Kvadrātvienādojums ir vienādojums \(ax^2 + bx + c = 0\) veidā, kur \(a \neq 0\). Tā sakņu skaitu nosaka diskriminants \(D = b^2 - 4ac\), bet pašas saknes atrod pēc formulas \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Šajā lapā apkopots viss par tēmu: standarta forma un koeficienti, trīs nepilnīgo vienādojumu veidi, diskriminants un trīs gadījumi, sakņu formula un tās „pāra” variants, saīsinātais vienādojums un Vjeta teorēma, sadalīšana reizinātājos un bikvadratiskie vienādojumi — ar soli pa solim piemēriem, biežāko kļūdu analīzi un interaktīvu trenažieri.
Kas ir kvadrātvienādojums
Kvadrātvienādojums ir vienādojums
veidā, kur \(x\) ir nezināmais, bet \(a\), \(b\), \(c\) ir skaitļi (koeficienti), turklāt \(a \neq 0\). Šāds pieraksts tiek saukts par kvadrātvienādojuma standarta formu: kreisajā pusē locekļi ir sakārtoti dilstošā pakāpē, labajā pusē ir nulle.
Nosacījums \(a \neq 0\) nav formalitāte. Tieši loceklis \(ax^2\) padara vienādojumu par kvadrātvienādojumu: ja \(a = 0\), paliek \(bx + c = 0\), proti, parasts lineārs vienādojums ar vienu sakni. Tāpēc uzdevumos ar parametru pirmkārt pārbauda, vai augstākais koeficients nekļūst par nulli.
Standarta veidā vienādojumu var reducēt gandrīz vienmēr: atvērt iekavas, visus locekļus pārcelt uz kreiso pusi un saīsināt līdzīgos. Piemēram, \(5x^2 = 3x - 2\) pēc pārcelšanas kļūst par \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), no kurienes \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Termins „kvadrātvienādojums” nozīmē tieši to pašu — tā ir tikai cita nosaukuma variācija.
Pilnīgie un nepilnīgie kvadrātvienādojumi
Ja visi trīs koeficienti ir atšķirīgi no nulles, vienādojumu sauc par pilnīgo. Ja \(b\) vai \(c\) (vai abi) ir nulle — par nepilnīgo. Nepilnīgo veidu ir tieši trīs, un neviens no tiem neprasa diskriminantu: katrs tiek atrisināts vienā divās rindās, un tas ir visātrākais veids, kā ietaupīt laiku kontrolordarbā.
Galvenā ideja \(ax^2 + bx = 0\) — kopīgā reizinātāja iznešana. Reizinājums \(x(ax + b)\) ir nulle tad un tikai tad, ja nulle ir vismaz viens reizinātājs, no kā uzreiz rodas divas saknes. Priekš \(ax^2 + c = 0\) ideja ir cita: izteikt \(x^2\) un paskatīties uz iegūtā skaitļa zīmi — reāla skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs.
| Vienādojuma veids | Kā risināt |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Pārcelt c uz labo pusi un dalīt ar a: x2 = −c/a. Izvilkt kvadrātsakni, nepazaudējot otro zīmi.x = 5 un x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Iznest x pirms iekavām: x(ax + b) = 0. Reizinājums ir nulle, kad nulle ir viens no reizinātājiem.x = 0 un x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Dalīt ar a un izvilkt kvadrātsakni no nulles. Sakne vienmēr ir tieši viena.x = 0 |
Diskriminants: kā atrast un cik būs sakņu
Diskriminants ir skaitlis, ko aprēķina pēc pilnīgā vienādojuma koeficientiem:
Pats vārds nozīmē „šķirotājs”: diskriminants neko nerisina, tas tikai šķiro trīs situācijas — sakņu ir divas, sakne ir viena vai sakņu nav nemaz. Tāpēc jautājums „cik sakņu ir vienādojumam” tiek atrisināts bez pašām saknēm.
