Vidējā vērtība, mediāna, moda un amplitūda ir četri veidi, kā raksturot skaitļu kopu. Trīs no tiem — vidējā vērtība, mediāna un moda — ir centrālās tendences rādītāji: tie norāda, kā izskatās "tipiska" vērtība. Ceturtais, amplitūda, mēra datu izkliedi. Šajā lapā atradīsi skaidru katra jēdziena definīciju, precīzu aprēķināšanas gaitu (tostarp sarežģītāko mediānas aprēķinu pāra skaitam), kad kuru izmantot, piemērus, biežāk pieļautās kļūdas un interaktīvu testu zināšanu nostiprināšanai.
Kas ir vidējā vērtība, mediāna, moda un amplitūda?
Katrs rādītājs atbild uz citu jautājumu par taviem datiem:
- Vidējā vērtība — vidējais rādītājs. Tas līdzsvaro visas vērtības vienā skaitlī.
- Mediāna — vidējā vērtība, kad skaitļi sakārtoti augošā secībā.
- Moda — vērtība, kas sastopama visbiežāk.
- Amplitūda — izkliede, no mazākās vērtības līdz lielākajai.
Zemāk esošajā tabulā parādīts, kas katrs no tiem ir un kā to aprēķināt. Ievēro, ka tikai moda ir saistīta ar biežumu, un tikai amplitūda apraksta izkliedi, nevis centrālo vērtību.
| Rādītājs | Kas tas ir | Kā aprēķināt |
|---|---|---|
| Vidējā vērtība | Vidējais rādītājs | Saskaiti visus skaitļus un izdali ar to skaitu |
| Mediāna | Vidējais skaitlis sakārtotā rindā | Sakārto skaitļus; izvēlies vidējo. Ja ir divi vidējie skaitļi, aprēķini to vidējo aritmētisko |
| Moda | Visbiežāk sastopamā vērtība | Atrodi vērtību, kas parādās visbiežāk. Tādas var nebūt, var būt viena vai vairākas |
| Amplitūda | Datu izkliede | Atņem mazāko vērtību no lielākās |
Kā atrast vidējo vērtību, mediānu un modu
Aprēķināsim visus četrus rādītājus vienai datu kopai, lai redzētu, kā tie atšķiras. Ņemsim skaitļus 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (septiņas vērtības).
Vidējā vērtība. Saskaitām: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Ir 7 vērtības, tāpēc vidējā vērtība ir 42 ÷ 7 = 6.
Mediāna. Vispirms sakārtojam: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Ar 7 vērtībām vidējais skaitlis ir 4. pozīcijā, tāpēc mediāna ir 6. (Vienmēr sakārto pirms vidējā skaitļa izvēles — tā ir visbiežāk pieļautā kļūda.)
Moda. Vērtība 8 parādās trīs reizes, biežāk nekā jebkura cita, tāpēc moda ir 8.
Amplitūda. Lielākā vērtība ir 8 un mazākā ir 3, tāpēc amplitūda ir 8 − 3 = 5.
Viena datu kopa, četras dažādas atbildes — tāpēc mums ir četri dažādi rādītāji.
Kad izmantot katru rādītāju
Šie rādītāji nekonkurē savā starpā — katrs ir vispiemērotākais citam jautājumu veidam.
- Vidējā vērtība ir ikdienišķais "vidējais rādītājs", kas ir lielisks, ja vērtības ir samērā vienmērīgas, piemēram, vidējās atzīmes vai dienas temperatūra. Tā vājā puse: viena ļoti liela vai ļoti maza vērtība (anomālija) var to būtiski novirzīt no centra.
- Mediāna ir vidējā vērtība, tāpēc anomālijas to gandrīz neietekmē. Tāpēc mājokļu cenas un ienākumi parasti tiek atspoguļoti kā mediānas — viena savrupmāja neizkropļos tipisko vērtību.
- Moda ir vienīgais rādītājs, kas darbojas lietām, kuras nevar vidējo aprēķināt, piemēram, visbiežāk pārdotais apavu izmērs vai iecienītākā krāsa klasē. Datu kopai var būt viena moda, vairākas modas vai vispār neviena.
- Amplitūda vispār neapraksta tipisku vērtību — tā norāda, cik izkliedēti ir dati. Maza amplitūda nozīmē, ka vērtības ir tuvu viena otrai; liela amplitūda nozīmē, ka tās ir tālu viena no otras.
Piemēri: soli pa solim
1. piemērs. Visi četri rādītāji vienai datu kopai
Datu kopa: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1. solis — Sakārto skaitļus. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2. solis — Vidējā vērtība. Saskaiti tos: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Ir 7 vērtības, tāpēc vidējā vērtība ir 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3. solis — Mediāna. Ar 7 vērtībām vidējais skaitlis ir 4. pozīcijā sakārtotajā sarakstā: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Mediāna ir 6.
4. solis — Moda. Vērtība 3 parādās trīs reizes, biežāk nekā jebkura cita, tāpēc moda ir 3.
5. solis — Amplitūda. Lielākā mīnus mazākā: 10 − 3 = 7.
Atbilde: vidējā vērtība ≈ 5,57, mediāna = 6, moda = 3, amplitūda = 7.
2. piemērs. Mediāna ar pāra skaitu vērtību
Datu kopa: 12, 5, 8, 20 (četras vērtības — pāra skaits).
