အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု ဆိုသည်မှာ နောက်တစ်လုံးစီသည် ယခင်အလုံးထက် တူညီသောကိန်းသေ \(d\) (တိုးတက်မှု၏ ကွာခြားချက်) ပိုများနေသော ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်ကိုမဆို \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ဖော်မြူလာဖြင့် ရှာနိုင်ပြီး ပထမ \(n\) ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ပေါင်းလဒ်ကို \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) ဖော်မြူလာဖြင့် ရှာနိုင်သည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်၊ ကွာခြားချက်၊ ပေါင်းလဒ်ဖော်မြူလာနှစ်ခု၊ ထူးခြားသောဂုဏ်သတ္တိ၊ ကိန်းတစ်ခုသည် တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်းရှိမရှိ စစ်ဆေးခြင်း၊ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုနှင့် ကွာခြားချက်များ၊ OGE စာမေးပွဲပုံစံ မေးခွန်းများနှင့် ကိုယ်တိုင်စစ်ဆေးနိုင်သော လေ့ကျင့်ခန်းများကို ဖော်ပြထားသည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု ဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု ဆိုသည်မှာ နောက်တစ်လုံးစီကို ယခင်အလုံးပေါ်တွင် တူညီသောကိန်းတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ရရှိသော ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းကို တိုးတက်မှု၏ ကွာခြားချက် ဟုခေါ်ပြီး \(d\) ဟူသော အက္ခရာဖြင့် ဖော်ပြသည်။
ဖော်မြူလာတစ်ခုဖြင့် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် - \(a_1, a_2, a_3, \dots\) ကိန်းစဉ်တန်းကို မည်သည့် \(n\) အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ညီမျှပါက အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုဟု ခေါ်သည်
ဥပမာ 3, 7, 11, 15, 19, … ကိန်းစဉ်တန်းကို ကြည့်ပါ။ ပထမအဖွဲ့ဝင်မှာ \(a_1 = 3\) ဖြစ်ပြီး ကွာခြားချက်မှာ \(d = 4\) ဖြစ်သည် - နောက်ကိန်းတိုင်းသည် ယခင်ကိန်းထက် 4 ပိုများသည်။ ထို့ကြောင့် နောက်တစ်လုံးမှာ 23 ဖြစ်ပြီး 3 ၏ရှေ့တွင် (နောက်ပြန်ဆက်လျှင်) အနှုတ်လက္ခဏာပါသော 1 ရှိမည်ဖြစ်သည်။
တိုးတက်မှုတစ်ခုလုံးကို ပထမအဖွဲ့ဝင် \(a_1\) နှင့် ကွာခြားချက် \(d\) ဟူသော ကိန်းနှစ်ခုဖြင့်သာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအတွဲကို သိလျှင် မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်ကိုမဆို ခေါ်နိုင်သည်၊ ပထမအဖွဲ့ဝင် မည်မျှပင်ရှိစေကာမူ ပေါင်းလဒ်ကို တွက်ချက်နိုင်သည်၊ ကိန်းတစ်ခုသည် တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်းရှိမရှိ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ တိုးတက်မှုကို \((a_n)\) ဟု အမှတ်အသားပြုပြီး ၎င်း၏အဖွဲ့ဝင်များကို \(a_1, a_2, a_3\) စသည်ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အောက်ခြေအညွှန်းသည် အမြဲတမ်း အစဉ်လိုက်နံပါတ် (position) ကို ဆိုလိုပြီး တန်ဖိုးကို ဆိုလိုခြင်းမဟုတ်ပါ။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ကွာခြားချက် - d ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း
ကွာခြားချက် ဆိုသည်မှာ အမြဲတမ်း နောက်အဖွဲ့ဝင် အနှုတ် ယခင်အဖွဲ့ဝင် ဖြစ်သည်:
နှုတ်သည့်အစဉ်လိုက်သည် အရေးကြီးသည် - ပြောင်းပြန်နှုတ်ပါက ကွာခြားချက်၏ လက္ခဏာသည် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သွားမည်။ 20, 17, 14, 11, 8 ကိန်းစဉ်တန်းအတွက် ကွာခြားချက်မှာ \(17 - 20 = -3\) ဖြစ်ပြီး \(+3\) မဟုတ်ပါ။
\(d\) ၏ လက္ခဏာသည် တိုးတက်မှု၏ အပြုအမူကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်:
- \(d > 0\) — တိုးတက်မှုသည် တိုးပွားနေသည်၊ အဖွဲ့ဝင်များ တိုးလာသည်;
