Uma inequação é duas expressões conectadas pelos sinais <, >, ≤ ou ≥. Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores da variável para os quais ela se transforma em uma inequação numérica verdadeira. A resposta não será um único número, mas um conjunto inteiro: um intervalo no eixo numérico ou a união de intervalos. Esta página reúne uma base comum a todos os tipos de inequações: como ler os sinais, quais transformações são permitidas, por que o sinal se inverte ao dividir por um número negativo e como registrar corretamente a resposta. E a seguir — uma visão geral de todos os tipos de inequações com links para análises detalhadas e um simulador para se testar.
O que significa resolver uma inequação
Resolver uma inequação é qualquer valor da variável que transforma a inequação em uma inequação numérica verdadeira. E resolver uma inequação significa encontrar todos esses valores e registrá-los como um conjunto.
Compare com uma equação. Para a equação 2x = 8, a resposta é um único número x = 4. Para a inequação 2x < 8, a resposta são infinitos números: 3, 0, -100 e 3,999 servem. É impossível registrá-los um por um, por isso a resposta é apresentada como um intervalo: x < 4, ou seja, (−∞; 4).
Verificar se um número específico é uma solução é fácil: substitua-o pela variável e veja se a inequação numérica resultante é verdadeira.
- x = 1 na inequação 2x < 8: 2 ⋅ 1 = 2 < 8 — verdadeiro, então 1 é uma solução.
- x = 5: 2 ⋅ 5 = 10 < 8 — falso, então 5 não é uma solução.
Duas inequações são chamadas equivalentes se elas têm os mesmos conjuntos de soluções. Toda a resolução de uma inequação é uma cadeia de transições para uma inequação equivalente mais simples, até que reste apenas x no lado esquerdo.
Sinais de inequação: estritos e não estritos
Existem quatro sinais, e o tipo de resposta e sua apresentação dependem de qual deles está presente. Os sinais estritos < e > não incluem o ponto limite na resposta, enquanto os não estritos ≤ e ≥ — incluem.
Essa diferença se estende por toda a resolução: um sinal estrito resulta em um ponto "vazio" (não incluído) no eixo e um parêntese reto na resposta, um sinal não estrito — um ponto "preenchido" e um colchete na resposta.
| Sinal | Como se lê e o que resulta na resposta |
|---|---|
| < | menor queestritoponto vazio, parêntese reto |
| > | maior queestritoponto vazio, parêntese reto |
| ≤ | menor ou igual anão estritoponto preenchido, colchete |
| ≥ | maior ou igual anão estritoponto preenchido, colchete |
Transformações equivalentes: o que se pode fazer com uma inequação
Com uma inequação, pode-se fazer quase o mesmo que com uma equação, mas com uma importante ressalva. Somar e subtrair pode ser feito livremente: se adicionarmos ou subtrairmos o mesmo valor de ambas as partes, o conjunto de soluções não mudará. É assim que os termos são "transportados" através do sinal, trocando o sinal de mais para menos.
Já a multiplicação e a divisão dependem do sinal do multiplicador. Ao multiplicar ou dividir ambas as partes por um número negativo, o sinal da inequação se inverte para o oposto: < se torna >, ≤ se torna ≥ e vice-versa. A razão é visível nos números: de 3 < 5 (verdadeiro), após multiplicar por -1, obtemos -3 e -5, e -3 > -5 — a ordem dos números se inverteu.
O mesmo acontece se trocarmos os lados esquerdo e direito: de 7 < y obtemos y > 7.
| O que fazemos com ambas as partes | O que acontece com o sinal |
|---|---|
| Adicionamos ou subtraímos o mesmo número ou expressão | o sinal se mantém |
| Multiplicamos ou dividimos por um número positivo | o sinal se mantém |
| Multiplicamos ou dividimos por um número negativo | o sinal se inverte |
| Trocamos os lados esquerdo e direito | o sinal se inverte |
| Multiplicamos ou dividimos por uma expressão com variável (x - 2) | não é permitido |
Como registrar a resposta: eixo numérico e intervalos
Quando a variável fica sozinha, a solução está quase pronta — resta apresentá-la. É mais conveniente primeiro marcar a resposta no eixo numérico e, a partir dele, contar o intervalo.
As regras de registro são apenas três, e não mudam com o tipo de inequação:
- Parêntese reto — o ponto não entra na resposta (sinal estrito, ponto vazio);
- Colchete — o ponto entra (sinal não estrito, ponto preenchido);
- Para o infinito, o parêntese é sempre reto: (−∞; 4), [3; +∞) — não existe notação como [−∞; 4], o infinito não é um número e não pode ser alcançado.
Se a solução resultar em dois pedaços do eixo, eles são unidos pelo sinal de união ∪: por exemplo, (−∞; −5) ∪ (3; +∞).
