ကိန်း \(a\) ၏ စတုရန်းကိန်းရင်းဆိုသည်မှာ စတုရန်းတင်လိုက်လျှင် \(a\) ရသောကိန်းဖြစ်ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်းဟုခေါ်ဆိုရာတွင် ၎င်း၏ အနှုတ်မဟုတ်သော တန်ဖိုးကိုသာ ရည်ညွှန်းသည်- \(\sqrt{25} = 5\)။ အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများမှသာ ကိန်းရင်းထုတ်ယူနိုင်သော်လည်း ကိန်းရင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိများက ရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၊ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နယ်ပယ်၊ ဖော်မြူလာများပါဝင်သည့် စတုရန်းကိန်းရင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအားလုံး၊ ၁ မှ ၂၀ အထိ စတုရန်းကိန်းရင်းဇယား၊ ကိန်းရင်းထုတ်နည်းနှင့် ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းထုတ်နည်း၊ ဖြေရှင်းချက်ပါ နမူနာများ၊ အဖြစ်များသော အမှားများနှင့် အပြန်အလှန်အကျိုးပြု လေ့ကျင့်ခန်းများ ပါဝင်သည်။
ကိန်းတစ်ခု၏ စတုရန်းကိန်းရင်းဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း
ကိန်း \(a\) ၏ စတုရန်းကိန်းရင်း ဆိုသည်မှာ စတုရန်းတင်လိုက်လျှင် \(a\) ရသောကိန်းဖြစ်သည်။ ကိန်းရင်းထုတ်ခြင်းနှင့် စတုရန်းတင်ခြင်းတို့သည် ပြောင်းပြန်လုပ်ဆောင်ချက်များဖြစ်သည်- \(7^2 = 49\) မှ ၄၉ ၏ စတုရန်းကိန်းရင်းသည် ၇ ဖြစ်ကြောင်း ချက်ချင်းသိနိုင်သည်။
သို့သော် အပေါင်းကိန်းတစ်ခုတွင် စတုရန်းကိန်းရင်း နှစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းတို့သည် သင်္ကေတသာ ကွာခြားသည်- \(5^2 = 25\) နှင့် \((-5)^2 = 25\) ဖြစ်သောကြောင့် ၂၅ ၏ စတုရန်းကိန်းရင်းများမှာ ၅ နှင့် -၅ ဖြစ်သည်။ \(\sqrt{25}\) ဟူသော အရေးအသားသည် ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုသာ ကိုယ်စားပြုစေရန်အတွက် \(\sqrt{\phantom{a}}\) သင်္ကေတကို အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းအတွက်သာ သုံးရန် သဘောတူထားသည်။ ၎င်းကို ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းဟု ခေါ်သည်။
ဤအရေးအသားတွင် အမည်များရှိသည်- \(\sqrt{\phantom{a}}\) သင်္ကေတသည် radical (ကိန်းရင်းသင်္ကေတ) ဖြစ်ပြီး ၎င်းအောက်ရှိ ကိန်း သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက်သည် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်း ဖြစ်သည်။
ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်း- အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နယ်ပယ်
အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်း \(a\) ၏ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်း ဆိုသည်မှာ စတုရန်းတင်လိုက်လျှင် \(a\) ရသော အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို \(\sqrt{a}\) ဟု ရေးသားပြီး "a ၏ ကိန်းရင်း" ဟု ဖတ်သည်။
အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် အရေးကြီးသော အချက်နှစ်ချက် ပါဝင်သည်-
- ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းသည် အနှုတ်မဟုတ်ရမည်: \(a \ge 0\)၊
- ကိန်းရင်း၏ တန်ဖိုးသည် အနှုတ်မဟုတ်ရမည်: \(\sqrt{a} \ge 0\)။