1. solis — Sakārto. 5, 8, 12, 20.
2. solis — Atrodi divas vidējās vērtības. Ar pāra skaitu nav viena vidējā skaitļa. Šeit divas vidējās vērtības ir 8 un 12.
3. solis — Aprēķini to vidējo. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Mediāna ir 10 — pat ja 10 nav viens no sākotnējiem skaitļiem. Tas ir normāli mediānai ar pāra skaitu vērtību.
3. piemērs. Datu kopa bez modas
Datu kopa: 2, 5, 9, 11, 14.
Katra vērtība parādās tieši vienu reizi, tāpēc neviena vērtība neatkārtojas. Šai datu kopai nav modas — tā ir derīga atbilde, nevis kļūda.
Turpretim datu kopai 4, 4, 7, 7, 9 ir divas modas (4 un 7), jo abas parādās visbiežāk. Kopu ar divām modām sauc par bimodālu.
Biežāk pieļautās kļūdas
-
Mediānas atrašana, vispirms nesakārtojot skaitļus.
Mediāna ir vidējā vērtība skaitļiem sakārtotā rindā. Vienmēr sakārto no mazākā uz lielāko pirms vidējā skaitļa izvēles. Kopā 7, 2, 9 mediāna ir 7 (sakārtotā: 2, 7, 9), nevis 9.
-
Pāra skaita vērtību gadījumā izvēloties tikai vienu no diviem vidējiem skaitļiem.
Ar pāra skaitu nav viena vidējā skaitļa. Paņem divas vidējās vērtības un aprēķini to vidējo. Kopai 5, 8, 12, 20 mediāna ir (8 + 12) ÷ 2 = 10, nevis 8 vai 12.
-
Pieņemot, ka katrai datu kopai jābūt tieši vienai modai.
Datu kopai var nebūt modas (ja nekas neatkārtojas) vai var būt vairākas modas (ja divas vai vairākas vērtības dala visbiežāk sastopamās vietu). Abas ir pareizas atbildes — necenties uzspiest vienu modu.
-
Jaucot vidējo vērtību ar mediānu un uzskatot tās par vienu un to pašu.
Vidējā vērtība ir vidējais rādītājs (saskaita un izdala); mediāna ir vidējais skaitlis sakārtotā rindā. Tās bieži atšķiras, īpaši, ja ir anomālija. Kopai 2, 3, 4, 100 vidējā vērtība ir 27,25, bet mediāna ir tikai 3,5.
-
Jaucot amplitūdu ar modu vai aizmirstot atņemt.
Amplitūda ir izkliedes mērs: lielākā vērtība mīnus mazākā vērtība. Tas ir viens skaitlis, kas apraksta izkliedi, nevis visbiežāk sastopamā vērtība. Kopai 4, 9, 15 amplitūda ir 15 − 4 = 11.
Biežāk uzdotie jautājumi
Kas ir vidējā vērtība, mediāna, moda un amplitūda?
Vidējā vērtība ir vidējais rādītājs (saskaita visas vērtības un izdala ar to skaitu). Mediāna ir vidējā vērtība, kad skaitļi ir sakārtoti. Moda ir vērtība, kas parādās visbiežāk. Amplitūda ir lielākā vērtība mīnus mazākā vērtība. Vidējā vērtība, mediāna un moda apraksta tipisku vērtību; amplitūda apraksta datu izkliedi.
Kā atrast datu kopas vidējo vērtību?
Saskaiti visus skaitļus, lai iegūtu kopsummu, tad izdali kopsummu ar skaitļu skaitu. Piemēram, skaitļu 4, 6, 8, 2 vidējā vērtība ir (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Kā atrast mediānu, ja ir pāra skaits vērtību?
Sakārto skaitļus, tad paņem divas vidējās vērtības un aprēķini to vidējo (saskaiti un izdali ar 2). Kopai 5, 8, 12, 20 divas vidējās vērtības ir 8 un 12, tāpēc mediāna ir (8 + 12) ÷ 2 = 10. Rezultāts var būt skaitlis, kas nav sākotnējā kopā.
Kāda ir atšķirība starp vidējo vērtību un mediānu?
Vidējā vērtība ir visu vērtību vidējais rādītājs, tāpēc to ietekmē katrs skaitlis. Mediāna ir tikai vidējais skaitlis sakārtotā rindā, tāpēc to gandrīz neietekmē ļoti lieli vai ļoti mazi skaitļi (anomālijas). Ja datu kopā ir anomālijas, mediāna bieži sniedz tipiskāku vērtību nekā vidējā vērtība.
Vai datu kopai var būt vairāk nekā viena moda vai neviena moda?
Jā. Ja neviena vērtība neatkārtojas, datu kopai nav modas. Ja divas vai vairākas vērtības dala visbiežāk sastopamās vietu, kopai ir vairākas modas — divas modas sauc par bimodālu. Tas, ka modas nav vai to ir vairākas, ir pilnīgi pieņemami.
Kas ir centrālās tendences rādītāji?
Centrālās tendences rādītāji ir skaitļi, kas apraksta datu kopas centru vai tipisko vērtību. Trīs galvenie ir vidējā vērtība, mediāna un moda. Amplitūda nav centrālās tendences rādītājs — tā mēra izkliedi.
