Rumus Pendaraban Ringkas (FSU) ialah identiti algebra siap sedia yang membolehkan kita mengembangkan kurungan dan memfaktorkan ungkapan tanpa perlu mendarab secara panjang lebar. Di halaman ini, terdapat jadual bagi kesemua tujuh rumus: kuasa dua hasil tambah dan hasil tolak, beza kuasa dua, kuasa tiga hasil tambah dan hasil tolak, serta hasil tambah dan hasil tolak kuasa tiga. Setiap rumus dijelaskan dengan terbitan dan contoh, dan di akhir halaman terdapat latihan interaktif untuk anda berlatih menggunakan FSU.
Apakah itu rumus pendaraban ringkas
Rumus pendaraban ringkas ialah identiti yang terhasil jika kita mendarab polinomial dengan teliti sekali dan mengingati hasilnya. Selepas itu, kita tidak perlu lagi mengembangkan kurungan setiap kali: cukup sekadar mengenali 'corak' dan menggantikan nombor atau huruf anda sendiri.
Dalam kurikulum algebra sekolah menengah, FSU digunakan dalam dua arah:
- dari kiri ke kanan — untuk mengembangkan kurungan dan menguasaduakan atau menguasatigakan ungkapan dengan cepat;
- dari kanan ke kiri — untuk memfaktorkan polinomial (ini penting untuk mempermudahkan pecahan dan menyelesaikan persamaan).
Secara keseluruhannya, terdapat tujuh rumus yang perlu diingat. Di bawah ialah jadual rujukan, diikuti dengan penjelasan bagi setiap rumus secara berasingan.
Jadual rumus pendaraban ringkas
Ketujuh-tujuh rumus pendaraban ringkas ini mudah dirujuk jika diletakkan dalam satu jadual. Huruf \(a\) dan \(b\) di sini mewakili sebarang ungkapan: nombor, pemboleh ubah, atau sebutan tunggal seperti \(2x\).
| Rumus | Penulisan |
|---|---|
| Kuasa dua hasil tambah | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kuasa dua hasil tolak | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Beza kuasa dua | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kuasa tiga hasil tambah | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kuasa tiga hasil tolak | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Hasil tambah kuasa tiga | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Hasil tolak kuasa tiga | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kuasa dua hasil tambah dan kuasa dua hasil tolak
Kuasa dua hasil tambah diperoleh jika kita mendarab \((a+b)\) dengan dirinya sendiri:
Dalam kata lain: kuasa dua hasil tambah adalah sama dengan kuasa dua sebutan pertama ditambah dua kali ganda hasil darab sebutan pertama dan kedua ditambah kuasa dua sebutan kedua. Begitu juga dengan terbitan kuasa dua hasil tolak — tanda bagi sebutan tengah menjadi tolak:
Perkara paling penting — jangan lupa sebutan tengah \(2ab\): itulah sebabnya \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Bagi kuasa dua hasil tambah dan kuasa dua hasil tolak, hanya tanda sebelum \(2ab\) yang berbeza, manakala sebutan hujung \(a^2\) dan \(b^2\) sentiasa bertanda tambah.
Contoh. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kuasa dua hasil tambah mempunyai makna geometri yang jelas: ia adalah luas bagi sebuah segi empat sama besar dengan sisi \((a+b)\).
Beza kuasa dua
Jika kita mendarab hasil tambah dan hasil tolak bagi ungkapan yang sama, sebutan tengah akan saling menghapuskan:
Terhasillah rumus beza kuasa dua: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ini adalah FSU yang paling berguna untuk pemfaktoran: sebaik sahaja anda melihat beza antara dua kuasa dua — terus faktorkan kepada hasil darab.
Contoh (kembangkan kurungan). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Contoh (faktorkan). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Penting: hasil tambah kuasa dua \(a^2 + b^2\) tidak boleh difaktorkan menggunakan rumus ini — hanya beza kuasa dua yang boleh.
Kuasa tiga hasil tambah, kuasa tiga hasil tolak, hasil tambah dan hasil tolak kuasa tiga
Kuasa tiga hasil tambah dan kuasa tiga hasil tolak sudah mengandungi empat sebutan:
Bagi kuasa tiga hasil tolak, tandanya berselang-seli: \(+\,-\,+\,-\). Sekali lagi, perangkap biasa: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — anda tidak boleh sekadar 'mengagihkan' kuasa, sebutan tengah \(3a^2b\) dan \(3ab^2\) tidak boleh diabaikan.
Contoh. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Secara berasingan, terdapat hasil tambah dan hasil tolak kuasa tiga — rumus ini pula digunakan untuk memfaktorkan ungkapan:
Faktor kedua dipanggil kuasa dua tidak lengkap bagi hasil tambah atau hasil tolak. Tanda dalam sebutan tengahnya sentiasa bertentangan dengan tanda dalam kurungan pertama: bagi hasil tambah kuasa tiga — \(-ab\), bagi hasil tolak kuasa tiga — \(+ab\).
Contoh. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Contoh penggunaan rumus pendaraban ringkas
Contoh 1. Kembangkan kurungan: kuasa dua hasil tambah
Soalan. Kuasaduakan \((2x+5)^2\).