ထို့ကြောင့် \(\sqrt{25} = 5\) ဖြစ်ပြီး -5 မဟုတ်ပါ၊ \(\sqrt{0} = 0\) ဖြစ်သည်၊ \(\sqrt{-9}\) ဟူသော အရေးအသားသည် စစ်မှန်သောကိန်းများတွင် အဓိပ္ပာယ်မရှိပါ (စတုရန်းတင်လျှင် အနှုတ်ရသော ကိန်းမရှိပါ)။
ပထမအချက်သည် ကိန်းရင်းပါသော ဖော်ပြချက်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နယ်ပယ် ကို သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် \(\sqrt{x-7}\) သည် \(x - 7 \ge 0\) ဖြစ်မှသာ အဓိပ္ပာယ်ရှိမည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ \(x \ge 7\) ဖြစ်ရမည်။ \(x\) တန်ဖိုး ၇ ထက်နည်းပါက ကိန်းရင်းအောက်တွင် အနှုတ်ကိန်း ဖြစ်သွားမည်။
အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှ \(a \ge 0\) ဖြစ်လျှင် \((\sqrt{a})^2 = a\) ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ ကိန်းရင်းကို စတုရန်းတင်ခြင်းသည် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကို ပြန်ရစေသည်။ ၎င်းသည် ကိန်းရင်းတန်ဖိုးကို တိတိကျကျ မသိနိုင်သည့်အခါတွင်လည်း အလုပ်ဖြစ်သည်- \((\sqrt{31})^2 = 31\)။
စတုရန်းကိန်းရင်းဇယား- ၁ မှ ၂၀ အထိ ကိန်းများ၏ စတုရန်းကိန်းများ
ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းသည် စတုရန်းကိန်းအစစ် ဖြစ်မှသာ ကိန်းရင်းကို တိတိကျကျ ထုတ်ယူနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စတုရန်းကိန်းဇယားသည် စတုရန်းကိန်းရင်းဇယားအဖြစ်လည်း အလုပ်ဖြစ်သည်- ၎င်းကို နှစ်ဖက်စလုံးမှ ဖတ်နိုင်သည်- \(14^2 = 196\) ဆိုလျှင် \(\sqrt{196} = 14\) ဖြစ်သည်။
ဇယားသည် ကိန်းပြည့်များအတွက်သာမက အခြားကိန်းများအတွက်လည်း အသုံးဝင်သည်-
- ဒသမကိန်းများ: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)၊ အကြောင်းမှာ \(0{,}8^2 = 0{,}64\) ဖြစ်သောကြောင့်၊
- အပိုင်းကိန်းများ: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — ကိန်းရင်းကို အပိုင်းကိန်း၏ အပေါ်ကိန်းနှင့် အောက်ကိန်းတို့အတွက် သီးခြားစီ ထုတ်ယူသည်၊
- သုညများပါသော ကိန်းများ: \(\sqrt{2500} = 50\)၊ အကြောင်းမှာ \(2500 = 25 \cdot 100\) ဖြစ်ပြီး ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းတစ်ခုစီ၏ ကိန်းရင်းကို သိရှိထားသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
စတုရန်းကိန်းရင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိများ
စတုရန်းကိန်းရင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိများသည် ကိန်းရင်းတစ်ခုချင်းစီကို ထုတ်ယူစရာမလိုဘဲ ဖော်ပြချက်များကို တွက်ချက်ရန်နှင့် အဖြေကို ရိုးရှင်းစေရန် ကူညီပေးသည်။
ကိန်းမြှောက်ခြင်း၏ ကိန်းရင်း သည် ကိန်းရင်းများ၏ မြှောက်လဒ်နှင့် ညီသည်: \(a \ge 0\) နှင့် \(b \ge 0\) ဖြစ်လျှင် \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) ဖြစ်သည်။ ဥပမာ- \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\)၊ ၎င်းသည် \(\sqrt{144}\) နှင့် အဖြေတူသည်။
စားခြင်း၏ ကိန်းရင်း သည် ကိန်းရင်းများ၏ စားလဒ်နှင့် ညီသည်: \(a \ge 0\) နှင့် \(b > 0\) ဖြစ်လျှင် \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) ဖြစ်သည်။ ဥပမာ- \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\)။ \(b > 0\) ဟူသော အခြေအနေသည် တင်းကျပ်သည်- သုညဖြင့် စား၍မရပါ။
