Quadratic formula သည် \(ax^2 + bx + c = 0\) (a $
eq 0$ ဖြစ်သောအခါ) ပုံစံရှိ မည်သည့် quadratic equation ကိုမဆို ဖြေရှင်းပေးသည်။ ၎င်း၏ အမြစ်များကို \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) ဟု ပေးထားသည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီ၏ အဓိပ္ပာယ်၊ ဖော်မြူလာကို အဆင့်ဆင့်အသုံးပြုပုံ၊ discriminant က အဖြေမည်မျှရမည်ကို မည်သို့ပြောပြပုံနှင့် အပြည့်အစုံရှင်းပြထားသော နမူနာများကို သင်တွေ့ရမည်ဖြစ်ပြီး၊ ချက်ချင်းလေ့ကျင့်နိုင်ရန် အပြန်အလှန်အကျိုးပြုသော လေ့ကျင့်ခန်းလည်း ပါဝင်သည်။
Quadratic formula ဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း
Quadratic equation ဆိုသည်မှာ \(ax^2 + bx + c = 0\) ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သော မည်သည့်ညီမျှခြင်းမဆိုဖြစ်ပြီး၊ \(a, b, c\) တို့သည် ကိန်းဂဏန်းများဖြစ်ကာ \(a \neq 0\) ဖြစ်သည်။ \(a, b, c\) တို့ကို ကိန်းဂဏန်းများ (coefficients) ဟုခေါ်သည်: \(a\) သည် \(x^2\) ၏ ကိန်းဂဏန်း၊ \(b\) သည် \(x\) ၏ ကိန်းဂဏန်း၊ နှင့် \(c\) သည် ကိန်းသေဖြစ်သည်။
Quadratic formula သည် ဤကိန်းဂဏန်းသုံးခုမှ အဖြေများ (အမြစ်များ) ကို တိုက်ရိုက်ပေးသည် — အချက်ခွဲရန် မလိုပါ။ ၎င်းသည် အချက်ခွဲ၍မရသော quadratic များအတွက်ပင် အလုပ်လုပ်သည်။
ဆင်းသက်လာပုံ (derivation): ဖော်မြူလာသည် ယေဘုယျညီမျှခြင်းကို completing the square (စတုရန်းဖြည့်ခြင်း) ပြုလုပ်ခြင်းမှ ရရှိလာသည်။ \(ax^2 + bx + c = 0\) ကို \(a\) ဖြင့်စားပါ၊ ကိန်းသေကို တစ်ဖက်သို့ရွှေ့ပါ၊ စတုရန်းပြည့်စေရန် နှစ်ဖက်စလုံးသို့ \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ကို ပေါင်းထည့်ပြီး စတုရန်းမြစ်ကို ရှာပါ။ ရလဒ်မှာ မည်သည့် \(a, b, c\) အတွက်မဆို မှန်ကန်သော အောက်ပါဖော်မြူလာဖြစ်သည်။
Discriminant: အမြစ်အရေအတွက်
စတုရန်းမြစ်အောက်ရှိ \(b^2 - 4ac\) အစိတ်အပိုင်းကို discriminant (များသောအားဖြင့် \(D\) ဟုရေးသည်) ဟုခေါ်သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် အဖြေမည်မျှရှိသည်ကို သိရန် ဖော်မြူလာတစ်ခုလုံးကို တွက်ချက်ရန် မလိုပါ — discriminant ၏ သင်္ကေတ က သင့်ကို ချက်ချင်းပြောပြသည်။
အနုတ်ကိန်း၏ စတုရန်းမြစ်ကို ရှာ၍မရသောကြောင့် \(D\) ၏ သင်္ကေတသည် quadratic တိုင်းကို အခြေအနေသုံးမျိုးသို့ ခွဲခြားပေးသည်: အမြစ်နှစ်ခု၊ ထပ်တူအမြစ်တစ်ခု၊ သို့မဟုတ် အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိခြင်း။ ဂရပ်ပေါ်တွင် ဤသည်မှာ parabola \(y = ax^2 + bx + c\) သည် x-axis ကို ဖြတ်သည့်နေရာဖြစ်သည် — နှစ်ကြိမ်၊ တစ်ကြိမ် (vertex တွင်) သို့မဟုတ် လုံးဝမဖြတ်ခြင်း။