Tipos de inequações e métodos de resolução
As inequações são distinguidas pela forma como a variável entra nelas — se está na primeira potência, sob um quadrado, no denominador ou sob um módulo. É isso que determina o método de resolução, portanto, o primeiro passo de qualquer resolução é identificar o tipo de inequação. A lógica geral a seguir é única: reduzir a inequação à forma "expressão comparada com zero" e, em seguida, aplicar o método apropriado para esse tipo. Um resumo dos tipos e métodos está na tabela abaixo.
Separe o registro de como o módulo é removido — a tabela não inclui isso. Para a > 0, a inequação |f(x)| < a é equivalente à inequação dupla -a < f(x) < a (resultando em um sistema), e |f(x)| > a — a uma disjunção f(x) < -a ou f(x) > a (resultando em uma união de intervalos). Se a < 0, não há nada a pensar: o módulo é não negativo, portanto, |f(x)| < a não tem solução, e |f(x)| > a é verdadeiro para todos os x permitidos.
Inequações irracionais (com raiz) e exponenciais são abordadas no ensino médio: às transformações usuais, adiciona-se o trabalho com o domínio de valores admissíveis.
Análises detalhadas de tipos específicos: inequações lineares, inequações racionais e o método dos intervalos, e as raízes de um trinômio quadrático são convenientemente encontradas pelo teorema de Vieta.
| Tipo | Como se parece e como resolver |
|---|---|
| Linear | ax + b > 0mover termos e dividir pelo coeficiente de x |
| Quadrática | ax2 + bx + c > 0encontrar as raízes do trinômio e olhar para a parábola |
| Racional fracionária | P(x) / Q(x) ≥ 0método dos intervalos, os zeros do denominador são excluídos |
| Com módulo | | f(x) | < aremover o módulo pela definição |
| Sistema | duas inequações em chavesresolver cada uma, pegar a interseção |
Sistemas e disjunções de inequações
Frequentemente, uma inequação se divide em duas, e então é importante não confundir o que fazer com os conjuntos obtidos.
Um sistema (chave { ) significa "isto e aquilo ao mesmo tempo". Resolvemos cada inequação separadamente, marcamos ambas as respostas em um mesmo eixo e pegamos a interseção — a parte comum. Se não houver parte comum, o sistema não tem solução.
Uma disjunção (chave [ ) significa "ou isto, ou aquilo". Aqui pegamos a união — tudo o que é marcado por pelo menos uma das respostas. Uma disjunção aparece, por exemplo, ao remover um módulo com o sinal "maior que".
Separe a inequação dupla do tipo -3 < 2x + 1 ≤ 7: esta é uma notação curta para um sistema. As transformações são realizadas em todas as três partes simultaneamente — subtraímos, dividimos, e ao dividir por um número negativo, invertemos ambos os sinais.
Exemplos de resolução de inequações
Exemplo 1. Verificar se um número é solução
Tarefa. O número x = -1 é solução da inequação 3x + 5 ≥ 1?
Passo 1. Substituímos -1 por x: 3 ⋅ (-1) + 5 = -3 + 5 = 2.
Passo 2. Comparamos com o lado direito: 2 ≥ 1 — inequação numérica verdadeira.
Resposta. Sim, -1 é uma das soluções. Mas resolver a inequação significa encontrar todos esses números, não apenas um: aqui a resposta é x ≥ -4/3.
Exemplo 2. Inequação linear com troca de sinal
Tarefa. Resolver 7 - 3x < 1.
Passo 1. Movemos 7 para a direita (ou seja, subtraímos 7 de ambas as partes — o sinal da inequação não muda): -3x < 1 - 7, então -3x < -6.
Passo 2. Dividimos ambas as partes por -3. O divisor é negativo, portanto, o sinal se inverte: x > 2.
Passo 3. Marcamos no eixo: ponto vazio em 2, preenchemos tudo para a direita.
Resposta. x > 2, ou seja, x ∈ (2; +∞).
Exemplo 3. Inequação quadrática
Tarefa. Resolver x² - 4x - 5 ≤ 0.
Passo 1. Encontramos as raízes do trinômio: D = 16 + 20 = 36, √D = 6, de onde x₁ = -1, x₂ = 5.
Passo 2. O coeficiente de x² é positivo, então os ramos da parábola são voltados para cima: entre as raízes, o trinômio é negativo, e fora das raízes — positivo.
Passo 3. Precisamos do sinal ≤ 0, ou seja, valores negativos e as próprias raízes (sinal não estrito) — pegamos o segmento entre as raízes, incluindo os extremos.
Resposta. x ∈ [-1; 5].
Exemplo 4. Inequação com módulo
Tarefa. Resolver |x + 1| > 4.
Passo 1. O módulo é maior que um número positivo — isso significa que a expressão sob o módulo é maior que 4 ou menor que -4. Obtemos uma disjunção: x + 1 > 4 ou x + 1 < -4.
Passo 2. Resolvemos cada uma: da primeira, x > 3; da segunda, x < -5.
