Darbību secība ir noteikumu kopums, kas pasaka, kuru matemātiskās izteiksmes daļu jārēķina vispirms. Visizplatītākais veids, kā to atcerēties, ir PEMDAS: Parentheses (iekavas), Exponents (kāpinātāji), Multiplication (reizināšana) un Division (dalīšana), Addition (saskaitīšana) un Subtraction (atņemšana). Ievēro šo secību, un katrai izteiksmei būs tieši viena pareiza atbilde. Šajā lapā atradīsi soli pa solim izskaidrotu PEMDAS likumu, piemērus ar iekavām un kāpinātājiem, skolēnu biežāk pieļautās kļūdas un interaktīvu testu tūlītējai praksei.
Ko nozīmē PEMDAS: darbību secība
PEMDAS ir mnemonika darbību veikšanas secībai. Daudzi skolēni to atceras ar frāzi "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Virzies pa kāpnēm no augšas uz leju:
- P — Parentheses (Iekavas). Vispirms izpildi visu, kas atrodas iekavās: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Kāpinātāji). Pēc tam pakāpes un saknes, piemēram, 3² vai √9.
- M un D — Multiplication (Reizināšana) un Division (Dalīšana). Tām ir vienāda prioritāte. Veic tās kopā, virzoties no kreisās uz labo pusi.
- A un S — Addition (Saskaitīšana) un Subtraction (Atņemšana). Arī tām ir vienāda prioritāte. Veic tās pēdējās, atkal no kreisās uz labo pusi.
Vissvarīgākā doma, ko daudzi skolēni palaiž garām: PEMDAS nav seši atsevišķi soļi. Reizināšana ne vienmēr notiek pirms dalīšanas, un saskaitīšana ne vienmēr notiek pirms atņemšanas. Katrs no šiem pāriem ir viens līmenis, un līmeņa ietvaros tu vienkārši virzies no kreisās uz labo pusi.
Likums par virzienu no kreisās uz labo (M/D un A/S ir līdzvērtīgi)
Tā kā reizināšana un dalīšana atrodas vienā līmenī, tās jāveic tādā secībā, kādā tās parādās, lasot no kreisās uz labo pusi — nevis "vispirms visa reizināšana, tad visa dalīšana". Tas pats attiecas uz saskaitīšanu un atņemšanu.
Klasisks slazds ir 20 ÷ 4 × 5. Ja vispirms reizinātu (4 × 5 = 20), iegūtu 20 ÷ 20 = 1, kas ir nepareizi. Tā kā dalīšana ir pa kreisi, veic to pirmo: 20 ÷ 4 = 5, tad 5 × 5 = 25. Tāda pati loģika attiecas uz 10 − 6 + 2: virzoties no kreisās uz labo, iegūstam 4 + 2 = 6, nevis 10 − 8 = 2.
PEMDAS pret BODMAS: tas pats likums, cits nosaukums
Lielbritānijā, Austrālijā un daudzās citās valstīs to pašu likumu māca kā BODMAS (dažreiz BIDMAS vai BEDMAS). Burti izskatās citādi, bet secība ir identiska — mainās tikai terminoloģija.
- B — Brackets (Iekavas) ir tas pats, kas P — Parentheses.
- O — Orders (Kārtas) (vai I — Indices (Kāpinātāji), E — Exponents) nozīmē pakāpes un saknes.
- DM un MD ir tas pats vienādas prioritātes pāris, ko veic no kreisās uz labo.
- AS ir saskaitīšana un atņemšana, ko veic no kreisās uz labo.
Tāpēc PEMDAS un BODMAS vienmēr dod vienādu atbildi. Zemāk esošajā salīdzinājumā tie ir sakārtoti pa burtiem.
| Solis | PEMDAS | BODMAS | Darbība |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Vispirms iekavās |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Pakāpes un saknes |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Vienāda prioritāte, pa kreisi → pa labi |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Vienāda prioritāte, pa kreisi → pa labi |
Darbību secības piemēri (soli pa solim)
1. piemērs. Reizināšana pirms saskaitīšanas
Izteiksme: 3 + 4 × 2
1. solis — Iekavas / Kāpinātāji: šeit to nav, dodamies tālāk.
2. solis — Reizināšana / Dalīšana: 4 × 2 = 8. Izteiksme tagad ir 3 + 8.
3. solis — Saskaitīšana / Atņemšana: 3 + 8 = 11.
Bieža nepareiza atbilde ir 14, kas rodas, vispirms saskaitot 3 + 4. Reizināšana jāveic pirms saskaitīšanas.
2. piemērs. Iekavas, kāpinātāji, tad no kreisās uz labo
Izteiksme: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
1. solis — Iekavas: 6 + 2 = 8. Tagad: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
2. solis — Kāpinātāji: 3² = 9. Tagad: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
3. solis — Reizināšana / Dalīšana (no kreisās uz labo): 8 × 9 = 72, tad 72 ÷ 4 = 18. Tagad: 18 − 5.
4. solis — Saskaitīšana / Atņemšana: 18 − 5 = 13.