- \(d < 0\) — တိုးတက်မှုသည် လျော့နည်းနေသည်၊ အဖွဲ့ဝင်များ လျော့လာသည်;
- \(d = 0\) — အဖွဲ့ဝင်အားလုံး တူညီသည်၊ ဥပမာ 6, 6, 6, 6, …။ ၎င်းသည်လည်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုတစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။
အကယ်၍ မတူညီသော အစဉ်လိုက်နံပါတ်များရှိသည့် အဖွဲ့ဝင်နှစ်ခုကို သိရှိပါက ကွာခြားချက်ကို အောက်ပါဖော်မြူလာဖြင့် ရှာနိုင်သည်
ဥပမာ။ \(a_4 = 30\) နှင့် \(a_{10} = 6\) ဟု ထားပါ။ ထိုအခါ \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\) ဖြစ်ပြီး ပထမအဖွဲ့ဝင်မှာ \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\) ဖြစ်သည်။ တိုးတက်မှု၏ အစကို စစ်ဆေးကြည့်ပါ - 42, 38, 34, 30 - စတုတ္ထအဖွဲ့ဝင်မှာ 30 အမှန်ပင်ဖြစ်သည်။
ကွာခြားချက်သည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်ရန် မလိုပါ - 1; 1,5; 2; 2,5 ကိန်းစဉ်တန်းတွင် ကွာခြားချက်မှာ 0,5 ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည်လည်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုတစ်ခုပင်ဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ n-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင် ဖော်မြူလာ
ဤခေါင်းစဉ်၏ အဓိကဖော်မြူလာသည် ယခင်အဖွဲ့ဝင်အားလုံးကို ရေးသားနေစရာမလိုဘဲ မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်ကိုမဆို ရှာဖွေနိုင်စေသည်:
\(n - 1\) သည် မည်သို့ရရှိသနည်း။ ပထမအဖွဲ့ဝင်မှ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်သို့ ရောက်ရန် ကွာခြားချက်ကို \(n\) ကြိမ်မဟုတ်ဘဲ တစ်ကြိမ်လျော့၍ ပေါင်းရသည် - ဒုတိယအဖွဲ့ဝင်သို့ တစ်ဆင့်၊ တတိယအဖွဲ့ဝင်သို့ နှစ်ဆင့်၊ အနှစ်ဆယ်မြောက်သို့ ဆယ့်ကိုးဆင့်။
ဥပမာ။ 3, 7, 11, 15, 19, … တိုးတက်မှုအတွက် \(a_1 = 3\) နှင့် \(d = 4\) ရှိသည်၊ ထို့ကြောင့်
ဤကဲ့သို့ အတိုချုံးမှတ်သားခြင်းသည် အလွန်အဆင်ပြေသည် - \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\) နှင့် \(a_{100} = 399\) ဖြစ်ကြောင်း ချက်ချင်းသိနိုင်သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ၎င်းသည် ကွာခြားချက်ကိုလည်း အရိပ်အမြွက်ပြသည် - မည်သည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုမဆို \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာသည် \(a_n = dn + c\) ပုံစံရှိပြီး \(n\) ၏ရှေ့ရှိ ကိန်းကိန်းသည် ကွာခြားချက်ပင်ဖြစ်သည်။
တစ်ခါတစ်ရံ ပထမအဖွဲ့ဝင်ကို မသိသော်လည်း အခြားအဖွဲ့ဝင်တစ်ခုကို ပေးထားတတ်သည်။ ထိုအခါ အထွေထွေပုံစံဖြင့် တူညီသောသဘောတရားကို အသုံးပြုနိုင်သည် - \(a_n = a_k + (n - k)d\)။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ထူးခြားသောဂုဏ်သတ္တိ
ပထမအဖွဲ့ဝင်မှလွဲ၍ တိုးတက်မှု၏ မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်မဆို ၎င်း၏ဘေးနှစ်ဖက်ရှိ အဖွဲ့ဝင်များ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှသည်:
ထို့ကြောင့်ပင် ဤတိုးတက်မှုကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ (Arithmetic) ဟု ခေါ်သည်။ ဤညီမျှခြင်းသည် ပြောင်းပြန်လည်း အလုပ်လုပ်သည် - ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုတွင် အလယ်အဖွဲ့ဝင်တိုင်းသည် ဘေးနှစ်ဖက်၏ ပေါင်းလဒ်တစ်ဝက်နှင့် ညီမျှပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုဖြစ်သည်။ ဤဖော်ပြချက်ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ လက္ခဏာ ဟုခေါ်ပြီး ကိန်းသုံးလုံးသည် တိုးတက်မှုတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရန် မေးခွန်းများတွင် အသုံးပြုသည်။
