Proporsi ialah kesamaan dua nisbah, contohnya \(2:3 = 8:12\). Untuk menyelesaikan perkadaran, anda hanya perlukan satu alat - sifat asas perkadaran: hasil darab sebutan hujung sama dengan hasil darab sebutan tengah. Di sekolah, ia dipanggil peraturan 'silang'. Di bawah - apa itu nisbah dan perkadaran, cara mencari sebutan tak diketahui, bagaimana perkadaran langsung berbeza daripada songsang, analisis masalah tentang resipi, skala dan harga, pengenalan kepada peratus dan simulator 10 masalah.
Apa itu Nisbah dan Perkadaran
Nisbah dua nombor ialah hasil bahaginya. Nisbah \(2:3\) (dibaca 'dua kepada tiga') menunjukkan berapa kali satu nombor lebih besar daripada yang lain atau bahagian mana satu nombor daripada yang lain. Ia boleh ditulis dalam dua cara: \(2:3\) atau pecahan \(\frac{2}{3}\) - ia adalah perkara yang sama.
Proporsi ialah kesamaan dua nisbah:
Dalam proporsi terdapat empat nombor, dan mereka mempunyai nama. Nombor di hujung ialah sebutan hujung, nombor di tengah ialah sebutan tengah. Proporsi adalah betul jika kedua-dua nisbah sama dengan nombor yang sama.
Sifat Asas Proporsi: Peraturan 'Silang'
Sifat Asas Proporsi: hasil darab sebutan hujung sama dengan hasil darab sebutan tengah.
Mengapa ia berlaku? Darabkan kedua-dua bahagian persamaan \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) dengan \(b \cdot d\). \(b\) akan terhapus di sebelah kiri, \(d\) di sebelah kanan, dan yang tinggal ialah \(a \cdot d = c \cdot b\). Tiada sihir - hanya sifat biasa persamaan.
Inilah yang pelajar panggil 'menyelesaikan perkadaran secara bersilang': nombor didarab secara pepenjuru, silang-menyilang. Sifat ini juga berfungsi sebaliknya: jika untuk empat nombor (tiada satu pun daripadanya ialah sifar) \(a \cdot d = b \cdot c\) berlaku, maka perkadaran yang betul boleh dibina daripadanya.
Daripada sini, kita mendapat dua kemahiran: menyemak sama ada perkadaran itu betul, dan mencari nombor tak diketahui di dalamnya.
Cara Mencari Sebutan Tak Diketahui dalam Perkadaran
Daripada sifat asas, kita dapat dua peraturan ringkas:
- sebutan hujung tak diketahui = hasil darab sebutan tengah : sebutan hujung yang diketahui;
- sebutan tengah tak diketahui = hasil darab sebutan hujung : sebutan tengah yang diketahui.
Anda tidak perlu menghafal peraturan ini. Satu teknik universal sudah cukup: darabkan secara bersilang, dapatkan persamaan jenis 'nombor \(\cdot\, x\) = nombor' dan bahagikan. Mari kita terangkan langkah demi langkah menggunakan perkadaran \(x : 7 = 12 : 21\).
Langkah terakhir - semakan - mengambil masa lima saat dan dapat mengesan hampir semua kesilapan aritmetik, jadi ia tidak sepatutnya dilepaskan.
Perkadaran Langsung dan Songsang
Dua kuantiti dipanggil berkadar langsung jika apabila satu meningkat beberapa kali, yang lain juga meningkat beberapa kali. Beli dua kali ganda buku - bayar dua kali ganda. Kuantiti sedemikian mempunyai nisbah yang malar.
Kuantiti adalah berkadar songsang jika apabila satu meningkat beberapa kali, yang lain berkurangan beberapa kali. Dua kali ganda bilangan pekerja - dua kali ganda kurang hari untuk kerja yang sama. Kuantiti sedemikian mempunyai hasil darab yang malar.
