Ketaksamaan ialah dua ungkapan yang disambungkan dengan tanda \(<\), \(>\), \(\le\) atau \(\ge\). Menyelesaikan ketaksamaan bermaksud mencari semua nilai pemboleh ubah yang menjadikannya ketaksamaan nombor yang benar. Jawapan bukan satu nombor, tetapi satu set penuh: selang pada paksi nombor atau gabungan selang. Halaman ini mengumpul pangkalan data, yang sama untuk semua jenis ketaksamaan: cara membaca tanda, penjelmaan yang dibenarkan, mengapa tanda diterbalikkan semasa pembahagian dengan nombor negatif dan cara menulis jawapan dengan betul. Dan seterusnya — gambaran keseluruhan semua jenis ketaksamaan dengan pautan kepada analisis terperinci dan latihan untuk memeriksa diri sendiri.
Apa maksud menyelesaikan ketaksamaan
Penyelesaian ketaksamaan ialah sebarang nilai pemboleh ubah yang menjadikan ketaksamaan itu benar secara nombor. Dan menyelesaikan ketaksamaan bermaksud mencari semua nilai tersebut dan menuliskannya sebagai satu set.
Bandingkan dengan persamaan. Persamaan \(2x = 8\) mempunyai jawapan satu nombor \(x = 4\). Ketaksamaan \(2x < 8\) mempunyai jawapan tak terhingga banyak nombor: \(3\), \(0\), \(-100\), dan \(3{,}999\) semuanya sesuai. Mustahil untuk menulisnya satu persatu, jadi jawapan ditulis sebagai selang: \(x < 4\), iaitu \((-\infty;\ 4)\).
Untuk memeriksa sama ada nombor tertentu ialah penyelesaian, ia mudah: gantikan ia sebagai pemboleh ubah dan lihat sama ada ketaksamaan nombor yang benar terhasil.
- \(x = 1\) dalam ketaksamaan \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — benar, jadi \(1\) ialah penyelesaian.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — salah, jadi \(5\) bukan penyelesaian.
Dua ketaksamaan dipanggil setara jika set penyelesaian mereka sama. Keseluruhan penyelesaian ketaksamaan ialah rantaian peralihan kepada ketaksamaan setara yang lebih mudah sehingga \(x\) tunggal tinggal di sebelah kiri.
Tanda ketaksamaan: ketat dan tidak ketat
Terdapat empat tanda, dan jawapan serta cara menuliskannya bergantung pada tanda yang digunakan. Tanda ketat \(<\) dan \(>\) tidak memasukkan titik sempadan itu sendiri dalam jawapan, manakala tanda tidak ketat \(\le\) dan \(\ge\) — memasukkannya.
Perbezaan ini berterusan sepanjang penyelesaian: tanda ketat menghasilkan titik kosong (tiada) pada paksi dan kurungan bulat dalam jawapan, manakala tanda tidak ketat — titik penuh dan kurungan siku.
| Tanda | Cara baca dan apa yang diberikan dalam jawapan |
|---|---|
| < | kurang daripadaketattitik kosong, kurungan bulat |
| > | lebih daripadaketattitik kosong, kurungan bulat |
| ≤ | kurang daripada atau sama dengantidak ketattitik penuh, kurungan siku |
| ≥ | lebih daripada atau sama dengantidak ketattitik penuh, kurungan siku |
Penjelmaan setara: apa yang boleh dilakukan dengan ketaksamaan
Anda boleh melakukan hampir semua perkara yang sama dengan ketaksamaan seperti persamaan, tetapi dengan satu pembetulan penting. Anda boleh menambah dan menolak dengan bebas: jika anda menambah atau menolak nombor yang sama dari kedua-dua bahagian, set penyelesaian tidak akan berubah. Inilah cara sebutan 'dipindahkan' melintasi tanda, menukar tanda tambah kepada tolak.
Walau bagaimanapun, pendaraban dan pembahagian bergantung pada tanda pemboleh ubah. Semasa mendarab atau membahagi kedua-dua bahagian dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan ditukar kepada yang bertentangan: \(<\) menjadi \(>\), \(\le\) menjadi \(\ge\) dan sebaliknya. Sebabnya jelas daripada nombor: daripada \(3 < 5\) yang benar, selepas mendarab dengan \(-1\) anda mendapat \(-3\) dan \(-5\), dan \(-3 > -5\) — susunan nombor diterbalikkan.
