A raiz quadrada de um número \(a\) é um número cujo quadrado é igual a \(a\), e a raiz quadrada aritmética é apenas o seu valor não negativo: \(\sqrt{25} = 5\). Só se pode extrair a raiz de números não negativos, mas as propriedades da raiz transformam expressões complexas em curtas. Nesta página — definição e domínio, todas as propriedades da raiz quadrada com fórmulas, tabela de raízes quadradas de 1 a 20, métodos para extrair a raiz e tirar um fator para fora, exemplos resolvidos, erros comuns e um simulador interativo.
O que é a raiz quadrada de um número
A raiz quadrada de um número \(a\) é um número cujo quadrado é igual a \(a\). Extrair a raiz e elevar ao quadrado são ações inversas: de \(7^2 = 49\) segue imediatamente que a raiz quadrada de 49 é 7.
No entanto, um número positivo tem exatamente duas raízes quadradas, que diferem apenas no sinal: \(5^2 = 25\) e \((-5)^2 = 25\), ou seja, as raízes quadradas de 25 são tanto \(5\) quanto \(-5\). Para que a notação \(\sqrt{25}\) represente um único número, foi acordado: o sinal \(\sqrt{\phantom{a}}\) representa apenas a raiz não negativa. Esta é chamada de raiz quadrada aritmética.
A notação tem seus nomes: o sinal \(\sqrt{\phantom{a}}\) é o radical, e o número ou expressão sob ele é o radicando.
Raiz quadrada aritmética: definição e domínio
A raiz quadrada aritmética de um número não negativo \(a\) é um número não negativo cujo quadrado é igual a \(a\). É denotada por \(\sqrt{a}\) e lida como «raiz de a».
A definição contém duas condições, ambas igualmente importantes:
- o radicando é não negativo: \(a \ge 0\);
- o valor da raiz é não negativo: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Daqui, obtemos imediatamente: \(\sqrt{25} = 5\), e não \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); e a notação \(\sqrt{-9}\) não tem sentido nos números reais — não existe um número cujo quadrado seja negativo.
A primeira condição define o domínio da expressão com a raiz. Por exemplo, \(\sqrt{x-7}\) tem sentido quando \(x - 7 \ge 0\), ou seja, quando \(x \ge 7\): qualquer valor menor de \(x\) coloca um número negativo sob a raiz.
Da definição também decorre a igualdade \((\sqrt{a})^2 = a\) para \(a \ge 0\): elevar a raiz ao quadrado retorna o número sob o radical. Isso funciona mesmo quando não conseguimos calcular a raiz exatamente: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabela de raízes quadradas: quadrados de números de 1 a 20
A raiz é extraída exatamente quando o número sob o radical é um quadrado perfeito. Por isso, a tabela de quadrados funciona também como tabela de raízes quadradas: ela é lida em ambos os sentidos — \(14^2 = 196\), logo \(\sqrt{196} = 14\).
A tabela ajuda não só com números inteiros:
- números decimais: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), porque \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- frações ordinárias: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — a raiz é extraída separadamente do numerador e separadamente do denominador;
- números redondos: \(\sqrt{2500} = 50\), pois \(2500 = 25 \cdot 100\), e a raiz de cada fator é conhecida.
Propriedades da raiz quadrada
As propriedades da raiz quadrada permitem calcular expressões sem extrair cada raiz separadamente e simplificar a resposta.
Raiz de um produto é igual ao produto das raízes: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) para \(a \ge 0\) e \(b \ge 0\). Por exemplo, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — o mesmo resultado que \(\sqrt{144}\).
Raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) para \(a \ge 0\) e \(b > 0\). Por exemplo, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). A condição \(b > 0\) é rigorosa: não se pode dividir por zero.
Raiz do quadrado é igual ao módulo: \(\sqrt{a^2} = |a|\), e isso é válido para qualquer número \(a\). Aqui está a principal sutileza de todo o tópico. Se \(a \ge 0\), nada muda: \(\sqrt{7^2} = 7\). Mas para \(a\) negativo, o sinal «endireita-se»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), e não \(-6\) — pois a raiz aritmética não pode ser negativa.
O quadrado da raiz retorna o número sob o radical: \((\sqrt{a})^2 = a\) para \(a \ge 0\).
No entanto, para a soma e a diferença, não existem propriedades semelhantes: a raiz da soma não é igual à soma das raízes. Este é o erro mais comum do tópico, análise — abaixo.
| Propriedade e condição | Exemplo |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpara a ≥ 0 e b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpara a ≥ 0 e b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|para qualquer a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apara a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpara b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Como extrair a raiz quadrada de um número
Uma calculadora nem sempre está à mão, e as tarefas escolares são quase sempre escolhidas de forma que a raiz possa ser extraída. A ordem das ações é a seguinte.
