Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis ir par vienu un to pašu skaitli \(d\) (progresijas starpību) lielāks nekā iepriekšējais. Jebkuru tās locekli atrod pēc formulas \(a_n = a_1 + (n-1)d\), bet pirmo \(n\) locekļu summu — pēc formulas \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Šajā lapā ir izskaidrota definīcija un starpība, abas summas formulas, raksturīgā īpašība, skaitļa piederības pārbaude progresijai, atšķirība no ģeometriskās progresijas, tipveida eksāmena uzdevumi un interaktīvs trenažieris pašpārbaudei.
Kas ir aritmētiskā progresija
Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējam pieskaitot vienu un to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par progresijas starpību un apzīmē ar burtu \(d\).
Definīcija ar vienu formulu: virkni \(a_1, a_2, a_3, \dots\) sauc par aritmētisko progresiju, ja jebkuram numuram \(n\) izpildās vienādība
Ņemsim virkni 3, 7, 11, 15, 19, … Pirmais loceklis šeit ir \(a_1 = 3\), bet starpība \(d = 4\): katrs nākamais skaitlis ir tieši par 4 lielāks nekā iepriekšējais. Tāpēc nākamais loceklis ir 23, bet pirms trijnieka (ja turpinātu atpakaļ) būtu vieninieks ar mīnusa zīmi.
Visa progresija tiek noteikta tikai ar diviem skaitļiem — pirmo locekli \(a_1\) un starpību \(d\). Zinot šo pāri, var nosaukt jebkuru locekli, saskaitīt jebkuru pirmo locekļu skaitu un pārbaudīt, vai virknē sastopams dots skaitlis. Progresiju apzīmē ar simbolu \((a_n)\), bet tās locekļus — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) utt., kur apakšējais indekss vienmēr nozīmē numuru, nevis vērtību.
Aritmētiskās progresijas starpība: kā atrast d
Starpība vienmēr ir nākamais loceklis mīnus iepriekšējais:
Atņemšanas secība ir svarīga: ja atņem pretēji, starpības zīme būs pretēja. Virknei 20, 17, 14, 11, 8 starpība ir \(17 - 20 = -3\), nevis \(+3\).
\(d\) zīme pilnībā nosaka progresijas uzvedību:
- \(d > 0\) — progresija ir augoša, locekļi palielinās;
- \(d < 0\) — progresija ir dilstoša, locekļi samazinās;
- \(d = 0\) — visi locekļi ir vienādi, piemēram, 6, 6, 6, 6, … Tā arī ir aritmētiskā progresija, vienkārši konstanta.
Ja ir zināmi divi locekļi ar dažādiem numuriem, starpību atrod pēc formulas
Piemērs. Pieņemsim, ka \(a_4 = 30\) un \(a_{10} = 6\). Tad \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), bet pirmais loceklis ir \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Pārbaudīsim progresijas sākumu: 42, 38, 34, 30 — ceturtais loceklis tiešām ir 30.
Starpībai nav jābūt veselam skaitlim: virknei 1; 1,5; 2; 2,5 starpība ir 0,5, un tā ir pilnvērtīga aritmētiskā progresija.
Aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formula
Šīs tēmas galvenā formula ļauj atrast jebkuru locekli, neizrakstot visus iepriekšējos:
No kurienes rodas \(n - 1\)? Lai tiktu no pirmā locekļa līdz n-tajam, starpību pieskaita nevis \(n\) reizes, bet par vienu reizi mazāk: līdz otrajam loceklim — viens solis, līdz trešajam — divi, līdz divdesmitajam — deviņpadsmit.
Piemērs. Progresijai 3, 7, 11, 15, 19, … mums ir \(a_1 = 3\) un \(d = 4\), tātad
Šāds saīsināts pieraksts ir ļoti ērts: uzreiz redzams, ka \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), bet \(a_{100} = 399\). Vienlaikus tas pasaka priekšā starpību: jebkurai aritmētiskajai progresijai n-tā locekļa formula ir lineāra, veidā \(a_n = dn + c\), un koeficients pirms \(n\) arī ir starpība.
Dažreiz pirmais loceklis nav zināms, toties ir dots kāds cits. Tad darbojas tā pati ideja vispārīgā veidā: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Aritmētiskās progresijas raksturīgā īpašība
Jebkurš progresijas loceklis, izņemot pirmo, ir vienāds ar savu kaimiņu aritmētisko vidējo:
Tieši tāpēc progresiju sauc par aritmētisko. Šī vienādība darbojas arī pretējā virzienā: ja virknē katrs vidējais loceklis ir vienāds ar kaimiņu pussummu, tad virkne ir aritmētiskā progresija. Šādu apgalvojumu sauc par aritmētiskās progresijas pazīmi, un uzdevumos to izmanto, lai pierādītu, ka trīs skaitļi veido progresiju.
