စတုရန်းညီမျှခြင်းများ

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

သင်္ချာပညာရှင် မက်စကော့သည် စတုရန်းညီမျှခြင်း၊ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ဖော်မြူလာနှင့် အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာတို့ဖြင့် သင်ပုန်းရှေ့တွင်

စတုရန်းညီမျှခြင်းဆိုသည်မှာ $a \neq 0$ ဖြစ်သော $ax^2 + bx + c = 0$ ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်း၏အမြစ်အရေအတွက်ကို ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် $D = b^2 - 4ac$ က ဆုံးဖြတ်ပေးပြီး အမြစ်များကို $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ဖော်မြူလာဖြင့် ရှာဖွေသည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် စံပုံစံနှင့် ကိန်းဂဏန်းများ၊ မပြည့်စုံသောညီမျှခြင်းသုံးမျိုး၊ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်နှင့် အခြေအနေသုံးရပ်၊ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာ၊ ဗီယက်၏သီအိုရမ်၊ အချက်ခွဲထုတ်ခြင်းနှင့် စတုရန်းနှစ်ထပ်ညီမျှခြင်းများအကြောင်း အဆင့်ဆင့်ဥပမာများ၊ အဖြစ်များသော အမှားများနှင့် အပြန်အလှန်အကျိုးပြု လေ့ကျင့်ခန်းများဖြင့် စုစည်းထားသည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်းဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း

စတုရန်းညီမျှခြင်း ဆိုသည်မှာ

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းဖြစ်ပြီး $x$ သည် မသိကိန်း၊ $a, b, c$ တို့သည် ကိန်းသေများ (ကိန်းဂဏန်းများ) ဖြစ်ကာ $a \neq 0$ ဖြစ်သည်။ ဤရေးသားပုံကို စတုရန်းညီမျှခြင်း၏ စံပုံစံ ဟုခေါ်သည် - ဘယ်ဘက်တွင် အထပ်လိုက်အစဉ်အတိုင်းရှိပြီး ညာဘက်တွင် သုညရှိသည်။

$a \neq 0$ ဆိုသည့်အချက်မှာ အရေးကြီးသည်။ $ax^2$ အစိတ်အပိုင်းကသာ ညီမျှခြင်းကို စတုရန်းဖြစ်စေသည်။ $a = 0$ ဖြစ်သွားပါက $bx + c = 0$ ဟုသာ ကျန်ရှိပြီး ၎င်းမှာ ရိုးရိုးတစ်ထပ်ညီမျှခြင်းသာ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကန့်သတ်ချက်ပါသော ပုစ္ဆာများတွင် အကြီးဆုံးကိန်းဂဏန်းသည် သုညဖြစ်မဖြစ်ကို ဦးစွာစစ်ဆေးရသည်။

ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို စံပုံစံသို့ ပြောင်းရန်မှာ အလွန်လွယ်ကူသည်။ ကွင်းဖွင့်ခြင်း၊ အစိတ်အပိုင်းအားလုံးကို ဘယ်ဘက်သို့ရွှေ့ခြင်းနှင့် တူညီသောကိန်းများကို ပေါင်းခြင်းတို့ ပြုလုပ်ရမည်။ ဥပမာ - $5x^2 = 3x - 2$ သည် $5x^2 - 3x + 2 = 0$ ဖြစ်လာပြီး $a = 5, b = -3, c = 2$ ဖြစ်သည်။

ax² + bx + c = 0

အကြီးဆုံးကိန်းဂဏန်း - x² ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သည်။ a ≠ 0 ဖြစ်ရမည်။ a = 0 ဖြစ်ပါက ညီမျှခြင်းသည် တစ်ထပ်ညီမျှခြင်း ဖြစ်သွားသည်။

ဒုတိယကိန်းဂဏန်း - x ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သည်။ မည်သည့်ကိန်းမဆို ဖြစ်နိုင်သည်။

ကိန်းသေ - x မပါသော အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းလည်း သုညဖြစ်နိုင်သည်။

အမှတ်အသားများသည် ကိန်းဂဏန်းများထဲတွင် ပါဝင်သည် - x² − 4x − 5 = 0 တွင် a = 1, b = −4, c = −5 ဖြစ်သည်။ a = 1 ဖြစ်ပါက ညီမျှခြင်းကို ပုံမှန်စတုရန်းညီမျှခြင်း ဟုခေါ်ပြီး x² + px + q = 0 ဟု ရေးသည်။

ပြည့်စုံသောနှင့် မပြည့်စုံသော စတုရန်းညီမျှခြင်းများ

ကိန်းဂဏန်းသုံးခုလုံး သုညမဟုတ်ပါက ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံသော ဟုခေါ်သည်။ $b$ သို့မဟုတ် $c$ (သို့မဟုတ် နှစ်ခုလုံး) သုညဖြစ်ပါက မပြည့်စုံသော ဟုခေါ်သည်။ မပြည့်စုံသောပုံစံ သုံးမျိုးရှိပြီး တစ်မျိုးစီသည် ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် မလိုအပ်ဘဲ အလွန်မြန်ဆန်စွာ ဖြေရှင်းနိုင်သည်။

