ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာ သည် \(ax^2 + bx + c = 0\) (a \neq 0 ဖြင့်) ပုံစံရှိ မည်သည့်ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းကိုမဆို ဖြေရှင်းပေးသည်။ ၎င်း၏အမြစ်များကို \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီ၏ အဓိပ္ပာယ်၊ ဖော်မြူလာကို အဆင့်ဆင့်မည်သို့အသုံးပြုရမည်၊ ခွဲခြားကိန်း က ဖြေရှင်းချက်မည်မျှရှိမည်ကို မည်သို့ပြောပြသည်နှင့် အသေးစိတ်ဖြေရှင်းထားသော ဥပမာများကို သင်တွေ့မြင်ရမည်ဖြစ်သည် — ထို့အပြင် ချက်ချင်းလေ့ကျင့်နိုင်ရန် အပြန်အလှန်လေ့ကျင့်ခန်းလည်း ပါဝင်သည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာဆိုတာ ဘာလဲ
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်း ဆိုသည်မှာ \(ax^2 + bx + c = 0\) စံပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သော မည်သည့်ညီမျှခြင်းမဆိုဖြစ်ပြီး၊ ထိုညီမျှခြင်းတွင် \(a\), \(b\), နှင့် \(c\) တို့သည် ကိန်းဂဏန်းများဖြစ်ကာ \(a \neq 0\) ဖြစ်သည်။ \(a\), \(b\), နှင့် \(c\) ကိန်းဂဏန်းများကို ကိန်းသေများ ဟုခေါ်သည်- \(a\) သည် \(x^2\) ၏ ကိန်းသေ၊ \(b\) သည် \(x\) ၏ ကိန်းသေဖြစ်ပြီး \(c\) သည် ကိန်းသေကိန်းဖြစ်သည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာသည် ဤကိန်းသေသုံးခုမှ ဖြေရှင်းချက်များ (အမြစ်များ) ကို တိုက်ရိုက်ပေးသည် — ခွဲထုတ်ရန်မလိုပါ။ ၎င်းသည် ကောင်းစွာခွဲထုတ်၍မရသော ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းများအပါအဝင် မည်သည့်ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းအတွက်မဆို အလုပ်လုပ်သည်။
၎င်း၏ဆင်းသက်ပုံ (derivation): ဤဖော်မြူလာသည် ယေဘုယျညီမျှခြင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်အောင်ပြုလုပ်ခြင်း ဖြင့် ရရှိသောအရာဖြစ်သည်။ \(ax^2 + bx + c = 0\) ကို \(a\) ဖြင့် စားပါ၊ ကိန်းသေကိန်းကို တစ်ဖက်သို့ရွှေ့ပါ၊ နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်ဖြစ်အောင်ပြုလုပ်ရန် နှစ်ဖက်လုံးသို့ \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ကို ပေါင်းထည့်ပြီး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းယူပါ။ ရလဒ်မှာ မည်သည့် \(a\), \(b\), \(c\) အတွက်မဆို အကျုံးဝင်သော အောက်ပါဖော်မြူလာတစ်ခုတည်းဖြစ်သည်။
ခွဲခြားကိန်း- အမြစ်မည်မျှရှိသနည်း
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းအောက်ရှိ အပိုင်းဖြစ်သော \(b^2 - 4ac\) ကို ခွဲခြားကိန်း (D ဟု မကြာခဏရေးသားသည်) ဟုခေါ်သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် ဖြေရှင်းချက်မည်မျှရှိသည်ကို သိရှိရန် ဖော်မြူလာတစ်ခုလုံးကို အဆုံးသတ်ရန် မလိုအပ်ပါ — ခွဲခြားကိန်း၏ လက္ခဏာ က သင့်ကို ချက်ချင်းပြောပြသည်။
အနုတ်ကိန်း၏ ကိန်းမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ယူ၍ မရသောကြောင့် D ၏ လက္ခဏာသည် ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းတိုင်းကို အခြေအနေသုံးမျိုးတိတိ ခွဲခြားပေးသည်- အမြစ်နှစ်ခု၊ ထပ်နေသောအမြစ်တစ်ခု သို့မဟုတ် ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိခြင်း။ ဂရပ်ပေါ်တွင် ၎င်းသည် ပါရာဘိုလာ \(y = ax^2 + bx + c\) သည် x-ဝင်ရိုးနှင့် တွေ့ဆုံသည့်နေရာဖြစ်သည် — နှစ်ကြိမ်၊ တစ်ကြိမ် (ထိပ်မှတ်တွင်) သို့မဟုတ် လုံးဝမတွေ့ဆုံပါ။
