Uma desigualdade racional é uma desigualdade da forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são polinômios, e em vez do sinal \(>\) pode haver \(<\), \(\ge\) ou \(\le\). Tais desigualdades são resolvidas pelo método dos intervalos: tudo é movido para o lado esquerdo, fatorado, os zeros do numerador e os zeros do denominador são marcados no eixo numérico e os sinais são dispostos. Abaixo está a definição, o algoritmo completo, a regra dos pontos excluídos, a multiplicidade das raízes, exemplos resolvidos e um simulador com verificação.
O que é uma desigualdade racional
Uma desigualdade racional é uma desigualdade em que ambas as partes são expressas por expressões racionais, ou seja, polinômios e frações de polinômios. Após mover tudo para um lado, ela sempre se reduz à forma
onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são polinômios, e no lugar de \(\vee\) está um dos sinais \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). O zero à direita é obrigatório - esta é uma condição sem a qual o método dos intervalos não funciona.
As desigualdades racionais são divididas em dois tipos. Se a variável aparece apenas no numerador, a desigualdade é chamada de racional inteira: não há nada para dividir, e quaisquer valores de \(x\) são adequados. Se a variável está no denominador, a desigualdade é racional fracionária (também chamada de desigualdade fracionária ou desigualdade com fração) - e então surge imediatamente a restrição \(Q(x) \neq 0\).
Por que não se pode multiplicar ambos os lados pelo denominador
A tentação mais forte ao resolver uma desigualdade com fração é "livrar-se do denominador" multiplicando ambos os lados por ele. Com equações, isso é possível, com desigualdades - não. A razão é simples: ao multiplicar por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte-se, e o sinal da expressão \(Q(x)\) é desconhecido antecipadamente - depende de \(x\).
Vamos olhar para a desigualdade \(\frac{5}{x-3} < 1\). Multiplicamos ambos os lados por \(x - 3\), como se fosse um número positivo: obtemos \(5 < x - 3\), ou seja, \(x > 8\). Verificamos a resposta substituindo \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - a desigualdade é verdadeira, o que significa que zero também é uma solução, mas não entrou na resposta \(x > 8\). A resposta foi perdida.
O caminho correto é mover tudo para a esquerda e reduzir a uma única fração:
Na última etapa, multiplicamos ambos os lados por \(-1\) e invertemos o sinal - isso é legal, porque \(-1\) é sempre negativo. Em seguida, o método dos intervalos funciona, e a resposta é \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) - que inclui o zero perdido.
É mais fácil lembrar assim: não se pode multiplicar ambos os lados por uma expressão com variável, mas se pode mover termos sempre. Mover não altera o sinal da desigualdade.
Método dos intervalos: algoritmo de resolução passo a passo
O método dos intervalos baseia-se em uma propriedade: entre zeros consecutivos de uma expressão racional, seu sinal é constante. Portanto, basta encontrar todos os pontos onde o numerador ou o denominador se anula, dividi-los no eixo numérico e determinar o sinal em cada segmento - com um ponto de teste ou pela multiplicidade das raízes.
Pontos excluídos e pontos fechados: ODZ e sinal da desigualdade
Um erro em um fator pode transformar uma solução correta em uma resposta incorreta, por isso a regra sobre os pontos deve ser aprendida separadamente. Funcionam exatamente duas considerações.
A primeira é o domínio de validade. O zero do denominador é sempre excluído, com qualquer sinal de desigualdade. Nesse ponto, a fração simplesmente não existe: não se pode dividir por zero, portanto, o número não pode ser uma solução, mesmo que o sinal não seja estrito.
A segunda é o sinal estrito ou não estrito. Os zeros do numerador tornam a fração igual a zero. Com um sinal não estrito (\(\le\) ou \(\ge\)), a igualdade a zero nos convém, então o ponto é fechado e entra na resposta com um colchete. Com um sinal estrito (\(<\) ou \(>\)), o zero não é adequado, e o ponto é excluído.
Por exemplo, para a desigualdade \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), o ponto \(x = 6\) é fechado (zero do numerador, sinal não estrito), e o ponto \(x = -1\) é excluído (zero do denominador). Resposta: \(x \in (-1; 6]\).
| Que ponto | Como marcar |
|---|---|
| Zero do denominador, Q(x) = 0 | excluído sempre, com qualquer sinal - o ponto não está na ODZ |
| Zero do numerador, sinal estrito < ou > | excluído a fração é zero, mas um sinal estritamente diferente é necessário |
| Zero do numerador, sinal não estrito ≤ ou ≥ | fechado a igualdade a zero é aceitável, o ponto entra na resposta |
Multiplicidade das raízes: onde o sinal muda e onde não muda
Os sinais nos intervalos não são obrigados a simplesmente alternar - essa é a suposição mais comum no tópico. A alternância funciona apenas quando todos os fatores estão na primeira potência. A regra é mais precisa em termos de multiplicidade da raiz - o expoente do fator correspondente.