Perkara yang sama berlaku jika anda menukar bahagian kiri dan kanan: daripada \(7 < y\) anda mendapat \(y > 7\).
| Apa yang dilakukan pada kedua-dua bahagian | Apa yang berlaku pada tanda |
|---|---|
| Menambah atau menolak nombor atau ungkapan yang sama | tanda dikekalkan |
| Mendarab atau membahagi dengan nombor positif | tanda dikekalkan |
| Mendarab atau membahagi dengan nombor negatif | tanda ditukar |
| Menukar bahagian kiri dan kanan | tanda ditukar |
| Mendarab atau membahagi dengan ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah (x − 2) | tidak dibenarkan |
Cara menulis jawapan: paksi nombor dan selang
Apabila pemboleh ubah tinggal bersendirian, penyelesaian hampir selesai — tinggal untuk menuliskannya. Cara paling mudah ialah menandakan jawapan pada paksi nombor terlebih dahulu, dan kemudian mengira selang dari paksi.
Terdapat hanya tiga peraturan penulisan, dan ia tidak berubah mengikut jenis ketaksamaan:
- kurungan bulat — titik tidak termasuk dalam jawapan (tanda ketat, titik kosong);
- kurungan siku — titik termasuk (tanda tidak ketat, titik penuh);
- kurungan sentiasa bulat untuk ketakterhinggaan: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — format seperti \([-\infty;\ 4]\) tidak wujud, ketakterhinggaan bukanlah nombor dan tidak boleh dicapai.
Jika penyelesaiannya terdiri daripada dua bahagian paksi, ia disambungkan dengan tanda gabungan \(\cup\): contohnya, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Jenis ketaksamaan dan cara menyelesaikannya
Ketaksamaan dibezakan mengikut bagaimana pemboleh ubah muncul — sama ada ia berada dalam kuasa pertama, di bawah kuasa dua, dalam penyebut, atau di bawah modulus. Inilah yang menentukan kaedah penyelesaian, jadi langkah pertama dalam mana-mana penyelesaian ialah mengenal pasti jenis ketaksamaan. Logik umum seterusnya adalah sama: bawa ketaksamaan kepada bentuk 'ungkapan dibandingkan dengan sifar', dan kemudian gunakan kaedah yang sesuai untuk jenis ini. Ringkasan jenis dan kaedah — dalam jadual di bawah.
Secara berasingan, perlu diingat cara modulus dibuka — jadual ini tidak memuatkannya. Untuk \(a > 0\), ketaksamaan \(|f(x)| < a\) adalah setara dengan ketaksamaan berganda \(-a < f(x) < a\) (menghasilkan sistem), dan \(|f(x)| > a\) — gabungan \(f(x) < -a\) atau \(f(x) > a\) (menghasilkan gabungan selang). Jika \(a < 0\), tidak perlu berfikir: modulus adalah tidak negatif, jadi \(|f(x)| < a\) tidak mempunyai penyelesaian, dan \(|f(x)| > a\) adalah benar untuk semua \(x\) yang dibenarkan.
Ketaksamaan irasional (dengan punca) dan eksponen dibincangkan di sekolah menengah atas: kepada penjelmaan biasa ditambah kerja dengan domain nilai yang dibenarkan.
Analisis terperinci jenis individu: ketaksamaan linear, ketaksamaan rasional dan kaedah selang, dan punca tiga sebutan kuadratik mudah dicari menggunakan teorem Vieta.
| Jenis | Rupa dan cara penyelesaian |
|---|---|
| Linear | ax + b > 0pindahkan sebutan dan bahagikan dengan pekali x |
| Kuadratik | ax2 + bx + c > 0cari punca tiga sebutan dan lihat parabola |
| Pecahan-rasional | P(x) / Q(x) ≥ 0kaedah selang, punca penyebut dikosongkan |
| Dengan modulus | | f(x) | < abuka modulus mengikut definisi |
| Sistem | dua ketaksamaan dalam kurungan kerintingselesaikan setiap satu, ambil persilangan |
Sistem dan gabungan ketaksamaan
Selalunya satu ketaksamaan terbahagi kepada dua, dan penting untuk tidak tersilap apa yang perlu dilakukan dengan set yang diperoleh.
Sistem (kurungan kerinting) bermaksud 'kedua-duanya serentak'. Selesaikan setiap ketaksamaan secara berasingan, tandakan kedua-dua jawapan pada paksi yang sama dan ambil persilangan — bahagian bersama. Jika tiada bahagian bersama, sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Gabungan (kurungan segi empat) bermaksud 'satu atau yang lain'. Di sini, ambil gabungan — semua yang diwarnakan oleh sekurang-kurangnya satu jawapan. Gabungan muncul, contohnya, apabila membuka modulus dengan tanda 'lebih daripada'.