Aprēķināt \(D\) jābūt uzmanīgiem: \(b^2\) vienmēr ir pozitīvs, pat ja pats \(b\) ir negatīvs, bet \(a\) un \(c\) zīmes ietilpst reizinājumā \(4ac\) kā ir. Ņemsim \(x^2 + 4x - 5 = 0\): šeit \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), tātad \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminants ir pozitīvs, un sakņu būs divas.
Kvadrātvienādojuma sakņu formula
Kad \(D \ge 0\), saknes atrod pēc galvenās tēmas formulas:
Zīme \(\pm\) nozīmē divus aprēķinus: vienreiz ar saskaitīšanu, otru reizi — ar atņemšanu. Ja \(D = 0\), abi aprēķini dod vienu un to pašu skaitli \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — šo sakni sauc par dubultsakni.
Divas vietas, kur biežāk kļūdās: skaitītājā ir mīnus \(b\) (ja \(b = -7\), tad tas ir \(+7\)), bet saucējā — \(2a\), nevis vienkārši \(2\). Ja \(a = 1\), atšķirība nav redzama, tāpēc kļūda parādās tieši tur, kur augstākais koeficients atšķiras no vieninieka.
Atrisināsim \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), tāpēc \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) un \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Pāra otrais koeficients: formula ar D₁
Ja \(b\) ir pāra skaitlis, to ērti pierakstīt kā \(b = 2k\) un aprēķināt „samazināto” diskriminantu:
Aprēķinos skaitļi kļūst četras reizes mazāki (\(D = 4D_1\)), un \(D_1\) zīme ir tāda pati kā \(D\) — tas nozīmē, ka secinājums par sakņu skaitu nemainās.
Piemērs: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Šeit \(b = 8\), tātad \(k = 4\), un \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Tad \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) un \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Pēc parastās formulas nāktos strādāt ar \(D = 100\) — rezultāts tas pats, bet aritmētikas vairāk.
Saīsinātais vienādojums un Vjeta teorēma
Vienādojumu ar \(a = 1\) sauc par saīsināto un pieraksta kā \(x^2 + px + q = 0\). Jebkuru kvadrātvienādojumu var reducēt šādā veidā, dalot ar \(a\): piemēram, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) pēc dalīšanas ar 4 kļūst par \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Saīsinātā forma ir vērtīga, jo tai darbojas Vjeta teorēma: sakņu summa ir \(-p\), bet reizinājums ir \(q\). Priekš \(x^2 - 7x + 10 = 0\) vajadzīgi divi skaitļi ar summu 7 un reizinājumu 10 — tie ir 2 un 5, un diskriminantu nebija jāaprēķina.
Atlase pēc Vjeta palīdz, kad saknes ir veseli un nelieli skaitļi, un arī bez maksas pārbauda atbildi, kas atrasta, izmantojot diskriminantu: summa jāiegūst \(-p\), reizinājums — \(q\). Formulas vispārīgajam veidam, apgrieztā teorēma un atlases algoritms ir apskatīti atsevišķā materiālā — Vjeta teorēma.
Kvadrātisko trinomu sadalīšana reizinātājos
Ja saknes \(x_1\) un \(x_2\) ir atrastas, kvadrātisko trinomu var sadalīt reizinātājos:
Reizinātāju \(a\) nedrīkst aizmirst — bez tā vienādība vairs nav pareiza. Sadalīšanu vienmēr viegli pārbaudīt: atvērt iekavas un salīdzināt ar sākotnējo trinomu. Sakot, ka \(x^2 + 2x - 8\) saknes ir 2 un \(-4\), tad \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Darbojas arī apgrieztā virzība: ja trinomu izdevies sadalīt prātā, saknes redzamas uzreiz un diskriminants nav vajadzīgs. Te palīdz saīsinātās reizināšanas formulas — piemēram, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) uzreiz dod saknes \(4\) un \(-4\).
Trešais veids, kā apiet sakņu formulu, — pilnā kvadrāta izdalīšana. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) gadījumā pirmie divi locekļi papildina līdz summas kvadrātam: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), proti, \((x + 3)^2 = 4\), no kā \(x + 3 = \pm 2\) un \(x = -1\) vai \(x = -5\). Tieši ar šo paņēmienu sakņu formula tiek izvesta vispārīgā veidā.
Vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātvienādojumiem: bikvadratiskie
Bikvadratiskajam vienādojumam ir \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) veids: pakāpes ir tikai pāra. Tas tiek risināts ar substitūciju \(t = x^2\), turklāt obligāti ar nosacījumu \(t \ge 0\) — reāla skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs.
Pēc substitūcijas tiek iegūts parasts kvadrātvienādojums \(at^2 + bt + c = 0\). To risina ar diskriminantu, un pēc tam katram nenegatīvam \(t\) saknei atgriežas pie \(x = \pm\sqrt{t}\). No tā arī sakņu skaits: līdz četrām.
Piemēram, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) pēc substitūcijas dod \(t^2 - 5t + 4 = 0\) ar saknēm \(t = 1\) un \(t = 4\). Abas ir pozitīvas, tāpēc \(x = \pm 1\) un \(x = \pm 2\) — kopā četras saknes. Ja kāds no \(t\) izrādītos negatīvs, to vienkārši atmestu.
Ar to pašu paņēmienu risina daļveida racionālos vienādojumus (pēc kopīgā saucēja un aizliegtajām vērtībām) un vienādojumus ar substitūciju \(t = x^2 + 3x\) veidā.
Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri
1. piemērs. Pilnīgais vienādojums, D > 0
Atrisināt \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1. solis. Vienādojums jau ir standarta formā: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2. solis. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — saknes ir divas.
3. solis. \(\sqrt{D} = 5\), tāpēc \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4. solis. Pārbaude ar ievietošanu. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
2. piemērs. Diskriminants ir nulle
Atrisināt \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1. solis. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2. solis. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — sakne ir viena.
3. solis. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4. solis. Pārbaude. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Atbilde: \(x = 1{,}5\). Ievēro: kreisā puse ir pilnais kvadrāts \((2x - 3)^2\), tāpēc sakne arī sanāca viena.
3. piemērs. Diskriminants ir negatīvs
Atrisināt \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1. solis. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2. solis. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3. solis. Diskriminants ir negatīvs, tātad \(\sqrt{D}\) izvilkt reālu skaitļu kopā nevar. Sakņu formulu lietot nevajag — risinājums šajā brīdī ir beidzies.
Atbilde: reālu sakņu nav. Tā ir pilnvērtīga atbilde, nevis kļūdas pazīme: funkcijas \(y = 2x^2 + 3x + 5\) grafiks vienkārši nekrustojas ar x asi.
4. piemērs. Nepilnīgais vienādojums ax² + c = 0 veidā
Atrisināt \(3x^2 - 27 = 0\).
1. solis. Pārcelt brīvo locekli: \(3x^2 = 27\).
2. solis. Dalīt ar 3: \(x^2 = 9\).
3. solis. Kvadrāts ir 9 diviem skaitļiem: \(x = 3\) un \(x = -3\). Otro zīmi pazaudē visbiežāk.
4. solis. Pārbaude. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Salīdzini ar vienādojumu \(2x^2 + 8 = 0\): tur \(x^2 = -4\), un reālu sakņu nav.
5. piemērs. Nepilnīgais vienādojums ax² + bx = 0 veidā
Atrisināt \(5x^2 - 15x = 0\).
1. solis. Iznest kopīgo reizinātāju: \(5x(x - 3) = 0\).
2. solis. Reizinājums ir nulle, kad nulle ir viens no reizinātājiem: \(5x = 0\) vai \(x - 3 = 0\).
3. solis. No kā \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4. solis. Pārbaude. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Ja sākotnējo vienādojumu saīsinātu ar \(x\), paliktu tikai \(x = 3\) — sakne \(x = 0\) pazustu. Dalīt ar izteiksmi ar nezināmo nedrīkst.
6. piemērs. Pāra otrais koeficients
Atrisināt \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1. solis. \(b = -22\) — ir pāra, tāpēc \(k = -11\), bet \(a = 5\), \(c = 8\).