| ခွဲခြားကိန်း D = b² − 4ac | ကိန်းမှန်အမြစ်များ | ရရှိမည့်အရာ |
|---|---|---|
| D > 0 | ကွဲပြားသော ကိန်းမှန်အမြစ်နှစ်ခု | ပါရာဘိုလာသည် x-ဝင်ရိုးကို နှစ်ကြိမ်ဖြတ်သည်။ လက္ခဏာနှစ်ခုလုံးကို အသုံးပြုပါ- x = (−b ± √D) / 2a။ |
| D = 0 | ကိန်းမှန်အမြစ်တစ်ခု (ထပ်နေသည်) | ပါရာဘိုလာသည် ၎င်း၏ထိပ်မှတ်တွင် x-ဝင်ရိုးကို ထိသည်။ ± ပျောက်ကွယ်သွားသည်- x = −b / 2a။ |
| D < 0 | ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိ | ပါရာဘိုလာသည် x-ဝင်ရိုးကို လုံးဝမထိပါ။ အနုတ်ကိန်း၏ ကိန်းမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း မရှိပါ။ |
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာကို အသုံးပြုနည်း- အဆင့်ဆင့်
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာသည် အမြဲတမ်း အတူတူပင် အလုပ်လုပ်သည်။ ဤအဆင့်ငါးဆင့်ကို အစဉ်လိုက်လိုက်နာပါက သင့်ကို ဘယ်တော့မှ စိတ်ပျက်စေမည်မဟုတ် — အခက်ခဲဆုံးအပိုင်းမှာ ကိန်းသေများကို (၎င်းတို့၏ လက္ခဏာများနှင့်အတူ) မှန်ကန်စွာ ဖတ်ရှုခြင်းဖြစ်သည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာ ဥပမာများ (အဆင့်ဆင့်)
ဥပမာ ၁။ ကိန်းမှန်အမြစ်နှစ်ခု (D > 0)
ဖြေရှင်းပါ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)။
အဆင့် ၁–၂။ ၎င်းသည် စံပုံစံဖြင့် ရှိနှင့်ပြီးသားဖြစ်သည်၊ ထို့ကြောင့် ကိန်းသေများကို ဖတ်ရှုပါ- \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)။
အဆင့် ၃။ ခွဲခြားကိန်း- \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)။
အဆင့် ၄။ \(D = 25 > 0\) ဖြစ်သောကြောင့် ကွဲပြားသော ကိန်းမှန်အမြစ်နှစ်ခု ရှိသည်။
အဆင့် ၅။ အစားသွင်းပါ- \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)။
အပေါင်းလက္ခဏာကို အသုံးပြု၍- \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)။ အနုတ်လက္ခဏာကို အသုံးပြု၍- \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)။
အမြစ်များ: \(x = 3\) နှင့် \(x = \tfrac{1}{2}\)။
ဥပမာ ၂။ ထပ်နေသောအမြစ်တစ်ခု (D = 0)
ဖြေရှင်းပါ \(x^2 - 6x + 9 = 0\)။
အဆင့် ၁–၂။ စံပုံစံဖြင့် ရှိနှင့်ပြီးသား- \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)။
အဆင့် ၃။ ခွဲခြားကိန်း- \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)။
အဆင့် ၄။ \(D = 0\) ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းမှန်အမြစ်တစ်ခုတိတိ (ထပ်နေသောအမြစ်) ရှိသည်။ \(\sqrt{0} = 0\) ဖြစ်သောကြောင့် \(\pm\) ကိန်းသည် ပျောက်ကွယ်သွားသည်။
အဆင့် ၅။ \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)။
အမြစ်: \(x = 3\) (ဤဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းသည် \((x-3)^2 = 0\) ဟူသော နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်)။