ဥပမာ။ 7, \(x\), 23 ကိန်းများသည် တိုးတက်မှု၏ ဆက်တိုက်အဖွဲ့ဝင်သုံးခုဖြစ်သည်။ ထိုအခါ \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\) ဖြစ်သည်။ စစ်ဆေးမှု - 7, 15, 23 - ကွာခြားချက်များမှာ 8 နှင့် 8 ဖြစ်ပြီး အားလုံးကိုက်ညီသည်။
တူညီသောဂုဏ်သတ္တိကို ရေးသားရန် အဆင်ပြေသောပုံစံမှာ \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\) ဖြစ်ပြီး၊ ဆိုလိုသည်မှာ အလယ်အဖွဲ့ဝင်၏ နှစ်ဆသည် အစွန်းနှစ်ဖက်၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှသည်။ ဤပုံစံဖြင့် အဖွဲ့ဝင်များကို အက္ခရာဖော်မြူလာများဖြင့် ပေးထားသည့်အခါ ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရန် ပိုမိုလွယ်ကူသည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ပထမ n-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ပေါင်းလဒ်
ပေါင်းလဒ် \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) ကို ဖော်မြူလာနှစ်ခုထဲမှ တစ်ခုဖြင့် တွက်ချက်သည်:
ပထမဖော်မြူလာ၏ သဘောတရားမှာ 1 မှ 100 အထိ ကိန်းများကို ပေါင်းသည့်အခါ ကျောင်းသား Gauss ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်ဟု ဆိုကြသော သဘောတရားပင်ဖြစ်သည်။ ပထမအဖွဲ့ဝင်နှင့် နောက်ဆုံးအဖွဲ့ဝင်ကို ပေါင်းလျှင်၊ ဒုတိယနှင့် နောက်ဆုံးအဖွဲ့ဝင်ကို ပေါင်းလျှင် စသည်ဖြင့် အတွဲတိုင်းသည် တူညီသောပေါင်းလဒ်ကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\) ဖြစ်သည်။
ဒုတိယဖော်မြူလာကို \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ကို ပထမဖော်မြူလာတွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့် ရရှိသည် - နောက်ဆုံးအဖွဲ့ဝင်ကို မပေးထားဘဲ ၎င်းကို သီးခြားတွက်ချက်ရန် မလိုချင်သည့်အခါ ၎င်းကို အသုံးပြုသည်။
ဥပမာ။ 3, 7, 11, 15, 19, … တိုးတက်မှု၏ ပထမအဖွဲ့ဝင်နှစ်ဆယ်၏ ပေါင်းလဒ်ကို ရှာပါ။
ပထမဖော်မြူလာဖြင့် - \(a_{20} = 79\) ဖြစ်သောကြောင့် \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)။
ဒုတိယဖော်မြူလာဖြင့် - \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)။
အဖြေများ တူညီနေသည် - ၎င်းသည် တွက်ချက်မှုများကို စစ်ဆေးရန် အကောင်းဆုံးနည်းလမ်းဖြစ်သည်။
ကိန်းတစ်ခုသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်းရှိမရှိ မည်သို့သိနိုင်မည်နည်း
“ကိန်းတစ်ခုသည် တိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သလား” ဟူသော မေးခွန်းကို ညီမျှခြင်းဖြင့် ဖြေရှင်းသည်။ ကိန်းတစ်ခုသည် တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်မှသာလျှင် ၎င်း၏အစဉ်လိုက်နံပါတ် \(n\) သည် သဘာဝကိန်း (natural number) ဖြစ်ရမည် - 1, 2, 3 စသည်ဖြင့်။ \(n\) သည် အပိုင်းကိန်း သို့မဟုတ် သုညအောက်ငယ်ပါက ထိုကဲ့သို့သော အဖွဲ့ဝင်မရှိဟု ဆိုလိုသည်။
ဥပမာ 1။ 99 သည် 3, 7, 11, 15, 19, … တိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သလား။ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာမှာ \(a_n = 4n - 1\) ဖြစ်သောကြောင့် \(4n - 1 = 99\) ကို ဖြေရှင်းပါ၊ ထိုအခါ \(4n = 100\) နှင့် \(n = 25\) ရသည်။ အစဉ်လိုက်နံပါတ်သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်သောကြောင့် 99 သည် တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်ပြီး ၎င်းသည် 25-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သည်။
ဥပမာ 2။ 2026 ကိန်းကော။ \(4n - 1 = 2026\) မှ \(4n = 2027\) နှင့် \(n = 506{,}75\) ရသည်။ အစဉ်လိုက်နံပါတ်သည် အပိုင်းကိန်းဖြစ်သောကြောင့် 2026 သည် ဤတိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင်မဟုတ်ပါ။