3. piemērs. Slazds ar virzienu no kreisās uz labo
Izteiksme: 20 ÷ 4 × 5
Nav iekavu vai kāpinātāju, tāpēc uzreiz pārejam pie reizināšanas un dalīšanas. Tām ir vienāda prioritāte, tāpēc lasām no kreisās uz labo.
1. solis: 20 ÷ 4 = 5 (dalīšana ir vistālāk pa kreisi). Tagad: 5 × 5.
2. solis: 5 × 5 = 25.
Ja būtu reizinājis pirmais (4 × 5 = 20), iegūtu 20 ÷ 20 = 1 — klasiska kļūda. Burtu secība M-tad-D nenozīmē, ka reizināšana ir svarīgāka; virziens no kreisās uz labo ir noteicošais.
Biežākās PEMDAS kļūdas
-
Domāšana, ka reizināšana vienmēr notiek pirms dalīšanas (vai saskaitīšana pirms atņemšanas) burtu secības M-D un A-S dēļ.
Reizināšana un dalīšana ir līdzvērtīgas, tāpat kā saskaitīšana un atņemšana. Katrā pārī virzies no kreisās uz labo. Izteiksmē 20 ÷ 4 × 5 vispirms dali, jo tas ir pa kreisi, iegūstot 25 — nevis 1.
-
Virziena no kreisās uz labo ignorēšana atņemšanā, tāpēc 10 − 6 + 2 tiek lasīts kā 10 − 8 = 2.
Virzies no kreisās uz labo: 10 − 6 = 4, tad 4 + 2 = 6. Saskaitīšana nevar "pārlekt" pāri atņemšanai, kas atrodas pa kreisi no tās.
-
Iekavu izlaišana vai to rēķināšana pēdējās, jo tās atrodas izteiksmes vidū.
Iekavas vienmēr ir pirmajā vietā, neatkarīgi no tā, kur tās atrodas. Izteiksmē 2 × (3 + 4) vispirms aprēķini 3 + 4 = 7, tad reizini, iegūstot 14 — nevis 2 × 3 + 4 = 10.
-
Kāpinātāja darbības jomas nepareiza nolasīšana, uzskatot, ka −3² un (−3)² ir viens un tas pats.
Kāpinātājs attiecas tikai uz skaitli tieši zem tā. −3² nozīmē −(3²) = −9, savukārt (−3)² nozīmē (−3)(−3) = 9. Izmanto iekavas, ja vēlies, lai zīme tiktu iekļauta.
-
Iekavu iekšpusē esošo iekavu rēķināšana no ārpuses uz iekšu.
Sāc ar iekšējām iekavām un virzies uz āru. Izteiksmē 2 × [3 + (4 − 1)], vispirms veic 4 − 1 = 3, tad 3 + 3 = 6, tad 2 × 6 = 12.
Biežāk uzdotie jautājumi
Ko nozīmē PEMDAS?
PEMDAS apzīmē Parentheses (iekavas), Exponents (kāpinātāji), Multiplication (reizināšana) un Division (dalīšana), Addition (saskaitīšana) un Subtraction (atņemšana). Tā ir secība, kādā jāaprēķina matemātiskā izteiksme. Daudzi skolēni to atceras ar frāzi "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Kāda ir atšķirība starp PEMDAS un BODMAS?
Matemātikā atšķirības nav — tikai nosaukumos. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) māca Lielbritānijā un daudzās citās valstīs, savukārt PEMDAS izmanto ASV. Brackets ir tas pats, kas iekavas, un Orders (vai Indices) ir tas pats, kas kāpinātāji. Abas metodes dod identisku atbildi jebkurai izteiksmei.
Vai PEMDAS likumā reizināšana vienmēr notiek pirms dalīšanas?
Nē. Reizināšanai un dalīšanai ir vienāda prioritāte. Veic to darbību, kas parādās pirmā, lasot no kreisās uz labo. Piemēram, izteiksmē 20 ÷ 4 × 5 vispirms dali, jo tas ir pa kreisi, tad reizini, iegūstot 25.
Kāpēc vispār ir nepieciešama darbību secība?
Bez saskaņotas secības viena un tā pati izteiksme dažādiem cilvēkiem varētu dot dažādas atbildes. Piemēram, 3 + 4 × 2 būtu 11, ja reizina pirmo, vai 14, ja saskaita pirmo. PEMDAS nodrošina, ka katrai izteiksmei ir tieši viens pareizs rezultāts.
Kā rīkoties ar kāpinātājiem un negatīvām zīmēm kopā?
Kāpinātājs attiecas tikai uz vērtību tieši zem tā. Tātad −3² ir vienāds ar −(3 × 3) = −9, jo kāpinātājs piesaistās skaitlim 3 pirms negatīvās zīmes. Ja vēlies iekļaut negatīvo zīmi, raksti (−3)², kas ir vienāds ar 9. Iekavas kontrolē to, ko kāpinātājs ietekmē.
Ko darīt ar iekavām iekavās?
Strādā no iekšējās grupas uz āru. Izteiksmē 2 × [3 + (4 − 1)], vispirms veic 4 − 1 = 3, tad 3 + 3 = 6, tad 2 × 6 = 12. Katrs iekavu slānis tiek atrisināts pirms tā, kas atrodas ārpusē.
