Skaitļa \(a\) kvadrātsakne ir skaitlis, kura kvadrāts ir \(a\), bet aritmētiskā kvadrātsakne ir tikai tā nenegatīvā vērtība: \(\sqrt{25} = 5\). Sakni var izvilkt tikai no nenegatīviem skaitļiem, taču saknes īpašības pārvērš apjomīgus izteikumus īsos. Šajā lapā — definīcija un definīcijas apgabals, visas kvadrātsaknes īpašības ar formulām, kvadrātsakņu tabula no 1 līdz 20, saknes izvilkšanas un reizinātāja iznešanas paņēmieni, izskaidroti piemēri, biežākās kļūdas un interaktīvais trenažieris.
Kas ir skaitļa kvadrātsakne
Skaitļa \(a\) kvadrātsakne ir tāds skaitlis, kura kvadrāts ir \(a\). Saknes izvilkšana un kāpināšana kvadrātā ir savstarpēji apgrieztas darbības: no \(7^2 = 49\) uzreiz izriet, ka 49 kvadrātsakne ir 7.
Bet pozitīvam skaitlim kvadrātsaknes ir tieši divas, un tās atšķiras tikai ar zīmi: \(5^2 = 25\) un \((-5)^2 = 25\), tātad 25 kvadrātsaknes ir gan \(5\), gan \(-5\). Lai pieraksts \(\sqrt{25}\) apzīmētu vienu vienīgu skaitli, ir panākta vienošanās: ar zīmi \(\sqrt{\phantom{a}}\) pieraksta tikai nenegatīvo sakni. To sauc par aritmētisko.
Pierakstam ir savi nosaukumi: zīme \(\sqrt{\phantom{a}}\) ir radikāls, bet skaitlis vai izteikums zem tās — izsakāmais zem saknes.
Aritmētiskā kvadrātsakne: definīcija un definīcijas apgabals
Aritmētiskā nenegatīva skaitļa \(a\) kvadrātsakne ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir \(a\). To apzīmē ar \(\sqrt{a}\) un nolasa "sakne no a".
Definīcijā ir paslēpti divi nosacījumi, un abi ir vienlīdz svarīgi:
- izsakāmais zem saknes ir nenegatīvs: \(a \ge 0\);
- saknes vērtība ir nenegatīva: \(\sqrt{a} \ge 0\).
No tā uzreiz iegūstam: \(\sqrt{25} = 5\), nevis \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); bet pieraksts \(\sqrt{-9}\) reālos skaitļos nav jēgas — nav skaitļa, kura kvadrāts būtu negatīvs.
Pirmais nosacījums nosaka izteikuma ar sakni definīcijas apgabalu. Piemēram, \(\sqrt{x-7}\) ir jēga, ja \(x - 7 \ge 0\), tātad ja \(x \ge 7\): jebkura mazāka \(x\) vērtība zem saknes ienesīs negatīvu skaitli.
No definīcijas izriet arī vienādība \((\sqrt{a})^2 = a\) pie \(a \ge 0\): saknes kāpināšana kvadrātā atgriež skaitli zem saknes. Tā darbojas pat tad, kad pašu sakni mēs precīzi aprēķināt nevaram: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Kvadrātsakņu tabula: skaitļu kvadrāti no 1 līdz 20
Sakne tiek izvilkta veselā skaitlī tikai tad, ja skaitlis zem saknes ir pilnais kvadrāts. Tāpēc kvadrātu tabula darbojas arī kā kvadrātsakņu tabula: to lasa abos virzienos — \(14^2 = 196\), tātad \(\sqrt{196} = 14\).
Tabula palīdz ne tikai ar veseliem skaitļiem:
- desimtaldaļas: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), jo \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- parastās daļas: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — sakni izvelk atsevišķi no skaitītāja un atsevišķi no saucēja;
- apaļi skaitļi: \(\sqrt{2500} = 50\), jo \(2500 = 25 \cdot 100\), un sakne no katra reizinātāja ir zināma.
Kvadrātsaknes īpašības
Kvadrātsaknes īpašības ļauj aprēķināt izteikumus, neizvelkot katru sakni atsevišķi, un vienkāršot atbildi.
Sakne no reizinājuma ir vienāda ar sakņu reizinājumu: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pie \(a \ge 0\) un \(b \ge 0\). Piemēram, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — tāda pati atbilde kā \(\sqrt{144}\).