ဥပမာ ၃။ ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိ (D < 0)
ဖြေရှင်းပါ \(x^2 + 2x + 5 = 0\)။
အဆင့် ၁–၂။ စံပုံစံ- \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)။
အဆင့် ၃။ ခွဲခြားကိန်း- \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)။
အဆင့် ၄။ \(D = -16 < 0\)။ အနုတ်ကိန်း၏ ကိန်းမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ယူ၍ မရသောကြောင့် ဤညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိ — ၎င်း၏ပါရာဘိုလာသည် x-ဝင်ရိုးကို လုံးဝမဖြတ်ပါ။
အဆင့် ၅။ ကိန်းမှန်ဖြေရှင်းချက်များအတွက် ထပ်မံလုပ်ဆောင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ (အကယ်၍ သင်သည် ကိန်းယောင်များကို သိရှိပြီးဖြစ်ပါက အမြစ်များမှာ \(x = -1 \pm 2i\) ဖြစ်သော်လည်း ကိန်းမှန်အဖြေအတွက် ဤနေရာတွင် ရပ်နားပါသည်။)
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာနှင့်ပတ်သက်သော အဖြစ်များသောအမှားများ
-
b ၏ လက္ခဏာကို မှားယွင်းခြင်း၊ အထူးသဖြင့် b သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သည့်အခါ။
ဖော်မြူလာသည် −b ဖြင့် စတင်သည်။ အကယ်၍ b = −7 ဖြစ်ပါက −b = +7 ဖြစ်သည် — အနုတ်လက္ခဏာနှစ်ခု ပယ်ဖျက်သွားသည်။ ရိုးရှင်းအောင်မပြုလုပ်မီ အစားသွင်းခြင်းကို အပြည့်အစုံရေးပါ၊ ဥပမာ −(−7)။
-
± ကို မေ့လျော့ပြီး အမြစ်တစ်ခုတည်းကိုသာ ဖော်ပြခြင်း။
D > 0 ဖြစ်သည့်အခါ ± သည် အဖြေနှစ်ခုကို ထုတ်ပေးသည်- တစ်ခုက အပေါင်းဖြင့်၊ တစ်ခုက အနုတ်ဖြင့်။ D = 0 မဟုတ်ပါက (−b + √D)/(2a) နှင့် (−b − √D)/(2a) နှစ်ခုလုံးကို အမြဲတွက်ချက်ပါ။
-
အပေါ်ပိုင်းကိန်း၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းကိုသာ 2a ဖြင့် စားခြင်း။
အပေါ်ပိုင်းကိန်းတစ်ခုလုံးဖြစ်သော −b ± √D ကို 2a ဖြင့် စားသည် — √D အပိုင်းကိုသာ မဟုတ်ပါ။ ၎င်းကို ပိုင်းခြေတစ်ခုတည်းအဖြစ် ထားပါ- (−b ± √D) / (2a)။
-
a သို့မဟုတ် c သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သည့်အခါ ခွဲခြားကိန်းကို မှားယွင်းတွက်ချက်ခြင်း။
D = b² − 4ac တွင် a·c သည် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သည့်အခါ 4ac ကို နုတ်ခြင်းသည် တကယ်တမ်းတွင် ပေါင်းခြင်းဖြစ်သည် (ဥပမာ 3x² − 2x − 1 အတွက် −4·3·(−1) = +12)၊ ထို့ကြောင့် D = 4 + 12 = 16 ဖြစ်ပြီး 4 − 12 မဟုတ်ပါ။
-
ညီမျှခြင်းကို စံပုံစံဖြင့် မရေးသားမီ ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုခြင်း။
ညီမျှခြင်းသည် ax² + bx + c = 0 ဟု ဦးစွာဖြစ်ရအောင် ကိန်းဂဏန်းတိုင်းကို တစ်ဖက်သို့ ရွှေ့ပါ။ ဥပမာ၊ x² = 5x − 6 သည် a, b, c တို့ကို မဖတ်ရှုမီ x² − 5x + 6 = 0 ဖြစ်ရမည်။
မကြာခဏမေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာဆိုတာ ဘာလဲ။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာသည် x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မည်သည့်ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်း ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0 ဖြင့်) ၏ ဖြေရှင်းချက်များကိုမဆို a, b, နှင့် c ကိန်းသေများမှ တိုက်ရိုက်ပေးသည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာကို အဆင့်ဆင့် ဘယ်လိုအသုံးပြုမလဲ။