Perbezaan utama kelihatan apabila kita membina perkadaran. Untuk perkadaran langsung, ia dibina 'seperti adanya': \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Untuk perkadaran songsang, nisbah kedua dibalikkan: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Mengapa? Untuk perkadaran songsang, hasil darab adalah malar: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Bahagikan kedua-dua bahagian dengan \(a_2 \cdot b_1\) - dan anda akan mendapat \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Jadi 'pembalikan' bukanlah satu mantra yang perlu diingat, tetapi akibat daripada hasil darab yang kekal malar, bukan nisbah.
| Ciri | Langsung | Songsang |
|---|---|---|
| Hubungan | lebih banyak → lebih banyak | lebih banyak → kurang |
| Malar | nisbah a : b | hasil darab a × b |
| Penulisan | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Contoh | 3 pen — 90 ₽, 5 pen — 150 ₽ | 4 pelukis — 9 hari, 6 pelukis — 6 hari |
Cara Membina Perkadaran untuk Masalah: Resipi, Skala, Harga
Masalah perkataan 'tentang perkadaran' diselesaikan mengikut satu senario:
- Tuliskan syarat dalam dua lajur supaya kuantiti yang sama berada di bawah satu sama lain (portions di bawah portions, gram di bawah gram).
- Tandakan kuantiti yang dicari sebagai \(x\).
- Tentukan jenis perkadaran: bayangkan kuantiti pertama meningkat dan lihat sama ada kuantiti kedua meningkat atau berkurangan.
- Bina perkadaran - untuk perkadaran songsang, songsangkan nisbah kedua.
- Selesaikan secara bersilang dan semak sama ada jawapan yang diperoleh munasabah.
Mari kita tunjukkan dengan resipi. Untuk 4 portions lempeng, diperlukan 300 g tepung - berapa banyak tepung untuk 6 portions? Lebih banyak portions, jadi lebih banyak tepung diperlukan: perkadaran langsung, perkadaran dibina 'seperti adanya':
Untuk 6 portions, diperlukan 450 g tepung. Jawapan munasabah: portions meningkat 1.5 kali ganda, dan tepung diperlukan 1.5 kali ganda lebih banyak.
Masalah tentang skala (jarak pada peta berbanding jarak di permukaan bumi seperti 1 kepada nombor skala) dan harga (kuantiti barangan berbanding kuantiti seperti kos berbanding kos) diselesaikan dengan cara yang sama. Analisis penuh - dalam contoh di bawah.
Peratus Melalui Perkadaran
Peratus ialah satu per seratus bahagian nombor, jadi mana-mana masalah mudah tentang peratus boleh ditukar menjadi perkadaran:
Di sini, salah satu daripada empat nombor tidak diketahui - itulah yang kita cari secara bersilang.
Cari bahagian. Berapa ialah 15% daripada 240? Bina \(x : 240 = 15 : 100\), jadi \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) dan \(x = 36\).
Cari keseluruhan. Nombor 21 ialah 35% daripada nombor tertentu. Bina \(21 : x = 35 : 100\), jadi \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) dan \(x = 60\).
Cari peratus. Berapa peratus ialah 18 daripada 45? Bina \(18 : 45 = p : 100\), jadi \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) dan \(p = 40\), iaitu 40%.
Satu teknik - tiga jenis masalah berbeza, tiada apa yang perlu dihafal tambahan. Soalan 'berapa peratus kuantiti meningkat atau berkurangan' adalah berbeza: pertama, cari perubahan, dan kemudian bahagikan dengan nilai asal - ini adalah formula perubahan peratus, bukan perkadaran mudah.
Contoh Penyelesaian Perkadaran dengan Analisis Langkah demi Langkah
Contoh 1. Sebutan Tengah Tak Diketahui
Masalah. Cari sebutan tak diketahui dalam perkadaran \(15 : x = 45 : 24\).
Langkah 1. Tentukan sebutan. Sebutan hujung ialah 15 dan 24, sebutan tengah ialah \(x\) dan 45.
Langkah 2. Guna sifat asas: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), iaitu \(360 = 45x\).
Langkah 3. Bahagikan: \(x = 360 : 45 = 8\).
Semakan. \(15 : 8 = 1.875\) dan \(45 : 24 = 1.875\) - nisbah adalah sama.
Jawapan: \(x = 8\).
Contoh 2. Perkadaran Langsung: Harga dan Kuantiti
Masalah. Enam buku nota berharga 210 ₽. Berapa harga 10 buku nota yang sama?
Langkah 1. Lebih banyak buku nota - lebih tinggi kos, jadi perkadaran adalah langsung.
Langkah 2. Tuliskan syarat supaya kuantiti yang sama berada bersebelahan, dan bina perkadaran 'seperti adanya':
Langkah 3. Secara bersilang: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), jadi \(x = 2100 : 6 = 350\).