$ax^2 + bx = 0$ အတွက် အဓိကနည်းလမ်းမှာ အများဆုံးမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ထုတ်ယူခြင်းဖြစ်သည်။ $x(ax + b) = 0$ ဖြစ်၍ အမြစ်နှစ်ခုကို ချက်ချင်းရနိုင်သည်။ $ax^2 + c = 0$ အတွက်မူ $x^2$ ကို သီးခြားခွဲထုတ်ပြီး အမှတ်အသားကို ကြည့်ရမည် - စစ်မှန်သောကိန်း၏ စတုရန်းသည် အနှုတ်မဖြစ်နိုင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။

ညီမျှခြင်းပုံစံ	ဖြေရှင်းနည်း
ax² + c = 02x² − 50 = 0	c ကို ညာဘက်သို့ရွှေ့ပြီး a နှင့်စားပါ: x² = −c/a. အမြစ်ကိုရှာပါ၊ အမှတ်အသားကို မမေ့ပါနှင့်။x = 5 နှင့် x = −5
ax² + bx = 0x² + 7x = 0	x ကို ကွင်းပြင်ထုတ်ပါ: x(ax + b) = 0. မြှောက်လဒ် သုညဖြစ်လျှင် တစ်ခုခု သုညဖြစ်ရမည်။x = 0 နှင့် x = −7
ax² = 09x² = 0	a နှင့်စားပြီး သုည၏အမြစ်ကိုရှာပါ။ အမြစ်တစ်ခုတည်းသာရှိသည်။x = 0

ပထမတန်းတွင် အမြစ်မရှိနိုင်သည့် အခြေအနေလည်း ရှိသည် - −c/a သည် အနှုတ်ဖြစ်ပါက စတုရန်းသည် အနှုတ်မဖြစ်နိုင်ပါ။

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် - ရှာဖွေနည်းနှင့် အမြစ်အရေအတွက်

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် ဆိုသည်မှာ ပြည့်စုံသောညီမျှခြင်း၏ ကိန်းဂဏန်းများမှ တွက်ချက်ရသော ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်:

\[D = b^2 - 4ac.\]

၎င်း၏အဓိပ္ပာယ်မှာ "ခွဲခြားသူ" ဖြစ်သည်။ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်သည် ညီမျှခြင်းကို မဖြေရှင်းပေးသော်လည်း အခြေအနေသုံးရပ်ကို ခွဲခြားပေးသည် - အမြစ်နှစ်ခုရှိခြင်း၊ အမြစ်တစ်ခုရှိခြင်း သို့မဟုတ် အမြစ်မရှိခြင်း။ ထို့ကြောင့် အမြစ်မည်မျှရှိသနည်းဟူသော မေးခွန်းကို အမြစ်ကိုမရှာဘဲ ဖြေဆိုနိုင်သည်။

$D$ ကို တွက်ချက်ရာတွင် သတိထားရမည် - $b$ သည် အနှုတ်ဖြစ်စေကာမူ $b^2$ သည် အမြဲတမ်း အပေါင်း ဖြစ်သည်။ $a$ နှင့် $c$ တို့၏ အမှတ်အသားများသည် $4ac$ မြှောက်လဒ်တွင် ပါဝင်သည်။ ဥပမာ - $x^2 + 4x - 5 = 0$ တွင် $a = 1, b = 4, c = -5$ ဖြစ်၍ $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$ ဖြစ်သည်။ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်သည် အပေါင်းဖြစ်၍ အမြစ်နှစ်ခုရှိသည်။

D = b² − 4ac

D > 0

မတူညီသော အမြစ်နှစ်ခု

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

D = 0

အမြစ်တစ်ခု

x = −b / 2a

D < 0

စစ်မှန်သော အမြစ်မရှိ

အနှုတ်ကိန်းမှ အမြစ်ကို ရှာ၍မရပါ။

စတုရန်းညီမျှခြင်း၏ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာ

D ≥ 0 ဖြစ်သောအခါ အမြစ်များကို အဓိကဖော်မြူလာဖြင့် ရှာသည်:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

$\pm$ အမှတ်အသားသည် တွက်ချက်မှုနှစ်ခုကို ဆိုလိုသည် - တစ်ခုမှာ ပေါင်းခြင်း၊ တစ်ခုမှာ နှုတ်ခြင်းဖြစ်သည်။ D = 0 ဖြစ်လျှင် တွက်ချက်မှုနှစ်ခုလုံးသည် $x = -\dfrac{b}{2a}$ ဟူသော တူညီသောကိန်းကို ရရှိပြီး ၎င်းကို နှစ်ထပ်အမြစ်ဟု ခေါ်သည်။

