Sifat kuasa ialah lapan peraturan untuk mendarab, membahagi, memangkatkan dan mempermudahkan kuasa. Halaman ini mengumpulkan semua rumus dalam satu jadual: hasil darab dan hasil bahagi kuasa dengan asas yang sama, kuasa bagi suatu kuasa, kuasa bagi hasil darab dan hasil bahagi, serta eksponen sifar, negatif dan pecahan. Setiap sifat dijelaskan dengan sebab ia berfungsi, diikuti dengan contoh langkah demi langkah, analisis kesilapan tanda yang lazim, dan latihan interaktif untuk menguji diri anda.
Apakah itu kuasa: asas dan eksponen
Kuasa ialah cara ringkas untuk menulis pendaraban faktor yang sama. Tatatanda \(a^n\) bermaksud nombor \(a\) didarab dengan dirinya sendiri sebanyak \(n\) kali:
Di sini \(a\) ialah asas kuasa (nombor yang didarab), dan \(n\) ialah eksponen kuasa (berapa kali didarab). Contohnya, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): asas ialah 3, eksponen ialah 4.
Dua tatatanda yang perlu diingat segera: \(a^1 = a\) (satu "salinan" nombor) dan \(a^2\) — "kuasa dua", \(a^3\) — "kuasa tiga". Semua peraturan di bawah berfungsi berdasarkan asas dan eksponen: sesetengah sifat memerlukan asas yang sama, yang lain memerlukan eksponen yang sama. Membezakan kedua-dua kes ini lebih penting daripada menghafal rumus.
Semua sifat kuasa: jadual rumus
Lapan sifat utama kuasa mudah dilihat dalam satu jadual satu jadual. Lima yang pertama berfungsi untuk sebarang eksponen, manakala tiga yang terakhir meluaskan konsep kuasa kepada eksponen sifar, negatif dan pecahan.
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Hasil darab asas sama — tambah eksponen | am · an = am+n |
| Hasil bahagi asas sama — tolak eksponen | am : an = am−n |
| Kuasa bagi kuasa darab eksponen | (am)n = amn |
| Kuasa bagi hasil darab setiap faktor dipangkatkan | (ab)n = anbn |
| Kuasa bagi hasil bahagi pengangka dan penyebut dipangkatkan | (a/b)n = an/bn |
| Eksponen sifar sebarang nombor selain sifar memberi satu | a0 = 1 |
| Eksponen negatif songsangkan kepada pecahan | a−n = 1/an |
| Eksponen pecahan ini ialah punca kuasa n | am/n = ⁿ√(am) |
Pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama
Ini adalah dua operasi kuasa yang paling kerap digunakan.
Semasa mendarab, eksponen ditambah, asas tidak berubah:
Sebabnya: faktor pertama mempunyai \(m\) nombor yang sama, faktor kedua mempunyai \(n\), jumlahnya ialah \(m+n\). Contohnya, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Semasa membahagi, eksponen ditolak (tolak eksponen pembahagi daripada eksponen yang dibahagi):
Contohnya, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Penting: semasa menambah dan menolak kuasa, eksponen tidak ditambah. Ungkapan \(2^3 + 2^4\) tidak boleh diringkaskan kepada satu kuasa: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), sedangkan \(2^7 = 128\). Sifat ini hanya berfungsi untuk pendaraban dan pembahagian.
Asas juga tidak berubah semasa pendaraban. \(2^3 \cdot 2^4\) ialah \(2^7\), bukan \(4^7\): tambah eksponen, dan tulis semula asas seperti sedia ada.
Kuasa bagi kuasa, kuasa bagi hasil darab dan kuasa bagi hasil bahagi
Kuasa bagi kuasa — eksponen didarab:
Contohnya, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Kuasa bagi hasil darab — setiap faktor dipangkatkan:
Contohnya, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Kuasa bagi hasil bahagi — pengangka dan penyebut dipangkatkan:
Contohnya, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Dua rumus terakhir sering digunakan dari kanan ke kiri — ini membolehkan pendaraban kuasa dengan asas berbeza tetapi eksponen yang sama: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Jika asas dan eksponen berbeza, ungkapan biasanya ditukar kepada asas yang sama: perhatikan bahawa nombor tersebut adalah kuasa bagi nombor yang sama. Contohnya, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), dan hasil darab \(4^3 \cdot 8^2\) menjadi \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Eksponen sifar dan negatif
Sebarang nombor selain sifar yang dipangkatkan dengan sifar adalah satu:
Ini bukan rekaan, tetapi hasil daripada peraturan pembahagian: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), tetapi hasil bahagi yang sama ialah \(216 : 216 = 1\). Jadi, \(6^0 = 1\). Ungkapan \(0^0\) tidak ditakrifkan.
