Akar kuadrat nombor \(a\) ialah nombor yang kuadratnya ialah \(a\), dan akar kuadrat aritmetik merujuk hanya kepada nilai bukan negatifnya: \(\sqrt{25} = 5\). Anda hanya boleh mencari punca nombor bukan negatif, tetapi sifat punca menukar ungkapan yang rumit menjadi ungkapan yang ringkas. Halaman ini mengandungi definisi dan domain, semua sifat akar kuadrat dengan formula, jadual akar kuadrat dari 1 hingga 20, teknik mencari punca dan mengeluarkan pemboleh ubah, contoh yang dibincangkan, kesilapan biasa dan penguji interaktif.
Apa itu punca kuasa dua nombor
Akar kuadrat nombor \(a\) ialah nombor yang kuadratnya ialah \(a\). Mencari punca dan menaikkan kuasa adalah tindakan songsang: dari \(7^2 = 49\) ia serta-merta mengikuti bahawa punca kuasa dua 49 ialah 7.
Tetapi nombor positif mempunyai tepat dua punca kuasa dua, dan ia hanya berbeza dengan tanda: \(5^2 = 25\) dan \((-5)^2 = 25\), iaitu punca kuasa dua 25 ialah kedua-dua \(5\) dan \(-5\). Untuk memastikan simbol \(\sqrt{25}\) merujuk kepada satu nombor sahaja, dipersetujui: simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\) hanya mewakili punca bukan negatif. Ia dipanggil punca aritmetik.
Simbol mempunyai nama sendiri: simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\) ialah radikal, dan nombor atau ungkapan di bawahnya ialah ekspresi di bawah radikal.
Akar Kuadrat Aritmetik: Definisi dan Domain
Akar kuadrat aritmetik bagi nombor bukan negatif \(a\) ialah nombor bukan negatif yang kuadratnya ialah \(a\). Ia dilambangkan sebagai \(\sqrt{a}\) dan dibaca sebagai 'punca bagi a'.
Definisi ini mengandungi dua syarat, dan kedua-duanya sama pentingnya:
- ekspresi di bawah radikal adalah bukan negatif: \(a \ge 0\);
- nilai punca adalah bukan negatif: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Dari sini kita serta-merta mendapat: \(\sqrt{25} = 5\), bukan \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); dan simbol \(\sqrt{-9}\) tidak mempunyai makna dalam nombor nyata - tiada nombor yang kuadratnya negatif.
Syarat pertama menentukan domain ungkapan dengan punca. Contohnya, \(\sqrt{x-7}\) mempunyai makna apabila \(x - 7 \ge 0\), iaitu apabila \(x \ge 7\): mana-mana nilai \(x\) yang lebih kecil akan meletakkan nombor negatif di bawah punca.
Dari definisi, ia juga mengikuti bahawa \((\sqrt{a})^2 = a\) apabila \(a \ge 0\): menaikkan punca kepada kuasa dua mengembalikan nombor di bawah radikal. Ia berfungsi walaupun apabila kita tidak dapat mengira punca itu sendiri: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Jadual Punca Kuadrat: Kuasa Dua Nombor dari 1 hingga 20
Punca boleh didapati dengan tepat hanya apabila nombor di bawah radikal ialah kuasa dua sempurna. Oleh itu, jadual kuasa dua berfungsi sebagai jadual punca kuasa dua: ia dibaca dalam kedua-dua arah - \(14^2 = 196\), jadi \(\sqrt{196} = 14\).
Jadual ini berguna bukan sahaja untuk nombor bulat:
- perpuluhan: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), kerana \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- pecahan biasa: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - punca dicari secara berasingan untuk pengangka dan penyebut;
- nombor bulat: \(\sqrt{2500} = 50\), kerana \(2500 = 25 \cdot 100\), dan punca bagi setiap faktor diketahui.
Sifat Akar Kuadrat
Sifat akar kuadrat membolehkan pengiraan ungkapan tanpa mencari setiap punca secara berasingan, dan memudahkan jawapan.
Punca bagi hasil darab ialah hasil darab punca: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) apabila \(a \ge 0\) dan \(b \ge 0\). Contohnya, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - jawapan yang sama seperti \(\sqrt{144}\).
Punca bagi hasil bahagi ialah hasil bahagi punca: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) apabila \(a \ge 0\) dan \(b > 0\). Contohnya, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Syarat \(b > 0\) adalah ketat: anda tidak boleh membahagi dengan sifar.
