Regras de divisibilidade são regras que permitem saber se um número é divisível exatamente por outro número, sem realizar a divisão: basta olhar para os últimos algarismos ou somar todos os algarismos do número. Nesta página, reunimos uma tabela de regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 e 25, uma análise clara das regras por 3 e por 9 através da soma dos algarismos, exemplos resolvidos, erros comuns e um simulador interativo onde pode testar-se imediatamente.
O que é uma regra de divisibilidade
Uma regra de divisibilidade é uma regra pela qual se pode saber se um número é divisível exatamente por outro número, sem realizar a divisão. Basta olhar para os últimos algarismos ou somar todos os algarismos do número.
As regras de divisibilidade são úteis em qualquer situação em que seja necessário entender rapidamente a "estrutura" de um número:
- ao simplificar frações — vê-se imediatamente por que fator simplificar o numerador e o denominador;
- ao fatorar um número em primos;
- ao encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;
- ao verificar rapidamente a resposta em exercícios e problemas.
É importante não confundir duas questões diferentes. "3726 é divisível por 9?" — a regra de divisibilidade responde a isso: a soma dos algarismos 3 + 7 + 2 + 6 = 18 é divisível por 9, então sim. E "quanto dá?" — isso já é a própria divisão: 3726 : 9 = 414. A regra dá apenas a resposta "sim" ou "não", mas instantaneamente e de cabeça.
Tabela de regras de divisibilidade
É conveniente ter todas as regras de divisibilidade escolares diante dos olhos numa única tabela. A cor indica onde olhar: no último algarismo, na soma dos algarismos, na "cauda" de dois ou três últimos algarismos ou diretamente em duas regras.
| Por | Regra de divisibilidade | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | o último algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8 | 3726 → 6 |
| 3 | a soma dos algarismos é divisível por 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | o último algarismo é 0 ou 5 | 1435 → 5 |
| 6 | é divisível por 2 e por 3 simultaneamente | 5124 → 4 e 12 |
| 8 | os três últimos algarismos formam um número divisível por 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | a soma dos algarismos é divisível por 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | o último algarismo é 0 | 2340 → 0 |
| 11 | os algarismos alternam sinais a partir do final; a soma é divisível por 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | os dois últimos algarismos são 00, 25, 50 ou 75 | 1875 → 75 |
Regras de divisibilidade por 2, 5 e 10
O grupo mais simples: olhamos apenas para o último algarismo, os outros não importam.
- por 2 são divisíveis todos os números pares — aqueles que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8;
- por 5 — números que terminam em 0 ou 5;
- por 10 — números que terminam em 0.
O comprimento do número não importa: 987 654 320 é divisível por 2, 5 e 10 porque termina em zero. E 1435 é divisível por 5 (último algarismo 5), mas não é divisível por 2 nem por 10 — o número é ímpar.
Daqui, uma conclusão útil: por 10 são divisíveis exatamente os números que são divisíveis por 2 e por 5 simultaneamente.
Regras de divisibilidade por 3 e por 9: soma dos algarismos
Aqui, o último algarismo não decide nada — funciona a soma de todos os algarismos do número:
- um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for divisível por 3;
- um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for divisível por 9.
Se a soma for grande, a regra pode ser aplicada novamente: para o número 899 991, a soma dos algarismos é 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, e para 45 a soma é 4 + 5 = 9 — o que significa que o número original é divisível por 9 e por 3.
As regras são semelhantes, mas não se substituem. Qualquer número divisível por 9 é também divisível por 3 — pois o próprio nove é divisível por três. O inverso não é verdadeiro: a soma dos algarismos pode ser divisível por 3 e não ser divisível por 9, e então o número passa apenas num dos dois testes. Ambos os casos são analisados abaixo.
Regras de divisibilidade por 4, 8 e 25: olhe para a cauda do número
Um único último algarismo não é suficiente aqui — é necessária uma "cauda" de vários últimos algarismos:
- por 4 é divisível um número cujos dois últimos algarismos formam um número divisível por 4;
- por 8 — se os três últimos algarismos formam um número divisível por 8;
- por 25 — se os dois últimos algarismos formam 00, 25, 50 ou 75.
Porquê a cauda é suficiente: 100 é divisível por 4 e por 25, e 1000 é divisível por 8. Portanto, tudo o que está à esquerda já é divisível pelo número necessário e não afeta o resultado.
Daqui, uma consequência importante: a paridade não é suficiente para quatro e oito. Um número pode ser par, mas se a sua cauda de dois ou três algarismos não for divisível exatamente, então o número inteiro também não é. A análise das caudas está na secção abaixo.