Semakan. Satu buku nota berharga \(210 : 6 = 35\) ₽, dan sepuluh ialah \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Sepadan.
Jawapan: 350 ₽.
Contoh 3. Perkadaran Songsang: Pekerja dan Hari
Masalah. Lapan pekerja menyiapkan pesanan dalam 15 hari. Berapa hari diperlukan untuk menyiapkan pesanan yang sama oleh 12 pekerja, jika mereka bekerja dengan kelajuan yang sama?
Langkah 1. Lebih banyak pekerja - kurang hari diperlukan. Perkadaran adalah songsang.
Langkah 2. Bina perkadaran, songsangkan nisbah kedua:
Di sini \(x\) ialah hari untuk 12 pekerja, dan 15 ialah hari untuk 8 pekerja: mereka bertukar tempat kerana perkadaran adalah songsang.
Langkah 3. Secara bersilang: \(8 \cdot 15 = 12x\), iaitu \(120 = 12x\) dan \(x = 10\).
Semakan. Hasil darab adalah malar: \(8 \cdot 15 = 120\) dan \(12 \cdot 10 = 120\). Sepadan, dan jawapan munasabah - kurang hari diperlukan.
Jawapan: 10 hari.
Contoh 4. Skala Peta
Masalah. Skala peta ialah \(1 : 200,000\). Jarak antara dua kampung pada peta ialah 7 cm. Berapa jarak antara mereka di permukaan bumi?
Langkah 1. Skala \(1 : 200,000\) bermaksud: 1 cm pada peta mewakili 200,000 cm di permukaan bumi. Ini ialah nisbah yang sedia ada.
Langkah 2. Bina perkadaran:
Langkah 3. Secara bersilang: \(1 \cdot x = 200,000 \cdot 7\), iaitu \(x = 1,400,000\) cm.
Langkah 4. Tukar kepada unit yang mudah: satu kilometer ada 100,000 cm, jadi \(1,400,000 : 100,000 = 14\) km.
Jawapan: 14 km.
Contoh 5. Peratus Melalui Perkadaran
Masalah. Di dalam kelas ada 25 murid, 60% daripadanya pergi berkhemah. Berapa orang yang pergi berkhemah?
Langkah 1. Keseluruhan ialah semua 25 murid, yang mewakili 100%. Bahagian yang dicari ialah \(x\) orang, yang mewakili 60%.
Langkah 2. Bina perkadaran 'bahagian : keseluruhan = peratus : 100':
Langkah 3. Secara bersilang: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), jadi \(x = 15\).
Semakan. 15 orang daripada 25 ialah \(15 : 25 = 0.6\), iaitu tepat 60%.
Jawapan: 15 orang.
Kesilapan Lazim Semasa Menyelesaikan Perkadaran
-
Mendarab nombor 'secara menegak', bukan bersilang: dalam perkadaran 5 : 2 = 20 : 8, mereka mengira 5 · 2 dan 20 · 8.
Sifat asas menghubungkan sebutan hujung dengan sebutan tengah, iaitu nombor secara pepenjuru: 5 · 8 = 40 dan 2 · 20 = 40. Hasil darab adalah sama - perkadaran adalah betul. Manakala 5 · 2 dan 20 · 8 tidak sama dan tidak menunjukkan apa-apa.
-
Dalam masalah perkadaran songsang, mereka membina perkadaran 'langsung'. Enam pam mengisi kolam dalam 10 jam; penulisan 6 : 15 = 10 : x memberikan 25 jam untuk 15 pam.
Lebih banyak pam - kurang masa diperlukan, tetapi hasilnya lebih lama: jadi perkadaran tidak dibina dengan betul. Nisbah kedua perlu diterbalikkan: 6 : 15 = x : 10, kemudian 15x = 60 dan x = 4 jam. Sentiasa semak jawapan anda dengan logik.
-
Selepas 'pendaraban silang', mereka membahagikan sebaliknya: daripada persamaan 8x = 96, mereka mendapat x = 8 : 96.
Untuk mencari x, bahagikan hasil darab dengan pekali yang berada bersebelahan dengan x: x = 96 : 8 = 12. Adalah berguna untuk menggantikan nombor yang ditemui semula: 8 · 12 = 96, semuanya betul.