အဖြစ်များသော အမှားနှစ်ခုမှာ - အပေါ်ပိုင်းတွင် $b$ ၏ အနှုတ် ကို ထားရမည် (ဥပမာ $b = -7$ ဖြစ်လျှင် $+7$ ဖြစ်သွားမည်)၊ အောက်ပိုင်းတွင် $2$ မဟုတ်ဘဲ $2a$ ဖြစ်ရမည်။ $a = 1$ ဖြစ်လျှင် ကွာခြားချက်မရှိသော်လည်း $a$ သည် $1$ မဟုတ်ပါက အမှားများတတ်သည်။

$2x^2 - 9x - 5 = 0$ ကို ဖြေရှင်းကြည့်ပါ - $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$, $\sqrt{D} = 11$, ထို့ကြောင့် $x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5$ နှင့် $x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5$ ဖြစ်သည်။

စံပုံစံသို့ ပြောင်းပါ

ကွင်းဖွင့်ပါ၊ အားလုံးကို ဘယ်ဘက်သို့ရွှေ့ပါ၊ တူညီသောကိန်းများကို ပေါင်းပါ: ax² + bx + c = 0

a, b, c တို့ကို အမှတ်အသားနှင့်တကွ ရေးပါ

ကိန်းတစ်ခုရှေ့ရှိ အနှုတ်သည် ကိန်းဂဏန်း၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သည်

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ကို တွက်ပါ

D = b² − 4ac — b ၏ စတုရန်းသည် အမြဲတမ်း အပေါင်းဖြစ်သည်

D ကို သုညနှင့်နှိုင်းယှဉ်ပြီး အမြစ်ရှာပါ

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a; D = 0 ဖြစ်လျှင် အမြစ်တစ်ခု၊ D < 0 ဖြစ်လျှင် အမြစ်မရှိ

အစားထိုးပြီး စစ်ဆေးပါ

အမြစ်တစ်ခုစီကို မူလညီမျှခြင်းတွင် အစားထိုးပါ - 0 = 0 ဖြစ်ရမည်

စုံကိန်းဖြစ်သော ဒုတိယကိန်းဂဏန်း - D₁ ဖော်မြူလာ

$b$ သည် စုံကိန်းဖြစ်ပါက $b = 2k$ ဟုရေးပြီး "လျှော့ချထားသော" ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ကို တွက်ချက်ရန် အဆင်ပြေသည်:

\[D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.\]

တွက်ချက်မှုများသည် လေးဆ ပိုသေးငယ်သွားသည် ($D = 4D_1$)၊ $D_1$ ၏ အမှတ်အသားသည် $D$ နှင့် တူညီသောကြောင့် အမြစ်အရေအတွက် ဆုံးဖြတ်ချက်မှာ မပြောင်းလဲပါ။

ဥပမာ - $3x^2 + 8x - 3 = 0$။ ဤတွင် $b = 8$ ဖြစ်၍ $k = 4$ ဖြစ်သည်။ $D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25$, $\sqrt{D_1} = 5$ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}$ နှင့် $x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3$ ဖြစ်သည်။ ရိုးရိုးဖော်မြူလာဖြင့်ဆိုလျှင် $D = 100$ ကို အသုံးပြုရမည်ဖြစ်ပြီး ရလဒ်မှာ တူညီသော်လည်း တွက်ချက်မှု ပိုများသည်။

ပုံမှန်စတုရန်းညီမျှခြင်းနှင့် ဗီယက်၏သီအိုရမ်

$a = 1$ ဖြစ်သော ညီမျှခြင်းကို ပုံမှန်စတုရန်းညီမျှခြင်း ဟုခေါ်ပြီး $x^2 + px + q = 0$ ဟု ရေးသည်။ မည်သည့်စတုရန်းညီမျှခြင်းကိုမဆို $a$ နှင့်စားခြင်းဖြင့် ဤပုံစံသို့ ပြောင်းနိုင်သည်။ ဥပမာ - $4x^2 - 12x + 8 = 0$ သည် $4$ နှင့်စားပြီးနောက် $x^2 - 3x + 2 = 0$ ဖြစ်လာသည်။

ပုံမှန်ပုံစံသည် ဗီယက်၏သီအိုရမ် အတွက် အဖိုးတန်သည်။ အမြစ်များ၏ ပေါင်းလဒ်သည် $-p$ ဖြစ်ပြီး မြှောက်လဒ်သည် $q$ ဖြစ်သည်။ $x^2 - 7x + 10 = 0$ အတွက် ပေါင်းလဒ် 7 နှင့် မြှောက်လဒ် 10 ရှိသော ကိန်းနှစ်ခုမှာ 2 နှင့် 5 ဖြစ်သည်။ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် တွက်စရာမလိုပါ။

ဗီယက်၏သီအိုရမ်သည် အမြစ်များမှာ ကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး သေးငယ်သောအခါ အလွန်အသုံးဝင်သည်။ ထို့အပြင် ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ဖြင့် ရှာထားသော အဖြေကိုလည်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။

စတုရန်းသုံးထပ်ကိန်းကို အချက်ခွဲထုတ်ခြင်း

အမြစ် $x_1$ နှင့် $x_2$ ကို ရှာပြီးပါက စတုရန်းသုံးထပ်ကိန်းကို အချက်ခွဲထုတ်နိုင်သည်:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).\]