Eksponen negatif bermaksud satu dibahagi dengan kuasa tersebut:
Contohnya, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), dan \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Akibat yang berguna: pecahan dengan eksponen negatif disongsangkan, dan eksponen menjadi positif:
Tanda tolak pada eksponen tidak menjadikan nombor itu negatif. Ungkapan \(2^{-3}\) ialah pecahan positif \(\frac{1}{8}\), bukan \(-8\). Tanda eksponen bertanggungjawab untuk "songsangan", bukan tanda hasil.
Perkara utama: kesemua lapan sifat daripada jadual terus berfungsi untuk eksponen sifar dan negatif — contohnya, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Eksponen pecahan dan punca
Eksponen pecahan ialah cara lain untuk menulis punca:
Penyebut pecahan menunjukkan darjah punca, pengangka menunjukkan kuasa bagi nombor di bawah punca. Contoh: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Sekatan: untuk penyebut \(n\) yang genap, asas mestilah bukan negatif (\(a \geqslant 0\)) — punca genap bagi nombor negatif tidak boleh dicari dalam kurikulum sekolah.
Mengapa ini perlu: dengan eksponen pecahan, sifat yang sama digunakan, jadi punca mudah didarab dan dibahagi dengan menukarkannya kepada kuasa. Contohnya, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Kuasa bagi nombor negatif: di mana tanda hilang
Jika asas adalah negatif, tanda hasil bergantung pada sama ada eksponen itu genap atau ganjil:
- eksponen genap — hasil positif: \((-3)^2 = 9\);
- eksponen ganjil — hasil negatif: \((-3)^3 = -27\).
Sangat penting untuk membezakan tatatanda dengan kurungan dan tanpa kurungan: \((-3)^2 = 9\), tetapi \(-3^2 = -9\). Dalam kes kedua, hanya nombor tiga yang dipangkatkan, manakala tanda tolak kekal di hadapan. Ini adalah kesilapan tanda yang paling kerap berlaku dalam ujian.
Secara berasingan, adalah berguna untuk mengingati kuasa bagi negatif satu: \((-1)^{100} = 1\), dan \((-1)^{101} = -1\) — eksponen genap memberikan \(+1\), eksponen ganjil memberikan \(-1\).
Tertib operasi dalam ungkapan kuasa
Apabila ungkapan mengandungi kuasa dan operasi biasa, tertibnya ialah: kurungan dahulu, kemudian kuasa dan punca, seterusnya pendaraban dan pembahagian, dan akhirnya penambahan dan penolakan.
Contohnya, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): mula-mula kuasa dua, kemudian darab dan tambah.
Contoh: cara menggunakan sifat kuasa
Contoh 1. Pendaraban dan pembahagian dalam satu ungkapan
Tugasan. Permudahkan \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Langkah 1. Pendaraban: asas sama, tambah eksponen — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Langkah 2. Pembahagian: tolak eksponen — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Jawapan. \(x^2\) (untuk \(x \neq 0\)).
Contoh 2. Kuasa bagi hasil darab dengan pekali
Tugasan. Pangkatkan \((3a^4)^3\).
Langkah 1. Setiap faktor dipangkatkan: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Langkah 2. Kira secara berasingan: \(3^3 = 27\), dan untuk kuasa bagi kuasa, eksponen didarab — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Jawapan. \(27a^{12}\). Kesilapan lazim di sini ialah terlupa memangkatkan tiga dan menulis \(3a^{12}\).
Contoh 3. Eksponen negatif dalam pendaraban
Tugasan. Kira \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Langkah 1. Asas sama — tambah eksponen mengikut peraturan biasa, tanda tolak hanya terlibat dalam penambahan: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Langkah 2. \(8^3 = 512\).
Jawapan. \(512\). Perhatikan: tidak perlu menukar \(8^{-2}\) kepada pecahan — sifat kuasa berfungsi terus dengan eksponen negatif.
Contoh 4. Pecahan dengan eksponen negatif
Tugasan. Kira \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Langkah 1. Eksponen negatif menyongsangkan pecahan: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Langkah 2. Pangkatkan pengangka dan penyebut: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Jawapan. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Contoh 5. Eksponen pecahan
Tugasan. Kira \(81^{\frac{3}{4}}\).
Langkah 1. Penyebut eksponen ialah darjah punca: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Langkah 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), kerana \(3^4 = 81\).
Langkah 3. Pangkatkan tiga: \(3^3 = 27\).
Jawapan. \(27\). Lebih mudah mencari punca dahulu — nombor menjadi lebih kecil berbanding mengira \(81^3\) terlebih dahulu.
Contoh 6. Ungkapan gabungan
Tugasan. Kira \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Langkah 1. Kuasa bagi kuasa dalam pengangka: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Langkah 2. Pembahagian kuasa dengan asas yang sama: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Langkah 3. \(3^2 = 9\).
Jawapan. \(9\). Peraturan umum: selesaikan kurungan dan kuasa bagi kuasa dahulu, kemudian lakukan pendaraban dan pembahagian.