နှုတ်ဖြင့် တွက်ချက်ရန် အသုံးဝင်သော အရိပ်အမြွက် - \(a_n = 4n - 1\) ဖော်မြူလာရှိသော တိုးတက်မှုတွင် အဖွဲ့ဝင်အားလုံးကို 4 ဖြင့်စားလျှင် အကြွင်း 3 ကျန်သည်။ 2026 ကိုစားလျှင် အကြွင်း 2 ကျန်သောကြောင့် တိုးတက်မှုထဲတွင် မပါဝင်ပါ။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုအတွက် OGE စာမေးပွဲပုံစံ မေးခွန်းများ
သင်္ချာ OGE စာမေးပွဲတွင် တိုးတက်မှုများကို နှစ်စဉ်တွေ့ရပြီး မေးခွန်းအားလုံးနီးပါးသည် အကြောင်းအရာလေးခုအောက်တွင် ရှိသည်။
နံပါတ်ဖြင့် အဖွဲ့ဝင်ကို ရှာပါ။ \(a_1\) နှင့် \(d\) (သို့မဟုတ် ပထမအဖွဲ့ဝင်အချို့) ကို ပေးထားသည် - \(a_n = a_1 + (n-1)d\) တွင် အစားသွင်းပါ။
တန်ဖိုးဖြင့် နံပါတ်ကို ရှာပါ။ ကိန်းတစ်ခုကို ပေးထားသည် - \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာကို ၎င်းနှင့်ညီမျှစေပြီး \(n\) အတွက် ဖြေရှင်းပါ။
ပေါင်းလဒ်ကို ရှာပါ။ ဖော်မြူလာနှစ်ခုထဲမှ တစ်ခုဖြင့် \(S_n\) ကို တွက်ပါ; \(a_n\) မရှိပါက ၎င်းကို အရင်ရှာပါ။
အဖွဲ့ဝင်အရေအတွက်ကို ရှာပါ။ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာမှ အဆင်ပြေသော ရလဒ်တစ်ခု ရရှိသည် - \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)။
စာသားပါ မေးခွန်းများ မှာ သီးခြားဖြစ်ပြီး တိုးတက်မှုသည် ဇာတ်လမ်းထဲတွင် ဝှက်ထားသည်။ ဥပမာ - အလုပ်သမားတစ်ဦးသည် ပထမနေ့တွင် ပစ္စည်း 12 ခု ထုတ်လုပ်ပြီး နောက်နေ့တိုင်းတွင် ယခင်နေ့ထက် ပစ္စည်း 3 ခု ပိုထုတ်လုပ်ပါက 15 ရက်အတွင်း ပစ္စည်းမည်မျှ ထုတ်လုပ်မည်နည်း။ ဤနေရာတွင် \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\) ဖြစ်သည်။ နောက်ဆုံးအဖွဲ့ဝင်ကို တွက်ပါ - \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\)။ ထိုအခါ \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) ခု ဖြစ်သည်။
ဤမေးခွန်းများအတွက် အဓိကအကြံပြုချက် - ပေးထားချက် (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) နှင့် ရှာရမည့်အရာကို သီးခြားစီ ရေးသားပါ။ စာမေးပွဲတွင် အမှားများ၏ တစ်ဝက်သည် ဖော်မြူလာကြောင့်မဟုတ်ဘဲ နံပါတ်နှင့် အဖွဲ့ဝင်တန်ဖိုးကို ရောထွေးခြင်းကြောင့် ဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာနှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု - ကွာခြားချက်မှာ အဘယ်နည်း
တိုးတက်မှုနှစ်ခုစလုံးသည် နောက်အဖွဲ့ဝင်ကို ရရှိရန် စည်းမျဉ်းများဖြစ်သည်။ ကွာခြားချက်မှာ လုပ်ဆောင်ချက်တွင် ရှိသည် - အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာတွင် တူညီသောကိန်း \(d\) ကို ပေါင်းထည့်ပြီး၊ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာတွင် တိုးတက်မှု၏ အချိုးဟုခေါ်သော တူညီသောကိန်း \(q\) ဖြင့် မြှောက်သည်။
ထို့ကြောင့် အပြုအမူလည်း ကွဲပြားသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုသည် “လှေကားထစ်များ” အတိုင်း တူညီစွာ တိုးပွားသည် - 3, 7, 11, 15 - အဆင့်တိုင်းတွင် 4 ပေါင်းသည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုသည် တောင်ပြိုသကဲ့သို့ တိုးပွားသည် - 3, 6, 12, 24 - အဆင့်တိုင်းတွင် ကိန်းကို နှစ်ဆတိုးပြီး အဆင့်ဆယ်ဆင့်အကြာတွင် ကိန်းသည် တစ်ထောင်ခွဲကျော်သွားမည်ဖြစ်သည်။
ကိန်းစဉ်တန်းအမျိုးအစားကို စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည် - ဘေးချင်းကပ် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ကွာခြားချက်နှင့် အချိုးကို တွက်ကြည့်ပါ။ ကွာခြားချက် တူညီပါက အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုဖြစ်ပြီး၊ အချိုး တူညီပါက ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုဖြစ်သည်။ မည်သည့်အရာမှ မကိုက်ညီပါက ၎င်းသည် သာမန်ကိန်းစဉ်တန်းသာ ဖြစ်သည် - ဥပမာ 1, 4, 9, 16 - ၎င်းတို့သည် သဘာဝကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများဖြစ်ပြီး တိုးတက်မှုမဟုတ်ပါ။