| Discriminant D = b² − 4ac | အစစ်အမှန်အမြစ်များ | ရလဒ် |
|---|---|---|
| D > 0 | ကွဲပြားသော အစစ်အမှန်အမြစ်နှစ်ခု | Parabola သည် x-axis ကို နှစ်ကြိမ်ဖြတ်သည်။ သင်္ကေတနှစ်ခုလုံးကို သုံးပါ: x = (−b ± √D) / 2a။ |
| D = 0 | အစစ်အမှန်အမြစ်တစ်ခု (ထပ်တူ) | Parabola သည် ၎င်း၏ vertex တွင် x-axis ကို ထိသည်။ ± ပျောက်သွားသည်: x = −b / 2a။ |
| D < 0 | အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိ | Parabola သည် x-axis ကို လုံးဝမထိပါ။ အနုတ်ကိန်း၏ အစစ်အမှန်စတုရန်းမြစ် မရှိပါ။ |
Quadratic formula ကို အသုံးပြုပုံ: အဆင့်များ
Quadratic formula သည် အမြဲတမ်း တူညီသောနည်းလမ်းဖြင့် အလုပ်လုပ်သည်။ ဤအဆင့်ငါးဆင့်ကို အစဉ်လိုက်လိုက်နာပါ၊ ၎င်းသည် သင့်ကို ဘယ်တော့မှ မလှည့်စားပါ — အခက်ဆုံးအပိုင်းမှာ ကိန်းဂဏန်းများကို (၎င်းတို့၏ သင်္ကေတများနှင့်အတူ) မှန်ကန်စွာ ဖတ်ရှုခြင်းသာဖြစ်သည်။
Quadratic formula နမူနာများ (အဆင့်ဆင့်)
နမူနာ 1. အစစ်အမှန်အမြစ်နှစ်ခု (D > 0)
ဖြေရှင်းပါ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)။
အဆင့် 1–2. ၎င်းသည် standard ပုံစံတွင် ရှိပြီးဖြစ်၍ ကိန်းဂဏန်းများကို ဖတ်ပါ: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)။
အဆင့် 3. Discriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)။
အဆင့် 4. \(D = 25 > 0\) ဖြစ်၍ ကွဲပြားသော အစစ်အမှန်အမြစ်နှစ်ခု ရှိသည်။
အဆင့် 5. အစားထိုးပါ: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)။
ပေါင်းသင်္ကေတကို သုံးလျှင်: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)။ အနုတ်သင်္ကေတကို သုံးလျှင်: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)။
အမြစ်များ: \(x = 3\) နှင့် \(x = \tfrac{1}{2}\)။
နမူနာ 2. ထပ်တူအမြစ်တစ်ခု (D = 0)
ဖြေရှင်းပါ \(x^2 - 6x + 9 = 0\)။
အဆင့် 1–2. Standard ပုံစံတွင် ရှိပြီးဖြစ်သည်: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)။
အဆင့် 3. Discriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)။
အဆင့် 4. \(D = 0\) ဖြစ်၍ အစစ်အမှန်အမြစ်တစ်ခုသာ (ထပ်တူအမြစ်) ရှိသည်။ \(\sqrt{0} = 0\) ဖြစ်သောကြောင့် \(\pm\) အစိတ်အပိုင်း ပျောက်သွားသည်။
အဆင့် 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)။
အမြစ်: \(x = 3\) (ဤ quadratic သည် စတုရန်းပြည့် \((x-3)^2 = 0\) ဖြစ်သည်)။
နမူနာ 3. အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိ (D < 0)
