Teorem Vieta mengaitkan punca persamaan kuadrat dengan pekali-pekalinya: untuk persamaan tak lengkap \(x^2 + px + q = 0\), jumlah punca ialah \(-p\), dan hasil darabnya ialah \(q\). Ini membolehkan punca dicari secara lisan - melalui pemilihan, tanpa diskriminan. Halaman ini mengandungi formula tepat untuk persamaan tak lengkap dan bentuk umum, teorem Vieta songsang, algoritma pemilihan punca, contoh yang dibincangkan dan alat interaktif.
Apakah Teorem Vieta
Teorem Vieta ialah peraturan yang mengaitkan punca persamaan kuadrat dengan pekali-pekalinya. Ia diformulasikan seperti berikut: jika \(x_1\) dan \(x_2\) ialah punca persamaan kuadrat tak lengkap \(x^2 + px + q = 0\), maka
Dengan perkataan lain: jumlah punca ialah pekali kedua dengan tanda berlawanan, dan hasil darab punca ialah sebutan malar. Tanda negatif dalam jumlah adalah bahagian paling penting dalam keseluruhan topik: ia ditulis sebagai \(-p\), bukan \(p\).
Untuk persamaan bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\) (di mana \(a \neq 0\)), formula diperoleh dengan membahagikan dengan \(a\):
Teorem ini berfungsi hanya apabila punca nyata wujud, iaitu apabila \(D \ge 0\). Jika diskriminan negatif, tiada apa yang perlu dipilih: tiada nombor nyata dengan jumlah dan hasil darab sedemikian wujud.
Persamaan Tak Lengkap dan Bentuk Umum: Di Mana Perlu Bahagi dengan a
Persamaan kuadrat tak lengkap ialah persamaan di mana pekali bagi \(x^2\) ialah satu: \(x^2 + px + q = 0\). Inilah yang teorem Vieta paling ringkas, jadi pemilihan punca sentiasa bermula dengan menjadikannya tak lengkap.
Jika \(a \neq 1\), persamaan dibahagikan dengan \(a\) sebutan demi sebutan. Contohnya, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) selepas dibahagikan dengan \(3\) menjadi \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), iaitu \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Dari sini \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) dan \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Idea yang sama boleh ditulis terus untuk bentuk umum, tanpa menjadikan persamaan tak lengkap: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Kesilapan yang paling kerap dibuat ialah menggunakan formula 'ringkas' \(-p\) dan \(q\) pada persamaan tak lengkap dan mendapat jumlah \(10\) bukannya \(\frac{10}{3}\).
Teorem Vieta Songsang
Teorem Vieta mempunyai teorem songsang, dan inilah yang membolehkan persamaan diselesaikan melalui pemilihan. Ia berbunyi: jika nombor \(m\) dan \(n\) sedemikian rupa sehingga
maka \(m\) dan \(n\) ialah punca persamaan \(x^2 + px + q = 0\).
Perbezaannya adalah prinsip. Teorem lurus bergerak dari punca ke pekali: punca sudah diketahui, kita mendapat hubungan di antara mereka. Teorem songsang bergerak dari pekali ke punca: kita meneka pasangan nombor dengan jumlah dan hasil darab yang dikehendaki - dan kita mempunyai hak penuh untuk menamakan mereka sebagai punca, tiada lagi yang perlu dibuktikan.
Dari sini juga timbul peraturan berguna: jika \(x_1\) dan \(x_2\) ialah punca, maka polinomial boleh dipecahkan kepada faktor \((x - x_1)(x - x_2)\). Contohnya, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Pemilihan Punca Mengikut Teorem Vieta: Algoritma
Pemilihan punca ialah aplikasi praktikal utama teorem ini. Ia berfungsi lebih pantas daripada diskriminan apabila punca adalah integer, dan mengambil lima langkah.
Tanda Punca Mengikut Pekali p dan q
Sebelum memilih punca, anda boleh menentukan tanda punca - cukup dengan melihat tanda \(p\) dan \(q\). Ini mengurangkan senarai pilihan dengan ketara: anda boleh terus melihat sama ada mencari pasangan dua nombor positif, dua nombor negatif, atau nombor berlainan tanda.
| p dan q | Punca | Contoh |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | kedua-dua > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | kedua-dua < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | tanda berlainan | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 dan −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorem Vieta atau Diskriminan: Mana Satu Pilihan
Formula punca melalui diskriminan \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) sentiasa berfungsi, tetapi memerlukan pengiraan. Teorem Vieta berfungsi serta-merta, tetapi hanya jika punca boleh diteka - biasanya ia adalah nombor integer kecil.
Peraturan praktikalnya ialah:
- persamaan tak lengkap, dan \(q\) boleh dipecahkan kepada pasangan faktor kecil → cuba pemilihan mengikut Vieta, jawapan diperoleh secara lisan;
- pekali besar atau pecahan, punca tidak boleh diteka dalam masa 10–15 saat → kira diskriminan;
- hanya bilangan punca atau tanda punca diperlukan, dan punca itu sendiri tidak diperlukan → \(D\) dan jadual tanda di atas sudah memadai.