Passo 3. Esta é uma disjunção, portanto, pegamos a união dos intervalos, não a interseção.
Resposta. x ∈ (−∞; −5) ∪ (3; +∞).
Exemplo 5. Sistema de inequações
Tarefa. Resolver o sistema \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Passo 1. Primeira inequação: 2x > -4, dividimos pelo positivo 2 — o sinal se mantém, x > -2.
Passo 2. Segunda inequação: x ≤ 4.
Passo 3. Marcamos ambas as respostas no mesmo eixo e pegamos a interseção — a parte sombreada duas vezes. A fronteira esquerda não é incluída (sinal estrito), a direita é incluída (não estrito).
Resposta. x ∈ (−2; 4].
Erros comuns na resolução de inequações
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Dividir por um número negativo e manter o sinal anterior.
Ao multiplicar ou dividir ambas as partes por um número negativo, o sinal obrigatoriamente se inverte para o oposto. De -5x ≥ 10, resulta x ≤ -2, e não x ≥ -2. Você pode verificar substituindo: x = -3 dá 15 ≥ 10 — verdadeiro, então a resposta correta é realmente "menor ou igual a".
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Escrever colchetes para o infinito: [−∞; 7].
O infinito não é um número, ele não pode ser "alcançado", portanto, o parêntese perto de ∞ é sempre reto: (−∞; 7]. O colchete é usado apenas para fronteiras finitas que entram na resposta.
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Confundir o tipo de parêntese e o tipo de ponto: usar colchetes para um sinal estrito.
Sinal estrito (<, >) — a fronteira não entra: ponto vazio e parêntese reto. Sinal não estrito (≤, ≥) — a fronteira entra: ponto preenchido e colchete. A verificação é simples: substitua o próprio ponto limite na inequação original e veja se o resultado é verdadeiro.
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Multiplicar ambas as partes por uma expressão com variável para "se livrar da fração".
O sinal dessa expressão é desconhecido, portanto, não está claro se o sinal da inequação deve ser invertido ou não — a transformação não é equivalente. Em vez disso, transfira tudo para uma parte, reduza a uma única fração e aplique o método dos intervalos.
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Registrar um único número como resposta: "x = 3" em vez de um conjunto.
A solução de uma inequação é um conjunto de valores. Registre-o como um intervalo: x > 3, ou seja, (3; +∞). Um único número pode ser apenas um elemento da resposta, mas não a resposta em si.
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Usar união para sistemas e interseção para disjunções.
Para um sistema (chave { , "e") — interseção, a parte comum dos intervalos. Para uma disjunção (chave [ , "ou") — união através do sinal ∪. E mais: a notação "-2 < x > 5" não faz sentido — tal resposta é apresentada como a união de dois intervalos.
Perguntas e respostas
O que significa resolver uma inequação?
Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores da variável para os quais ela se transforma em uma inequação numérica verdadeira e registrá-los como um conjunto. A resposta será um intervalo ou uma união de intervalos, e não um número separado.
Quais tipos de inequações existem?
Pelo tipo de expressão com a variável, distinguem-se lineares (ax + b > 0), quadráticas (ax² + bx + c > 0), fracionário-racionais (variável no denominador), com módulo, irracionais e exponenciais. Separam-se sistemas e disjunções de inequações. Pelos sinais de inequação, dividem-se em estritas (<, >) e não estritas (≤, ≥).
Quando o sinal da inequação se inverte?
Em dois casos: quando ambas as partes são multiplicadas ou divididas por um número negativo e quando os lados esquerdo e direito são trocados. Ao adicionar, subtrair e dividir por um número positivo, o sinal permanece o mesmo.
Quando o parêntese é reto e quando é colchete?
Parêntese reto — se o ponto limite não entra na resposta (sinal estrito, ponto vazio no eixo). Colchete — se entra (sinal não estrito, ponto preenchido). Perto de +∞ e -∞, o parêntese é sempre reto.
Em que a resolução de uma inequação difere da resolução de uma equação?
As transformações são quase as mesmas, mas para uma equação a resposta geralmente consiste em números separados, enquanto para uma inequação — em intervalos inteiros. Além disso, a inequação tem a regra de troca de sinal ao multiplicar e dividir por um número negativo, que não existe em equações.
Que inequação é considerada fracionária e onde ela é abordada?
Uma inequação é chamada fracionária (fracionário-racional) quando a variável está no denominador, por exemplo, P(x)/Q(x) ≥ 0; por causa do denominador, ela tem um domínio de valores admissíveis e não pode ser resolvida por divisão simples. Um algoritmo passo a passo com exemplos está em um material separado inequações racionais e o método dos intervalos.
Em que ano se estudam as resoluções de inequações?
Inequações lineares e intervalos numéricos são abordados no 8º ano (no currículo de Merzlyak — no 9º), inequações quadráticas e fracionário-racionais com o método dos intervalos — nos 8º-9º anos, e irracionais e exponenciais — no ensino médio.