ဖြေရှင်းပါ \(x^2 + 2x + 5 = 0\)။
အဆင့် 1–2. Standard ပုံစံ: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)။
အဆင့် 3. Discriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)။
အဆင့် 4. \(D = -16 < 0\)။ အနုတ်ကိန်း၏ အစစ်အမှန်စတုရန်းမြစ်ကို ရှာ၍မရသောကြောင့် ဤညီမျှခြင်းတွင် အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိပါ — ၎င်း၏ parabola သည် x-axis ကို လုံးဝမဖြတ်ပါ။
အဆင့် 5. အစစ်အမှန်အဖြေအတွက် နောက်ထပ်လုပ်ဆောင်ရန် မလိုပါ။ (အကယ်၍ သင်သည် complex numbers ကို သိရှိပါက၊ အမြစ်များမှာ \(x = -1 \pm 2i\) ဖြစ်သည်၊ သို့သော် အစစ်အမှန်အဖြေအတွက် ဤနေရာတွင် ရပ်လိုက်ပါမည်။)
Quadratic formula နှင့် ပတ်သက်သော အဖြစ်များသည့် အမှားများ
-
b ၏ သင်္ကေတကို မှားယွင်းခြင်း၊ အထူးသဖြင့် b သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သောအခါ။
ဖော်မြူလာသည် −b ဖြင့် စတင်သည်။ အကယ်၍ b = −7 ဖြစ်လျှင် −b = +7 ဖြစ်သည် — အနုတ်သင်္ကေတနှစ်ခု ပျောက်သွားသည်။ ရိုးရှင်းအောင်မလုပ်မီ အစားထိုးမှုကို အပြည့်အစုံရေးပါ၊ ဥပမာ −(−7)။
-
± ကို မေ့လျော့ပြီး အမြစ်တစ်ခုသာ ဖော်ပြခြင်း။
D > 0 ဖြစ်လျှင် ± သည် အဖြေနှစ်ခုကို ထုတ်ပေးသည်: တစ်ခုမှာ + နှင့် တစ်ခုမှာ −။ D = 0 မဟုတ်ပါက (−b + √D)/(2a) နှင့် (−b − √D)/(2a) နှစ်ခုလုံးကို အမြဲတွက်ချက်ပါ။
-
分子 (numerator) ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုကိုသာ 2a ဖြင့် စားခြင်း။
分子 တစ်ခုလုံးဖြစ်သော −b ± √D ကို 2a ဖြင့် စားရမည် — √D အစိတ်အပိုင်းကိုသာ မဟုတ်ပါ။ ၎င်းကို အပိုင်းကိန်းတစ်ခုတည်းအဖြစ် ထားပါ: (−b ± √D) / (2a)။
-
a သို့မဟုတ် c သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သောအခါ discriminant ကို မှားယွင်းတွက်ချက်ခြင်း။
D = b² − 4ac တွင် a·c သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်လျှင် 4ac ကို နုတ်ခြင်းသည် အမှန်တကယ်တွင် ပေါင်းခြင်းဖြစ်သည်။ 3x² − 2x − 1 အတွက် −4·3·(−1) = +12 ဖြစ်၍ D = 4 + 12 = 16 ဖြစ်သည်၊ 4 − 12 မဟုတ်ပါ။
-
ညီမျှခြင်းကို standard ပုံစံသို့ မပြောင်းမီ ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုခြင်း။
ညီမျှခြင်းသည် ax² + bx + c = 0 ဟု ဖြစ်စေရန် အားလုံးကို တစ်ဖက်သို့ ရွှေ့ပါ။ ဥပမာ၊ x² = 5x − 6 သည် a, b, c ကို မဖတ်မီ x² − 5x + 6 = 0 ဖြစ်လာရမည်။
မကြာခဏ မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ
Quadratic formula ဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း?