Ia juga berguna untuk gabungan: selepas mengira diskriminan dan mencari punca — semak jawapan mengikut Vieta. Jumlahnya sepatutnya \(-p\), hasil darabnya \(q\). Semakan sedemikian mengambil masa beberapa saat dan dapat mengesan hampir semua kesilapan aritmetik.
Contoh Penyelesaian Mengikut Teorem Vieta
Contoh 1. Pemilihan Punca: Kedua-dua Punca Adalah Positif
Selesaikan \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Langkah 1. Persamaan adalah tak lengkap: \(p = -9\), \(q = 20\).
Langkah 2. Semak diskriminan: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — terdapat dua punca.
Langkah 3. Tuliskan hubungan: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Langkah 4. Senaraikan pemfaktoran 20: \(1\cdot 20\) (jumlah 21), \(2\cdot 10\) (jumlah 12), \(4\cdot 5\) (jumlah 9) — pasangan terakhir sesuai. Kedua-dua faktor adalah positif kerana \(q > 0\), dan \(p < 0\).
Langkah 5. Semakan dengan penggantian. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Contoh 2. Punca Berlainan Tanda
Selesaikan \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Langkah 1. Persamaan adalah tak lengkap: \(p = 3\), \(q = -28\).
Langkah 2. \(q < 0\), jadi punca mempunyai tanda berlainan dan diskriminan pasti positif: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Langkah 3. Hubungan: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Langkah 4. Pemfaktoran 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Perbezaan 3 diperlukan — pasangan 4 dan 7 sesuai. Oleh kerana jumlahnya negatif, punca yang mempunyai modulus lebih besar diambil sebagai negatif: \(4\) dan \(-7\).
Langkah 5. Semakan. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Contoh 3. Persamaan Bentuk Umum (a ≠ 1)
Selesaikan \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Langkah 1. Pekali \(a = 3\), jadi formula 'ringkas' \(-p\) dan \(q\) tidak boleh digunakan. Gunakan bentuk umum: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Langkah 2. Hasil darab ialah 1 — jadi punca adalah songsangan antara satu sama lain: jika satu ialah \(t\), yang lain ialah \(\tfrac{1}{t}\). Jumlah \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) menunjukkan \(t = 3\), kerana \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Langkah 3. Semakan dengan penggantian. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Contoh 4. Bina Persamaan Daripada Punca-punca Ia
Tugasan. Bina persamaan kuadrat tak lengkap yang punca-punca ialah \(-4\) dan \(6\).
Langkah 1. Kira jumlah dan hasil darab: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Langkah 2. Mengikut teorem Vieta songsang, pekali ialah \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) dan \(q = x_1 x_2 = -24\). Di sinilah terletaknya perangkap utama: \(p\) ialah jumlah dengan tanda berlawanan.
Langkah 3. Tuliskan persamaan: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Langkah 4. Semakan dengan penggantian. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Jawapan: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Hasil yang sama diperoleh daripada pemfaktoran \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Contoh 5. Semak Jawapan Orang Lain Mengikut Teorem Vieta
Tugasan. Seorang pelajar menyelesaikan persamaan \(x^2 + 5x + 6 = 0\) dan menulis jawapan: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Semak sama ada dia membuat kesilapan.
Langkah 1. Mengikut Vieta, sepatutnya \(x_1 + x_2 = -p = -5\) dan \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Langkah 2. Bagi jawapan yang dicadangkan, hasil darabnya betul (\(2\cdot 3 = 6\)), tetapi jumlahnya tidak: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Jadi, jawapan itu salah: tanda negatif hilang.
Langkah 3. Cari pasangan yang betul: perlukan nombor dengan hasil darab 6 dan jumlah -5 — ia ialah -2 dan -3 (kedua-duanya negatif kerana \(q > 0\) dan \(p > 0\)).
Langkah 4. Semakan dengan penggantian. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Jawapan: punca yang betul ialah \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Kesilapan Lazim Semasa Bekerja dengan Teorem Vieta
-
Kehilangan tanda negatif dalam jumlah: menulis $x_1 + x_2 = p$ bukannya $x_1 + x_2 = -p$.
Tanda negatif hanya ada pada jumlah, hasil darab diambil dengan tanda yang sama: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Semak dengan persamaan mudah \(x^2 - 5x + 6 = 0\): di sini \(p = -5\), jumlah punca ialah 5, dan punca sememangnya 2 dan 3.
-
Menggunakan formula $-p$ dan $q$ pada persamaan tak lengkap: untuk $2x^2 - 9x + 4 = 0$ mengatakan 'jumlah 9, hasil darab 4'.
Selagi \(a \neq 1\), formula bentuk umum berfungsi: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Punca di sini ialah 4 dan \(\tfrac{1}{2}\), bukan 4 dan 1. Atau, bahagikan dahulu keseluruhan persamaan dengan \(a\).