Kesilapan lazim dalam operasi kuasa
-
Menambah eksponen semasa **penambahan** kuasa: menulis $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Eksponen hanya ditambah semasa pendaraban. Di sini \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), manakala \(2^4 = 16\) — persamaan tidak betul. Hasil tambah kuasa tidak boleh diringkaskan kepada satu kuasa, ia hanya boleh difaktorkan: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Mendarab asas juga: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Asas semasa pendaraban kuasa kekal sama, hanya eksponen berubah: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
Menganggap $(a+b)^n = a^n + b^n$, mengelirukan hasil tambah dengan hasil darab.
Kuasa hanya boleh "diagihkan" kepada hasil darab: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — betul. Tetapi \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), sedangkan \(2^2 + 3^2 = 13\). Untuk hasil tambah, anda memerlukan rumus kembangan, bukan sifat kuasa.
-
Menganggap $a^0 = 0$.
Sebaliknya: sebarang nombor selain sifar yang dipangkatkan dengan sifar adalah satu — \(9^0 = 1\). Sifar hanya terhasil jika asas itu sendiri adalah sifar (\(0^n = 0\) untuk \(n > 0\)), dan ungkapan \(0^0\) tidak ditakrifkan.
-
Menolak eksponen dalam tertib yang salah: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Tolak eksponen pembahagi daripada eksponen yang dibahagi, bukan sebaliknya: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Tertib di sini penting seperti dalam penolakan biasa.
-
Menganggap eksponen negatif menjadikan nombor itu negatif: $2^{-2} = -4$.
Eksponen negatif bermaksud pecahan, bukan tanda tolak: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Hasilnya kekal positif.
-
Terlupa tanda bagi asas negatif: menulis $(-4)^2 = -16$.
Dengan eksponen genap, tanda tolak "hilang": \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Tatatanda tanpa kurungan bermaksud sesuatu yang lain: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Kurungan menentukan segalanya.
Soalan dan jawapan tentang sifat kuasa
Adakah eksponen ditambah atau didarab semasa pendaraban?
Semasa mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, dan asas tidak berubah: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Contohnya, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Eksponen didarab dalam kes lain — apabila memangkatkan kuasa: \((a^m)^n = a^{mn}\).
Semasa membahagi, adakah eksponen ditambah atau ditolak?
Ditolak: tolak eksponen pembahagi daripada eksponen yang dibahagi, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) untuk \(a \neq 0\). Contohnya, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Berapakah nombor yang dipangkatkan dengan sifar?
Satu, jika asas bukan sifar: \(a^0 = 1\). Ini berpunca daripada peraturan pembahagian — hasil bahagi \(a^n : a^n\) adalah sama dengan \(a^0\) dan satu pada masa yang sama. Ungkapan \(0^0\) tidak ditakrifkan dalam kurikulum sekolah.
Bagaimana untuk menghilangkan eksponen negatif?
Tukarkan ungkapan kepada pecahan: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Contohnya, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Jika asas itu sendiri adalah pecahan, ia hanya disongsangkan, dan eksponen menjadi positif.
Apakah itu asas dan eksponen kuasa?
Dalam tatatanda \(a^n\), nombor \(a\) ialah asas kuasa, iaitu faktor yang berulang; \(n\) ialah eksponen kuasa, ia memberitahu berapa banyak faktor tersebut. Dalam \(5^4\), asas ialah 5, eksponen ialah 4, dan nilainya ialah 625.
Bolehkah kita mendarab kuasa dengan asas yang berbeza?
Boleh diringkaskan kepada satu kuasa jika eksponennya sama: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Contohnya, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Jika asas dan eksponen berbeza, ungkapan biasanya ditukar kepada asas yang sama (jika boleh), jika tidak, biarkan seperti sedia ada.
Berapa banyak sifat kuasa yang ada?
Terdapat lapan sifat utama: hasil darab dan hasil bahagi kuasa dengan asas yang sama, kuasa bagi kuasa, kuasa bagi hasil darab, kuasa bagi hasil bahagi, eksponen sifar, eksponen negatif dan eksponen pecahan. Dalam buku teks yang berbeza, ia dikumpulkan secara berbeza, jadi terdapat formulasi "lima sifat" atau "sepuluh sifat", tetapi kandungannya sama — semua ringkasan ada dalam jadual di atas.
Apakah maksud eksponen pecahan?
Punca. Penyebut pecahan ialah darjah punca, pengangka ialah kuasa bagi nombor di bawah punca: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Contohnya, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Untuk penyebut genap, asas mestilah bukan negatif.
Dalam tingkatan berapa sifat kuasa dipelajari?
Kuasa dengan eksponen asli dan sifat asasnya dipelajari dalam Matematik Tingkatan 1, kuasa dengan eksponen integer negatif dalam Tingkatan 2, dan kuasa dengan eksponen rasional (pecahan) serta punca dalam Tingkatan 3–5. Sifat yang sama diperlukan untuk PT3 dan SPM semasa menukar ungkapan.