- Verifique na tabela de quadrados. Se o número estiver na tabela, a resposta está pronta: \(\sqrt{289} = 17\).
- Separe um fator redondo. Para números com zeros, é conveniente separar \(100\), \(10\,000\), etc.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Decomponha em fatores primos. Este é um método universal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), dividimos os expoentes por dois e obtemos \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Transforme um número decimal em uma fração ordinária. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Ao mesmo tempo, isso evita a perda de casas decimais.
- Se não houver um quadrado perfeito — a raiz é irracional. Nesse caso, ela é deixada na resposta como um símbolo (escreve-se assim: \(\sqrt{30}\)), ou é estimada entre quadrados vizinhos.
A verificação leva um segundo: elevamos o número obtido ao quadrado e vemos se o radicando retornou. \(24^2 = 576\) — correto.
Tirar um fator para fora do sinal de raiz
A raiz raramente é deixada «crua» — tudo o que pode ser extraído é tirado debaixo dela. A propriedade \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) para \(b \ge 0\) funciona: procuramos o maior divisor quadrado do número sob o radical.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
A ação inversa — colocar um fator para dentro da raiz: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) para \(a \ge 0\). Por exemplo, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Com um fator negativo, é preciso cuidado: o menos não entra na raiz e permanece do lado de fora. A notação correta é \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), e não \(\sqrt{12}\).
Para que serve isso: após tirar o fator, raízes com a mesma expressão sob o radical tornam-se termos semelhantes e podem ser somadas. E colocar um fator para dentro da raiz é a maneira mais rápida de comparar duas expressões com raízes.
Qual é a raiz quadrada que não pode ser extraída
Se o número sob o radical não for um quadrado perfeito, a raiz é um número irracional: sua representação decimal é infinita e não periódica. Por exemplo, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), e o valor exato é escrito apenas com o símbolo \(\sqrt{2}\). Uma resposta arredondada só é escrita quando solicitada na tarefa.
É possível estimar tal raiz sem calculadora: encontrar dois quadrados perfeitos consecutivos entre os quais o número sob o radical se encontra. A regra de comparação funciona: para \(a \ge 0\) e \(b \ge 0\), de \(a < b\) segue \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — um número sob o radical maior corresponde a uma raiz maior.
Exemplos de cálculos com raízes quadradas
Exemplo 1. Valor de uma expressão com raízes
Calcule \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Passo 1. \(\sqrt{121} = 11\), porque \(11^2 = 121\).
Passo 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), porque \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Passo 3. A raiz da fração é extraída pelo numerador e denominador: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Passo 4. Somamos: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Resposta: 11.
Exemplo 2. Raiz de um produto
Calcule \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Passo 1. Individualmente, essas raízes não podem ser extraídas, então as unimos em uma: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Passo 2. Calculamos o produto sob a raiz: \(8 \cdot 18 = 144\).
Passo 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Outro caminho — tirar os fatores antecipadamente: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) e \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), então \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). As respostas coincidiram.
Resposta: 12.
Exemplo 3. Extração de raiz por decomposição em fatores
Calcule \(\sqrt{576}\) e \(\sqrt{6400}\).
Passo 1. O número 576 não está na tabela de quadrados, então o decompomos em fatores primos: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Passo 2. Dividimos os expoentes por dois: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Passo 3. Verificação. \(24^2 = 576\) — correto.
Passo 4. Para o número 6400, é mais conveniente separar um fator redondo: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Verificação: \(80^2 = 6400\).
Resposta: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Exemplo 4. Tirar um fator para fora e reduzir termos semelhantes
Simplifique \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Passo 1. Tiramos os fatores de sob cada raiz: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), logo \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Passo 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Passo 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Passo 4. Só podemos somar raízes com a mesma expressão sob o radical: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), e o termo com \(\sqrt{3}\) permanece separado.
Resposta: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Exemplo 5. Raiz quadrada de um quadrado com variável
Simplifique \(\sqrt{(x-4)^2}\) para \(x < 4\).
Passo 1. Pela propriedade da raiz quadrada de um quadrado \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — escrevemos imediatamente o módulo, e não \(x - 4\).
Passo 2. Removemos o módulo de acordo com a condição. Se \(x < 4\), então a diferença \(x - 4\) é negativa, e o módulo de um número negativo é o número oposto: \(|x-4| = 4 - x\).
Passo 3. Verificação. Vamos pegar \(x = 1\): à esquerda \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), à direita \(4 - 1 = 3\) — coincide.
Resposta: \(4 - x\). Para comparação, para \(x \ge 4\) a resposta seria \(x - 4\).
Exemplo 6. Comparação de expressões com raízes
Compare \(3\sqrt{5}\) e \(5\sqrt{2}\).
Passo 1. Ambos os números são positivos, então colocamos o fator para dentro da raiz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Passo 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Passo 3. Comparamos os números sob o radical: \(45 < 50\), e um número sob o radical maior corresponde a uma raiz maior.