Punca bagi kuasa dua ialah modulus: \(\sqrt{a^2} = |a|\), dan ini benar untuk mana-mana nombor \(a\). Di sini terdapat kesukaran utama dalam keseluruhan topik. Jika \(a \ge 0\), tiada apa yang berubah: \(\sqrt{7^2} = 7\). Tetapi jika \(a\) negatif, tanda 'diluruskan': \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), bukan \(-6\) - kerana punca aritmetik tidak boleh negatif.
Kuasa dua punca mengembalikan nombor di bawah radikal: \((\sqrt{a})^2 = a\) apabila \(a \ge 0\).
Tetapi untuk hasil tambah dan tolak, tiada sifat yang serupa: punca bagi hasil tambah tidak sama dengan hasil tambah punca. Ini adalah kesilapan paling biasa dalam topik ini, perbincangan - di bawah.
| Sifat dan syarat | Contoh |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bapabila a ≥ 0 dan b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bapabila a ≥ 0 dan b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|untuk mana-mana a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aapabila a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bapabila b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Cara Mencari Punca Kuadrat Nombor
Kalkulator tidak selalu ada, dan tugasan sekolah hampir selalu disusun supaya punca boleh didapati. Urutan tindakan adalah seperti berikut.
- Semak jadual kuasa dua. Jika nombor ada dalam jadual, jawapan sudah siap: \(\sqrt{289} = 17\).
- Pisahkan pemboleh ubah bulat. Untuk nombor dengan sifar, ia mudah untuk memisahkan \(100\), \(10\,000\), dan seterusnya: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Faktorkan kepada faktor perdana. Ini adalah kaedah universal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), bahagikan eksponen dengan separuh dan dapatkan \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Tukar perpuluhan kepada pecahan biasa. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Ini juga mengelakkan kehilangan tempat perpuluhan.
- Jika tiada kuasa dua sempurna, punca adalah nombor tak nisbah. Kemudian ia sama ada dibiarkan dalam jawapan sebagai simbol (tulis seperti ini: \(\sqrt{30}\)), atau dianggarkan di antara kuasa dua bersebelahan.
Semakan mengambil masa satu saat: naikkan nombor yang diperoleh kepada kuasa dua dan lihat sama ada nombor asal kembali. \(24^2 = 576\) - betul.
Mengeluarkan Pemboleh Ubah dari Bawah Tanda Punca
Punca jarang dibiarkan 'mentah' - segala yang boleh dikeluarkan dikeluarkan dari bawahnya. Sifat \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) berfungsi apabila \(b \ge 0\): kita mencari faktor kuasa dua terbesar bagi nombor di bawah radikal.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Tindakan songsang - memasukkan pemboleh ubah di bawah punca: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) apabila \(a \ge 0\). Contohnya, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Berhati-hatilah dengan pemboleh ubah negatif: tanda negatif tidak boleh masuk ke bawah punca dan kekal di luar. Simbol yang betul ialah \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), bukan \(\sqrt{12}\).
Mengapa ini perlu: selepas mengeluarkan pemboleh ubah, punca dengan ungkapan di bawah radikal yang sama menjadi sebutan serupa, dan ia boleh ditambah. Dan memasukkan pemboleh ubah di bawah punca adalah cara terpantas untuk membandingkan dua ungkapan dengan punca.
Berapa Punca Kuadrat yang Tidak Boleh Dicari
Jika nombor di bawah radikal bukan kuasa dua sempurna, punca ialah nombor tak nisbah: perwakilannya dalam perpuluhan adalah tak terhingga dan tidak berulang. Contohnya, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), dan nilai tepatnya hanya ditulis dengan simbol \(\sqrt{2}\). Jawapan yang dibundarkan hanya ditulis apabila diminta dalam tugasan.
Anda boleh menganggarkan punca sedemikian tanpa kalkulator: cari dua kuasa dua sempurna bersebelahan di antara mana nombor di bawah radikal terletak. Peraturan perbandingan berfungsi: untuk \(a \ge 0\) dan \(b \ge 0\), dari \(a < b\) ia mengikuti \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - nombor yang lebih besar di bawah radikal mempunyai punca yang lebih besar.
Contoh Pengiraan dengan Punca Kuadrat
Contoh 1. Nilai Ungkapan dengan Punca
Kira \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Langkah 1. \(\sqrt{121} = 11\), kerana \(11^2 = 121\).