ကျောင်းသင်ရိုးတွင် တိုးတက်မှုနှစ်ခုစလုံးကို အတန်း (၉) တွင် ဆက်တိုက်သင်ကြားသောကြောင့် ဖော်မြူလာများကို ရောထွေးရန် လွယ်ကူသည်။ အဓိကအချက်ကို မှတ်ထားပါ - အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာတွင် ကွာခြားချက် \(d\) ကို ပေါင်းပြီး၊ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာတွင် အချိုး \(q\) ကို မြှောက်သည်။ ကျန်အရာအားလုံးသည် ၎င်း၏ ရလဒ်များသာ ဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုဆိုင်ရာ မေးခွန်းများ ဖြေရှင်းခြင်း နမူနာများ
နမူနာ 1။ အဖွဲ့ဝင်နှစ်ခုမှတစ်ဆင့် ပထမအဖွဲ့ဝင်နှင့် ကွာခြားချက်ကို ရှာပါ
ပေးထားချက်။ \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\)။ \(a_1\), \(d\) နှင့် \(a_{20}\) ကို ရှာပါ။
အဆင့် 1။ တတိယအဖွဲ့ဝင်မှ သတ္တမအဖွဲ့ဝင်အထိ \(7 - 3 = 4\) အဆင့်ရှိပြီး အဆင့်တိုင်းတွင် \(d\) ပေါင်းထည့်သည်။ ထို့ကြောင့် \(a_7 = a_3 + 4d\)၊ ဆိုလိုသည်မှာ \(30 = 14 + 4d\)၊ ထိုမှ \(4d = 16\) နှင့် \(d = 4\) ရသည်။
အဆင့် 2။ ပထမအဖွဲ့ဝင်သို့ ပြန်သွားပါ - \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\)။
အဆင့် 3။ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာကို ရေးပါ - \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\)။
အဆင့် 4။ လိုအပ်သော အဖွဲ့ဝင်ကို တွက်ပါ - \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\)။
စစ်ဆေးမှု။ တိုးတက်မှု၏ အစကို ရေးပါ - 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30။ တတိယအဖွဲ့ဝင်မှာ 14၊ သတ္တမမှာ 30 - ကိုက်ညီသည်။
အဖြေ - \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\)။
နမူနာ 2။ ပထမအဖွဲ့ဝင် (30) ၏ ပေါင်းလဒ် (ဖော်မြူလာနှစ်ခုစလုံး)
ပေးထားချက်။ တိုးတက်မှု \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\)။ \(S_{30}\) ကို ရှာပါ။
အဆင့် 1။ ကန့်သတ်ချက်များကို သတ်မှတ်ပါ - \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\)။
အဆင့် 2။ အနှစ်ဆယ်မြောက် အဖွဲ့ဝင်ကို ရှာပါ - \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\)။
အဆင့် 3။ ပထမဖော်မြူလာဖြင့် တွက်ပါ - \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\)။
အဆင့် 4။ ဒုတိယဖော်မြူလာဖြင့် စစ်ဆေးပါ။ အရင်ဆုံး အပိုင်းကိန်း၏ အပေါ်ပိုင်း - \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\)။
တတိယအဆင့်အတိုင်း ဆက်လုပ်ပါ - \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\)။
လမ်းကြောင်းနှစ်ခုစလုံးသည် 1155 ကို ပေးသည် - ထို့ကြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ မှန်ကန်သည်။
အဖြေ - \(S_{30} = 1155\)။
နမူနာ 3။ 7 ဖြင့်စား၍ပြတ်သော နှစ်လုံးကိန်းအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်
မေးခွန်း။ 7 ဖြင့်စား၍ပြတ်သော နှစ်လုံးကိန်းအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်ကို ရှာပါ။
အဆင့် 1။ ထိုကိန်းများသည် ကွာခြားချက် 7 ရှိသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ 7 ဖြင့်စား၍ပြတ်သော အငယ်ဆုံးနှစ်လုံးကိန်းမှာ 14 ဖြစ်ပြီး အကြီးဆုံးမှာ 98 ဖြစ်သည် (နောက်တစ်ခုဖြစ်သော 105 မှာ သုံးလုံးကိန်းဖြစ်သွားသည်)။ ထို့ကြောင့် \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\) ရသည်။
အဆင့် 2။ အဖွဲ့ဝင်အရေအတွက်ကို တွက်ပါ - \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\)။