Sakne no dalījuma ir vienāda ar sakņu dalījumu: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pie \(a \ge 0\) un \(b > 0\). Piemēram, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Nosacījums \(b > 0\) ir stingrs: uz nulli dalīt nedrīkst.
Sakne no kvadrāta ir vienāda ar moduli: \(\sqrt{a^2} = |a|\), un tas ir spēkā jebkuram skaitlim \(a\). Šeit ir galvenā visa temata smalkums. Ja \(a \ge 0\), nekas nemainās: \(\sqrt{7^2} = 7\). Bet pie negatīva \(a\) zīme "iztaisnojas": \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), nevis \(-6\) — jo aritmētiskā sakne nevar būt negatīva.
Saknes kvadrāts atgriež skaitli zem saknes: \((\sqrt{a})^2 = a\) pie \(a \ge 0\).
Bet summai un starpībai līdzīgu īpašību nav: sakne no summas nav vienāda ar sakņu summu. Tā ir visbiežākā temata kļūda, skaidrojums — zemāk.
| Īpašība un nosacījums | Piemērs |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpie a ≥ 0 un b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpie a ≥ 0 un b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|pie jebkura a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apie a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpie b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Kā izvilkt kvadrātsakni no skaitļa
Kalkulators ne vienmēr ir pa rokai, bet skolas uzdevumi gandrīz vienmēr ir piemeklēti tā, ka sakne izvelkas. Darbību secība ir šāda.
- Pārbaudiet pēc kvadrātu tabulas. Ja skaitlis ir tabulā, atbilde ir gatava: \(\sqrt{289} = 17\).
- Atdaliet apaļu reizinātāju. No skaitļiem ar nullēm ir ērti izdalīt \(100\), \(10\,000\) un tā tālāk: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Sadalīt pirmskaitļu reizinājumā. Tas ir universāls paņēmiens: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), pakāpju rādītājus dalām uz pusēm un iegūstam \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Desimtaldaļu pārvērst parastā daļā. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Vienlaikus tas pasargā no atskaites punkta zaudēšanas.
- Ja precīza kvadrāta nav — sakne ir iracionāla. Tad to vai nu atstāj atbildē ar simbolu (tā arī raksta: \(\sqrt{30}\)), vai novērtē starp blakus esošiem kvadrātiem.
Pārbaude aizņem sekundi: iegūto skaitli kāpina kvadrātā un skatās, vai atgriezās skaitlis zem saknes. \(24^2 = 576\) — pareizi.
Reizinātāja iznešana no saknes zīmes
Sakni reti atstāj "neapstrādātu" — no tās iznes visu, kas izvelkas. Darbojas īpašība \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) pie \(b \ge 0\): meklējam lielāko kvadrātisko dalītāju skaitlim zem saknes.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Pretējā darbība — reizinātāja ievešana zem saknes: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) pie \(a \ge 0\). Piemēram, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Ar negatīvu reizinātāju jābūt uzmanīgam: mīnus zem saknes nenonāk un paliek ārpusē. Pareizs pieraksts — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), nevis \(\sqrt{12}\).
Kāpēc tas vajadzīgs: pēc reizinātāja iznešanas saknes ar vienādu izsakāmo zem saknes kļūst par līdzīgiem saskaitāmajiem, un tās var saskaitīt. Bet reizinātāja ievešana zem saknes — visātrākais veids, kā salīdzināt divus izteikumus ar saknēm.
Cik ir kvadrātsakne, kas neizvelkas
Ja skaitlis zem saknes nav pilnais kvadrāts, sakne ir iracionāls skaitlis: tā decimālais pieraksts ir bezgalīgs un bez perioda. Piemēram, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), un precīza vērtība tiek pierakstīta tikai ar simbolu \(\sqrt{2}\). Noapaļota atbilde tiek rakstīta tikai tad, ja par to lūgts uzdevumā.
Šādu sakni var novērtēt bez kalkulatora: atrast divus blakus esošus pilnos kvadrātus, starp kuriem atrodas skaitlis zem saknes. Darbojas salīdzināšanas likums: ja \(a \ge 0\) un \(b \ge 0\), tad no \(a < b\) izriet \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — lielākam skaitlim zem saknes atbilst lielāka sakne.