Quadratic formula သည် x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မည်သည့် quadratic equation ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) အတွက်မဆို a, b, c ကိန်းဂဏန်းများမှ အဖြေများကို တိုက်ရိုက်ပေးသည်။
Quadratic formula ကို အဆင့်ဆင့် မည်သို့အသုံးပြုသနည်း?
ညီမျှခြင်းကို standard ပုံစံ ax² + bx + c = 0 ဖြင့် ရေးပါ၊ a, b, နှင့် c ကို သင်္ကေတများနှင့်အတူ ခွဲခြားပါ၊ discriminant D = b² − 4ac ကို တွက်ပါ၊ အမြစ်မည်မျှရှိသည်ကို သိရန် ၎င်း၏ သင်္ကေတကို စစ်ဆေးပါ၊ ထို့နောက် x = (−b ± √D) / (2a) တွင် အစားထိုးပြီး ပေါင်းနှင့် အနုတ်ဗားရှင်းနှစ်ခုလုံးကို ရိုးရှင်းအောင်လုပ်ပါ။
Discriminant ဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း၊ ၎င်းသည် အဘယ်ကြောင့် အရေးကြီးသနည်း?
Discriminant သည် D = b² − 4ac ဖြစ်ပြီး စတုရန်းမြစ်အောက်ရှိ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သင်္ကေတက တွက်ချက်မှုမပြီးဆုံးမီ အစစ်အမှန်အမြစ်အရေအတွက်ကို ပြောပြသည်: D > 0 သည် အစစ်အမှန်အမြစ်နှစ်ခုပေးသည်၊ D = 0 သည် ထပ်တူအမြစ်တစ်ခုပေးသည်၊ နှင့် D < 0 သည် အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိကြောင်း ပြသည်။
အချက်ခွဲခြင်းအစား quadratic formula ကို မည်သည့်အချိန်တွင် သုံးသင့်သနည်း?
Quadratic သည် ကိန်းပြည့်အသေးများဖြင့် အချက်ခွဲနိုင်လျှင် အချက်ခွဲခြင်းသည် မြန်ဆန်သည်။ Quadratic formula သည် အချက်ခွဲ၍မရသော သို့မဟုတ် အမြစ်များမှာ ကိန်းရင်း (irrational) သို့မဟုတ် ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော quadratic များအပါအဝင် quadratic တိုင်းအတွက် အလုပ်လုပ်သောကြောင့် အချက်ခွဲရန် မရှင်းလင်းသည့်အခါတိုင်းတွင် ယုံကြည်စိတ်ချရသော နည်းလမ်းဖြစ်သည်။
Quadratic formula သည် မည်သည့်နေရာမှ ဆင်းသက်လာသနည်း?
၎င်းသည် ယေဘုယျညီမျှခြင်း ax² + bx + c = 0 ကို စတုရန်းဖြည့်ခြင်း (completing the square) ပြုလုပ်ခြင်းမှ ဆင်းသက်လာသည်: a ဖြင့်စားပါ၊ (b/2a)² ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် စတုရန်းဖြည့်ပါ၊ ဘယ်ဘက်ခြမ်းကို စတုရန်းပြည့်အဖြစ် ပြန်ရေးပါ၊ နှင့် နှစ်ဖက်စလုံး၏ စတုရန်းမြစ်ကို ရှာပါ။ ရလဒ်မှာ quadratic formula ဖြစ်သည်။
Quadratic formula သည် အဖြေမရှိသည်ကို ပေးနိုင်သလား?
Discriminant သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်လျှင် (D < 0)၊ အနုတ်ကိန်း၏ အစစ်အမှန်စတုရန်းမြစ်ကို ရှာ၍မရသောကြောင့် အစစ်အမှန်အဖြေမရှိပါ။ ညီမျှခြင်းတွင် complex အမြစ်နှစ်ခု ရှိနေသေးသော်လည်း အစစ်အမှန်အမြစ်မရှိပါ — ဂရပ်ပေါ်တွင် parabola သည် x-axis ကို လုံးဝမထိပါ။