2. solis. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3. solis. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4. solis. Pārbaude. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Atbilde: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Parastais diskriminants dotu \(D = 324\) — tas pats atbildes rezultāts, bet aprēķināt nāktos ilgāk.
7. piemērs. Vispirms novest pie standarta formas
Atrisināt \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1. solis. Atvērt iekavas: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), proti, \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2. solis. Pārcelt deviņi pa kreisi: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Tikai tagad var izrakstīt koeficientus: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3. solis. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4. solis. Pārbaude sākotnējā vienādojumā. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Atbilde: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Bieža kļūda šeit — pielīdzināt katru iekavu deviņi: „reizinājums ir nulle” likums darbojas tikai priekš nulles.
8. piemērs. Trinomu sadalīšana reizinātājos
Sadalīt \(2x^2 - 5x - 3\) reizinātājos.
1. solis. Pielīdzināt trinomu nullei un atrast saknes: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2. solis. Ievietot formulā \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3. solis. Divnieku ērti ienest otrajā iekavā: \((x - 3)(2x + 1)\).
4. solis. Pārbaude, atverot iekavas. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Atbilde: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
9. piemērs. Bikvadratiskais vienādojums
Atrisināt \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1. solis. Substitūcija \(t = x^2\), kur \(t \ge 0\). Vienādojums pārvēršas par \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
2. solis. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3. solis. Abas vērtības ir nenegatīvas, tāpēc atgriežamies pie \(x\): no \(x^2 = 9\) iegūstam \(x = \pm 3\), no \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
4. solis. Pārbaude. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Priekš negatīviem skaitļiem pāra pakāpes dod tos pašus skaitļus.
Atbilde: \(x = \pm 2\) un \(x = \pm 3\) — četras saknes.
Biežākās kļūdas kvadrātvienādojumu risināšanā
-
Aprēķina diskriminantu, nenovedot vienādojumu pie standarta formas: priekš $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ uzreiz ņem $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Vispirms visu pārcelt pa kreisi un saīsināt līdzīgos: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), proti, \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Tikai no šī \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Sakņu formula darbojas tikai ar standarta formu.
-
Pazaudē zīmi, kāpinot $b$ kvadrātā: priekš $x^2 - 9x + 14 = 0$ raksta $D = -81 - 56$.
Jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs: \((-9)^2 = 81\), nevis \(-81\). Pareizi \(D = 81 - 56 = 25\), saknes \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), proti, 7 un 2. Pārbaude: \(49 - 63 + 14 = 0\) un \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Skaitītājā atstāj $b$ vietā $-b$: priekš $x^2 + 5x - 6 = 0$ aprēķina $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Formulā ir \(-b\), tāpēc ja \(b = 5\), skaitītājā būs \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), no kā \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Ievietošana apstiprina: \(1 + 5 - 6 = 0\) un \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Ja $D = 0$, raksta „sakņu nav”: pie $x^2 + 14x + 49 = 0$ diskriminants ir nulle, un risinājums tiek pārtraukts.
Sakņu nav tikai tad, ja \(D < 0\). Ja \(D = 0\), sakne ir tieši viena: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Pārbaude: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Saīsinot vienādojumu $4x^2 - 9x = 0$ ar $x$, iegūst vienīgo sakni $x = 2{,}25$.
Nedrīkst dalīt ar izteiksmi ar nezināmo: \(x\) var būt nulle, un sakne \(x = 0\) pazūd. Pareizi ir iznest reizinātāju: \(x(4x - 9) = 0\), no kā \(x_1 = 0\) un \(x_2 = 2{,}25\). Pārbaude: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Vienādojumā $x^2 = 16$ pieraksta tikai $x = 4$.
Kvadrāts ir 16 arī skaitlim \(-4\). Jāpieraksta abas saknes: \(x = \pm 4\). Drošāk ir risināt caur standarta formu \(x^2 - 16 = 0\), proti, \((x - 4)(x + 4) = 0\) — tad abi reizinātāji ir redzami uzreiz.