အဆင့် 3။ ပေါင်းလဒ်ကို တွက်ပါ - \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)။
အဆင့် 4။ ဒုတိယဖော်မြူလာဖြင့် စစ်ဆေးပါ။ \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)။
အဖြေ - 728။
နမူနာ 4။ ကိန်းတစ်ခုသည် တိုးတက်မှုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်းရှိမရှိ စစ်ဆေးပါ
မေးခွန်း။ 145 သည် \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) တိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သလား။ 142 ကော။
အဆင့် 1။ တိုးတက်မှု၏ ကန့်သတ်ချက်များ - \(a_1 = 7\), \(d = 5\), ထို့ကြောင့် \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\)။
အဆင့် 2။ 145 ကို စစ်ဆေးပါ - ညီမျှခြင်း \(5n + 2 = 145\) မှ \(5n = 143\) နှင့် \(n = 28{,}6\) ရသည်။ အစဉ်လိုက်နံပါတ်မှာ အပိုင်းကိန်းဖြစ်သောကြောင့် 145 သည် တိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင် မဟုတ်ပါ။
အဆင့် 3။ 142 ကို စစ်ဆေးပါ - \(5n + 2 = 142\) မှ \(5n = 140\) နှင့် \(n = 28\) ရသည်။ အစဉ်လိုက်နံပါတ်မှာ သဘာဝကိန်းဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းသည် ပါဝင်သည်။
အဆင့် 4။ အစားသွင်း၍ စစ်ဆေးပါ။ \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\)။ မှန်ပါသည်။
အဖြေ - 145 သည် တိုးတက်မှုထဲတွင် မပါဝင်ပါ; 142 သည် ပါဝင်ပြီး ၎င်း၏ 28-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သည်။
နမူနာ 5။ အက္ခရာပါသော အဖွဲ့ဝင်များဖြင့် ထူးခြားသောဂုဏ်သတ္တိ
မေးခွန်း။ \(x\) ၏ မည်သည့်တန်ဖိုးအတွက် \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) ကိန်းများသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ဆက်တိုက်အဖွဲ့ဝင်သုံးခု ဖြစ်မည်နည်း?
အဆင့် 1။ ထူးခြားသောဂုဏ်သတ္တိအရ အလယ်အဖွဲ့ဝင်၏ နှစ်ဆသည် အစွန်းနှစ်ဖက်၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှသည်:
အဆင့် 2။ ကွင်းစကွင်းပိတ်ကို ဖြည်ပါ - \(4x + 2 = 5x - 4\)။
အဆင့် 3။ ဖြေရှင်းပါ - \(2 + 4 = 5x - 4x\)၊ ဆိုလိုသည်မှာ \(x = 6\)။
အဆင့် 4။ စစ်ဆေးပါ။ \(x = 6\) ကို အစားသွင်းပါ - ပထမအဖွဲ့ဝင် \(6 - 3 = 3\), ဒုတိယ \(2\cdot 6 + 1 = 13\), တတိယ \(4\cdot 6 - 1 = 23\)။ ကွာခြားချက်များ - \(13 - 3 = 10\) နှင့် \(23 - 13 = 10\) - တူညီသည်။
အဖြေ - \(x = 6\), တိုးတက်မှုမှာ 3, 13, 23 ဖြစ်ပြီး ကွာခြားချက် 10 ရှိသည်။
နမူနာ 6။ တိုးတက်မှုတွင် အနှုတ်အဖွဲ့ဝင် မည်မျှရှိသနည်း
မေးခွန်း။ \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) တိုးတက်မှုတွင် အနှုတ်အဖွဲ့ဝင် မည်မျှရှိသနည်း?
အဆင့် 1။ ကန့်သတ်ချက်များ - \(a_1 = -21\), \(d = 3\)။ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာ - \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\)။
အဆင့် 2။ “အဖွဲ့ဝင်သည် အနှုတ်ဖြစ်သည်” ဟူသော အခြေအနေကို ရေးပါ - \(3n - 24 < 0\)၊ ထိုမှ \(3n < 24\) နှင့် \(n < 8\)။
အဆင့် 3။ အစဉ်လိုက်နံပါတ်များသည် သဘာဝကိန်းများဖြစ်သောကြောင့် \(n = 1, 2, \dots, 7\) - စုစုပေါင်း ခုနစ် ခု ပါဝင်သည်။
အဆင့် 4။ နယ်နိမိတ်ကို စစ်ဆေးပါ။ \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) - အနှုတ်ဖြစ်သည်။ \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) - သုညသည် အနှုတ်ကိန်းမဟုတ်သောကြောင့် အဋ္ဌမမြောက် အဖွဲ့ဝင်ကို မရေတွက်ပါ။ \(a_9 = 3\) - အပေါင်းဖြစ်သည်။
အဖြေ - အနှုတ်အဖွဲ့ဝင် ခုနစ်ခု။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု မေးခွန်းများတွင် ဖြစ်လေ့ရှိသော အမှားများ