Langkah 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), kerana \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Langkah 3. Punca bagi pecahan dicari mengikut pengangka dan penyebut: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Langkah 4. Tambah: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Jawapan: 11.
Contoh 2. Punca Hasil Darab
Kira \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Langkah 1. Punca ini tidak boleh dicari secara berasingan, jadi kita gabungkan menjadi satu: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Langkah 2. Kira hasil darab di bawah punca: \(8 \cdot 18 = 144\).
Langkah 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Cara lain - keluarkan pemboleh ubah terlebih dahulu: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) dan \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), jadi \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Jawapan sepadan.
Jawapan: 12.
Contoh 3. Mencari Punca dengan Pemfaktoran
Kira \(\sqrt{576}\) dan \(\sqrt{6400}\).
Langkah 1. Nombor 576 tiada dalam jadual kuasa dua, jadi kita faktorkannya kepada faktor perdana: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Langkah 2. Bahagikan eksponen dengan separuh: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Langkah 3. Semakan. \(24^2 = 576\) - betul.
Langkah 4. Untuk nombor 6400, lebih mudah untuk memisahkan pemboleh ubah bulat: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Semakan: \(80^2 = 6400\).
Jawapan: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Contoh 4. Mengeluarkan Pemboleh Ubah dan Menggabungkan Sebutan Serupa
Permudahkan \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Langkah 1. Keluarkan pemboleh ubah dari bawah setiap punca: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), jadi \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Langkah 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Langkah 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Langkah 4. Hanya punca dengan ungkapan di bawah radikal yang sama boleh ditambah: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), dan sebutan dengan \(\sqrt{3}\) kekal berasingan.
Jawapan: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Contoh 5. Punca Kuadrat Pemboleh Ubah
Permudahkan \(\sqrt{(x-4)^2}\) apabila \(x < 4\).
Langkah 1. Mengikut sifat punca kuasa dua \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - serta-merta tulis modulus, bukan \(x - 4\).
Langkah 2. Buka modulus mengikut syarat. Jika \(x < 4\), maka perbezaan \(x - 4\) adalah negatif, dan modulus nombor negatif ialah nombor bertentangan: \(|x-4| = 4 - x\).
Langkah 3. Semakan. Ambil \(x = 1\): sebelah kiri \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), sebelah kanan \(4 - 1 = 3\) - sepadan.
Jawapan: \(4 - x\). Sebagai perbandingan, apabila \(x \ge 4\) jawapannya ialah \(x - 4\).
Contoh 6. Perbandingan Ungkapan dengan Punca
Bandingkan \(3\sqrt{5}\) dan \(5\sqrt{2}\).
Langkah 1. Kedua-dua nombor adalah positif, jadi kita masukkan pemboleh ubah di bawah punca: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Langkah 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Langkah 3. Bandingkan nombor di bawah radikal: \(45 < 50\), dan nombor yang lebih besar di bawah radikal mempunyai punca yang lebih besar.
Jawapan: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Kesilapan Biasa Semasa Bekerja dengan Punca Kuadrat
-
Menulis $\sqrt{a^2} = a$, terlupa modulus.
Kesamaan yang betul ialah \(\sqrt{a^2} = |a|\). Untuk nombor negatif, ini adalah penting: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), bukan \(-13\). Punca aritmetik tidak boleh negatif, jadi tanda di bawah punca 'diluruskan'.
-
Menganggap punca bagi hasil tambah ialah hasil tambah punca: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Tiada sifat seperti itu. Pertama, lakukan operasi di bawah punca: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), bukan 7. Sifat hanya wujud untuk hasil darab dan hasil bahagi: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) dan \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Menjawab bahawa $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - punca aritmetik sentiasa satu dan ia bukan negatif. Dua nilai muncul dalam tugasan lain: persamaan \(x^2 = 49\) mempunyai punca \(x = 7\) dan \(x = -7\). Anda tidak boleh mengelirukan simbol punca dengan penyelesaian persamaan.
-
Menulis $\sqrt{-16} = -4$, berfikir 'negatif darab negatif'.
Nombor negatif tidak boleh berada di bawah punca: \((-4)^2 = 16\), bukan \(-16\), jadi \(\sqrt{-16}\) tidak mempunyai makna dalam nombor nyata. Tetapi ungkapan \(-\sqrt{16} = -4\) adalah sah sepenuhnya - tanda negatif berada di hadapan punca, bukan di bawahnya.