Ao passar por uma raiz de multiplicidade ímpar (expoente 1, 3, 5), o sinal da expressão muda. Ao passar por uma raiz de multiplicidade par (expoente 2, 4), o sinal não muda: o fator elevado a uma potência par é não negativo e não prejudica o sinal da expressão. A multiplicidade é contada igualmente para o numerador e o denominador.
Considere \((x-9)^2(x+3) > 0\). Raízes: \(x = 9\) com multiplicidade 2 e \(x = -3\) com multiplicidade 1. À direita de nove, a expressão é positiva. Passamos por 9 - a multiplicidade é par, o sinal é mantido, no intervalo \((-3; 9)\) também é mais. Passamos por -3 - a multiplicidade é ímpar, o sinal muda para menos. A resposta para a desigualdade estrita é: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), o ponto 9 é excluído porque a expressão é zero lá. Mas para a desigualdade não estrita \((x-9)^2(x+3) \ge 0\), a resposta é diferente: \(x \in [-3; +\infty)\) - nove é fechado e "cola" dois intervalos em um.
| Multiplicidade da raiz | Sinal na transição |
|---|---|
| Ímpar: (x − a), (x − a)3 | muda |
| Par: (x − a)2, (x − a)4 | não muda |
Eixo numérico em um exemplo: dispostos os sinais
Vamos juntar tudo na desigualdade \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Zeros do numerador: \(x = -7\). Zeros do denominador: \(x = 2\) e \(x = 5\), que também definem a ODZ. Todos os três fatores estão na primeira potência, portanto os sinais alternam. Ponto de teste \(x = 10\) no intervalo mais à direita dá \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) - começamos com um mais e vamos para a esquerda, mudando o sinal em cada ponto.
Exemplos de resolução de desigualdades racionais
Exemplo 1. Desigualdade fracionária simples
Resolver \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Passo 1. Já há um zero à direita, a fração já é única - não há nada para mover ou reduzir.
Passo 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), ou seja, \(x \neq -5\).
Passo 3. Zeros. O numerador é zero para \(x = 3\), o denominador - para \(x = -5\).
Passo 4. Pontos no eixo. \(x = 3\) é fechado (zero do numerador, sinal não estrito), \(x = -5\) é excluído (zero do denominador).
Passo 5. Sinais. Ponto de teste \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - mais à direita. Ambos os fatores estão na primeira potência, então os sinais alternam: em \((-5; 3)\) é menos, em \((-\infty; -5)\) é mais. Verificação: para \(x = -6\) obtemos \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) - coincide.
Passo 6. Resposta. Precisamos do sinal "mais ou zero": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Exemplo 2. Não há zero à direita - mover
Resolver \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Passo 1. Mover a unidade para a esquerda. Não se pode multiplicar por \(x - 4\), o sinal dessa expressão é desconhecido:
Passo 2. Reduzir a uma única fração.
Passo 3. ODZ. \(x \neq 4\).
Passo 4. Pontos. \(x = -5\) - zero do numerador, sinal não estrito, fechado. \(x = 4\) - zero do denominador, excluído.
Passo 5. Sinais. Para \(x = 5\), a fração é \(\frac{10}{1} > 0\). Então em \((4; +\infty)\) é mais, em \((-5; 4)\) é menos, em \((-\infty; -5)\) é mais.
Passo 6. Resposta. \(x \in [-5; 4)\). Verificação dos pontos limite: para \(x = -5\), a fração é zero - adequado para \(\le\); para \(x = 4\), a fração não existe - não adequado.
Exemplo 3. Raiz de multiplicidade par e ponto isolado
Resolver \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Passo 1. ODZ. \(x \neq 9\).
Passo 2. Zeros e multiplicidades. \(x = 2\) - multiplicidade 2 (par), \(x = -6\) - multiplicidade 1, \(x = 9\) - multiplicidade 1 no denominador.
Passo 3. Pontos. \(x = 2\) e \(x = -6\) são fechados (zeros do numerador com sinal não estrito), \(x = 9\) é excluído.