-
$n$-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာတွင် $a_n = a_1 + (n-1)d$ အစား $a_n = a_1 + nd$ ဟု ရေးခြင်း။
ပထမအဖွဲ့ဝင်မှ \(n\)-ခုမြောက်အထိ လှမ်းရာတွင် နံပါတ်ထက် တစ်ဆင့်လျော့၍ လှမ်းရသည်။ \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) တိုးတက်မှုအတွက် အဋ္ဌမမြောက် အဖွဲ့ဝင်မှာ \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\) ဖြစ်ပြီး 45 မဟုတ်ပါ။ ဖော်မြူလာကို မြန်မြန်စစ်ဆေးရန် - \(n = 1\) ကို အစားသွင်းပါ - \(a_1\) အတိအကျ ရသင့်သည်။
-
ကွာခြားချက်ကို ပြောင်းပြန်တွက်ခြင်း - $d = a_1 - a_2$ ဟု တွက်ပြီး လက္ခဏာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သွားခြင်း။
ကွာခြားချက်မှာ နောက်အဖွဲ့ဝင် အနှုတ် ယခင်အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သည် - \(d = a_2 - a_1\)။ \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) တိုးတက်မှုအတွက် \(d = 34 - 40 = -6\) သည် မှန်ကန်သည်။ ဤနေရာတွင် အနှုတ်လက္ခဏာသည် အမှားမဟုတ်ဘဲ လျော့နည်းနေသော တိုးတက်မှု၏ လက္ခဏာဖြစ်သည်။
-
ပေါင်းလဒ်ဖော်မြူလာတွင် 2 ဖြင့်စားရန် သို့မဟုတ် $n$ ဖြင့်မြှောက်ရန် မေ့သွားခြင်း - $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ ဟု ရေးခြင်း။
“ပထမနှင့် နောက်ဆုံး” အတွဲများကို ပေါင်းခြင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့မှာ \(\dfrac{n}{2}\) ခုရှိသောကြောင့် 2 ဖြင့်စားရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်သည်။ \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) တိုးတက်မှုအတွက် \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) နှင့် \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\) ဖြစ်ပြီး 670 မဟုတ်ပါ။
-
ကိန်းတစ်ခု ပါဝင်ခြင်းကို စစ်ဆေးရာတွင် $n = 0$ သို့မဟုတ် အနှုတ် $n$ ရသော်လည်း “ပါဝင်သည်” ဟု ဖြေဆိုခြင်း။
အဖွဲ့ဝင်၏ အစဉ်လိုက်နံပါတ်သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး တစ်မှ စတင်ရေတွက်သည်။ ဥပမာ - \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) တိုးတက်မှုအတွက် ညီမျှခြင်း \(10 + 4(n-1) = 6\) မှ \(n = 0\) ရပြီး ဆိုလိုသည်မှာ 6 သည် တိုးတက်မှုထဲတွင် မပါဝင်ပါ - ဤကိန်းသည် ပထမအဖွဲ့ဝင်၏ ရှေ့တွင် ရှိနေလိမ့်မည်။
-
ရှာတွေ့ထားသောအရာကို ရောထွေးခြင်း - အဖွဲ့ဝင်တန်ဖိုး လိုအပ်သည့်နေရာတွင် နံပါတ်ကို အစားသွင်းခြင်းနှင့် ပြောင်းပြန်လုပ်ခြင်း။
\(a_n\) သည် တန်ဖိုးဖြစ်ပြီး \(n\) သည် အစဉ်လိုက်နံပါတ်ဖြစ်သည်။ မေးခွန်းတွင် “မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်သည် 142 နှင့် ညီမျှသနည်း” ဟု မေးပါက အဖြေမှာ 28 ဖြစ်ပြီး 142 မဟုတ်ပါ။ အသုံးဝင်သော အလေ့အကျင့် - မဖြေရှင်းမီ “ပေးထားချက် - \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), ရှာရန် - \(n\)” ဟု ရေးသားပါ။
-
တိုးတက်မှုသည် တိုးပွားရမည်ဖြစ်ပြီး ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟု ထင်မှတ်ခြင်း။
ကွာခြားချက်သည် အနှုတ်ဖြစ်နိုင်သည် (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\))၊ အပိုင်းကိန်းဖြစ်နိုင်သည် (1; 1,5; 2; 2,5) နှင့် သုညလည်း ဖြစ်နိုင်သည် (8, 8, 8, …)။ အခြေအနေ သုံးခုစလုံးသည် တရားဝင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုများဖြစ်ပြီး ဖော်မြူလာအားလုံးသည် ပြောင်းလဲမှုမရှိဘဲ အလုပ်လုပ်သည်။
မေးခွန်းများနှင့် အဖြေများ
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု ဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း (ရိုးရှင်းသောစကားဖြင့်)?