$a$ မြှောက်ဖော်ကိန်းကို မမေ့ပါနှင့်။ စစ်ဆေးရန်မှာ ကွင်းဖွင့်ပြီး မူလသုံးထပ်ကိန်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ရုံသာဖြစ်သည်။ ဥပမာ - $x^2 + 2x - 8$ ၏ အမြစ်များမှာ 2 နှင့် $-4$ ဖြစ်၍ $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$ ဖြစ်သည်။

အပြန်အလှန်လည်း လုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ အကယ်၍ သုံးထပ်ကိန်းကို အလွယ်တကူ အချက်ခွဲနိုင်ပါက အမြစ်များကို ချက်ချင်းမြင်နိုင်ပြီး ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် မလိုအပ်ပါ။ ဤနေရာတွင် အတိုကောက်မြှောက်ခြင်း ဖော်မြူလာများ က အထောက်အကူပြုသည်။ ဥပမာ - $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ သည် အမြစ် 4 နှင့် $-4$ ကို ချက်ချင်းပေးသည်။

အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာကို မသုံးဘဲ ဖြေရှင်းနိုင်သော တတိယနည်းလမ်းမှာ စတုရန်းအပြည့်ဖြစ်အောင် ပြောင်းခြင်း ဖြစ်သည်။ $x^2 + 6x + 5 = 0$ တွင် ပထမအစိတ်အပိုင်းနှစ်ခုကို ပေါင်းလဒ်၏စတုရန်းအဖြစ် ပြောင်းသည် - $(x + 3)^2 - 9 + 5 = 0$, ဆိုလိုသည်မှာ $(x + 3)^2 = 4$, ထို့ကြောင့် $x + 3 = \pm 2$ ဖြစ်ပြီး $x = -1$ သို့မဟုတ် $x = -5$ ဖြစ်သည်။ ဤနည်းလမ်းဖြင့်ပင် အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာကို ထုတ်ယူထားခြင်းဖြစ်သည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်းသို့ ပြောင်းနိုင်သော ညီမျှခြင်းများ - စတုရန်းနှစ်ထပ် ညီမျှခြင်း

စတုရန်းနှစ်ထပ် ညီမျှခြင်း သည် $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ပုံစံရှိပြီး အထပ်များမှာ စုံကိန်းများသာဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $t = x^2$ ဟု အစားထိုး၍ ဖြေရှင်းသည်။ $t \ge 0$ ဖြစ်ရမည် - စစ်မှန်သောကိန်း၏ စတုရန်းသည် အနှုတ်မဖြစ်နိုင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။

အစားထိုးပြီးနောက် $at^2 + bt + c = 0$ ဟူသော ရိုးရိုးစတုရန်းညီမျှခြင်း ဖြစ်လာသည်။ ၎င်းကို ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ဖြင့် ဖြေရှင်းပြီးနောက် အနှုတ်မဟုတ်သော $t$ တန်ဖိုးတစ်ခုစီအတွက် $x = \pm\sqrt{t}$ သို့ ပြန်သွားရမည်။ ထို့ကြောင့် အမြစ်အရေအတွက်မှာ လေးခုအထိ ရှိနိုင်သည်။

ဥပမာ - $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ သည် အစားထိုးပြီးနောက် $t^2 - 5t + 4 = 0$ ဖြစ်လာပြီး $t = 1$ နှင့် $t = 4$ ကို ရသည်။ နှစ်ခုလုံးသည် အပေါင်းဖြစ်၍ $x = \pm 1$ နှင့် $x = \pm 2$ ဟူ၍ အမြစ်လေးခု ရသည်။ အကယ်၍ $t$ တစ်ခုခုသည် အနှုတ်ဖြစ်ပါက ၎င်းကို ပယ်လိုက်ရမည်။

ဤနည်းလမ်းဖြင့်ပင် အပိုင်းကိန်းပါသော ညီမျှခြင်းများကိုလည်း ဖြေရှင်းနိုင်သည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်း ဖြေရှင်းနည်း ဥပမာများ

ဥပမာ 1. ပြည့်စုံသောညီမျှခြင်း၊ D > 0

ဖြေရှင်းရန် $3x^2 - 7x + 2 = 0$။

အဆင့် 1. ညီမျှခြင်းသည် စံပုံစံအတိုင်းဖြစ်သည် - $a = 3, b = -7, c = 2$။

အဆင့် 2. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ - အမြစ်နှစ်ခုရှိသည်။

အဆင့် 3. $\sqrt{D} = 5$, ထို့ကြောင့် $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$: $x_1 = \dfrac{12}{6} = 2$, $x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$။

အဆင့် 4. အစားထိုးစစ်ဆေးခြင်း။ $3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$; $3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0$။

အဖြေ: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{3}$။

ဥပမာ 2. ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် သုညဖြစ်ခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $4x^2 - 12x + 9 = 0$။

အဆင့် 1. $a = 4, b = -12, c = 9$။

အဆင့် 2. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ - အမြစ်တစ်ခုရှိသည်။