Passo 4. Sinais. Ponto de teste \(x = 10\): numerador positivo, denominador igual a 1 - mais. Vamos para a esquerda. Através de 9 (multiplicidade ímpar), o sinal muda: em \((2; 9)\) é menos. Através de 2 (multiplicidade par), o sinal não muda: em \((-6; 2)\) também é menos. Através de -6 (multiplicidade ímpar), o sinal muda: em \((-\infty; -6)\) é mais.
Passo 5. Resposta. Pegamos os intervalos com sinal "mais" mais todos os pontos onde a expressão é zero. O ponto \(x = 2\) está dentro do intervalo negativo, mas a expressão em si é zero lá, então ele entra na resposta separadamente:
Um ponto "solitário" assim na resposta é um sinal confiável de uma raiz de multiplicidade par com um sinal não estrito.
Exemplo 4. Simplificação de fração: armadilha da ODZ
Resolver \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Passo 1. Fatorar. O numerador é um quadrado perfeito: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Para o denominador, calculamos o discriminante: \(D = 81 + 40 = 121\), raízes \(x_1 = \frac{1}{5}\) e \(x_2 = -2\), portanto \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Passo 2. ODZ - antes de qualquer simplificação. \(5x - 1 \neq 0\) e \(x + 2 \neq 0\), ou seja, \(x \neq \frac{1}{5}\) e \(x \neq -2\).
Passo 3. Simplificar. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), mas apenas para \(x \neq \frac{1}{5}\) - a simplificação não retorna o ponto excluído.
Passo 4. Resolver \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Zeros: \(\frac{1}{5}\) e \(-2\). Para \(x = 1\), a fração é \(\frac{4}{3} > 0\). Então em \((\frac{1}{5}; +\infty)\) é mais, em \((-2; \frac{1}{5})\) é menos, em \((-\infty; -2)\) é mais.
Passo 5. Retornar a ODZ. O intervalo \((-2; \frac{1}{5}]\) seria adequado em termos de sinal, mas o ponto \(\frac{1}{5}\) é excluído: na desigualdade original, o denominador \(5x^2+9x-2\) para \(x = \frac{1}{5}\) se anula, a fração não existe lá.
Resposta: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - ambos os parênteses são redondos.
Exemplo 5. Trinômio quadrático no numerador
Resolver \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Passo 1. Fatorar o numerador. Pelo teorema de Vieta, a soma das raízes é 7, o produto é 10, então \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). A desigualdade assume a forma \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Passo 2. ODZ. \(x \neq -4\).
Passo 3. Pontos. Todos os três pontos são excluídos: \(-4\) - zero do denominador, \(2\) e \(5\) - zeros do numerador com sinal estrito.
Passo 4. Sinais. Ponto de teste \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Todos os fatores estão na primeira potência, então os sinais alternam: em \((5; +\infty)\) é mais, em \((2; 5)\) é menos, em \((-4; 2)\) é mais, em \((-\infty; -4)\) é menos.
Passo 5. Resposta. Precisamos de um menos estrito: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Controle por substituição: para \(x = -5\) obtemos \(\frac{70}{-1} < 0\), para \(x = 3\) obtemos \(\frac{-2}{7} < 0\) - ambos os intervalos são adequados.
Erros comuns na resolução de desigualdades racionais
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Multiplicam ambos os lados pelo denominador: de $\frac{3}{x-8} > 1$ fazem $3 > x - 8$ e escrevem $x < 11$.
O sinal da expressão \(x - 8\) é desconhecido antecipadamente, e ao multiplicar por um negativo, a desigualdade inverte-se. Verificação: \(x = 0\) dá \(\frac{3}{-8} < 1\) - zero não é uma solução, embora tenha entrado na resposta \(x < 11\). O correto é: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), ou seja, \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), de onde \(x \in (8; 11)\).
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Fecham o zero do denominador porque o sinal é não estrito: para $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ escrevem a resposta com um colchete em sete.
O zero do denominador é sempre excluído, com qualquer sinal: nesse ponto, a fração simplesmente não existe. Resposta correta: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - um é com colchete, sete é com parêntese redondo.
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Simplificam a fração e perdem a ODZ: de $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ obtêm $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ e incluem o ponto $x = -3$ na resposta.
A ODZ é escrita antes da simplificação, com base no denominador original: \(x \neq -3\) e \(x \neq 5\). A fração simplificada \(\frac{x+3}{x-5}\) é não positiva em \([-3; 5)\) - para \(x = 0\), ela é igual a \(-0{,}6\), o que é exigido para o sinal \(\le\). Mas o ponto \(-3\) é excluído pela ODZ, portanto a resposta é \((-3; 5)\), e não \([-3; 5)\).
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Consideram que os sinais nos intervalos sempre alternam, e para $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ colocam um menos à direita de um.
