Slīpnes un krustpunkta forma ir veids, kā pierakstīt lineāru vienādojumu formā \(y = mx + b\), kur \(m\) ir taisnes slīpne, bet \(b\) ir y ass krustpunkts — punkts, kurā taisne šķērso y asi. Tā ir visērtākā forma grafika zīmēšanai, jo slīpni un sākumpunktu var nolasīt tieši no vienādojuma. Šajā lapā uzzināsi, ko nozīmē \(m\) un \(b\), kā pēc tiem uzzīmēt taisni, kā atrast slīpni pēc diviem punktiem un kā uzrakstīt savu vienādojumu — ar izstrādātiem piemēriem un interaktīvu treniņu.
Kas ir slīpnes un krustpunkta forma?
Jebkuru taisni (kas nav vertikāla) var uzrakstīt slīpnes un krustpunkta formā:
Divi burti, \(m\) un \(b\), ir vienīgās lietas, kas mainās no vienas taisnes uz otru. Nolasiet tos no vienādojuma šādi:
- \(m\) — slīpne. Tā norāda, cik stāva ir taisne un uz kuru pusi tā vērsta. Slīpne nozīmē kāpumu pret skrējienu: par cik vienībām taisne paceļas (vai nolaižas) uz katru vienu vienību pa labi.
- \(b\) — y ass krustpunkts. Tas ir \(y\) vērtība, kurā taisne šķērso vertikālo asi, t.i., punkts \((0, b)\). Kad \(x = 0\), \(mx\) loceklis pazūd un \(y = b\).
Piemēram, vienādojumā \(y = 2x + 3\) slīpne ir \(m = 2\) un y ass krustpunkts ir \(b = 3\), tātad taisne šķērso y asi punktā \((0, 3)\) un paceļas par 2 vienībām uz katru 1 vienību pa labi.
m = slīpne
Cik stāva ir taisne: kāpums pret skrējienu. Pozitīva slīpne iet uz augšu, negatīva — uz leju.
b = y ass krustpunkts
Vieta, kur taisne šķērso y asi, punktā (0, b).
Kā uzzīmēt slīpnes un krustpunkta formu
Taisnes uzzīmēšana pēc \(y = mx + b\) notiek trīs vienkāršos soļos — vērtību tabula nav vajadzīga:
- Atzīmē y ass krustpunktu. Ieliec punktu uz y ass pie \((0, b)\). Tas ir tavs sākumpunkts.
- Izmanto slīpni, lai atrastu otro punktu. Uzraksti \(m\) kā daļskaitli \(\frac{\text{kāpums}}{\text{skrējiens}}\). No pirmā punkta pārvietojies uz augšu (kāpums) un pa labi (skrējiens). Vesels skaitlis slīpnei, piemēram, \(2\), ir vienkārši \(\frac{2}{1}\).
- Novelc taisni caur abiem punktiem un pagarini to abos virzienos.
Zemāk redzamajā režģī uzzīmēts \(y = 2x + 1\): y ass krustpunkts ir \((0, 1)\), un slīpne \(2 = \frac{2}{1}\) nozīmē 2 uz augšu, 1 pa labi, lai sasniegtu nākamo punktu \((1, 3)\).
Kā atrast slīpni un y ass krustpunktu
No vienādojuma. Ja tas jau ir \(y = mx + b\) formā, skaitlis, kas reizina \(x\), ir slīpne \(m\), un brīvais loceklis ir y ass krustpunkts \(b\). Uzmanies no zīmēm: vienādojumā \(y = -3x - 4\) slīpne ir \(m = -3\) un y ass krustpunkts ir \(b = -4\). Ja vienādojums izskatās citādi (piemēram, \(2x + y = 5\)), vispirms izsaki \(y\): \(y = -2x + 5\), tātad \(m = -2\) un \(b = 5\).