Secara berasingan, terdapat ketaksamaan berganda seperti \(-3 < 2x + 1 \le 7\): ini ialah cara ringkas untuk menulis sistem. Penjelmaan dilakukan serta-merta pada ketiga-tiga bahagian — tolak, bahagi, dan semasa membahagi dengan nombor negatif, kedua-dua tanda diterbalikkan.
Contoh penyelesaian ketaksamaan
Contoh 1. Semak sama ada nombor ialah penyelesaian
Tugasan. Adakah \(x = -1\) penyelesaian kepada ketaksamaan \(3x + 5 \ge 1\)?
Langkah 1. Gantikan \(-1\) sebagai \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Langkah 2. Bandingkan dengan bahagian kanan: \(2 \ge 1\) — ketaksamaan nombor yang benar.
Jawapan. Ya, \(-1\) ialah salah satu penyelesaian. Tetapi menyelesaikan ketaksamaan bermaksud mencari semua nombor sedemikian, bukan satu: di sini jawapannya ialah \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Contoh 2. Ketaksamaan linear dengan penukaran tanda
Tugasan. Selesaikan \(7 - 3x < 1\).
Langkah 1. Pindahkan \(7\) ke kanan (iaitu tolak \(7\) dari kedua-dua bahagian — tanda ketaksamaan tidak berubah): \(-3x < 1 - 7\), jadi \(-3x < -6\).
Langkah 2. Bahagikan kedua-dua bahagian dengan \(-3\). Pembahagi adalah negatif, jadi tanda diterbalikkan: \(x > 2\).
Langkah 3. Tandakan pada paksi: titik kosong pada \(2\), lorekkan semua ke kanan.
Jawapan. \(x > 2\), iaitu \(x \in (2;\ +\infty)\).
Contoh 3. Ketaksamaan kuadratik
Tugasan. Selesaikan \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Langkah 1. Cari punca tiga sebutan: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), jadi \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Langkah 2. Pekali \(x^2\) adalah positif, jadi cabang parabola menghala ke atas: antara punca tiga sebutan adalah negatif, dan di luar punca — positif.
Langkah 3. Kita perlukan tanda \(\le 0\), iaitu nilai negatif dan punca itu sendiri (tanda tidak ketat) — ambil segmen antara punca bersama dengan hujungnya.
Jawapan. \(x \in [-1;\ 5]\).
Contoh 4. Ketaksamaan dengan modulus
Tugasan. Selesaikan \(|x + 1| > 4\).
Langkah 1. Modulus lebih besar daripada nombor positif — jadi ungkapan di bawah modulus sama ada lebih besar daripada \(4\) atau kurang daripada \(-4\). Kita mendapat gabungan: \(x + 1 > 4\) atau \(x + 1 < -4\).
Langkah 2. Selesaikan setiap satu: daripada yang pertama \(x > 3\), daripada yang kedua \(x < -5\).
Langkah 3. Ini ialah gabungan, jadi ambil gabungan selang, bukan persilangan.
Jawapan. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Contoh 5. Sistem ketaksamaan
Tugasan. Selesaikan sistem \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Langkah 1. Ketaksamaan pertama: \(2x > -4\), bahagikan dengan positif \(2\) — tanda kekal, \(x > -2\).
Langkah 2. Ketaksamaan kedua: \(x \le 4\).
Langkah 3. Tandakan kedua-dua jawapan pada paksi yang sama dan ambil persilangan — kawasan yang dilorek dua kali. Sempadan kiri tidak termasuk (tanda ketat), sempadan kanan termasuk (tidak ketat).
Jawapan. \(x \in (-2;\ 4]\).
Kesalahan biasa dalam penyelesaian ketaksamaan
-
Membahagikan dengan nombor negatif dan mengekalkan tanda yang sama.
Semasa mendarab dan membahagi kedua-dua bahagian dengan nombor negatif, tanda mesti ditukar kepada yang bertentangan. Daripada \(-5x \ge 10\) anda mendapat \(x \le -2\), bukan \(x \ge -2\). Anda boleh menyemak diri sendiri dengan penggantian: \(x = -3\) memberikan \(15 \ge 10\) — benar, jadi jawapan yang betul memang 'kurang daripada atau sama dengan'.
-
Menulis kurungan siku untuk ketakterhinggaan: $[-\infty;\ 7]$.
Ketakterhinggaan bukanlah nombor, ia tidak boleh 'dicapai', jadi kurungan di sekitar \(\infty\) sentiasa bulat: \((-\infty;\ 7]\). Kurungan siku hanya digunakan untuk sempadan terhingga yang termasuk dalam jawapan.