အဆင့် 3. $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$။

အဆင့် 4. စစ်ဆေးခြင်း။ $4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$။

အဖြေ: $x = 1{,}5$။ သတိပြုပါ - ဘယ်ဘက်ခြမ်းသည် $(2x - 3)^2$ ဟူသော ပြည့်စုံသောစတုရန်းဖြစ်၍ အမြစ်တစ်ခုသာ ရရှိခြင်းဖြစ်သည်။

ဥပမာ 3. ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် အနှုတ်ဖြစ်ခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $2x^2 + 3x + 5 = 0$။

အဆင့် 1. $a = 2, b = 3, c = 5$။

အဆင့် 2. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$။

အဆင့် 3. ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်သည် အနှုတ်ဖြစ်၍ စစ်မှန်သောကိန်းများထဲတွင် $\sqrt{D}$ ကို ရှာ၍မရပါ။ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာကို သုံးစရာမလိုပါ - ဖြေရှင်းချက်မှာ ဤနေရာတွင် ပြီးဆုံးသည်။

အဖြေ: စစ်မှန်သော အမြစ်မရှိပါ။ ဤသည်မှာ အမှားမဟုတ်ဘဲ တကယ့်အဖြေဖြစ်သည်။ $y = 2x^2 + 3x + 5$ လုပ်ဆောင်ချက်၏ ဂရပ်သည် $x$ ဝင်ရိုးကို မဖြတ်သန်းပါ။

ဥပမာ 4. ax² + c = 0 ပုံစံ မပြည့်စုံသောညီမျှခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $3x^2 - 27 = 0$။

အဆင့် 1. ကိန်းသေကို ရွှေ့ပါ - $3x^2 = 27$။

အဆင့် 2. 3 နှင့်စားပါ - $x^2 = 9$။

အဆင့် 3. စတုရန်းသည် 9 ဖြစ်သော ကိန်းနှစ်ခုရှိသည် - $x = 3$ နှင့် $x = -3$။ ဒုတိယအမှတ်အသားကို မကြာခဏ မေ့တတ်ကြသည်။

အဆင့် 4. စစ်ဆေးခြင်း။ $3 \cdot 3^2 - 27 = 0$; $3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0$။

အဖြေ: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$။ $2x^2 + 8 = 0$ နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါ - ထိုနေရာတွင် $x^2 = -4$ ဖြစ်၍ စစ်မှန်သော အမြစ်မရှိပါ။

ဥပမာ 5. ax² + bx = 0 ပုံစံ မပြည့်စုံသောညီမျှခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $5x^2 - 15x = 0$။

အဆင့် 1. အများဆုံးမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ထုတ်ပါ - $5x(x - 3) = 0$။

အဆင့် 2. မြှောက်လဒ် သုညဖြစ်လျှင် တစ်ခုခု သုညဖြစ်ရမည် - $5x = 0$ သို့မဟုတ် $x - 3 = 0$။

အဆင့် 3. ထို့ကြောင့် $x_1 = 0$, $x_2 = 3$။

အဆင့် 4. စစ်ဆေးခြင်း။ $5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0$; $5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0$။

အဖြေ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$။ မူလညီမျှခြင်းကို x နှင့် စားလိုက်ပါက $x = 3$ သာ ကျန်ရှိပြီး $x = 0$ အမြစ် ပျောက်သွားမည်ဖြစ်သည်။ မသိကိန်းပါသော အစိတ်အပိုင်းနှင့် စား၍မရပါ။

ဥပမာ 6. စုံကိန်းဖြစ်သော ဒုတိယကိန်းဂဏန်း

ဖြေရှင်းရန် $5x^2 - 22x + 8 = 0$။

အဆင့် 1. $b = -22$ သည် စုံကိန်းဖြစ်၍ $k = -11$, $a = 5, c = 8$ ဖြစ်သည်။

အဆင့် 2. $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81$, $\sqrt{D_1} = 9$။

အဆင့် 3. $x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}$: $x_1 = 4$, $x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$။

အဆင့် 4. စစ်ဆေးခြင်း။ $5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0$; $5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0$။

အဖြေ: $x_1 = 4$, $x_2 = 0{,}4$။ ရိုးရိုးဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ဖြင့်ဆိုလျှင် $D = 324$ ရမည်ဖြစ်ပြီး အဖြေတူသော်လည်း တွက်ချက်မှု ပိုကြာမည်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ 7. စံပုံစံသို့ ဦးစွာပြောင်းခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $(x - 3)(x + 5) = 9$။

အဆင့် 1. ကွင်းဖွင့်ပါ - $x^2 + 5x - 3x - 15 = 9$, ဆိုလိုသည်မှာ $x^2 + 2x - 15 = 9$။

အဆင့် 2. 9 ကို ဘယ်ဘက်သို့ရွှေ့ပါ - $x^2 + 2x - 24 = 0$။ ယခုမှသာ ကိန်းဂဏန်းများကို ရေးပါ - $a = 1, b = 2, c = -24$။

