Ketaksamaan Rasional ialah ketaksamaan dalam bentuk \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) ialah polinomial, dan tanda \(>\) boleh digantikan dengan \(<\), \(\ge\) atau \(\le\). Ketaksamaan seperti ini diselesaikan menggunakan kaedah selang masa: pindahkan semua ke bahagian kiri, faktorkan, tandakan punca pengangka dan punca penyebut pada paksi nombor, dan tentukan tanda. Di bawah ialah definisi, algoritma lengkap, peraturan titik yang digugurkan, darjah punca, contoh yang diselesaikan dan latihan dengan semakan.
Apakah ketaksamaan rasional
Ketaksamaan Rasional ialah ketaksamaan di mana kedua-dua bahagian ditulis sebagai ungkapan rasional, iaitu polinomial dan pecahan polinomial. Selepas memindahkan semua ke satu bahagian, ia sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk
di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) ialah polinomial, dan \(\vee\) ialah salah satu tanda \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Sebelah kanan mesti sifar — ini adalah syarat yang diperlukan untuk kaedah selang masa berfungsi.
Ketaksamaan rasional terbahagi kepada dua jenis. Jika pemboleh ubah hanya muncul di pengangka, ketaksamaan itu dipanggil ketaksamaan rasional integer: tiada pembahagian, dan sebarang nilai \(x\) boleh diterima. Jika pemboleh ubah terdapat di penyebut, ketaksamaan itu dipanggil ketaksamaan rasional pecahan (juga dipanggil ketaksamaan pecahan atau ketaksamaan dengan pecahan) — dan ini serta-merta menimbulkan syarat \(Q(x) \neq 0\).
Mengapa tidak boleh mendarab kedua-dua bahagian dengan penyebut
Godaan terbesar semasa menyelesaikan ketaksamaan dengan pecahan ialah 'menyingkirkan penyebut' dengan mendarab kedua-dua bahagian dengannya. Ini boleh dilakukan dengan persamaan, tetapi tidak dengan ketaksamaan. Sebabnya mudah: apabila mendarab dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan berbalik, dan tanda ungkapan \(Q(x)\) tidak diketahui — ia bergantung pada \(x\).
Mari kita lihat ketaksamaan \(\frac{5}{x-3} < 1\). Darabkan kedua-dua bahagian dengan \(x - 3\), seolah-olah ia nombor positif: \(5 < x - 3\), iaitu \(x > 8\). Uji jawapan dengan menggantikan \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — ketaksamaan adalah benar, jadi sifar juga merupakan penyelesaian, tetapi ia tidak termasuk dalam jawapan \(x > 8\). Jawapan hilang.
Cara yang betul ialah memindahkan semua ke kiri dan membawa kepada satu pecahan:
Pada langkah terakhir, kita mendarab kedua-dua bahagian dengan \(-1\) dan membalikkan tanda — ini dibenarkan kerana \(-1\) sentiasa negatif. Seterusnya, kaedah selang masa berfungsi, dan jawapannya ialah \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — ia termasuk sifar yang hilang.
Cara termudah untuk mengingati: jangan mendarab kedua-dua bahagian dengan ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah, tetapi pindahkan sebutan sentiasa boleh dilakukan. Pemindahan tidak mengubah tanda ketaksamaan.
Kaedah Selang Masa: Algoritma Penyelesaian Langkah demi Langkah
Kaedah selang masa bergantung pada satu sifat: antara dua punca bersebelahan bagi ungkapan rasional, tandanya adalah malar. Oleh itu, cukuplah untuk mencari semua titik di mana pengangka atau penyebut menjadi sifar, membahagikan paksi nombor dengannya, dan menentukan tanda pada setiap selang — menggunakan satu titik ujian atau darjah punca.
Titik yang Digugurkan dan Titik yang Diisi: Domain dan Tanda Ketaksamaan
Kesilapan dalam satu kurungan boleh mengubah penyelesaian yang betul menjadi jawapan yang salah, jadi peraturan mengenai titik patut dipelajari secara berasingan. Hanya dua pertimbangan yang berfungsi.
Pertama — Domain yang Dibenarkan (ODZ). Punca penyebut sentiasa digugurkan, tanpa mengira tanda ketaksamaan. Pada titik ini, pecahan tidak wujud: pembahagian dengan sifar tidak dibenarkan, jadi nombor itu tidak boleh menjadi penyelesaian, walaupun tandanya tidak ketat.