Piemērs. Skaitļi 7, \(x\), 23 — trīs secīgi progresijas locekļi. Tad \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Pārbaude: 7, 15, 23 — starpības 8 un 8, viss sakrīt.
Ērta tās pašas īpašības pieraksta forma: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), tas ir, dubultots vidējais loceklis ir vienāds ar malu summu. Šādā veidā īpašību ir vieglāk pielietot, kad locekļi ir doti ar burtu izteiksmēm.
Aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summa
Summu \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) rēķina pēc vienas no divām formulām:
Pirmās formulas ideja ir tā pati, kuru, pēc leģendas, atrada skolnieks Gauss, saskaitot skaitļus no 1 līdz 100. Ja saskaita pirmo locekli ar pēdējo, otro ar priekšpēdējo utt., visi pāri dos vienu un to pašu summu. No šejienes \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Otrā formula rodas no pirmās, ievietojot \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — tā ir vajadzīga, kad pēdējais loceklis nav dots un rēķināt to atsevišķi negribas.
Piemērs. Atrast pirmo divdesmit progresijas locekļu summu 3, 7, 11, 15, 19, …
Pēc pirmās formulas: \(a_{20} = 79\), tāpēc \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Pēc otrās: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Atbildes sakrita — tā arī ir labākā aprēķinu pārbaude.
Kā uzzināt, vai skaitlis ietilpst aritmētiskajā progresijā
Jautājums «vai skaitlis ir progresijas loceklis» tiek atrisināts ar vienādojumu. Skaitlis ietilpst progresijā tad un tikai tad, ja tā numurs \(n\) iznāk naturāls skaitlis: 1, 2, 3 utt. Daļskaitlis vai nenaturāls \(n\) nozīmē, ka šāda locekļa nav.
Piemērs 1. Vai skaitlis 99 ietilpst progresijā 3, 7, 11, 15, 19, …? n-tā locekļa formula šeit ir \(a_n = 4n - 1\), tāpēc risinām \(4n - 1 = 99\), no kurienes \(4n = 100\) un \(n = 25\). Numurs ir naturāls — tātad 99 progresijā ir, tas ir tās divdesmit piektais loceklis.
Piemērs 2. Bet skaitlis 2026? No \(4n - 1 = 2026\) iegūstam \(4n = 2027\) un \(n = 506{,}75\). Numurs nav naturāls, tāpēc 2026 nav šīs progresijas loceklis.
Noderīgs padoms mutiskai lēšanai: progresijai ar formulu \(a_n = 4n - 1\) visi locekļi, dalot ar 4, dod atlikumu 3. Skaitlis 2026 dod atlikumu 2, tāpēc tas «garām» progresijai.
Tipveida 9. klases eksāmena uzdevumi par aritmētisko progresiju
Matemātikas eksāmenā progresijas sastopamas katru gadu, un gandrīz visi uzdevumi reducējas uz četriem sižetiem.
Atrast locekli pēc numura. Dots \(a_1\) un \(d\) (vai daži pirmie locekļi) — ievietojam \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Atrast numuru pēc vērtības. Dots skaitlis — pielīdzinām tam n-tā locekļa formulu un risinām vienādojumu attiecībā pret \(n\).
Atrast summu. Rēķinām \(S_n\) pēc jebkuras no divām formulām; ja nepietiek \(a_n\) — vispirms atrodam to.
Atrast locekļu skaitu. No n-tā locekļa formulas izriet ērts secinājums: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Atsevišķi jāizceļ teksta uzdevums, kur progresija ir paslēpta sižetā. Piemēram: pirmajā dienā strādnieks izgatavoja 12 detaļas, bet katru nākamo dienu — par 3 detaļām vairāk nekā iepriekšējā; cik detaļas viņš izgatavos 15 dienās? Šeit \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Rēķinām pēdējo locekli: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Tad \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) detaļas.
Galvenais padoms šādiem uzdevumiem: vispirms izrakstiet atsevišķā rindā, kas ir dots (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) un kas jāatrod. Puse kļūdu eksāmenā notiek nevis formulu dēļ, bet tāpēc, ka numuru sajauca ar locekļa vērtību.