အဆင့် 3. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{D} = 10$, $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$။

အဆင့် 4. မူလညီမျှခြင်းတွင် စစ်ဆေးခြင်း။ $(4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9$; $(-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9$။

အဖြေ: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$။ အဖြစ်များသော အမှားမှာ ကွင်းတစ်ခုစီကို 9 နှင့် ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။ "မြှောက်လဒ် သုညဖြစ်ခြင်း" နည်းလမ်းသည် သုညအတွက်သာ အလုပ်လုပ်သည်။

ဥပမာ 8. သုံးထပ်ကိန်းကို အချက်ခွဲထုတ်ခြင်း

အချက်ခွဲထုတ်ရန် $2x^2 - 5x - 3$။

အဆင့် 1. သုံးထပ်ကိန်းကို သုညနှင့်ညီမျှပြီး အမြစ်ရှာပါ - $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{D} = 7$, $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\tfrac{1}{2}$။

အဆင့် 2. $a(x - x_1)(x - x_2)$ ဖော်မြူလာတွင် အစားထိုးပါ - $2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)$။

အဆင့် 3. 2 ကို ဒုတိယကွင်းထဲသို့ ထည့်ပါ - $(x - 3)(2x + 1)$။

အဆင့် 4. ကွင်းဖွင့်ပြီး စစ်ဆေးခြင်း။ $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$။

အဖြေ: $2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)$။

ဥပမာ 9. စတုရန်းနှစ်ထပ် ညီမျှခြင်း

ဖြေရှင်းရန် $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$။

အဆင့် 1. $t = x^2$ ဟု အစားထိုးပါ ($t \ge 0$)။ ညီမျှခြင်းသည် $t^2 - 13t + 36 = 0$ ဖြစ်လာသည်။

အဆင့် 2. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$, $\sqrt{D} = 5$, $t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}$: $t_1 = 9$, $t_2 = 4$။

အဆင့် 3. နှစ်ခုလုံးသည် အနှုတ်မဟုတ်၍ $x$ သို့ ပြန်သွားပါ - $x^2 = 9$ မှ $x = \pm 3$, $x^2 = 4$ မှ $x = \pm 2$။

အဆင့် 4. စစ်ဆေးခြင်း။ $3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0$; $2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0$။ အနှုတ်ကိန်းများအတွက် စုံကိန်းအထပ်များသည် တူညီသောကိန်းကို ပေးသည်။

အဖြေ: $x = \pm 2$ နှင့် $x = \pm 3$ - အမြစ်လေးခု။

စတုရန်းညီမျှခြင်း ဖြေရှင်းရာတွင် အဖြစ်များသော အမှားများ

စံပုံစံသို့ မပြောင်းဘဲ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ကို တွက်ခြင်း - $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ အတွက် $a = 2, b = 3, c = 0$ ဟု ယူခြင်း။

အားလုံးကို ဘယ်ဘက်သို့ရွှေ့ပြီး တူညီသောကိန်းများကို ပေါင်းပါ - $2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0$, ဆိုလိုသည်မှာ $x^2 + 3x - 5 = 0$။ ထိုမှသာ $a = 1, b = 3, c = -5$ ဖြစ်သည်။ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာသည် စံပုံစံအတွက်သာ အလုပ်လုပ်သည်။
$b$ ကို စတုရန်းတင်ရာတွင် အမှတ်အသား ပျောက်သွားခြင်း - $x^2 - 9x + 14 = 0$ အတွက် $D = -81 - 56$ ဟု ရေးခြင်း။

မည်သည့်ကိန်း၏ စတုရန်းမဆို အနှုတ်မဟုတ်ပါ - $(-9)^2 = 81$ ဖြစ်သည်။ မှန်ကန်သော $D = 81 - 56 = 25$, အမြစ်များ $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$, ဆိုလိုသည်မှာ 7 နှင့် 2 ဖြစ်သည်။ စစ်ဆေးခြင်း - $49 - 63 + 14 = 0$ နှင့် $4 - 18 + 14 = 0$။
အပေါ်ပိုင်းတွင် $-b$ အစား $b$ ကို ထားခြင်း - $x^2 + 5x - 6 = 0$ အတွက် $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ ဟု တွက်ခြင်း။

ဖော်မြူလာတွင် $-b$ ရှိ၍ $b = 5$ ဖြစ်ပါက အပေါ်ပိုင်းတွင် $-5$ ဖြစ်ရမည် - $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$, ထို့ကြောင့် $x_1 = 1, x_2 = -6$။ စစ်ဆေးခြင်း - $1 + 5 - 6 = 0$ နှင့် $36 - 30 - 6 = 0$။
$D = 0$ ဖြစ်သောအခါ "အမြစ်မရှိ" ဟု ရေးခြင်း - $x^2 + 14x + 49 = 0$ တွင် ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် သုညဖြစ်၍ ဖြေရှင်းချက်ကို ရပ်လိုက်ခြင်း။

