíproco de Viète, os coeficientes são \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) e \(q = x_1 x_2 = -24\). Aqui se esconde a principal armadilha: \(p\) é a soma com o sinal trocado.
Passo 3. Escrevemos a equação: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Passo 4. Verificação por substituição. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Resposta: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). O mesmo resultado é obtido pela fatoração \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Exemplo 5. Verificar a resposta de outra pessoa pelo teorema de Viète
Tarefa. Um aluno resolveu a equação \(x^2 + 5x + 6 = 0\) e anotou a resposta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Verifique se ele errou.
Passo 1. Pelo teorema de Viète, deve ser \(x_1 + x_2 = -p = -5\) e \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Passo 2. Na resposta proposta, o produto confere (\(2\cdot 3 = 6\)), mas a soma não: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Logo, a resposta está incorreta: o sinal foi perdido.
Passo 3. Procuramos o par correto: precisamos de números com produto \(6\) e soma \(-5\) — são \(-2\) e \(-3\) (ambos negativos porque \(q > 0\) e \(p > 0\)).
Passo 4. Verificação por substituição. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Resposta: as raízes corretas são \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Erros comuns ao trabalhar com o teorema de Viète
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Perder o sinal de menos na soma: escrever $x_1 + x_2 = p$ em vez de $x_1 + x_2 = -p$.
O sinal de menos existe apenas na soma, o produto é tomado com o mesmo sinal: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Verifique em uma equação simples \(x^2 - 5x + 6 = 0\): aqui \(p = -5\), a soma das raízes é \(5\), e as raízes são de fato 2 e 3.
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Aplicar as fórmulas $-p$ e $q$ a uma equação não reduzida: para $2x^2 - 9x + 4 = 0$ dizer "soma 9, produto 4".
Enquanto \(a \neq 1\), as fórmulas da forma geral funcionam: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). As raízes aqui são 4 e \(\tfrac{1}{2}\), não 4 e 1. Ou divida primeiro toda a equação por \(a\).
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Tentar encontrar raízes sem verificar o discriminante: em $x^2 + x + 1 = 0$ tentar encontrar um par de números com soma $-1$ e produto $1$.
Primeiro certifique-se de que as raízes existem: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), não há raízes reais, a inspeção é impossível. O teorema de Viète só funciona quando \(D \ge 0\).
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Encontrar o par apenas pelo produto, sem verificar a soma: para $x^2 - 8x + 12 = 0$ pegar 3 e 4, porque seu produto é 12.
É preciso verificar ambas as relações simultaneamente. Para \(x^2 - 8x + 12 = 0\), o produto 12 é dado pelos pares (1; 12), (2; 6), (3; 4), mas a soma 8 é dada apenas pelo par 2 e 6. Verificação: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) e \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
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Ao construir uma equação a partir das raízes, tomar $p$ igual à soma: para as raízes 2 e 5 escrever $x^2 + 7x + 10 = 0$.
O coeficiente \(p\) é igual à soma com o sinal trocado: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), ou seja, \(x^2 - 7x + 10 = 0\). A substituição confirma: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
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Acreditar que o teorema de Viète só vale para raízes inteiras e não usá-lo para verificar a resposta.
As relações \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\) são válidas para quaisquer raízes reais — inteiras, fracionárias e irracionais. Apenas a inspeção mental é conveniente para inteiras, mas para as outras o teorema continua sendo uma forma rápida de verificar a resposta encontrada pelo discriminante.
Perguntas e respostas
Como o teorema de Viète soa em palavras simples?
Se uma equação do segundo grau reduzida \(x^2 + px + q = 0\) tem raízes, então sua soma é igual ao segundo coeficiente com o sinal trocado, e o produto é igual ao termo independente: \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\).
Quais são a soma e o produto das raízes da equação $ax^2 + bx + c = 0$?
Para a equação na forma geral, a soma das raízes é \(-\dfrac{b}{a}\) e o produto é \(\dfrac{c}{a}\). Essas fórmulas são obtidas a partir do caso reduzido dividindo toda a equação por \(a\).
Qual a diferença entre o teorema recíproco de Viète e o direto?
O teorema direto vai das raízes aos coeficientes: conhecendo as raízes, obtemos a soma \(-p\) e o produto \(q\). O recíproco vai ao contrário: se um par de números resulta na soma e no produto necessários, então esses números são as raízes da equação. É o teorema recíproco que permite resolver equações por inspeção.
Como encontrar raízes pelo teorema de Viète?
Reduza a equação à forma \(x^2 + px + q = 0\), verifique se \(D \ge 0\), escreva \(x_1 + x_2 = -p\) e \(x_1 x_2 = q\), teste as decomposições do número \(q\) em pares de fatores e escolha o par cuja soma seja \(-p\). Por exemplo, para \(x^2 + 6x + 8 = 0\) precisamos de números com produto 8 e soma \(-6\) — são \(-2\) e \(-4\).
O teorema de Viète funciona se o coeficiente de $x^2$ não for um?
Sim, mas na forma geral: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). As fórmulas curtas \(-p\) e \(q\) só são verdadeiras para a equação reduzida, portanto, quando \(a \neq 1\), a equação é primeiro dividida por \(a\).
O que fazer se as raízes não puderem ser encontradas pelo teorema de Viète?
Significa que as raízes não são inteiras ou não existem. Calcule o discriminante: se \(D < 0\) não há raízes reais, e se \(D \ge 0\) encontre as raízes pela fórmula \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) e só então verifique a resposta pelo teorema de Viète.
Como determinar os sinais das raízes sem resolver a equação?
Pelos sinais de \(p\) e \(q\) quando \(D \ge 0\): se \(q > 0\) e \(p < 0\) — ambas as raízes são positivas; se \(q > 0\) e \(p > 0\) — ambas são negativas; se \(q < 0\) — as raízes têm sinais opostos; se \(q = 0\) — uma das raízes é zero.
Em que ano se estuda o teorema de Viète?
No 9º ano nas aulas de álgebra, logo após equações do segundo grau e o discriminante. Depois, ele é usado na fatoração do trinômio do segundo grau \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), na investigação de raízes com parâmetros e em questões de exames.