Kedua — Tanda Ketat atau Tidak Ketat. Punca pengangka menjadikan pecahan menjadi sifar. Dengan tanda tidak ketat (\(\le\) atau \(\ge\)), kesamaan dengan sifar boleh diterima, jadi titik itu diisi dan dimasukkan ke dalam jawapan dengan kurungan segiempat. Dengan tanda ketat (\(<\) atau \(>\)), sifar tidak boleh diterima, dan titik itu digugurkan.
Contohnya, untuk ketaksamaan \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), titik \(x = 6\) diisi (punca pengangka, tanda tidak ketat), manakala titik \(x = -1\) digugurkan (punca penyebut). Jawapan: \(x \in (-1; 6]\).
| Apakah titik itu | Bagaimana ia ditandakan |
|---|---|
| Punca penyebut, Q(x) = 0 | digugurkan sentiasa, tanpa mengira tanda — titik tidak termasuk dalam Domain |
| Punca pengangka, tanda ketat < atau > | digugurkan pecahan adalah sifar, tetapi tanda yang ketat diperlukan |
| Punca pengangka, tanda tidak ketat ≤ atau ≥ | diisi kesamaan dengan sifar boleh diterima, titik termasuk dalam jawapan |
Darjah Punca: Di Mana Tanda Berubah dan Di Mana Ia Tidak
Tanda pada selang masa tidak semestinya berselang-seli — ini adalah kesalahpahaman yang paling kerap dalam topik ini. Perselang-selian hanya berfungsi apabila semua kurungan mempunyai darjah satu. Peraturan yang lebih tepat dinyatakan melalui darjah punca — eksponen bagi kurungan yang sepadan.
Apabila melintasi punca dengan darjah ganjil (eksponen 1, 3, 5), tanda ungkapan berubah. Apabila melintasi punca dengan darjah genap (eksponen 2, 4), tanda tidak berubah: kurungan dengan eksponen genap adalah tidak negatif dan tidak menjejaskan tanda ungkapan. Darjah dikira sama untuk pengangka dan penyebut.
Ambil \((x-9)^2(x+3) > 0\). Punca: \(x = 9\) dengan darjah 2 dan \(x = -3\) dengan darjah 1. Di sebelah kanan sembilan, ungkapan adalah positif. Melintasi 9 — darjah genap, tanda kekal, pada selang \((-3; 9)\) juga positif. Melintasi -3 — darjah ganjil, tanda berubah menjadi negatif. Jawapan ketaksamaan ketat: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), titik 9 digugurkan kerana ungkapan adalah sifar di sana. Tetapi untuk \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) yang tidak ketat, jawapannya berbeza: \(x \in [-3; +\infty)\) — sembilan diisi dan 'melekatkan' dua selang menjadi satu.
| Darjah Punca | Tanda Semasa Melintas |
|---|---|
| Ganjil: (x − a), (x − a)3 | berubah |
| Genap: (x − a)2, (x − a)4 | tidak berubah |
Paksi Nombor dalam Contoh: Menentukan Tanda
Mari kita gabungkan semuanya untuk ketaksamaan \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Punca pengangka: \(x = -7\). Punca penyebut: \(x = 2\) dan \(x = 5\), yang juga menentukan Domain. Semua tiga kurungan mempunyai darjah satu, jadi tanda berselang-seli. Titik ujian \(x = 10\) pada selang paling kanan memberikan \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — mulakan dengan positif dan bergerak ke kiri, menukar tanda pada setiap titik.
Contoh Penyelesaian Ketaksamaan Rasional
Contoh 1. Ketaksamaan Pecahan Mudah
Selesaikan \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Langkah 1. Sebelah kanan sudah sifar, pecahan sudah tunggal — tiada pemindahan atau penyeragaman yang diperlukan.
Langkah 2. Domain (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), iaitu \(x \neq -5\).
Langkah 3. Punca. Pengangka ialah sifar apabila \(x = 3\), penyebut — apabila \(x = -5\).
Langkah 4. Titik pada paksi. \(x = 3\) diisi (punca pengangka, tanda tidak ketat), \(x = -5\) digugurkan (punca penyebut).