စတုရန်းကိန်း၏ ကိန်းရင်း သည် absolute value (အပေါင်းတန်ဖိုး) နှင့် ညီသည်: \(\sqrt{a^2} = |a|\)၊ ၎င်းသည် \(a\) ကိန်းတိုင်းအတွက် မှန်ကန်သည်။ ဤသည်မှာ အရေးကြီးဆုံးအချက်ဖြစ်သည်။ \(a \ge 0\) ဖြစ်လျှင် ဘာမှမပြောင်းလဲပါ- \(\sqrt{7^2} = 7\)။ သို့သော် \(a\) သည် အနှုတ်ကိန်းဖြစ်လျှင် သင်္ကေတသည် "ဖြောင့်မတ်" သွားသည်- \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)၊ -6 မဟုတ်ပါ — အကြောင်းမှာ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းသည် အနှုတ်မဖြစ်နိုင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။
ကိန်းရင်း၏ စတုရန်း သည် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကို ပြန်ရစေသည်: \(a \ge 0\) ဖြစ်လျှင် \((\sqrt{a})^2 = a\) ဖြစ်သည်။
သို့သော် ပေါင်းခြင်းနှင့် နှုတ်ခြင်းအတွက်မူ ထိုကဲ့သို့သော ဂုဏ်သတ္တိများ မရှိပါ: ပေါင်းခြင်း၏ ကိန်းရင်းသည် ကိန်းရင်းများ၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် မညီပါ။ ၎င်းသည် ဤခေါင်းစဉ်တွင် အဖြစ်အများဆုံး အမှားဖြစ်ပြီး အောက်တွင် ရှင်းပြထားသည်။
| ဂုဏ်သတ္တိနှင့် အခြေအနေ | နမူနာ |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √ba ≥ 0 နှင့် b ≥ 0 ဖြစ်လျှင် | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √ba ≥ 0 နှင့် b > 0 ဖြစ်လျှင် | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|a မည်သည့်ကိန်းဖြစ်စေ | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aa ≥ 0 ဖြစ်လျှင် | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bb ≥ 0 ဖြစ်လျှင် | √(25 · 3) = 5√3 |
စတုရန်းကိန်းရင်းကို မည်သို့ထုတ်ယူရမည်နည်း
ဂဏန်းတွက်စက် အမြဲမရှိနိုင်သော်လည်း ကျောင်းစာများသည် ကိန်းရင်းထုတ်နိုင်စေရန် ရွေးချယ်ထားလေ့ရှိသည်။ အဆင့်များမှာ-
- စတုရန်းကိန်းဇယားတွင် စစ်ဆေးပါ။ ကိန်းသည် ဇယားတွင်ရှိပါက အဖြေရပြီးဖြစ်သည်- \(\sqrt{289} = 17\)။
- သုညများပါသော ကိန်းများကို ခွဲထုတ်ပါ။ သုညများပါသော ကိန်းများအတွက် \(100, 10,000\) စသည်တို့ကို ခွဲထုတ်ရန် အဆင်ပြေသည်- \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)။
- ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများအဖြစ် ခွဲထုတ်ပါ။ ၎င်းသည် အသုံးဝင်သောနည်းလမ်းဖြစ်သည်- \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)၊ အညွှန်းကိန်းများကို နှစ်ဖြင့်စားပြီး \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\) ကို ရရှိသည်။
- ဒသမကိန်းကို အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ပြောင်းပါ။ \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)။ ၎င်းသည် တန်ဖိုးမှားယွင်းခြင်းမှလည်း ကာကွယ်ပေးသည်။
- တိကျသော စတုရန်းကိန်းမရှိပါက — ကိန်းရင်းသည် အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ကျန်ရှိမည် (ဥပမာ- \(\sqrt{30}\)) သို့မဟုတ် အနီးစပ်ဆုံးတန်ဖိုးကို ရှာရမည်။
စစ်ဆေးရန်မှာ လွယ်ကူသည်- ရရှိသောကိန်းကို စတုရန်းတင်ပြီး ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းပြန်ရမရ စစ်ဆေးပါ။ \(24^2 = 576\) — မှန်ကန်သည်။
ကိန်းရင်းသင်္ကေတအောက်မှ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းထုတ်ခြင်း