Piemēri ar kvadrātsakņu aprēķināšanu
1. piemērs. Kvadrātsaknes izteikuma vērtība
Aprēķiniet \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
1. solis. \(\sqrt{121} = 11\), jo \(11^2 = 121\).
2. solis. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), jo \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
3. solis. Sakni no daļas izvelkam pa skaitītāju un saucēju: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
4. solis. Saskaitām: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Atbilde: 11.
2. piemērs. Sakne no reizinājuma
Aprēķiniet \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
1. solis. Atsevišķi šīs saknes neizvelkas, tāpēc apvienojam tās vienā: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
2. solis. Aprēķinām reizinājumu zem saknes: \(8 \cdot 18 = 144\).
3. solis. \(\sqrt{144} = 12\).
Cits ceļš — iznest reizinātājus iepriekš: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) un \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), tad \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Atbildes sakrita.
Atbilde: 12.
3. piemērs. Saknes izvilkšana, sadalot reizinātājos
Aprēķiniet \(\sqrt{576}\) un \(\sqrt{6400}\).
1. solis. Skaitļa 576 nav kvadrātu tabulā, tāpēc sadalām to pirmskaitļu reizinājumā: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
2. solis. Pakāpju rādītājus dalām uz pusēm: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
3. solis. Pārbaude. \(24^2 = 576\) — pareizi.
4. solis. Skaitlim 6400 ērtāk ir atdalīt apaļu reizinātāju: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Pārbaude: \(80^2 = 6400\).
Atbilde: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
4. piemērs. Reizinātāja iznešana un līdzīgu saskaitāmo savilkšana
Vienkāršojiet \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
1. solis. Iznesam reizinātājus no katras saknes: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), tātad \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
2. solis. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
3. solis. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
4. solis. Saskaitīt var tikai saknes ar vienādu izsakāmo zem saknes: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), bet saskaitāmais ar \(\sqrt{3}\) paliek atsevišķi.
Atbilde: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
5. piemērs. Skaitļa kvadrāta sakne ar mainīgo
Vienkāršojiet \(\sqrt{(x-4)^2}\) pie \(x < 4\).
1. solis. Pēc saknes no kvadrāta īpašības \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — uzreiz rakstām moduli, nevis \(x - 4\).
2. solis. Atveram moduli pēc nosacījuma. Ja \(x < 4\), tad starpība \(x - 4\) ir negatīva, bet negatīva skaitļa modulis ir pretējais skaitlis: \(|x-4| = 4 - x\).
3. solis. Pārbaude. Paņemam \(x = 1\): kreisajā pusē \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), labajā pusē \(4 - 1 = 3\) — sakrīt.
Atbilde: \(4 - x\). Salīdzinājumam, pie \(x \ge 4\) atbilde būtu \(x - 4\).
6. piemērs. Skaitļu ar saknēm salīdzināšana
Salīdziniet \(3\sqrt{5}\) un \(5\sqrt{2}\).
1. solis. Abi skaitļi ir pozitīvi, tāpēc ienesam reizinātāju zem saknes: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
2. solis. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
3. solis. Salīdzinām skaitļus zem saknes: \(45 < 50\), bet lielākam skaitlim zem saknes atbilst lielāka sakne.
Atbilde: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Biežākās kļūdas, strādājot ar kvadrātsakni
-
Raksta $\sqrt{a^2} = a$, aizmirstot par moduli.
Pareiza vienādība — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Negatīvam skaitlim tas ir principiāli: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), nevis \(-13\). Aritmētiskā sakne nevar būt negatīva, tāpēc zīme zem saknes "iztaisnojas".
-
Uzskata, ka sakne no summas ir vienāda ar sakņu summu: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Tādas īpašības nav. Vispirms veicam darbību zem saknes: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), nevis 7. Īpašības ir tikai reizinājumam un dalījumam: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) un \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Atbild, ka $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — aritmētiskā sakne vienmēr ir viena un tā ir nenegatīva. Divas vērtības parādās citā uzdevumā: vienādojumam \(x^2 = 49\) ir saknes \(x = 7\) un \(x = -7\). Saknes pierakstu ar vienādojuma atrisinājumu jaukt nedrīkst.
-
Raksta $\sqrt{-16} = -4$, spriežot "mīnus uz mīnus".