A alternância é válida apenas para fatores na primeira potência. A raiz \(x = 1\) tem multiplicidade 2, portanto o sinal não muda ao passar por ela. A expressão é positiva em todo o \((-4; +\infty)\), exceto no próprio um, onde é zero. Resposta: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
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Mudam o sinal da desigualdade ao mover um termo: de $\frac{x}{x-2} \le 3$ fazem $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Mover um termo de uma parte para outra não muda o sinal da desigualdade - apenas o sinal do próprio termo muda. O sinal inverte-se apenas ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo. Correto: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), em seguida \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), ou seja, \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
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Marcam no eixo apenas os zeros do numerador, e verificam o denominador "depois": para $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ colocam um ponto -11.
No eixo, marcam todos os zeros de uma vez - tanto do numerador quanto do denominador, caso contrário, os intervalos ficarão incorretos. Aqui \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), portanto há três pontos: \(-11\), \(-4\) e \(4\), e não um. Todos são excluídos (sinal estrito), resposta: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Perguntas e Respostas
O que é uma desigualdade racional?
É uma desigualdade em que ambas as partes são expressões racionais (polinômios e frações de polinômios). Após mover tudo para o lado esquerdo, ela se reduz à forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são polinômios, e em vez de \(>\) pode haver \(<\), \(\le\) ou \(\ge\).
Como resolver desigualdades racionais?
Pelo método dos intervalos em seis passos: mover tudo para a esquerda para que reste zero à direita; reduzir a uma única fração e fatorar o numerador e o denominador; escrever a ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); marcar no eixo numérico os zeros do numerador e do denominador; dispor os sinais nos intervalos com um ponto de teste e a multiplicidade das raízes; escrever na resposta os intervalos com o sinal desejado.
Qual a diferença entre uma desigualdade racional fracionária e uma racional inteira?
Em uma racional inteira, a variável está apenas no numerador, por exemplo \((x-1)(x+4) > 0\), e a ODZ são todos os números reais. Em uma racional fracionária, a variável está no denominador, por exemplo \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), e surge a restrição \(x \neq -4\). O algoritmo é o mesmo - apenas os pontos excluídos mudam.
Como resolver desigualdades com fração?
Da mesma forma que qualquer desigualdade racional: primeiro, mover tudo para o lado esquerdo e reduzir a uma única fração, em vez de se livrar do denominador. Por exemplo, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) se transforma em \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), ou seja, \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). O numerador é constante e negativo, então a fração é não negativa apenas quando o denominador é negativo: \(x + 2 < 0\). Resposta: \(x \in (-\infty; -2)\).
Por que não se pode multiplicar ambos os lados de uma desigualdade pelo denominador?
Porque o sinal do denominador depende de \(x\): ao multiplicar por uma expressão positiva, o sinal da desigualdade é mantido, e ao multiplicar por uma negativa - inverte-se. Não se sabe antecipadamente qual caso está diante de você, portanto, parte das soluções se perde e parte é adicionada indevidamente. Mover termos é sempre possível - mover não muda o sinal da desigualdade.
Como encontrar a ODZ em uma desigualdade?
Para uma desigualdade racional, a ODZ são todos os valores de \(x\) para os quais o denominador não se anula. Igualar o denominador a zero, resolver a equação e excluir os números encontrados. A ODZ deve ser escrita com base no denominador original, antes de simplificar a fração - caso contrário, os pontos excluídos serão perdidos.
Quais pontos são excluídos e quais são fechados?
Os zeros do denominador são sempre excluídos, com qualquer sinal de desigualdade. Os zeros do numerador são fechados com sinal não estrito (\(\le\) ou \(\ge\)) e excluídos com sinal estrito (\(<\) ou \(>\)). Na notação da resposta, um ponto excluído corresponde a um parêntese redondo, um ponto fechado - a um colchete.
O que é multiplicidade de raiz e para que serve no método dos intervalos?
Multiplicidade é o expoente ao qual o fator está elevado na fatoração. Ao passar por uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal da expressão muda, ao passar por uma raiz de multiplicidade par - permanece o mesmo. É por isso que os sinais nem sempre alternam simplesmente: para \((x-9)^2(x+3)\), o sinal permanece o mesmo no ponto 9.
Em que ano escolar são ensinadas as desigualdades racionais?
No 9º ano nas aulas de álgebra, após as desigualdades quadráticas e a fatoração de polinômios. O método dos intervalos é usado posteriormente para desigualdades exponenciais, logarítmicas e irracionais, bem como em tarefas do OGE e do ЕГЭ de perfil.