ကိန်းရင်းကို အမြဲတမ်း ရိုးရှင်းအောင် ထားလေ့ရှိသည် — ထုတ်ယူနိုင်သမျှကို အပြင်သို့ ထုတ်သည်။ \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) (b ≥ 0 ဖြစ်လျှင်) ဂုဏ်သတ္တိကို သုံးသည်- ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်း၏ အကြီးဆုံး စတုရန်းကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်း ကို ရှာသည်။
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)၊
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)၊
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)။
ပြောင်းပြန်လုပ်ဆောင်ချက်မှာ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ခြင်း ဖြစ်သည်- \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) (a ≥ 0 ဖြစ်လျှင်)။ ဥပမာ- \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)။
အနှုတ်ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းနှင့်ဆိုလျှင် သတိထားရမည်- အနှုတ်သင်္ကေတသည် ကိန်းရင်းအောက်သို့ မဝင်ဘဲ အပြင်တွင် ကျန်ရစ်သည်။ မှန်ကန်သော အရေးအသားမှာ \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\) ဖြစ်ပြီး \(\sqrt{12}\) မဟုတ်ပါ။
အဘယ်ကြောင့် လိုအပ်သနည်း- ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းထုတ်ပြီးနောက် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းတူသော ကိန်းရင်းများသည် တူညီသော အစိတ်အပိုင်းများ ဖြစ်လာပြီး ပေါင်းနိုင်လာသည်။ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ခြင်းသည် ကိန်းရင်းပါသော ဖော်ပြချက်နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်ရန် အမြန်ဆုံးနည်းလမ်းဖြစ်သည်။
မထုတ်ယူနိုင်သော စတုရန်းကိန်းရင်း၏ တန်ဖိုးသည် အဘယ်နည်း
ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းသည် စတုရန်းကိန်းအစစ် မဟုတ်ပါက ကိန်းရင်းသည် irrational number (အဆုံးမရှိသော ဒသမကိန်း) ဖြစ်သည်- ၎င်း၏ ဒသမကိန်းသည် အဆုံးမရှိဘဲ ထပ်တလဲလဲလည်း မဖြစ်ပါ။ ဥပမာ- \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\)၊ တိကျသောတန်ဖိုးကို \(\sqrt{2}\) သင်္ကေတဖြင့်သာ ရေးသားသည်။ အနီးစပ်ဆုံးတန်ဖိုးကို မေးခွန်းတွင် တောင်းဆိုမှသာ ရေးသားသည်။
ထိုကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းကို ဂဏန်းတွက်စက်မပါဘဲ ခန့်မှန်းနိုင်သည်- ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းသည် မည်သည့် စတုရန်းကိန်းနှစ်ခုကြားတွင် ရှိသည်ကို ရှာပါ။ နှိုင်းယှဉ်ခြင်းစည်းမျဉ်းမှာ- \(a \ge 0\) နှင့် \(b \ge 0\) ဖြစ်လျှင် \(a < b\) မှ \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) ကို ရရှိသည် — ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကြီးလျှင် ကိန်းရင်းလည်း ကြီးသည်။
စတုရန်းကိန်းရင်းများဖြင့် တွက်ချက်ခြင်း နမူနာများ
နမူနာ ၁။ ကိန်းရင်းပါသော ဖော်ပြချက်၏ တန်ဖိုး
တွက်ချက်ပါ \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\)။
အဆင့် ၁။ \(\sqrt{121} = 11\)၊ အကြောင်းမှာ \(11^2 = 121\) ဖြစ်သောကြောင့်။
အဆင့် ၂။ \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)၊ အကြောင်းမှာ \(0{,}6^2 = 0{,}36\) ဖြစ်သောကြောင့်။