Langkah 1. Kenal pasti rumus kuasa dua hasil tambah: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), dengan \(a = 2x\), \(b = 5\).
Langkah 2. Kira setiap sebutan:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Jawapan. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Contoh 2. Ringkaskan kepada rumus beza kuasa dua
Soalan. Cari hasil darab \((3x-4)(3x+4)\).
Langkah 1. Kita mempunyai hasil darab bagi hasil tolak dan hasil tambah ungkapan yang sama — ini adalah beza kuasa dua \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), dengan \(a = 3x\), \(b = 4\).
Langkah 2. Kuasaduakan setiap ungkapan: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Jawapan. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Contoh 3. Faktorkan
Soalan. Faktorkan \(x^2 - 36\) dan \(x^3 + 27\).
Beza kuasa dua. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Hasil tambah kuasa tiga. Perhatikan bahawa \(27 = 3^3\), jadi \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Gunakan rumus \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) dengan \(a = x\), \(b = 3\):
Perhatikan tanda \(-3x\) dalam kuasa dua tidak lengkap — bagi hasil tambah kuasa tiga, sebutan tengah bertanda tolak.
Contoh 4. Kuasa tiga hasil tambah
Soalan. Kembangkan kurungan \((x+2)^3\).
Langkah 1. Rumus kuasa tiga hasil tambah: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), dengan \(a = x\), \(b = 2\).
Langkah 2. Kira sebutan mengikut urutan:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Jawapan. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Kesilapan biasa semasa menggunakan FSU
-
Lupa sebutan tengah $2ab$: menulis $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Dalam kuasa dua hasil tambah dan hasil tolak, sentiasa ada sebutan tengah \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Mudah untuk diperiksa — kembangkan \((a+b)(a+b)\) secara menegak, dan sebutan tengah akan muncul dengan sendirinya.
-
Keliru tanda dalam kuasa dua hasil tolak dan beza kuasa dua.
Dalam kuasa dua hasil tolak, tanda tolak hanya pada sebutan tengah: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (sebutan hujung bertanda tambah). Manakala dalam beza kuasa dua, tanda tolak berada di antara kuasa dua itu sendiri: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ini adalah rumus yang berbeza.
-
Mengagihkan kuasa bagi kuasa tiga: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Jangan buat begitu. Kuasa tiga hasil tambah mengandungi empat sebutan: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Rumus \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — adalah sesuatu yang berbeza (hasil tambah kuasa tiga), ia digunakan untuk pemfaktoran.
-
Dalam kuasa dua tidak lengkap bagi hasil tambah/tolak kuasa tiga, diletakkan dua kali ganda hasil darab $2ab$.
Kuasa dua tidak lengkap ialah \(a^2 \pm ab + b^2\), tanpa angka dua sebelum \(ab\). Tandanya bertentangan dengan tanda kurungan pertama: hasil tambah kuasa tiga \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), hasil tolak kuasa tiga \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Cuba memfaktorkan hasil tambah kuasa dua $a^2 + b^2$.
Hanya beza kuasa dua \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) yang boleh difaktorkan. Hasil tambah kuasa dua \(a^2 + b^2\) tidak boleh difaktorkan dalam kurikulum sekolah.
Soalan dan jawapan
Berapakah jumlah rumus pendaraban ringkas?
Tujuh: kuasa dua hasil tambah, kuasa dua hasil tolak, beza kuasa dua, kuasa tiga hasil tambah, kuasa tiga hasil tolak, hasil tambah kuasa tiga, dan hasil tolak kuasa tiga. Semuanya dikumpulkan dalam jadual di atas.
Apakah hasil bagi kuasa dua hasil tambah?
Kuasa dua sebutan pertama ditambah dua kali ganda hasil darab sebutan pertama dan kedua ditambah kuasa dua sebutan kedua: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Bagi kuasa dua hasil tolak, sebutan tengah bertanda tolak: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Bagaimana cara memfaktorkan beza kuasa dua?
Gunakan rumus \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Contohnya, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Cukup sekadar melihat bahawa kedua-dua sebutan adalah kuasa dua sempurna, dan terdapat tanda tolak di antaranya.
Mengapa $(a+b)^2$ tidak sama dengan $a^2 + b^2$?
Kerana apabila mendarab \((a+b)(a+b)\), akan muncul dua lagi sebutan \(ab\) yang sama, yang menghasilkan sebutan tengah \(2ab\). Ia tidak boleh diabaikan: yang betul ialah \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Apakah perbezaan antara kuasa tiga hasil tambah dan hasil tambah kuasa tiga?
Kuasa tiga hasil tambah \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — adalah untuk mengembangkan kurungan. Hasil tambah kuasa tiga \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — sebaliknya, adalah untuk memfaktorkan ungkapan. Ini adalah rumus yang berbeza, jangan keliru.
Dalam tingkatan berapakah rumus pendaraban ringkas dipelajari?
Biasanya dalam tingkatan 1 dalam pelajaran algebra: bermula dengan kuasa dua hasil tambah dan hasil tolak, beza kuasa dua, kemudian rumus untuk kuasa tiga. Ia digunakan secara aktif seterusnya dalam mempermudahkan ungkapan, mempermudahkan pecahan, dan menyelesaikan persamaan.