-
Tidak menyelaraskan unit ukuran. Dalam masalah skala 1 : 50,000 dengan 3 cm pada peta, mereka memberikan jawapan '1.5' tanpa unit atau memanggilnya meter.
Pertama, kita mengira dalam unit yang sama dengan skala: 3 · 50,000 = 150,000 cm. Dan barulah kita menukar: 150,000 cm = 1500 m = 1.5 km. Unit dalam jawapan adalah sama pentingnya dengan nombor itu sendiri.
-
Mengelirukan nisbah dan perkadaran: apabila diminta membina perkadaran, mereka menulis satu nisbah '12 : 4'.
Nisbah ialah satu hasil bahagi dua nombor, contohnya 12 : 4. Perkadaran ialah kesamaan dua nisbah, ia mesti mempunyai empat nombor dan tanda sama dengan: 12 : 4 = 30 : 10 (kita semak: 12 · 10 = 120 dan 4 · 30 = 120).
Soalan dan Jawapan
Bagaimana nisbah berbeza daripada perkadaran?
Nisbah ialah hasil bahagi dua nombor, contohnya 12 : 4. Perkadaran ialah kesamaan dua nisbah, ia mempunyai empat nombor: 12 : 4 = 30 : 10. Nisbah menjawab soalan 'berapa kali', manakala perkadaran menyatakan bahawa dua perbandingan sedemikian memberikan hasil yang sama.
Apa itu sebutan hujung dan sebutan tengah perkadaran?
Dalam penulisan a : b = c : d, sebutan hujung ialah yang berada di hujung, iaitu a dan d. Sebutan tengah ialah yang berada di tengah, iaitu b dan c. Jika perkadaran ditulis sebagai pecahan, sebutan hujung ialah pengangka pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua, manakala sebutan tengah ialah penyebut pecahan pertama dan pengangka pecahan kedua.
Bagaimana untuk menyemak sama ada perkadaran adalah betul?
Darabkan secara bersilang dan bandingkan hasil darab. Contohnya, untuk 9 : 12 = 15 : 20, kita mengira 9 · 20 = 180 dan 12 · 15 = 180 - nombor sepadan, jadi perkadaran adalah betul. Jika hasil darab berbeza, perkadaran adalah salah.
Bolehkah kita menukar tempat sebutan perkadaran?
Ya, jika dilakukan mengikut peraturan. Dalam perkadaran yang betul, anda boleh menukar tempat sebutan hujung, anda boleh menukar tempat sebutan tengah, atau anda boleh menterbalikkan kedua-dua bahagian sekaligus - perkadaran akan kekal betul. Daripada 4 : 6 = 10 : 15, kita mendapat 4 : 10 = 6 : 15 atau 6 : 4 = 15 : 10 - hasil darab pepenjuru sentiasa 60. Tetapi anda tidak boleh menukar tempat hanya satu nombor.
Apa maksud 'menyelesaikan perkadaran secara bersilang'?
Ini ialah nama tidak formal untuk sifat asas perkadaran. Nombor didarab secara pepenjuru, silang-menyilang: sebutan hujung dengan sebutan hujung dan sebutan tengah dengan sebutan tengah. Ini menghasilkan persamaan dengan satu sebutan tak diketahui, yang diselesaikan dengan satu pembahagian. Tiada 'kaedah silang' berasingan selain daripada sifat asas.
Bagaimana untuk menentukan sama ada perkadaran dalam masalah adalah langsung atau songsang?
Bayangkan kuantiti pertama meningkat 2 kali ganda dan lihat kuantiti kedua. Jika ia juga meningkat 2 kali ganda - perkadaran adalah langsung, perkadaran dibina 'seperti adanya'. Jika ia berkurangan 2 kali ganda - perkadaran adalah songsang, nisbah kedua perlu diterbalikkan. Satu lagi ciri: untuk perkadaran langsung, nisbah kuantiti adalah malar, untuk perkadaran songsang - hasil darab mereka adalah malar.
Bagaimana untuk menyelesaikan masalah peratus menggunakan perkadaran?
Bina perkadaran 'bahagian : keseluruhan = peratus : 100' dan cari sebutan tak diketahui secara bersilang. Contohnya, 12% daripada 350: kita mendapat x : 350 = 12 : 100, jadi 100x = 4200 dan x = 42. Dengan cara yang sama, kita mencari keseluruhan daripada bahagian yang diketahui, dan peratus itu sendiri.