အဆင့် ၃။ အပိုင်းကိန်း၏ ကိန်းရင်းကို အပေါ်ကိန်းနှင့် အောက်ကိန်းအတွက် သီးခြားစီ ထုတ်ယူသည်- \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)။
အဆင့် ၄။ ပေါင်းနှုတ်ပါ- \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)။
အဖြေ- 11။
နမူနာ ၂။ ကိန်းမြှောက်ခြင်း၏ ကိန်းရင်း
တွက်ချက်ပါ \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\)။
အဆင့် ၁။ ဤကိန်းရင်းများကို သီးခြားစီ မထုတ်ယူနိုင်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းအဖြစ် ပေါင်းလိုက်သည်- \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\)။
အဆင့် ၂။ ကိန်းရင်းအောက်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို တွက်ပါ- \(8 \cdot 18 = 144\)။
အဆင့် ၃။ \(\sqrt{144} = 12\)။
အခြားနည်းလမ်း — ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ကြိုတင်ထုတ်ယူပါ- \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) နှင့် \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)၊ ထို့ကြောင့် \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\)။ အဖြေတူသည်။
အဖြေ- 12။
နမူနာ ၃။ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများအဖြစ် ခွဲထုတ်၍ ကိန်းရင်းထုတ်ခြင်း
တွက်ချက်ပါ \(\sqrt{576}\) နှင့် \(\sqrt{6400}\)။
အဆင့် ၁။ 576 သည် စတုရန်းကိန်းဇယားတွင် မရှိသောကြောင့် ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများအဖြစ် ခွဲထုတ်ပါ- \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)။
အဆင့် ၂။ အညွှန်းကိန်းများကို နှစ်ဖြင့်စားပါ- \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\)။
အဆင့် ၃။ စစ်ဆေးချက်။ \(24^2 = 576\) — မှန်ကန်သည်။
အဆင့် ၄။ 6400 အတွက် သုညများပါသော ကိန်းကို ခွဲထုတ်ရန် ပိုလွယ်သည်- \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)။ စစ်ဆေးချက်- \(80^2 = 6400\)။
အဖြေ- \(\sqrt{576} = 24\)၊ \(\sqrt{6400} = 80\)။
နမူနာ ၄။ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းထုတ်ခြင်းနှင့် တူညီသော အစိတ်အပိုင်းများကို ပေါင်းခြင်း
ရိုးရှင်းအောင်လုပ်ပါ \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\)။
အဆင့် ၁။ ကိန်းရင်းတစ်ခုစီမှ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ထုတ်ပါ- \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)၊ ထို့ကြောင့် \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\)။
အဆင့် ၂။ \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)။
အဆင့် ၃။ \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)။
အဆင့် ၄။ ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းတူသော ကိန်းရင်းများကိုသာ ပေါင်းနိုင်သည်- \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)၊ \(\sqrt{3}\) ပါသော အစိတ်အပိုင်းသည် သီးခြားကျန်ရစ်သည်။
အဖြေ- \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\)။
နမူနာ ၅။ ကိန်းရှင်ပါသော စတုရန်းကိန်း၏ ကိန်းရင်း
ရိုးရှင်းအောင်လုပ်ပါ \(x < 4\) ဖြစ်လျှင် \(\sqrt{(x-4)^2}\)။