Langkah 5. Tanda. Titik ujian \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — positif di sebelah kanan. Kedua-dua kurungan mempunyai darjah satu, jadi tanda berselang-seli: pada \((-5; 3)\) negatif, pada \((-\infty; -5)\) positif. Semakan: pada \(x = -6\) kita dapat \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — ia sepadan.
Langkah 6. Jawapan. Tanda 'positif atau sifar' diperlukan: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Contoh 2. Sebelah Kanan Bukan Sifar — Pindahkan
Selesaikan \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Langkah 1. Pindahkan satu ke kiri. Tidak boleh mendarab dengan \(x - 4\) kerana tanda ungkapan ini tidak diketahui:
Langkah 2. Ringkaskan kepada satu pecahan.
Langkah 3. Domain (ODZ). \(x \neq 4\).
Langkah 4. Titik. \(x = -5\) — punca pengangka, tanda tidak ketat, diisi. \(x = 4\) — punca penyebut, digugurkan.
Langkah 5. Tanda. Pada \(x = 5\), pecahan ialah \(\frac{10}{1} > 0\). Jadi pada \((4; +\infty)\) positif, pada \((-5; 4)\) negatif, pada \((-\infty; -5)\) positif.
Langkah 6. Jawapan. \(x \in [-5; 4)\). Semakan titik sempadan: pada \(x = -5\), pecahan ialah sifar — sesuai untuk \(\le\); pada \(x = 4\), pecahan tidak wujud — tidak sesuai.
Contoh 3. Punca Darjah Genap dan Titik Terpencil
Selesaikan \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Langkah 1. Domain (ODZ). \(x \neq 9\).
Langkah 2. Punca dan Darjah. \(x = 2\) — darjah 2 (genap), \(x = -6\) — darjah 1, \(x = 9\) — darjah 1 di penyebut.
Langkah 3. Titik. \(x = 2\) dan \(x = -6\) diisi (punca pengangka dengan tanda tidak ketat), \(x = 9\) digugurkan.
Langkah 4. Tanda. Titik ujian \(x = 10\): pengangka positif, penyebut ialah 1 — positif. Bergerak ke kiri. Melalui 9 (darjah ganjil) tanda berubah: pada \((2; 9)\) negatif. Melalui 2 (darjah genap) tanda tidak berubah: pada \((-6; 2)\) juga negatif. Melalui -6 (darjah ganjil) tanda berubah: pada \((-\infty; -6)\) positif.
Langkah 5. Jawapan. Ambil selang masa dengan tanda 'positif' ditambah semua titik di mana ungkapan adalah sifar. Titik \(x = 2\) terletak di dalam selang negatif, tetapi ungkapan itu sendiri adalah sifar di sana, jadi ia dimasukkan ke dalam jawapan secara berasingan:
Titik 'tunggal' seperti itu dalam jawapan ialah ciri yang pasti bagi punca darjah genap dengan tanda tidak ketat.
Contoh 4. Pemansukan Pecahan: Perangkap Domain (ODZ)
Selesaikan \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Langkah 1. Faktorkan. Pengangka ialah kuasa dua sempurna: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Untuk penyebut, hitung diskriminan: \(D = 81 + 40 = 121\), punca \(x_1 = \frac{1}{5}\) dan \(x_2 = -2\), jadi \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Langkah 2. Domain (ODZ) — sebelum sebarang pemansukan. \(5x - 1 \neq 0\) dan \(x + 2 \neq 0\), iaitu \(x \neq \frac{1}{5}\) dan \(x \neq -2\).
Langkah 3. Mansuhkan. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), tetapi hanya jika \(x \neq \frac{1}{5}\) — pemansukan tidak mengembalikan titik yang digugurkan.
Langkah 4. Selesaikan \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Punca: \(\frac{1}{5}\) dan \(-2\). Pada \(x = 1\), pecahan ialah \(\frac{4}{3} > 0\). Jadi pada \((\frac{1}{5}; +\infty)\) positif, pada \((-2; \frac{1}{5})\) negatif, pada \((-\infty; -2)\) positif.
Langkah 5. Kembalikan Domain (ODZ). Selang \((-2; \frac{1}{5}]\) akan sesuai dari segi tanda, tetapi titik \(\frac{1}{5}\) digugurkan: dalam ketaksamaan asal, penyebut \(5x^2+9x-2\) menjadi sifar apabila \(x = \frac{1}{5}\), pecahan tidak wujud di sana.
Jawapan: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — kedua-dua kurungan adalah bulat.
