Rumus kuadratik menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik dalam bentuk \(ax^2 + bx + c = 0\) (dengan \(a \neq 0\)). Puncanya diberikan oleh \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Pada halaman ini, anda akan melihat maksud setiap bahagian, cara menggunakan rumus langkah demi langkah, bagaimana pembezalayan memberitahu anda bilangan penyelesaian yang dijangkakan, dan contoh yang diselesaikan sepenuhnya — serta pelatih interaktif supaya anda boleh berlatih dengan segera.
Apakah itu rumus kuadratik
Persamaan kuadratik ialah sebarang persamaan yang boleh anda tulis dalam bentuk piawai \(ax^2 + bx + c = 0\), dengan \(a\), \(b\), dan \(c\) ialah nombor dan \(a \neq 0\). Nombor \(a\), \(b\), dan \(c\) dipanggil pekali: \(a\) ialah pekali bagi \(x^2\), \(b\) ialah pekali bagi \(x\), dan \(c\) ialah sebutan pemalar.
Rumus kuadratik memberikan penyelesaian (punca) terus daripada ketiga-tiga pekali ini — tidak perlu pemfaktoran. Ia berfungsi untuk setiap kuadratik, walaupun yang tidak boleh difaktorkan dengan mudah.
Asal usulnya (penerbitan): rumus ini diperoleh dengan melengkapkan kuasa dua pada persamaan am. Bahagikan \(ax^2 + bx + c = 0\) dengan \(a\), pindahkan pemalar ke sebelah, tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) pada kedua-dua belah untuk menjadikannya kuasa dua sempurna, dan ambil punca kuasa dua. Hasilnya ialah rumus tunggal di bawah, sah untuk sebarang \(a\), \(b\), \(c\).
Pembezalayan: berapa banyak punca
Bahagian di bawah punca kuasa dua, \(b^2 - 4ac\), dipanggil pembezalayan (sering ditulis sebagai \(D\)). Anda tidak perlu menyelesaikan keseluruhan rumus untuk mengetahui berapa banyak penyelesaian yang dimiliki oleh sesuatu persamaan — tanda pembezalayan memberitahu anda dengan serta-merta.
Oleh kerana anda tidak boleh mengambil punca kuasa dua nombor negatif dalam nombor nyata, tanda \(D\) membahagikan setiap kuadratik kepada tiga kes: dua punca, satu punca berulang, atau tiada punca nyata. Pada graf, ini adalah tempat parabola \(y = ax^2 + bx + c\) bertemu dengan paksi-x — dua kali, sekali (pada bucu), atau langsung tidak.
| Pembezalayan D = b² − 4ac | Punca nyata | Apa yang anda dapat |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua punca nyata berbeza | Parabola melintasi paksi-x dua kali. Gunakan kedua-dua tanda: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Satu punca nyata (berulang) | Parabola menyentuh paksi-x pada bucunya. Tanda ± hilang: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Tiada punca nyata | Parabola tidak pernah menyentuh paksi-x. Tiada punca kuasa dua nyata bagi nombor negatif. |
Cara menggunakan rumus kuadratik: langkah-langkah
Rumus kuadratik sentiasa berfungsi dengan cara yang sama. Ikuti lima langkah ini mengikut urutan dan ia tidak akan mengecewakan anda — bahagian yang paling sukar hanyalah membaca pekali (dengan tandanya) dengan betul.
Contoh rumus kuadratik (langkah demi langkah)
Contoh 1. Dua punca nyata (D > 0)
Selesaikan \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Langkah 1–2. Ia sudah dalam bentuk piawai, jadi baca pekali: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Langkah 3. Pembezalayan: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Langkah 4. \(D = 25 > 0\), jadi terdapat dua punca nyata yang berbeza.
Langkah 5. Gantikan: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Menggunakan tanda tambah: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Menggunakan tanda tolak: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Punca: \(x = 3\) dan \(x = \tfrac{1}{2}\).
Contoh 2. Satu punca berulang (D = 0)
Selesaikan \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Langkah 1–2. Bentuk piawai sudah ada: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Langkah 3. Pembezalayan: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Langkah 4. \(D = 0\), jadi terdapat tepat satu punca nyata (punca berulang). Sebutan \(\pm\) hilang kerana \(\sqrt{0} = 0\).
Langkah 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Punca: \(x = 3\) (kuadratik ini adalah kuasa dua sempurna \((x-3)^2 = 0\)).