-
Nepārbauda nosacījumu $a \neq 0$ vienādojumā ar parametru: pie $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ uzreiz aprēķina diskriminantu.
Ja \(m = 2\), augstākais koeficients kļūst par nulli, un vienādojums kļūst lineārs \(3x - 1 = 0\) ar vienīgo sakni \(x = \dfrac{1}{3}\). Gadījumu \(m = 2\) izskata atsevišķi, bet sakņu formulu lieto tikai tad, ja \(m \neq 2\).
Jautājumi un atbildes
Kas ir kvadrātvienādojums?
Tas ir vienādojums \(ax^2 + bx + c = 0\) veidā, kur \(a\), \(b\), \(c\) ir skaitļi un \(a \neq 0\). Nezināmais tajā ir otrajā pakāpē, tāpēc sakņu var būt divas, viena vai neviena.
Kāda ir kvadrātvienādojuma standarta forma?
Standarta (vispārīgā) forma ir \(ax^2 + bx + c = 0\): visi locekļi savākti kreisajā pusē dilstošā pakāpē, labajā pusē nulle. Pie tās noved jebkuru kvadrātvienādojumu pirms diskriminanta aprēķināšanas.
Kā atrast diskriminantu?
Pēc formulas \(D = b^2 - 4ac\), ievietojot koeficientus kopā ar to zīmēm. Piemēram, priekš \(x^2 + 3x - 10 = 0\) iegūstam \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), bet saknes ir \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), proti, 2 un \(-5\).
Kāda ir kvadrātvienādojuma sakņu formula?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), vai īsāk \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Tā tiek lietota, ja \(D \ge 0\); saucējā ir tieši \(2a\), nevis 2.
Cik sakņu var būt kvadrātvienādojumam?
Ne vairāk kā divas. Ja \(D > 0\) ir divas saknes, ja \(D = 0\) — viena (dubultsakne), ja \(D < 0\) reālu sakņu nav.
Kas ir nepilnīgais kvadrātvienādojums?
Tas ir vienādojums, kuram \(b = 0\), \(c = 0\) vai abi uzreiz: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Visi trīs tiek risināti bez diskriminanta — pārcelot locekli vai iznesot \(x\) pirms iekavām.
Kā risināt kvadrātvienādojumus bez diskriminanta?
Ir trīs ceļi: sakņu atlase pēc Vjeta teorēmas saīsinātajam vienādojumam, sadalīšana reizinātājos un pilnā kvadrāta izdalīšana. Ātrākais ir atlases paņēmiens, kad saknes ir nelieli veseli skaitļi.
Ko darīt, ja diskriminants ir negatīvs?
Uzrakstīt, ka reālu sakņu nav, un pabeigt risinājumu. Negatīvs diskriminants ir normāla atbilde: attiecīgās parabolas grafiks nekrustojas ar x asi. Saknes šādos gadījumos eksistē tikai kompleksu skaitļu kopā, bet tos apgūst vēlāk.
Kā pārbaudīt atrastās saknes?
Ievietot katru sakni sākotnējā vienādojumā — jāiegūst pareizs vienādojums. Saīsinātajam vienādojumam ir arī ātra pārbaude pēc Vjeta teorēmas: sakņu summa ir \(-p\), reizinājums ir \(q\).
Kvadrātvienādojums un kvadrātvienādojums — tas ir viens un tas pats?
Jā, tie ir divi viena objekta \(ax^2 + bx + c = 0\) nosaukumi. Nesajaukt to ar kvadrātisko funkciju \(y = ax^2 + bx + c\): vienādojuma saknes ir tieši tās x-koordinātas, kur funkcijas grafiks krustojas ar x asi.
Kādā klasē māca kvadrātvienādojumus?
- klasē algebrā: vispirms nepilnīgos vienādojumus, tad diskriminantu, sakņu formulu un Vjeta teorēmu. Tālāk tēma sastopama kvadrātisko funkciju, nevienādību, OGE un EGE uzdevumos.