Regra de divisibilidade por 6
O seis não tem uma regra separada: 6 = 2 · 3, e os fatores são coprimos. Portanto, a regra é composta — um número é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
Vamos verificar 5124: o último algarismo é 4 — o número é par, logo é divisível por 2; a soma dos algarismos 5 + 1 + 2 + 4 = 12 é divisível por 3. Ambas as condições são satisfeitas → 5124 : 6 = 854.
A paridade sozinha não é suficiente: 1000 é par, mas a soma dos seus algarismos é 1 e não é divisível por 3, portanto o número não é divisível por 6. A metade inversa também não funciona: para 4521 a soma dos algarismos é 12, divisível por 3, mas o número em si é ímpar — também não é divisível por 6.
Da mesma forma, constroem-se outras regras compostas: por 12 — divisível por 3 e por 4, por 15 — por 3 e por 5, por 18 — por 2 e por 9, por 45 — por 5 e por 9.
Regra de divisibilidade por 11
A regra de divisibilidade por 11 usa a soma alternada dos algarismos. Os algarismos são somados, começando pelo último, alternando o sinal: mais, menos, mais, menos. Se o resultado for divisível por 11 (incluindo zero), então todo o número é divisível por 11.
A mesma regra é frequentemente formulada de forma diferente: a diferença entre a soma dos algarismos nas posições ímpares e a soma dos algarismos nas posições pares deve ser divisível por 11. É a mesma regra.
Exemplos de regras de divisibilidade
Exemplo 1. Por quais números 7254 é divisível?
Tarefa. Determinar por quais dos números 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 o número 7254 é divisível.
Passo 1. Por 2. O último algarismo é 4 — par. É divisível: 7254 : 2 = 3627.
Passo 2. Por 5 e por 10. O número termina em 4, não em 0 ou 5. Não é divisível nem por 5, nem por 10.
Passo 3. Por 3 e por 9. Soma dos algarismos: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. É divisível por 3 e por 9. Logo, 7254 : 3 = 2418 e 7254 : 9 = 806.
Passo 4. Por 6. O número é divisível por 2 e por 3 — logo, é divisível por 6: 7254 : 6 = 1209.
Passo 5. Por 4. Os dois últimos algarismos formam 54, e 54 não é divisível por 4. Não é divisível.
Resposta. 7254 é divisível por 2, 3, 6 e 9.
Exemplo 2. 4715 é divisível por 3 e por 9?
Tarefa. Verificar a divisibilidade do número 4715 por 3 e por 9.
Passo 1. Somamos os algarismos: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Passo 2. Por 3. 17 não é divisível por 3 (os múltiplos mais próximos são 15 e 18). Logo, 4715 também não é divisível por 3.
Passo 3. Por 9. 17 é ainda menos divisível por 9. Logo, 4715 também não é divisível por 9.
O que o número consegue fazer. Último algarismo 5 → o número é divisível por 5: 4715 : 5 = 943. Não é divisível por 2 nem por 10 — é ímpar.
Resposta. O número 4715 não é divisível nem por 3, nem por 9.
Exemplo 3. Divisibilidade por 4 e por 8: número 6248
Tarefa. Verificar se 6248 é divisível por 4 e por 8.
Passo 1. Por 4. Pegamos os dois últimos algarismos: 48. O número 48 é divisível por 4 (48 : 4 = 12), logo 6248 também é divisível: 6248 : 4 = 1562.
Passo 2. Por 8. Pegamos os três últimos algarismos: 248. Dividimos: 248 : 8 = 31 — é divisível. Logo, 6248 : 8 = 781.
Cuidado com o raciocínio inverso. A divisibilidade por 4 não implica divisibilidade por 8: para o número 6244, a cauda 44 é divisível por 4 (6244 : 4 = 1561), mas os três últimos algarismos 244 não são divisíveis por 8 — o número não é divisível por 8.
Resposta. 6248 é divisível por 4 e por 8.
Exemplo 4. Regra de divisibilidade por 11: número 2926
Tarefa. Verificar se 2926 é divisível por 11.
Passo 1. Escrevemos os algarismos e colocamos os sinais a partir do final: o último algarismo com sinal de mais, depois alternadamente menos e mais.
Passo 2. Calculamos a soma alternada: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Passo 3. O resultado 11 é divisível por 11 → todo o número também é divisível.
Verificação por divisão. 2926 : 11 = 266.
Resposta. 2926 é divisível por 11.
Exemplo 5. Simplificando uma fração usando regras de divisibilidade
Tarefa. Simplificar a fração 270/378.
Passo 1. Calculamos as somas dos algarismos: 2 + 7 + 0 = 9 e 3 + 7 + 8 = 18. Ambas são divisíveis por 9 → tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por 9.
Passo 2. Simplificamos por 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Obtemos 30/42.
Passo 3. Ambos os números são pares → simplificamos por 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Obtemos 15/21.