Contoh 3. Tiada punca nyata (D < 0)
Selesaikan \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Langkah 1–2. Bentuk piawai: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Langkah 3. Pembezalayan: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Langkah 4. \(D = -16 < 0\). Kerana anda tidak boleh mengambil punca kuasa dua nyata bagi nombor negatif, persamaan ini mempunyai tiada punca nyata — parabolanya tidak pernah melintasi paksi-x.
Langkah 5. Tiada kerja lanjut diperlukan untuk penyelesaian nyata. (Jika anda pernah bertemu nombor kompleks, puncanya ialah \(x = -1 \pm 2i\), tetapi untuk jawapan nyata kita berhenti di sini.)
Kesilapan biasa dengan rumus kuadratik
-
Salah mendapatkan tanda b, terutamanya apabila b adalah negatif.
Rumus bermula dengan −b. Jika b = −7, maka −b = +7 — dua tanda tolak itu saling membatalkan. Tulis penggantian sepenuhnya, contohnya −(−7), sebelum mempermudahkan.
-
Melupakan ± dan hanya melaporkan satu punca.
Apabila D > 0, ± menghasilkan dua jawapan: satu dengan + dan satu dengan −. Sentiasa kira kedua-duanya (−b + √D)/(2a) dan (−b − √D)/(2a) kecuali D = 0.
-
Membahagikan hanya sebahagian daripada pengangka dengan 2a.
Keseluruhan pengangka, −b ± √D, dibahagikan dengan 2a — bukan hanya bahagian √D. Kekalkan ia sebagai satu pecahan: (−b ± √D) / (2a).
-
Mengira pembezalayan dengan salah apabila a atau c adalah negatif.
Dalam D = b² − 4ac, menolak 4ac apabila a·c adalah negatif sebenarnya menambah. Untuk 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, jadi D = 4 + 12 = 16, bukan 4 − 12.
-
Menggunakan rumus sebelum menulis persamaan dalam bentuk piawai.
Pindahkan setiap sebutan ke satu sisi supaya persamaan berbunyi ax² + bx + c = 0 terlebih dahulu. Contohnya, x² = 5x − 6 mesti menjadi x² − 5x + 6 = 0 sebelum anda membaca a, b, c.
Soalan lazim
Apakah itu rumus kuadratik?
Rumus kuadratik ialah x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ia memberikan penyelesaian bagi sebarang persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 (dengan a ≠ 0) terus daripada pekali a, b, dan c.
Bagaimanakah anda menggunakan rumus kuadratik langkah demi langkah?
Tulis persamaan dalam bentuk piawai ax² + bx + c = 0, kenal pasti a, b, dan c dengan tandanya, kira pembezalayan D = b² − 4ac, semak tandanya untuk melihat berapa banyak punca yang ada, kemudian gantikan ke dalam x = (−b ± √D) / (2a) dan permudahkan kedua-dua versi tambah dan tolak.
Apakah itu pembezalayan dan mengapa ia penting?
Pembezalayan ialah D = b² − 4ac, ungkapan di bawah punca kuasa dua. Tandanya memberitahu anda bilangan punca nyata tanpa menyelesaikan pengiraan: D > 0 memberikan dua punca nyata, D = 0 memberikan satu punca berulang, dan D < 0 memberikan tiada punca nyata.
Bilakah saya harus menggunakan rumus kuadratik dan bukannya pemfaktoran?
Pemfaktoran adalah cepat apabila kuadratik boleh difaktorkan dengan nombor bulat kecil. Rumus kuadratik berfungsi untuk setiap kuadratik, termasuk yang tidak boleh difaktorkan dengan mudah atau yang mempunyai punca tidak nisbah atau bukan integer, jadi ia adalah sandaran yang boleh dipercayai apabila pemfaktoran tidak jelas.
Dari manakah datangnya rumus kuadratik?
Ia diterbitkan dengan melengkapkan kuasa dua pada persamaan am ax² + bx + c = 0: bahagikan dengan a, lengkapkan kuasa dua dengan menambah (b/2a)², tulis semula sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna, dan ambil punca kuasa dua kedua-dua belah. Hasilnya ialah rumus kuadratik.
Bolehkah rumus kuadratik tidak memberikan jawapan?
Jika pembezalayan adalah negatif (D < 0), tiada penyelesaian nyata kerana anda tidak boleh mengambil punca kuasa dua nyata bagi nombor negatif. Persamaan itu masih mempunyai dua punca kompleks, tetapi tiada punca nyata — pada graf, parabola tersebut tidak pernah menyentuh paksi-x.