-
Mencampuradukkan jenis kurungan dan jenis titik: tanda ketat ditulis dengan kurungan siku.
Tanda ketat (\(<\), \(>\)) — sempadan tidak termasuk: titik kosong dan kurungan bulat. Tanda tidak ketat (\(\le\), \(\ge\)) — sempadan termasuk: titik penuh dan kurungan siku. Semakan adalah mudah: gantikan titik sempadan itu sendiri ke dalam ketaksamaan asal dan lihat sama ada ia benar.
-
Mendarab kedua-dua bahagian dengan ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah untuk 'menyingkirkan pecahan'.
Tanda ungkapan sedemikian tidak diketahui, jadi tidak jelas sama ada untuk membalikkan tanda ketaksamaan atau tidak — penjelmaan tidak setara. Sebaliknya, pindahkan semuanya ke satu bahagian, bawa kepada satu pecahan dan gunakan kaedah selang.
-
Menulis satu nombor sebagai jawapan: ' $x = 3$' bukannya satu set.
Penyelesaian ketaksamaan ialah satu set nilai. Tulisnya sebagai selang: \(x > 3\), iaitu \((3;\ +\infty)\). Satu nombor boleh menjadi elemen jawapan, tetapi bukan jawapan itu sendiri.
-
Mengambil gabungan untuk sistem, dan persilangan untuk gabungan.
Untuk sistem (kurungan kerinting, 'dan') — persilangan, bahagian bersama selang. Untuk gabungan (kurungan segi empat, 'atau') — gabungan melalui tanda \(\cup\). Dan lagi: format seperti '\(-2 < x > 5\)' tidak masuk akal — jawapan sedemikian ditulis sebagai gabungan dua selang.
Soalan dan Jawapan
Apa maksud menyelesaikan ketaksamaan?
Menyelesaikan ketaksamaan bermaksud mencari semua nilai pemboleh ubah yang menjadikannya ketaksamaan nombor yang benar, dan menuliskannya sebagai satu set. Jawapan akan menjadi selang atau gabungan selang, bukan nombor tunggal.
Apakah jenis ketaksamaan yang ada?
Mengikut rupa ungkapan dengan pemboleh ubah, kita membezakan linear (\(ax + b > 0\)), kuadratik (\(ax^2 + bx + c > 0\)), pecahan-rasional (pemboleh ubah dalam penyebut), dengan modulus, irasional dan eksponen. Sistem dan gabungan ketaksamaan dibezakan secara berasingan. Mengikut tanda ketaksamaan, ia dibahagikan kepada ketat (\(<\), \(>\)) dan tidak ketat (\(\le\), \(\ge\)).
Bilakah tanda ketaksamaan ditukar kepada yang bertentangan?
Dalam dua kes: apabila kedua-dua bahagian didarab atau dibahagi dengan nombor negatif dan apabila bahagian kiri dan kanan ditukar tempat. Semasa menambah, menolak dan membahagi dengan nombor positif, tanda kekal sama.
Bilakah kurungan bulat, dan bilakah kurungan siku?
Bulat — jika titik sempadan tidak termasuk dalam jawapan (tanda ketat, titik kosong pada paksi). Siku — jika ia termasuk (tanda tidak ketat, titik penuh). Berdekatan \(+\infty\) dan \(-\infty\), kurungan sentiasa bulat.
Bagaimana penyelesaian ketaksamaan berbeza daripada penyelesaian persamaan?
Penjelmaan hampir sama, tetapi persamaan biasanya mempunyai jawapan yang terdiri daripada nombor individu, manakala ketaksamaan — daripada selang penuh. Selain itu, ketaksamaan mempunyai peraturan penukaran tanda semasa pendaraban dan pembahagian dengan nombor negatif, yang tidak ada dalam persamaan.
Apakah ketaksamaan yang dianggap pecahan dan di mana ia dibincangkan?
Ketaksamaan pecahan (pecahan-rasional) ialah ketaksamaan di mana pemboleh ubah berada dalam penyebut, contohnya \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); kerana penyebutnya, ia mempunyai domain nilai yang dibenarkan, dan ia tidak boleh diselesaikan dengan pembahagian biasa. Algoritma langkah demi langkah dengan contoh — dalam bahan berasingan ketaksamaan rasional dan kaedah selang.
Pada tingkatan berapakah penyelesaian ketaksamaan dipelajari?
Ketaksamaan linear dan selang nombor dipelajari pada tingkatan 8 (oleh Merzlyak — pada tingkatan 9), ketaksamaan kuadratik dan pecahan-rasional dengan kaedah selang — pada tingkatan 8-9, dan irasional dan eksponen — di sekolah menengah atas.