အမြစ်မရှိခြင်းမှာ $D < 0$ ဖြစ်မှသာ ဖြစ်သည်။ $D = 0$ ဖြစ်ပါက အမြစ်တစ်ခုရှိသည် - $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7$။ စစ်ဆေးခြင်း - $49 - 98 + 49 = 0$။
$4x^2 - 9x = 0$ ညီမျှခြင်းကို x နှင့် စားပြီး $x = 2{,}25$ ဟူသော အမြစ်တစ်ခုတည်းကိုသာ ရခြင်း။

မသိကိန်းပါသော အစိတ်အပိုင်းနှင့် စား၍မရပါ - x သည် သုညဖြစ်နိုင်ပြီး $x = 0$ အမြစ် ပျောက်သွားမည်ဖြစ်သည်။ မှန်ကန်သောနည်းမှာ မြှောက်ဖော်ကိန်းကို ထုတ်ခြင်း - $x(4x - 9) = 0$, ထို့ကြောင့် $x_1 = 0$ နှင့် $x_2 = 2{,}25$။ စစ်ဆေးခြင်း - $4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0$။
$x^2 = 16$ ညီမျှခြင်းတွင် $x = 4$ ဟုသာ ရေးခြင်း။

စတုရန်းသည် 16 ဖြစ်သော ကိန်းတွင် $-4$ လည်း ပါဝင်သည်။ အမြစ်နှစ်ခုလုံးကို ရေးရမည် - $x = \pm 4$။ စံပုံစံ $x^2 - 16 = 0$ သို့မဟုတ် $(x - 4)(x + 4) = 0$ ဖြင့် ဖြေရှင်းခြင်းက ပို၍စိတ်ချရသည်။
ကန့်သတ်ချက်ပါသော ညီမျှခြင်းတွင် $a \neq 0$ အခြေအနေကို မစစ်ဆေးခြင်း - $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ တွင် ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ကို ချက်ချင်းတွက်ခြင်း။

$m = 2$ ဖြစ်ပါက အကြီးဆုံးကိန်းဂဏန်း သုညဖြစ်သွားပြီး ညီမျှခြင်းသည် $3x - 1 = 0$ ဟူသော တစ်ထပ်ညီမျှခြင်း ဖြစ်သွားသည်။ $m = 2$ အခြေအနေကို သီးခြားခွဲထုတ်ရမည်။

မေးခွန်းများနှင့် အဖြေများ

စတုရန်းညီမျှခြင်းဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း။

၎င်းသည် $ax^2 + bx + c = 0$ ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းဖြစ်ပြီး $a, b, c$ တို့သည် ကိန်းဂဏန်းများဖြစ်ကာ $a \neq 0$ ဖြစ်သည်။ မသိကိန်းသည် ဒုတိယအထပ်တွင် ပါဝင်၍ အမြစ်နှစ်ခု၊ တစ်ခု သို့မဟုတ် မရှိနိုင်ပါ။

စတုရန်းညီမျှခြင်း၏ စံပုံစံသည် မည်သို့ရှိသနည်း။

စံပုံစံ (အထွေထွေပုံစံ) - $ax^2 + bx + c = 0$ - အစိတ်အပိုင်းအားလုံးကို ဘယ်ဘက်တွင် အထပ်လိုက်အစဉ်အတိုင်း ထားပြီး ညာဘက်တွင် သုညရှိသည်။ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် မတွက်မီ မည်သည့်စတုရန်းညီမျှခြင်းကိုမဆို ဤပုံစံသို့ ပြောင်းရမည်။

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း။

$D = b^2 - 4ac$ ဖော်မြူလာဖြင့် ကိန်းဂဏန်းများကို အမှတ်အသားနှင့်တကွ အစားထိုးပါ။ ဥပမာ - $x^2 + 3x - 10 = 0$ အတွက် $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ ဖြစ်ပြီး အမြစ်များမှာ $\dfrac{-3 \pm 7}{2}$, ဆိုလိုသည်မှာ 2 နှင့် $-5$ ဖြစ်သည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်း၏ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာမှာ အဘယ်နည်း။

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ သို့မဟုတ် အတိုကောက် $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $D \ge 0$ ဖြစ်မှသာ သုံးနိုင်သည်။ အောက်ပိုင်းတွင် 2 မဟုတ်ဘဲ $2a$ ဖြစ်ရမည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်းတွင် အမြစ်မည်မျှ ရှိနိုင်သနည်း။

နှစ်ခုထက် မပိုပါ။ $D > 0$ ဖြစ်လျှင် အမြစ်နှစ်ခု၊ $D = 0$ ဖြစ်လျှင် တစ်ခု (နှစ်ထပ်အမြစ်)၊ $D < 0$ ဖြစ်လျှင် စစ်မှန်သော အမြစ်မရှိပါ။

မပြည့်စုံသော စတုရန်းညီမျှခြင်းဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း။

၎င်းသည် $b = 0, c = 0$ သို့မဟုတ် နှစ်ခုလုံး သုညဖြစ်သော ညီမျှခြင်းဖြစ်သည် - $ax^2 + c = 0, ax^2 + bx = 0, ax^2 = 0$။ သုံးမျိုးလုံးကို ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် မသုံးဘဲ ဖြေရှင်းနိုင်သည်။