-
Memasukkan pemboleh ubah negatif di bawah punca: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Peraturan \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) hanya berfungsi apabila \(a \ge 0\). Tanda negatif kekal di luar: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Semakan tanda: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), dan \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - nombor bertentangan.
-
Kehilangan tempat perpuluhan dalam nombor perpuluhan: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Semak dengan menaikkan kuasa songsang: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), tidak sepadan. Betulnya \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), kerana \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Kaedah yang boleh dipercayai ialah menukar kepada pecahan biasa: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Yakin bahawa punca sentiasa lebih kecil daripada nombor itu sendiri.
Ini hanya benar untuk nombor lebih besar daripada satu. Pada selang dari 0 hingga 1, ia adalah sebaliknya: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), dan \(0{,}5\) lebih besar daripada \(0{,}25\). Dan untuk 0 dan 1, punca adalah sama dengan nombor itu sendiri.
Soalan dan Jawapan
Apa itu punca kuadrat aritmetik dalam perkataan mudah?
Ia ialah nombor bukan negatif yang, apabila dinaikkan kepada kuasa dua, memberikan nombor di bawah radikal. Ia ditulis sebagai \(\sqrt{a}\), di mana ungkapan di bawah radikal mesti bukan negatif: \(a \ge 0\). Contohnya, \(\sqrt{64} = 8\), kerana \(8 \ge 0\) dan \(8^2 = 64\).
Apa perbezaan antara punca kuadrat dan punca kuadrat aritmetik?
Nombor positif mempunyai dua punca kuadrat - bertentangan tanda. Hanya punca bukan negatif dipanggil aritmetik, dan ia dilambangkan oleh simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\). Oleh itu, \(\sqrt{25} = 5\), walaupun persamaan \(x^2 = 25\) mempunyai dua punca: 5 dan \(-5\).
Bagaimana cara mencari punca kuadrat nombor tanpa kalkulator?
Pertama, semak nombor dalam jadual kuasa dua. Jika ia tiada di sana - faktorkan kepada pemboleh ubah dan keluarkan kuasa dua sempurna: \(784 = 16 \cdot 49\), jadi \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Sentiasa semak jawapan dengan tindakan songsang: \(28^2 = 784\).
Bolehkah anda mencari punca kuadrat nombor negatif?
Dalam nombor nyata - tidak: kuasa dua mana-mana nombor adalah bukan negatif, jadi ungkapan \(\sqrt{-9}\) tidak mempunyai makna. Dari syarat inilah domain dicari: contohnya, \(\sqrt{x-7}\) wujud hanya apabila \(x \ge 7\).
Berapakah punca kuasa dua nombor?
Ia ialah modulus nombor itu: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Jika \(a\) bukan negatif, ia akan menjadi nombor itu sendiri, jika negatif - nombor bertentangan dengannya: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Bagaimana cara mengeluarkan pemboleh ubah dari bawah tanda punca?
Cari faktor kuasa dua terbesar bagi nombor di bawah radikal dan gunakan sifat \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Contohnya, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Tindakan songsang ialah memasukkan pemboleh ubah di bawah punca: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Berapakah punca kuadrat 2?
Nombor \(\sqrt{2}\) adalah tak nisbah: perwakilannya dalam perpuluhan adalah tak terhingga dan tidak berulang, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Tiada nilai tepat dalam bentuk pecahan, jadi ia kekal sebagai simbol \(\sqrt{2}\) dalam jawapan, dan hanya dibundarkan jika syarat tugasan memerlukannya.
Bagaimana cara membandingkan dua nombor dengan punca tanpa mengiranya?
Masukkan pemboleh ubah di bawah punca dan bandingkan nombor di bawah radikal: nombor yang lebih besar di bawah radikal mempunyai punca yang lebih besar. Contohnya, \(\sqrt{17}\) dan 4: kerana \(4 = \sqrt{16}\) dan \(17 > 16\), maka \(\sqrt{17} > 4\).
Pada tingkatan manakah punca kuasa dua dipelajari?
Pada tingkatan 8 dalam kelas algebra: pertama, definisi punca kuadrat aritmetik dan sifatnya, kemudian penjelmaan ungkapan dengan punca dan penyelesaian persamaan bentuk \(x^2 = a\). Seterusnya, punca muncul dalam formula diskriminan dan dalam tugasan OGE dan ЕГЭ.