Contoh 5. Kembangan Kuadratik di Pengangka
Selesaikan \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Langkah 1. Faktorkan pengangka. Mengikut teorem Viete, hasil tambah punca ialah 7, hasil darab 10, jadi \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Ketaksamaan menjadi \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Langkah 2. Domain (ODZ). \(x \neq -4\).
Langkah 3. Titik. Semua tiga titik digugurkan: \(-4\) — punca penyebut, \(2\) dan \(5\) — punca pengangka dengan tanda ketat.
Langkah 4. Tanda. Titik ujian \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Semua kurungan mempunyai darjah satu, jadi tanda berselang-seli: pada \((5; +\infty)\) positif, pada \((2; 5)\) negatif, pada \((-4; 2)\) positif, pada \((-\infty; -4)\) negatif.
Langkah 5. Jawapan. Tanda 'negatif' ketat diperlukan: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Semakan dengan penggantian: pada \(x = -5\) kita dapat \(\frac{70}{-1} < 0\), pada \(x = 3\) kita dapat \(\frac{-2}{7} < 0\) — kedua-dua selang masa sesuai.
Kesilapan Lazim dalam Menyelesaikan Ketaksamaan Rasional
-
Mendarab kedua-dua bahagian dengan penyebut: daripada $\frac{3}{x-8} > 1$ menjadi $3 > x - 8$ dan menulis $x < 11$.
Tanda ungkapan \(x - 8\) tidak diketahui, dan apabila mendarab dengan nombor negatif, ketaksamaan berbalik. Semakan: \(x = 0\) memberikan \(\frac{3}{-8} < 1\) — sifar bukan penyelesaian, walaupun ia termasuk dalam jawapan \(x < 11\). Cara yang betul: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), iaitu \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), dari mana \(x \in (8; 11)\).
-
Mengisi punca penyebut kerana tanda tidak ketat: untuk $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$, menulis jawapan dengan kurungan segiempat pada tujuh.
Punca penyebut sentiasa digugurkan, tanpa mengira tanda: pecahan tidak wujud pada titik ini. Jawapan yang betul: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — kurungan segiempat untuk satu, kurungan bulat untuk tujuh.
-
Memansuhkan pecahan dan kehilangan Domain (ODZ): daripada $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ mendapat $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ dan memasukkan titik $x = -3$ ke dalam jawapan.
Domain (ODZ) ditulis sebelum pemansukan, berdasarkan penyebut asal: \(x \neq -3\) dan \(x \neq 5\). Pecahan yang dimansuhkan \(\frac{x+3}{x-5}\) adalah tidak positif pada \([-3; 5)\) — pada \(x = 0\) ia bersamaan dengan \(-0{,}6\), yang diperlukan untuk tanda \(\le\). Tetapi titik \(-3\) digugurkan mengikut Domain (ODZ), jadi jawapannya ialah \((-3; 5)\), bukan \([-3; 5)\).
-
Menganggap bahawa tanda pada selang masa sentiasa berselang-seli, dan untuk $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ meletakkan negatif di sebelah kanan satu.
Perselang-selian adalah betul hanya untuk kurungan darjah satu. Punca \(x = 1\) mempunyai darjah 2, jadi tanda tidak berubah apabila melintasinya. Ungkapan adalah positif pada keseluruhan \((-\infty; +\infty)\) kecuali pada satu itu sendiri, di mana ia adalah sifar. Jawapan: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Menukar tanda ketaksamaan apabila memindahkan sebutan: daripada $\frac{x}{x-2} \le 3$ menjadi $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Memindahkan sebutan dari satu bahagian ke bahagian lain tidak mengubah tanda ketaksamaan — hanya tanda sebutan itu sendiri yang berubah. Tanda hanya berbalik apabila mendarab atau membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor negatif. Cara yang betul: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), seterusnya \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), iaitu \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Menandakan hanya punca pengangka pada paksi, dan memeriksa penyebut 'kemudian': untuk $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ meletakkan satu titik -11.
Pada paksi, tandakan semua punca sekaligus — pengangka dan penyebut, jika tidak selang masa akan menjadi salah. Di sini \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), jadi terdapat tiga titik: \(-11\), \(-4\) dan \(4\), bukan satu. Semua digugurkan (tanda ketat), jawapan: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Soalan dan Jawapan
Apakah ketaksamaan rasional?