Zem saknes nevar būt negatīvs skaitlis: \((-4)^2 = 16\), nevis \(-16\), tāpēc \(\sqrt{-16}\) reālos skaitļos nepastāv. Bet izteikums \(-\sqrt{16} = -4\) ir pilnīgi korekts — mīnus ir pirms saknes, nevis zem tās.
-
Ienes zem saknes negatīvu reizinātāju: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Noteikums \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) darbojas tikai pie \(a \ge 0\). Mīnus paliek ārpusē: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Pārbaude ar zīmi: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), bet \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — skaitļi ir pretēji.
-
Pazaudē atskaites punktu decimāldaļā: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Pārbaudiet ar pretēju kāpināšanu kvadrātā: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), nesakrīt. Pareizi \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), jo \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Uzticams veids — pāriet uz parastu daļu: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Ir pārliecināti, ka sakne vienmēr ir mazāka par pašu skaitli.
Tas ir pareizi tikai skaitļiem, kas lielāki par vienu. Apgabalā no 0 līdz 1 viss ir otrādi: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), un \(0{,}5\) ir lielāks nekā \(0{,}25\). Bet 0 un 1 gadījumā sakne ir vienāda ar pašu skaitli.
Jautājumi un atbildes
Kas ir aritmētiskā kvadrātsakne vienkāršiem vārdiem?
Tas ir nenegatīvs skaitlis, kas, kāpināts kvadrātā, dod skaitli zem saknes. Pieraksta \(\sqrt{a}\), turklāt izsakāmajam zem saknes jābūt nenegatīvam: \(a \ge 0\). Piemēram, \(\sqrt{64} = 8\), jo \(8 \ge 0\) un \(8^2 = 64\).
Kā kvadrātsakne atšķiras no aritmētiskās kvadrātsaknes?
Kvadrātsaknes pozitīvam skaitlim ir divas — pretējas pēc zīmes. Par aritmētisko sauc tikai nenegatīvo no tām, un tieši to apzīmē zīme \(\sqrt{\phantom{a}}\). Tāpēc \(\sqrt{25} = 5\), lai gan vienādojumam \(x^2 = 25\) ir divas saknes: 5 un \(-5\).
Kā izvilkt kvadrātsakni no skaitļa bez kalkulatora?
Vispirms pārbaudiet skaitli kvadrātu tabulā. Ja tā tur nav — sadaliet to reizinātājos un izceliet pilnos kvadrātus: \(784 = 16 \cdot 49\), tāpēc \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Atbildi vienmēr pārbaudiet ar pretēju darbību: \(28^2 = 784\).
Vai var izvilkt kvadrātsakni no negatīva skaitļa?
Reālos skaitļos — nē: jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tāpēc izteikums \(\sqrt{-9}\) nav jēgas. Tieši no šī nosacījuma meklē definīcijas apgabalu: piemēram, \(\sqrt{x-7}\) pastāv tikai pie \(x \ge 7\).
Cik ir skaitļa kvadrāta sakne?
Šī skaitļa modulim: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pie nenegatīva \(a\) sanāks pats skaitlis, pie negatīva — pretējais tam: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kā iznest reizinātāju no saknes zīmes?
Atrodiet lielāko kvadrātisko dalītāju skaitlim zem saknes un pielietojiet īpašību \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Piemēram, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Pretējā darbība — reizinātāja ievešana zem saknes: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Cik ir 2 kvadrātsakne?
Skaitlis \(\sqrt{2}\) ir iracionāls: tā decimālais pieraksts ir bezgalīgs un bez perioda, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Precīzas vērtības daļskaitļa veidā nepastāv, tāpēc atbildēs to tā arī atstāj ar simbolu \(\sqrt{2}\), bet noapaļo tikai, ja to prasa uzdevums.
Kā salīdzināt divus skaitļus ar saknēm, neaprēķinot tos?
Ienesiet reizinātājus zem saknes un salīdziniet skaitļus zem saknes: lielākam skaitlim zem saknes atbilst lielāka sakne. Piemēram, \(\sqrt{17}\) un 4: tā kā \(4 = \sqrt{16}\) un \(17 > 16\), tad \(\sqrt{17} > 4\).
Kādā klasē māca kvadrātsaknes?
- klasē algebras stundās: vispirms aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija un tās īpašības, pēc tam izteikumu ar saknēm pārveidošana un vienādojumu \(x^2 = a\) risināšana. Tālāk saknes sastopamas diskriminanta formulā un OGE un EGE uzdevumos.