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် မသုံးဘဲ စတုရန်းညီမျှခြင်းကို မည်သို့ဖြေရှင်းမည်နည်း။

နည်းလမ်းသုံးခုရှိသည် - ဗီယက်၏သီအိုရမ်ဖြင့် အမြစ်ရှာခြင်း၊ အချက်ခွဲထုတ်ခြင်းနှင့် စတုရန်းအပြည့်ဖြစ်အောင် ပြောင်းခြင်း။ အမြစ်များမှာ သေးငယ်သော ကိန်းပြည့်များဖြစ်ပါက ဗီယက်၏သီအိုရမ်ဖြင့် ရှာခြင်းက အမြန်ဆုံးဖြစ်သည်။

ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် အနှုတ်ဖြစ်နေပါက မည်သို့လုပ်ရမည်နည်း။

စစ်မှန်သော အမြစ်မရှိကြောင်း ရေးသားပြီး ဖြေရှင်းချက်ကို ရပ်လိုက်ပါ။ ဒစ်စ်ခရီမီးနန့် အနှုတ်ဖြစ်ခြင်းသည် ပုံမှန်အဖြေတစ်ခုဖြစ်သည်။ ထိုသို့ဖြစ်ပါက ဂရပ်သည် $x$ ဝင်ရိုးကို မဖြတ်သန်းပါ။

ရှာထားသော အမြစ်များကို မည်သို့စစ်ဆေးမည်နည်း။

အမြစ်တစ်ခုစီကို မူလညီမျှခြင်းတွင် အစားထိုးပါ - မှန်ကန်သောညီမျှမှု ဖြစ်ရမည်။ ပုံမှန်ညီမျှခြင်းအတွက် ဗီယက်၏သီအိုရမ်ဖြင့်လည်း မြန်ဆန်စွာ စစ်ဆေးနိုင်သည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်းနှင့် စတုရန်းနှစ်ထပ်ညီမျှခြင်းသည် တစ်ခုတည်းလော။

ဟုတ်ကဲ့၊ ၎င်းတို့သည် $ax^2 + bx + c = 0$ ဟူသော အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်း၏ အမည်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $y = ax^2 + bx + c$ ဟူသော စတုရန်းလုပ်ဆောင်ချက်နှင့် မရောထွေးပါနှင့်။ ညီမျှခြင်း၏ အမြစ်များသည် ဂရပ်က $x$ ဝင်ရိုးကို ဖြတ်သည့်နေရာများဖြစ်သည်။

စတုရန်းညီမျှခြင်းကို မည်သည့်အတန်းတွင် သင်ယူရသနည်း။

အဋ္ဌမတန်း သင်္ချာတွင် - ဦးစွာ မပြည့်စုံသောညီမျှခြင်းများ၊ ထို့နောက် ဒစ်စ်ခရီမီးနန့်၊ အမြစ်ရှာနည်းဖော်မြူလာနှင့် ဗီယက်၏သီအိုရမ်။ နောက်ပိုင်းတွင် စတုရန်းလုပ်ဆောင်ချက်၊ မညီမျှခြင်းများနှင့် စာမေးပွဲပုစ္ဆာများတွင် တွေ့ရမည်။

မေးခွန်းများ ကျန်သေးပါသလား? ချတ်တွင် ဆက်လက်မေးမြန်းပါ

ကျွန်ုပ်၏ ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းပေးပါ ကျွန်ုပ်၏ ဖြေရှင်းချက်ကို စစ်ဆေးပေးပါ အမြစ်မည်မျှရှိသနည်း အချက်ခွဲထုတ်ပေးပါ မပြည့်စုံသောညီမျှခြင်းများကို ရှင်းပြပေးပါ လေ့ကျင့်ရန် ပုစ္ဆာများ ပေးပါ

User #4365351

ဓာတ်ပုံပေါ်တွင် စာသားထည့်သည့် တည်းဖြတ်သူကို တကယ်သဘောကျတယ် — ရလဒ်က တကယ့်လက်ရာမြောက်တဲ့ အနုပညာတစ်ခုလိုပဲ။

Web · May 2026

User #4383661

ကျေးဇူးတင်ပါတယ်၊ ဒီနျူရယ်လ်ကွန်ရက်ရဲ့ အလုပ်လုပ်ပုံက ကျွန်တော့်ကို တကယ်အထင်ကြီးစေတယ်။ ပြီးပြည့်စုံတယ်!

User #4279467

ကျွန်တော် တကယ်သဘောကျတယ် — အခမဲ့ စမ်းသုံးခွင့် နောက်ထပ်နည်းနည်းလောက် ပိုရရင် ပိုကောင်းမယ်။

Google Play · May 2026

User #4160129

စျေးနှုန်းသက်သာပြီး အံ့သြစရာကောင်းတဲ့ အက်ပ်တစ်ခုပါ။