ညီမျှခြင်းကို စံပုံစံ ax² + bx + c = 0 ဖြင့် ရေးသားပါ၊ a, b, နှင့် c တို့ကို ၎င်းတို့၏ လက္ခဏာများနှင့်အတူ ဖော်ထုတ်ပါ၊ ခွဲခြားကိန်း D = b² − 4ac ကို တွက်ချက်ပါ၊ အမြစ်မည်မျှရှိသည်ကို သိရှိရန် ၎င်း၏လက္ခဏာကို စစ်ဆေးပါ၊ ထို့နောက် x = (−b ± √D) / (2a) ထဲသို့ အစားသွင်းပြီး အပေါင်းနှင့် အနုတ်ပုံစံနှစ်ခုလုံးကို ရိုးရှင်းအောင်ပြုလုပ်ပါ။
ခွဲခြားကိန်းဆိုတာ ဘာလဲ၊ ဘာကြောင့် အရေးကြီးတာလဲ။
ခွဲခြားကိန်းသည် D = b² − 4ac ဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းအောက်ရှိ ဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏လက္ခဏာသည် တွက်ချက်မှုကို အဆုံးမသတ်ဘဲ ကိန်းမှန်အမြစ်အရေအတွက်ကို ပြောပြသည်- D > 0 သည် ကိန်းမှန်အမြစ်နှစ်ခုကို ပေးသည်၊ D = 0 သည် ထပ်နေသောအမြစ်တစ်ခုကို ပေးသည်၊ D < 0 သည် ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိခြင်းကို ပေးသည်။
ခွဲထုတ်ခြင်းအစား ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာကို ဘယ်အချိန်မှာ အသုံးပြုသင့်သလဲ။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းကို သေးငယ်သော ကိန်းပြည့်များဖြင့် ခွဲထုတ်နိုင်သည့်အခါ ခွဲထုတ်ခြင်းသည် မြန်ဆန်သည်။ ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာသည် ကောင်းစွာခွဲထုတ်၍မရသော သို့မဟုတ် အတိကိန်း သို့မဟုတ် ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော အမြစ်များရှိသည့် ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းများအပါအဝင် မည်သည့်ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းအတွက်မဆို အလုပ်လုပ်သည်၊ ထို့ကြောင့် ခွဲထုတ်ခြင်းသည် ရှင်းလင်းမှုမရှိသည့်အခါတိုင်း ယုံကြည်စိတ်ချရသော အရန်နည်းလမ်းဖြစ်သည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာသည် ဘယ်ကလာတာလဲ။
၎င်းကို ယေဘုယျညီမျှခြင်း ax² + bx + c = 0 တွင် နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်အောင်ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဆင်းသက်လာသည်- a ဖြင့် စားပါ၊ (b/2a)² ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်အောင်ပြုလုပ်ပါ၊ ဘယ်ဘက်ခြမ်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်အဖြစ် ပြန်လည်ရေးသားပါ၊ ပြီးနောက် နှစ်ဖက်လုံး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ယူပါ။ ရလဒ်မှာ ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာဖြစ်သည်။
ဒုတိယဒီဂရီညီမျှခြင်းဖော်မြူလာက အဖြေမပေးနိုင်ဘူးလား။
အကယ်၍ ခွဲခြားကိန်းသည် အနုတ်ကိန်း (D < 0) ဖြစ်ပါက၊ အနုတ်ကိန်း၏ ကိန်းမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ယူ၍ မရသောကြောင့် ကိန်းမှန်ဖြေရှင်းချက်မရှိပါ။ ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းယောင်အမြစ်နှစ်ခု ရှိနေသေးသော်လည်း ကိန်းမှန်အမြစ်မရှိပါ — ဂရပ်ပေါ်တွင် ပါရာဘိုလာသည် x-ဝင်ရိုးကို လုံးဝမထိပါ။