Slīpne pēc diviem punktiem. Ja doti divi punkti \((x_1, y_1)\) un \((x_2, y_2)\), slīpne ir \(y\) izmaiņa dalīta ar \(x\) izmaiņu:
Punktiem \((1, 2)\) un \((3, 8)\): \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Atņem koordinātas tādā pašā secībā augšā un apakšā, citādi zīme mainīsies uz pretējo.
Vienādojumu rakstīšana slīpnes un krustpunkta formā
Lai uzrakstītu vienādojumu, tev vajag tikai slīpni \(m\) un y ass krustpunktu \(b\), tad ievieto tos \(y = mx + b\).
- Dota slīpne un y ass krustpunkts. Ar \(m = -2\) un \(b = 5\) vienādojums ir \(y = -2x + 5\). Gatavs.
- Dota slīpne un viens punkts. Ievieto slīpni un punktu \((x, y)\) vienādojumā \(y = mx + b\) un izrēķini \(b\). Piemērs: slīpne \(m = 4\) caur \((2, 3)\) dod \(3 = 4(2) + b\), tātad \(b = 3 - 8 = -5\) un vienādojums ir \(y = 4x - 5\).
- Doti divi punkti. Vispirms atrodi slīpni ar formulu augstāk, tad izmanto vienu punktu, lai izrēķinātu \(b\), tieši tāpat kā iepriekšējā solī.
Slīpnes zīme uzreiz parāda, uz kuru pusi taisne būs vērsta.
| Slīpne m | Taisnes virziens | Piemērs |
|---|---|---|
| m > 0 | Kāpj no kreisās uz labo (kalnup) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Krīt no kreisās uz labo (lejup) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Horizontāla — plakana taisne | y = 3 |
| nav definēta | Vertikāla — nav slīpnes un krustpunkta forma | x = 5 |
Slīpnes un krustpunkta formas piemēri
1. piemērs. Nolasi m un b, tad uzzīmē
Vienādojums: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
1. solis — identificē daļas. Slīpne ir \(m = \frac{1}{2}\) un y ass krustpunkts ir \(b = -2\).
2. solis — atzīmē y ass krustpunktu. Ieliec punktu \((0, -2)\) uz y ass.
3. solis — izmanto slīpni. \(m = \frac{1}{2}\) nozīmē 1 uz augšu, 2 pa labi. No \((0, -2)\) pārvietojies uz \((2, -1)\), tad uz \((4, 0)\).
4. solis — novelc taisni caur šiem punktiem. Tā kāpj lēzeni, jo slīpne ir pozitīva, bet mazāka par 1.
2. piemērs. Atrodi slīpni pēc diviem punktiem
Punkti: \((-1, 4)\) un \((2, -2)\)
1. solis — pielieto formulu. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
2. solis — pārbaudi zīmi. Slīpne ir negatīva, tātad taisne krīt no kreisās uz labo. Tas atbilst punktiem: kad \(x\) palielinās, \(y\) samazinās.
Šīs taisnes slīpne ir \(m = -2\).
3. piemērs. Uzraksti vienādojumu pēc slīpnes un punkta
Dots: slīpne \(m = 3\), iet caur \((2, 1)\).
1. solis — sāc ar \(y = mx + b\) ar \(m = 3\): \(\; y = 3x + b\).
2. solis — ievieto punktu \((2, 1)\): \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
3. solis — izrēķini b: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Vienādojums: \(y = 3x - 5\).
4. piemērs. Pārveido slīpnes un krustpunkta formā
Vienādojums: \(4x + 2y = 6\)
1. solis — izolē y locekli. Atņem \(4x\) no abām pusēm: \(2y = -4x + 6\).
2. solis — izdali ar 2: \(\; y = -2x + 3\).
3. solis — nolasi m un b. Tagad tas ir slīpnes un krustpunkta formā: slīpne \(m = -2\), y ass krustpunkts \(b = 3\).