-
Memilih punca tanpa menyemak diskriminan: untuk $x^2 + x + 1 = 0$ cuba mencari pasangan nombor dengan jumlah -1 dan hasil darab 1.
Pertama, pastikan punca wujud: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), tiada punca nyata, pemilihan tidak mungkin. Teorem Vieta hanya berfungsi apabila \(D \ge 0\).
-
Memilih pasangan hanya berdasarkan hasil darab, tanpa menyemak jumlah: untuk $x^2 - 8x + 12 = 0$ mengambil 3 dan 4, kerana hasil darab mereka ialah 12.
Kedua-dua hubungan perlu disemak sekaligus. Untuk \(x^2 - 8x + 12 = 0\), hasil darab 12 diberikan oleh pasangan (1; 12), (2; 6), (3; 4), manakala jumlah 8 hanya diberikan oleh pasangan 2 dan 6. Semakan: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) dan \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Semasa membina persamaan daripada punca, mengambil $p$ sama dengan jumlah: untuk punca 2 dan 5 menulis $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Pekali \(p\) ialah jumlah dengan tanda berlawanan: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), iaitu \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Penggantian mengesahkan: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Menganggap teorem Vieta hanya sah untuk punca integer, dan tidak menggunakannya untuk menyemak jawapan.
Hubungan \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\) berlaku untuk mana-mana punca nyata — integer, pecahan, dan tak nisbah. Pemilihan lisan hanya mudah untuk integer, manakala untuk yang lain, teorem kekal sebagai cara pantas untuk menyemak jawapan yang ditemui melalui diskriminan.
Soalan dan Jawapan
Bagaimana teorem Vieta dinyatakan dalam perkataan mudah?
Jika persamaan kuadrat tak lengkap \(x^2 + px + q = 0\) mempunyai punca, maka jumlah punca ialah pekali kedua dengan tanda berlawanan, dan hasil darabnya ialah sebutan malar: \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\).
Berapakah jumlah dan hasil darab punca bagi persamaan $ax^2 + bx + c = 0$?
Untuk persamaan bentuk umum, jumlah punca ialah \(-\dfrac{b}{a}\), dan hasil darabnya ialah \(\dfrac{c}{a}\). Formula ini diperoleh daripada kes tak lengkap dengan membahagikan keseluruhan persamaan dengan \(a\).
Apakah perbezaan antara teorem Vieta songsang dan teorem lurus?
Teorem lurus bergerak dari punca ke pekali: mengetahui punca, kita mendapat jumlah \(-p\) dan hasil darab \(q\). Teorem songsang bergerak sebaliknya: jika pasangan nombor memberikan jumlah dan hasil darab yang dikehendaki, maka nombor-nombor ini adalah punca persamaan. Teorem songsang inilah yang membolehkan persamaan diselesaikan melalui pemilihan.
Bagaimana memilih punca mengikut teorem Vieta?
Jadikan persamaan tak lengkap \(x^2 + px + q = 0\), pastikan \(D \ge 0\), tuliskan \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\), senaraikan pemfaktoran nombor \(q\) kepada pasangan faktor dan pilih pasangan yang jumlahnya ialah \(-p\). Contohnya, untuk \(x^2 + 6x + 8 = 0\), perlukan nombor dengan hasil darab 8 dan jumlah -6 — ia ialah -2 dan -4.
Adakah teorem Vieta berfungsi jika pekali bagi $x^2$ bukan satu?
Ya, tetapi dalam bentuk umum: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Formula ringkas \(-p\) dan \(q\) hanya sah untuk persamaan tak lengkap, jadi apabila \(a \neq 1\), persamaan dibahagikan dahulu dengan \(a\).
Apa yang perlu dilakukan jika punca tidak boleh dipilih mengikut teorem Vieta?
Ini bermakna punca bukan integer atau tiada langsung. Kira diskriminan: apabila \(D < 0\), tiada punca nyata, manakala apabila \(D \ge 0\), cari punca menggunakan formula \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) dan kemudian semak jawapan mengikut teorem Vieta.
Bagaimana menentukan tanda punca tanpa menyelesaikan persamaan?
Mengikut tanda \(p\) dan \(q\) apabila \(D \ge 0\): jika \(q > 0\) dan \(p < 0\) — kedua-dua punca adalah positif; jika \(q > 0\) dan \(p > 0\) — kedua-dua punca adalah negatif; jika \(q < 0\) — punca berlainan tanda; jika \(q = 0\) — salah satu punca ialah sifar.
Pada tingkatan berapa teorem Vieta diajar?
Pada tingkatan 8 dalam kelas algebra, sejurus selepas persamaan kuadrat dan diskriminan. Seterusnya ia digunakan dalam pemfaktoran polinomial kuadrat \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), dalam kajian punca dengan parameter, dan dalam soalan OGE dan EGE.