အဆင့် ၁။ စတုရန်း၏ ကိန်းရင်း ဂုဏ်သတ္တိအရ \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — \(x - 4\) ဟု မရေးဘဲ absolute value (အပေါင်းတန်ဖိုး) သင်္ကေတဖြင့် ရေးသည်။
အဆင့် ၂။ အခြေအနေအရ absolute value ကို ဖြုတ်ပါ။ \(x < 4\) ဖြစ်လျှင် \(x - 4\) သည် အနှုတ်ကိန်းဖြစ်ပြီး အနှုတ်ကိန်း၏ absolute value သည် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းဖြစ်သည်- \(|x-4| = 4 - x\)။
အဆင့် ၃။ စစ်ဆေးချက်။ \(x = 1\) ကို ထည့်ကြည့်ပါ- ဘယ်ဘက်တွင် \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\)၊ ညာဘက်တွင် \(4 - 1 = 3\) — တူညီသည်။
အဖြေ- \(4 - x\)။ နှိုင်းယှဉ်ကြည့်လျှင် \(x \ge 4\) ဖြစ်လျှင် အဖြေမှာ \(x - 4\) ဖြစ်လိမ့်မည်။
နမူနာ ၆။ ကိန်းရင်းပါသော ဖော်ပြချက်များကို နှိုင်းယှဉ်ခြင်း
နှိုင်းယှဉ်ပါ \(3\sqrt{5}\) နှင့် \(5\sqrt{2}\)။
အဆင့် ၁။ ကိန်းနှစ်ခုစလုံးသည် အပေါင်းကိန်းများဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ပါ- \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)။
အဆင့် ၂။ \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)။
အဆင့် ၃။ ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းများကို နှိုင်းယှဉ်ပါ- \(45 < 50\)၊ ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကြီးလျှင် ကိန်းရင်းလည်း ကြီးသည်။
အဖြေ- \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)။
စတုရန်းကိန်းရင်းနှင့် လုပ်ဆောင်ရာတွင် အဖြစ်များသော အမှားများ
-
$\sqrt{a^2} = a$ ဟု ရေးသားခြင်း (absolute value ကို မေ့လျော့ခြင်း)။
မှန်ကန်သော ညီမျှခြင်းမှာ \(\sqrt{a^2} = |a|\) ဖြစ်သည်။ အနှုတ်ကိန်းအတွက်ဆိုလျှင် ဤအချက်သည် အရေးကြီးသည်- \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\)၊ -13 မဟုတ်ပါ။ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းသည် အနှုတ်မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ သင်္ကေတသည် "ဖြောင့်မတ်" သွားသည်။
-
ပေါင်းခြင်း၏ ကိန်းရင်းသည် ကိန်းရင်းများ၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီသည်ဟု ယူဆခြင်း- $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$။
ထိုကဲ့သို့သော ဂုဏ်သတ္တိမရှိပါ။ ပထမဦးစွာ ကိန်းရင်းအောက်ရှိ လုပ်ဆောင်ချက်ကို တွက်ပါ- \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)၊ 7 မဟုတ်ပါ။ ဂုဏ်သတ္တိများသည် ကိန်းမြှောက်ခြင်းနှင့် စားခြင်းအတွက်သာ ရှိသည်- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) နှင့် \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\)။
-
$\sqrt{49} = \pm 7$ ဟု ဖြေဆိုခြင်း။
\(\sqrt{49} = 7\) — ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းသည် အမြဲတမ်းတစ်ခုတည်းဖြစ်ပြီး အနှုတ်မဟုတ်ပါ။ တန်ဖိုးနှစ်ခုသည် အခြားမေးခွန်းတစ်ခုတွင်သာ ပေါ်လာသည်- \(x^2 = 49\) ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းရင်းများမှာ \(x = 7\) နှင့် \(x = -7\) ဖြစ်သည်။ ကိန်းရင်းအရေးအသားကို ညီမျှခြင်း၏ အဖြေနှင့် ရောထွေး၍မရပါ။
-
$\sqrt{-16} = -4$ ဟု ရေးသားခြင်း (အနှုတ်နှင့် အနှုတ်မြှောက်ခြင်းဟု တွေးခြင်း)။