Biežākās kļūdas slīpnes un krustpunkta formā
-
m un b sajaukšana — slīpnes nolasīšana kā brīvā locekļa (vai otrādi).
Slīpne m vienmēr ir skaitlis, kas reizina x; y ass krustpunkts b ir skaitlis pats par sevi. Vienādojumā y = 5x + 2 slīpne ir 5 un y ass krustpunkts ir 2 — nekad otrādi.
-
Slīpnes zīmes pazaudēšana, piemēram, nosaucot vienādojuma y = -3x + 1 slīpni par 3.
Mīnusa zīme ir daļa no slīpnes. Šeit m = -3, kas nozīmē, ka taisne krīt. Negatīva slīpne vienmēr iet uz leju no kreisās uz labo.
-
Kāpuma un skrējiena sajaukšana — vispirms pārvietošanās pa labi, tad uz augšu, tāpēc slīpne tiek apgriezta.
Slīpne ir kāpums pret skrējienu, nevis skrējiens pret kāpumu. Slīpne 2 = 2/1 nozīmē 2 uz augšu uz katru 1 pa labi; slīpne 1/2 nozīmē 1 uz augšu uz katru 2 pa labi. Turiet kāpumu augšā.
-
y ass krustpunkta nolasīšana kā x vērtības, piemēram, atzīmējot b = 3 punktā (3, 0) nevis (0, 3).
y ass krustpunkts atrodas uz y ass: b vienmēr ir punkts (0, b). Sāc katru grafiku, pārvietojoties uz augšu vai leju pa y asi, nevis pa x asi.
-
Koordinātu atņemšana dažādās secībās slīpnes formulā.
Izmanto vienādu secību augšā un apakšā: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Ja sāc ar otrā punkta y augšā, sāc ar otrā punkta x arī apakšā, citādi zīme mainīsies.
Biežāk uzdotie jautājumi
Kas ir slīpnes un krustpunkta forma?
Slīpnes un krustpunkta forma ir taisnes vienādojums, kas pierakstīts kā y = mx + b, kur m ir slīpne un b ir y ass krustpunkts. Tā ir visērtākā forma grafika zīmēšanai, jo gan stāvums (m), gan sākumpunkts uz y ass (b) ir redzami tieši vienādojumā.
Ko nozīmē m un b vienādojumā y = mx + b?
m ir slīpne — cik stāva ir taisne un vai tā kāpj vai krīt, mērīta kā kāpums pret skrējienu. b ir y ass krustpunkts — y vērtība, kurā taisne šķērso vertikālo asi, t.i., punkts (0, b).
Kā atrast slīpni pēc diviem punktiem?
Izmanto slīpnes formulu m = (y2 - y1) / (x2 - x1): atņem divas y vērtības augšā un atbilstošās x vērtības apakšā. Piemēram, punktiem (1, 2) un (3, 8), m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Kā uzzīmēt taisni slīpnes un krustpunkta formā?
Vispirms atzīmē y ass krustpunktu (0, b). Tad izmanto slīpni kā kāpumu pret skrējienu, lai pārietu uz otro punktu — uz augšu (vai leju) kāpumam, pa labi skrējienam. Novelc taisni caur abiem punktiem un pagarini to abos virzienos.
Kā uzrakstīt vienādojumu slīpnes un krustpunkta formā?
Atrodi slīpni m un y ass krustpunktu b, tad ievieto tos y = mx + b. Ja tev ir tikai slīpne un viens punkts, ievieto punktu vienādojumā un vispirms izrēķini b. Ja tev ir divi punkti, atrodi slīpni ar formulu, tad izrēķini b.
Ko pasaka slīpnes zīme?
Pozitīva slīpne nozīmē, ka taisne kāpj no kreisās uz labo; negatīva slīpne nozīmē, ka tā krīt. Slīpne 0 veido horizontālu taisni, bet vertikālai taisnei slīpne nav definēta, un to nevar uzrakstīt slīpnes un krustpunkta formā.