Ia ialah ketaksamaan di mana kedua-dua bahagian ialah ungkapan rasional (polinomial dan pecahan polinomial). Selepas memindahkan semua ke bahagian kiri, ia boleh dikurangkan kepada bentuk \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) ialah polinomial, dan tanda \(>\) boleh digantikan dengan \(<\), \(\le\) atau \(\ge\).
Bagaimana menyelesaikan ketaksamaan rasional?
Menggunakan kaedah selang masa dalam enam langkah: pindahkan semua ke kiri supaya sifar tinggal di kanan; ringkaskan kepada satu pecahan dan faktorkan pengangka dan penyebut; tuliskan Domain (ODZ) (\(Q(x) \neq 0\)); tandakan punca pengangka dan penyebut pada paksi nombor; tentukan tanda pada selang masa menggunakan titik ujian dan darjah punca; tuliskan selang masa dengan tanda yang betul dalam jawapan.
Apakah perbezaan antara ketaksamaan pecahan rasional dan integer rasional?
Dalam ketaksamaan integer rasional, pemboleh ubah hanya terdapat di pengangka, contohnya \((x-1)(x+4) > 0\), dan Domain (ODZ) ialah semua nombor nyata. Dalam ketaksamaan pecahan rasional, pemboleh ubah terdapat di penyebut, contohnya \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), dan terdapat syarat \(x \neq -4\). Algoritmanya sama — hanya titik yang digugurkan yang berbeza.
Bagaimana menyelesaikan ketaksamaan dengan pecahan?
Sama seperti mana-mana ketaksamaan rasional: pertama, pindahkan semua ke bahagian kiri dan ringkaskan kepada satu pecahan, bukannya menyingkirkan penyebut. Contohnya, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) menjadi \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), iaitu \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Pengangka adalah malar dan negatif, jadi pecahan adalah tidak negatif hanya apabila penyebut negatif: \(x + 2 < 0\). Jawapan: \(x \in (-\infty; -2)\).
Mengapa tidak boleh mendarab kedua-dua bahagian ketaksamaan dengan penyebut?
Kerana tanda penyebut bergantung pada \(x\): apabila mendarab dengan ungkapan positif, tanda ketaksamaan kekal, tetapi apabila mendarab dengan nombor negatif, ia berbalik. Tanda tidak diketahui terlebih dahulu, jadi sebahagian daripada penyelesaian hilang, dan sebahagian lagi ditambah secara tidak betul. Memindahkan sebutan sentiasa boleh dilakukan — ia tidak mengubah tanda ketaksamaan.
Bagaimana mencari Domain (ODZ) dalam ketaksamaan?
Untuk ketaksamaan rasional, Domain (ODZ) ialah semua nilai \(x\) di mana penyebut tidak menjadi sifar. Samakan penyebut dengan sifar, selesaikan persamaan, dan kecualikan nombor yang ditemui. Tuliskan Domain (ODZ) berdasarkan penyebut asal, sebelum memansuhkan pecahan — jika tidak, titik yang digugurkan akan hilang.
Titik manakah yang digugurkan, dan manakah yang diisi?
Punca penyebut sentiasa digugurkan, tanpa mengira tanda ketaksamaan. Punca pengangka diisi jika tanda tidak ketat (\(\le\) atau \(\ge\)) dan digugurkan jika ketat (\(<\) atau \(>\)). Dalam perwakilan jawapan, titik yang digugurkan sepadan dengan kurungan bulat, titik yang diisi — kurungan segiempat.
Apakah darjah punca dan mengapa ia diperlukan dalam kaedah selang masa?
Darjah ialah eksponen di mana kurungan muncul dalam pemfaktoran. Apabila melintasi punca dengan darjah ganjil, tanda ungkapan berubah, apabila melintasi punca dengan darjah genap — ia kekal sama. Inilah sebabnya mengapa tanda tidak selalu berselang-seli: untuk \((x-9)^2(x+3)\), tanda kekal sama pada titik 9.
Pada tingkatan berapakah ketaksamaan rasional dipelajari?
Pada tingkatan 9 dalam pelajaran algebra, selepas ketaksamaan kuadratik dan pemfaktoran polinomial. Kaedah selang masa seterusnya digunakan untuk ketaksamaan eksponen, logaritma dan tak nisbah, serta dalam tugasan OGE dan ЕГЭ profil.