ကိန်းရင်းအောက်တွင် အနှုတ်ကိန်း မရှိနိုင်ပါ- \((-4)^2 = 16\)၊ -16 မဟုတ်ပါ၊ ထို့ကြောင့် \(\sqrt{-16}\) သည် စစ်မှန်သောကိန်းများတွင် မရှိပါ။ သို့သော် \(-\sqrt{16} = -4\) ဟူသော ဖော်ပြချက်မှာ မှန်ကန်သည် — အနှုတ်သင်္ကေတသည် ကိန်းရင်းအောက်တွင် မဟုတ်ဘဲ အပြင်တွင် ရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
-
အနှုတ်ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ခြင်း- $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$။
\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) စည်းမျဉ်းသည် \(a \ge 0\) ဖြစ်မှသာ အလုပ်ဖြစ်သည်။ အနှုတ်သင်္ကေတသည် အပြင်တွင် ကျန်ရစ်သည်- \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)။ သင်္ကေတဖြင့် စစ်ဆေးပါ- \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\)၊ \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — ၎င်းတို့သည် ပြောင်းပြန်ကိန်းများဖြစ်သည်။
-
ဒသမကိန်း၏ တန်ဖိုးမှားယွင်းခြင်း- $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$။
ပြောင်းပြန် စတုရန်းတင်၍ စစ်ဆေးပါ- \(0{,}02^2 = 0{,}0004\)၊ မမှန်ပါ။ မှန်ကန်သည်မှာ \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) ဖြစ်သည်၊ အကြောင်းမှာ \(0{,}2^2 = 0{,}04\) ဖြစ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ယုံကြည်စိတ်ချရသောနည်းလမ်းမှာ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည်- \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)။
-
ကိန်းရင်းသည် ကိန်းကိုယ်တိုင်ထက် အမြဲငယ်သည်ဟု ယုံကြည်ခြင်း။
၎င်းသည် 1 ထက်ကြီးသော ကိန်းများအတွက်သာ မှန်သည်။ 0 နှင့် 1 ကြားတွင်မူ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်- \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\)၊ 0,5 သည် 0,25 ထက် ကြီးသည်။ 0 နှင့် 1 အတွက်မူ ကိန်းရင်းသည် ကိန်းကိုယ်တိုင်နှင့် တူညီသည်။
မေးခွန်းများနှင့် အဖြေများ
ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်းဆိုသည်မှာ ရိုးရှင်းသောစကားဖြင့် အဘယ်နည်း။
၎င်းသည် စတုရန်းတင်လိုက်လျှင် ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကို ရရှိစေသော အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းဖြစ်သည်။ \(\sqrt{a}\) ဟု ရေးသားပြီး ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းသည် အနှုတ်မဟုတ်ရမည်- \(a \ge 0\)။ ဥပမာ- \(\sqrt{64} = 8\)၊ အကြောင်းမှာ \(8 \ge 0\) နှင့် \(8^2 = 64\) ဖြစ်သောကြောင့်။
စတုရန်းကိန်းရင်းနှင့် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်းတို့ မည်သို့ကွာခြားသနည်း။
အပေါင်းကိန်းတစ်ခုတွင် စတုရန်းကိန်းရင်း နှစ်ခုရှိပြီး သင်္ကေတ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းဟုခေါ်ဆိုရာတွင် အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းကိုသာ ရည်ညွှန်းပြီး \(\sqrt{\phantom{a}}\) သင်္ကေတဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့ကြောင့် \(\sqrt{25} = 5\) ဖြစ်သည်၊ \(x^2 = 25\) ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းရင်းနှစ်ခု (5 နှင့် -5) ရှိသော်လည်းဖြစ်သည်။
ဂဏန်းတွက်စက်မပါဘဲ ကိန်းတစ်ခု၏ စတုရန်းကိန်းရင်းကို မည်သို့ထုတ်ယူရမည်နည်း။