Passo 4. As somas dos algarismos 6 e 3 são divisíveis por 3 → simplificamos por 3.
Resposta. 270/378 = 5/7.
Erros comuns nas regras de divisibilidade
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Verificar a divisibilidade por 6 apenas pela paridade: se o número é par — então é divisível por 6.
São necessárias ambas as condições simultaneamente: por 2 e por 3. O número 7124 é par, mas a soma dos seus algarismos 14 não é divisível por 3, portanto não é divisível por 6. E vice-versa: 3471 passa no teste do três (soma 15, 3471 : 3 = 1157), mas é ímpar — também não é divisível por 6.
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Para a divisibilidade por 4, olha-se para um único último algarismo: "8 é divisível por 4, então 9138 também serve".
Para quatro, pegam-se DUAS últimas algarismos. Para 9138 são 38, e 38 não é divisível por 4. Exemplo correto: para 9136 a cauda é 36, 36 : 4 = 9, logo 9136 : 4 = 2284. Para oito, a cauda é ainda mais longa — três algarismos.
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A regra de divisibilidade por 9 é verificada pelo último algarismo: procuram-se números que terminam em 9 ou 0.
O último algarismo não significa nada para o nove. Calcula-se a soma de todos os algarismos: para 4563 é 18, a soma é divisível por 9 — e o número é divisível (4563 : 9 = 507), embora termine em 3.
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Acha-se que se um número é divisível por 3, então também é divisível por 9.
Funciona apenas numa direção: divisível por 9 → divisível por 3. O inverso não é verdadeiro. Para 8241 a soma dos algarismos é 15: é divisível por 3 (8241 : 3 = 2747), mas não por 9.
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Para a regra do 11, simplesmente somam-se todos os algarismos, como para 3 e 9.
Para onze, a soma é alternada: os algarismos são somados a partir do final, mudando o sinal a cada um. Para 6479 é 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → é divisível (6479 : 11 = 589). A soma normal dos algarismos aqui é 26 e não diz nada.
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Confunde-se a regra de divisibilidade com a própria divisão: à pergunta "5391 é divisível por 9?" responde-se "sim, 18".
18 é a soma dos algarismos, um resultado intermédio da regra. O quociente é calculado separadamente: 5391 : 9 = 599. A regra responde apenas "divisível / não divisível".
Perguntas e Respostas
O que é uma regra de divisibilidade em palavras simples?
É uma regra que permite saber se um número é divisível exatamente, sem realizar a divisão. Geralmente, basta olhar para os últimos algarismos do número ou somar todos os seus algarismos.
Como saber se um número é divisível por 3?
Some todos os algarismos do número. Se a soma resultante for divisível por 3, então o próprio número é divisível por 3. Por exemplo, para 2571 a soma dos algarismos é 2 + 5 + 7 + 1 = 15, e 15 é divisível por 3 → 2571 : 3 = 857.
Qual a diferença entre a regra de divisibilidade por 3 e a regra por 9?
A regra é a mesma — calcula-se a soma dos algarismos, mas verifica-se em números diferentes: para três, a soma deve ser divisível por 3; para nove, por 9. Por isso, qualquer número divisível por 9 é também divisível por 3, mas o inverso nem sempre é verdade: para 9420 a soma dos algarismos é 15, divisível por 3 (9420 : 3 = 3140), mas não por 9.
O que fazer se a soma dos algarismos for grande?
Aplique a regra novamente — agora à soma. Para o número 777 771, a soma dos algarismos é 36; para 36, a soma é 3 + 6 = 9. Nove é divisível por 9, logo o número original também é divisível por 9 (e também por 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Existe regra de divisibilidade por 7?
Não há uma regra simples como a soma dos algarismos para o sete, e ele não é incluído na tabela escolar de regras. Existe um método: descartar o último algarismo, dobrá-lo e subtrair do número restante. Por exemplo, para 343: removemos o 3, dobramos — 6, calculamos 34 − 6 = 28. O número 28 é divisível por 7, logo 343 também é divisível: 343 : 7 = 49.
Quais são as regras de divisibilidade por 12, 15 e 45?
São compostas — o número deve passar por duas regras simultaneamente: por 12 — ser divisível por 3 e por 4; por 15 — por 3 e por 5; por 45 — por 5 e por 9. É importante que os fatores sejam coprimos: a decomposição 12 = 2 · 6 não serve, pois 18 é divisível por 2 e por 6, mas não por 12.
Em que ano se estudam as regras de divisibilidade?
No 6º ano, nas aulas de matemática: primeiro as regras por 10, 5 e 2, depois por 3 e por 9. As regras por 4, 8, 11 e 25 geralmente são abordadas adicionalmente — elas serão úteis na simplificação de frações e em olimpíadas.