၎င်းသည် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး နောက်ကိန်းတိုင်းကို ယခင်ကိန်းပေါ်တွင် တူညီသောကိန်း \(d\) (တိုးတက်မှု၏ ကွာခြားချက်) ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ ဥပမာ - 3, 7, 11, 15, 19, … သည် ပထမအဖွဲ့ဝင် 3 နှင့် ကွာခြားချက် 4 ရှိသော တိုးတက်မှုဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ n-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာမှာ အဘယ်နည်း?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\) ဖြစ်ပြီး \(a_1\) သည် ပထမအဖွဲ့ဝင်၊ \(d\) သည် ကွာခြားချက်၊ \(n\) သည် နံပါတ်ဖြစ်သည်။ ပထမအဖွဲ့ဝင်မဟုတ်ဘဲ အခြားအဖွဲ့ဝင်တစ်ခုကို သိလျှင် အထွေထွေပုံစံ \(a_n = a_k + (n-k)d\) ကို အသုံးပြုပါ။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ကွာခြားချက်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?
မည်သည့်အဖွဲ့ဝင်မှမဆို ယခင်အဖွဲ့ဝင်ကို နှုတ်ပါ - \(d = a_n - a_{n-1}\)။ မတူညီသော နံပါတ်များရှိသည့် အဖွဲ့ဝင်နှစ်ခုကို ပေးထားပါက \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) ကို အသုံးပြုပါ။ ဥပမာ - \(a_5 = 23\) နှင့် \(a_9 = 43\) ဖြစ်ပါက \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\) ရပြီး ပထမအဖွဲ့ဝင်မှာ \(23 - 4\cdot 5 = 3\) ဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ပထမအဖွဲ့ဝင်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?
\(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာမှ - \(a_1 = a_n - (n-1)d\)။ ဥပမာ - \(a_{12} = 60\) နှင့် \(d = 4\) ဖြစ်ပါက \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\) ဖြစ်သည်။ စစ်ဆေးမှု - \(16 + 11\cdot 4 = 60\)။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ ပထမ n-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ပေါင်းလဒ်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?
နောက်ဆုံးအဖွဲ့ဝင်ကို သိလျှင် \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) ဖော်မြူလာဖြင့် သို့မဟုတ် ပထမအဖွဲ့ဝင်နှင့် ကွာခြားချက်ကိုသာ သိလျှင် \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) ဖော်မြူလာဖြင့် ရှာပါ။ နှစ်ခုစလုံးသည် တူညီသောရလဒ်ကို ပေးသောကြောင့် ဒုတိယတစ်ခုကို ပထမတစ်ခုအတွက် စစ်ဆေးရန် အသုံးပြုနိုင်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှု၏ အဖွဲ့ဝင်အရေအတွက်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?
\(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာမှ - \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)။ ဥပမာ - \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) တိုးတက်မှုတွင် ကွာခြားချက်မှာ 5 ဖြစ်သောကြောင့် \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) ခု ရှိသည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုနှင့် မည်သို့ကွာခြားသနည်း?
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာတွင် အဖွဲ့ဝင်တိုင်းကို ကွာခြားချက် \(d\) ပေါင်းပြီး၊ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာတွင် အဖွဲ့ဝင်တိုင်းကို အချိုး \(q\) ဖြင့် မြှောက်သည်။ \(n\)-ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်ဖော်မြူလာများ - \(a_n = a_1 + (n-1)d\) နှင့် \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\)။ အမျိုးအစားကို ခွဲခြားရန် ဘေးချင်းကပ် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ကွာခြားချက်နှင့် အချိုးကို တွက်ပါ - ကွာခြားချက် တူညီပါက အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ၊ အချိုး တူညီပါက ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖြစ်သည်။
ကွာခြားချက်သည် အနှုတ် သို့မဟုတ် သုည ဖြစ်နိုင်သလား?
ဟုတ်ကဲ့။ \(d < 0\) ဖြစ်ပါက တိုးတက်မှုသည် လျော့နည်းသည် (ဥပမာ 20, 17, 14, 11)၊ \(d = 0\) ဖြစ်ပါက အဖွဲ့ဝင်အားလုံး တူညီသည် (6, 6, 6, …) - ၎င်းသည် တည်ငြိမ်သော တိုးတက်မှုဖြစ်သည်။ ကွာခြားချက်သည် အပိုင်းကိန်းလည်း ဖြစ်နိုင်သည် - 1; 1,5; 2; 2,5 - ၎င်းသည်လည်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုပင်ဖြစ်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုကို မည်သည့်အတန်းတွင် သင်ကြားသနည်း?
အတန်း (၉) တွင် အက္ခရာသင်္ချာသင်ခန်းစာများ၌ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများနှင့်အတူ သင်ကြားသည်။ တိုးတက်မှုဆိုင်ရာ မေးခွန်းများသည် OGE တွင် ပါဝင်သည် - များသောအားဖြင့် နံပါတ်ဖြင့် အဖွဲ့ဝင်ကို ရှာရန်၊ တန်ဖိုးဖြင့် နံပါတ်ကို ရှာရန်၊ အဖွဲ့ဝင်အရေအတွက် သို့မဟုတ် ပထမ \(n\) ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်များ၏ ပေါင်းလဒ်ကို ရှာရန် လိုအပ်သည်။