ပထမဦးစွာ စတုရန်းကိန်းဇယားတွင် စစ်ဆေးပါ။ မရှိပါက ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများအဖြစ် ခွဲထုတ်ပြီး စတုရန်းကိန်းအစစ်များကို ရှာပါ- \(784 = 16 \cdot 49\)၊ ထို့ကြောင့် \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\)။ အဖြေကို အမြဲတမ်း ပြောင်းပြန်လုပ်ဆောင်ချက်ဖြင့် စစ်ဆေးပါ- \(28^2 = 784\)။
အနှုတ်ကိန်းတစ်ခုမှ စတုရန်းကိန်းရင်းကို ထုတ်ယူနိုင်သနည်း။
စစ်မှန်သောကိန်းများတွင် မထုတ်ယူနိုင်ပါ- ကိန်းတိုင်း၏ စတုရန်းသည် အနှုတ်မဟုတ်သောကြောင့် \(\sqrt{-9}\) ဖော်ပြချက်သည် အဓိပ္ပာယ်မရှိပါ။ ဤအခြေအနေမှသာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နယ်ပယ်ကို ရှာဖွေသည်- ဥပမာ- \(\sqrt{x-7}\) သည် \(x \ge 7\) ဖြစ်မှသာ ရှိသည်။
ကိန်းတစ်ခု၏ စတုရန်းကိန်းရင်းသည် မည်မျှနှင့် ညီသနည်း။
ထိုကိန်း၏ absolute value (အပေါင်းတန်ဖိုး) နှင့် ညီသည်- \(\sqrt{a^2} = |a|\)။ \(a\) သည် အနှုတ်မဟုတ်ပါက ကိန်းကိုယ်တိုင်ရမည်၊ အနှုတ်ဖြစ်ပါက ပြောင်းပြန်ကိန်းရမည်- \(\sqrt{(-6)^2} = 6\)။
ကိန်းရင်းသင်္ကေတအောက်မှ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို မည်သို့ထုတ်ယူရမည်နည်း။
ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်း၏ အကြီးဆုံး စတုရန်းကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ရှာပြီး \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) ဂုဏ်သတ္တိကို သုံးပါ။ ဥပမာ- \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)။ ပြောင်းပြန်လုပ်ဆောင်ချက်မှာ ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ခြင်းဖြစ်သည်- \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)။
2 ၏ စတုရန်းကိန်းရင်းသည် မည်မျှနှင့် ညီသနည်း။
\(\sqrt{2}\) သည် irrational number ဖြစ်သည်- ၎င်း၏ ဒသမကိန်းသည် အဆုံးမရှိဘဲ ထပ်တလဲလဲလည်း မဖြစ်ပါ၊ \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\)။ တိကျသော အပိုင်းကိန်းတန်ဖိုး မရှိသောကြောင့် အဖြေများတွင် \(\sqrt{2}\) သင်္ကေတဖြင့်သာ ထားရှိပြီး မေးခွန်းတွင် တောင်းဆိုမှသာ အနီးစပ်ဆုံးတန်ဖိုးကို ရေးသားသည်။
ကိန်းရင်းပါသော ကိန်းနှစ်ခုကို မတွက်ချက်ဘဲ မည်သို့နှိုင်းယှဉ်ရမည်နည်း။
ကိန်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ကိန်းရင်းအောက်သို့ ထည့်ပြီး ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းများကို နှိုင်းယှဉ်ပါ- ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ကိန်းကြီးလျှင် ကိန်းရင်းလည်း ကြီးသည်။ ဥပမာ- \(\sqrt{17}\) နှင့် 4: \(4 = \sqrt{16}\) ဖြစ်ပြီး \(17 > 16\) ဖြစ်သောကြောင့် \(\sqrt{17} > 4\) ဖြစ်သည်။
စတုရန်းကိန်းရင်းများကို မည်သည့်အတန်းတွင် သင်ယူရသနည်း။
အဋ္ဌမတန်း အက္ခရာသင်္ချာတွင်- ပထမဦးစွာ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ စတုရန်းကိန်းရင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ၊ ထို့နောက် ကိန်းရင်းပါသော ဖော်ပြချက်များကို ပြောင်းလဲခြင်းနှင့် \(x^2 = a\) ပုံစံ ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းခြင်း။ နောက်ပိုင်းတွင် Discriminant ဖော်မြူလာနှင့် OGE/EGE စာမေးပွဲများတွင် တွေ့ရမည်။