Resposta: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Erros comuns ao trabalhar com raiz quadrada
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Escrevem $\sqrt{a^2} = a$, esquecendo o módulo.
A igualdade correta é \(\sqrt{a^2} = |a|\). Para um número negativo, isso é crucial: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), e não \(-13\). A raiz quadrada aritmética não pode ser negativa, então o sinal sob a raiz «endireita-se».
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Acreditam que a raiz de uma soma é igual à soma das raízes: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Não existe tal propriedade. Primeiro, realizamos a operação sob a raiz: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), e não 7. As propriedades existem apenas para o produto e o quociente: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) e \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
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Respondem que $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — a raiz quadrada aritmética é sempre uma e é não negativa. Dois valores aparecem em outra tarefa: a equação \(x^2 = 49\) tem raízes \(x = 7\) e \(x = -7\). Não se deve confundir a notação da raiz com a solução da equação.
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Escrevem $\sqrt{-16} = -4$, raciocinando «menos por menos».
Um número negativo não pode estar sob a raiz: \((-4)^2 = 16\), e não \(-16\), então \(\sqrt{-16}\) não tem sentido nos números reais. Já a expressão \(-\sqrt{16} = -4\) é totalmente correta — o menos está antes da raiz, e não sob ela.
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Colocam um fator negativo para dentro da raiz: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
A regra \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) só funciona para \(a \ge 0\). O menos permanece do lado de fora: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Verificação pelo sinal: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), e \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — os números são opostos.
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Perdem casas decimais em números decimais: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Verifique com a elevação ao quadrado inversa: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), não coincide. O correto é \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), pois \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Um método confiável é converter para fração ordinária: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
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Estão confiantes de que a raiz é sempre menor que o próprio número.
Isso é verdade apenas para números maiores que um. No intervalo de 0 a 1, tudo é ao contrário: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), e \(0{,}5\) é maior que \(0{,}25\). E para 0 e 1, a raiz é igual ao próprio número.
Perguntas e Respostas
O que é raiz quadrada aritmética em palavras simples?
É um número não negativo que, ao ser elevado ao quadrado, resulta no número sob o radical. É denotado por \(\sqrt{a}\), onde a expressão sob o radical deve ser não negativa: \(a \ge 0\). Por exemplo, \(\sqrt{64} = 8\), porque \(8 \ge 0\) e \(8^2 = 64\).
Qual a diferença entre raiz quadrada e raiz quadrada aritmética?
Um número positivo tem duas raízes quadradas — opostas em sinal. A raiz aritmética é apenas a não negativa delas, e é esta que o sinal \(\sqrt{\phantom{a}}\) representa. Por isso, \(\sqrt{25} = 5\), embora a equação \(x^2 = 25\) tenha duas raízes: 5 e \(-5\).
Como extrair a raiz quadrada de um número sem calculadora?
Primeiro, verifique o número na tabela de quadrados. Se ele não estiver lá — decomponha em fatores e destaque os quadrados perfeitos: \(784 = 16 \cdot 49\), portanto \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Sempre verifique a resposta com a operação inversa: \(28^2 = 784\).
É possível extrair a raiz quadrada de um número negativo?
Nos números reais — não: o quadrado de qualquer número é não negativo, portanto a expressão \(\sqrt{-9}\) não tem sentido. É a partir desta condição que se busca o domínio: por exemplo, \(\sqrt{x-7}\) existe apenas para \(x \ge 7\).
Qual é a raiz quadrada do quadrado de um número?
O módulo desse número: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Para \(a\) não negativo, resulta o próprio número, para \(a\) negativo — o oposto dele: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Como tirar um fator para fora do sinal de raiz?
Encontre o maior divisor quadrado do número sob o radical e aplique a propriedade \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Por exemplo, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). A ação inversa é colocar um fator para dentro da raiz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Qual é a raiz quadrada de 2?
O número \(\sqrt{2}\) é irracional: sua representação decimal é infinita e não periódica, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Não existe um valor exato em forma de fração, por isso nas respostas ele é deixado como símbolo \(\sqrt{2}\), e arredondado apenas se a condição o exigir.
Como comparar dois números com raízes sem calculá-los?
Coloque os fatores para dentro da raiz e compare os números sob o radical: um número sob o radical maior corresponde a uma raiz maior. Por exemplo, \(\sqrt{17}\) e 4: como \(4 = \sqrt{16}\) e \(17 > 16\), então \(\sqrt{17} > 4\).
Em que ano se estudam as raízes quadradas?
No 8º ano nas aulas de álgebra: primeiro a definição de raiz quadrada aritmética e suas propriedades, depois as transformações de expressões com raízes e a resolução de equações do tipo \(x^2 = a\). Em seguida, as raízes aparecem na fórmula do discriminante e em tarefas do OGE e do ЕГЭ.