Aritmētiskā un ģeometriskā progresija: kāda ir atšķirība
Abas progresijas ir noteikumi, pēc kuriem no viena locekļa iegūst nākamo. Atšķirība ir darbībā: aritmētiskajā loceklim pieskaita vienu un to pašu skaitli \(d\), ģeometriskajā — reizina ar vienu un to pašu skaitli \(q\), ko sauc par progresijas kvocientu.
No šejienes arī atšķirīga uzvedība. Aritmētiskā progresija aug vienmērīgi, «pa pakāpieniem»: 3, 7, 11, 15 — katrs solis pieskaita 4. Ģeometriskā aug kā lavīna: 3, 6, 12, 24 — katrs solis dubulto skaitli, un jau pēc desmit soļiem loceklis būs lielāks par pusotru tūkstoti.
Pārbaudīt virknes tipu ir vienkārši: saskaitiet blakus esošo locekļu starpības un to attiecības. Vienādas starpības — aritmētiskā progresija, vienādas attiecības — ģeometriskā. Ja nesakrita ne viens, ne otrs, jūsu priekšā ir vienkārši virkne: piemēram, 1, 4, 9, 16 — tie ir naturālo skaitļu kvadrāti, un tā nav progresija (starpības 3, 5, 7 ir dažādas, attiecības arī).
Skolas programmā abas tēmas iet pēc kārtas 9. klasē, tāpēc formulas ir viegli sajaukt. Turiet prātā atbalstu: aritmētiskajā starpību \(d\) atņem, ģeometriskajā kvocientu \(q\) dala. Viss pārējais — ir sekas.
Uzdevumu risināšanas piemēri par aritmētisko progresiju
Piemērs 1. Atrast pirmo locekli un starpību pēc diviem locekļiem
Dots. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Atrast \(a_1\), \(d\) un \(a_{20}\).
1. solis. No trešā locekļa līdz septītajam ir tieši \(7 - 3 = 4\) soļi, katrā tiek pieskaitīts \(d\). Tātad \(a_7 = a_3 + 4d\), tas ir \(30 = 14 + 4d\), no kurienes \(4d = 16\) un \(d = 4\).
2. solis. Atgriežamies atpakaļ pie pirmā locekļa: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
3. solis. Pierakstām n-tā locekļa formulu: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
4. solis. Rēķinām vajadzīgo locekli: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Pārbaude. Izrakstīsim progresijas sākumu: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Trešais loceklis 14, septītais 30 — sakrita.
Atbilde: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Piemērs 2. Pirmo 30 locekļu summa (abas formulas)
Dots. Progresija \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Atrast \(S_{30}\).
1. solis. Nosakām parametrus: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
2. solis. Atrodam trīsdesmito locekli: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
3. solis. Rēķinām pēc pirmās formulas: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
4. solis. Pārbaude pēc otrās formulas. Vispirms skaitītājs: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Tālāk kā trešajā solī: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Abi ceļi deva 1155 — tātad aritmētika ir pareiza.
Atbilde: \(S_{30} = 1155\).
Piemērs 3. Visu divciparu skaitļu summa, kas dalās ar 7
Uzdevums. Atrast visu divciparu skaitļu summu, kas dalās ar 7.
1. solis. Šādi skaitļi paši veido aritmētisko progresiju ar starpību 7. Mazākais divciparu skaitlis, kas dalās ar septiņi, ir 14, lielākais — 98 (nākamais, 105, jau ir trīsciparu). Iegūstam \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
2. solis. Rēķinām locekļu skaitu: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
3. solis. Rēķinām summu: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
4. solis. Pārbaude ar otro formulu. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Atbilde: 728.
Piemērs 4. Pārbaudīt, vai skaitlis ietilpst progresijā
Uzdevums. Vai skaitlis 145 ir progresijas loceklis \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Bet skaitlis 142?
1. solis. Progresijas parametri: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), tātad \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
2. solis. Pārbaudām 145: vienādojums \(5n + 2 = 145\) dod \(5n = 143\) un \(n = 28{,}6\). Numurs nav naturāls, tāpēc 145 nav progresijas loceklis.
3. solis. Pārbaudām 142: \(5n + 2 = 142\), no kurienes \(5n = 140\) un \(n = 28\). Numurs ir naturāls — skaitlis ietilpst.
4. solis. Pārbaude ar ievietošanu. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Pareizi.
Atbilde: 145 progresijā neietilpst; 142 ietilpst un ir tās 28. loceklis.
Piemērs 5. Raksturīgā īpašība ar burtu locekļiem
Uzdevums. Pie kādas \(x\) vērtības skaitļi \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) ir trīs secīgi aritmētiskās progresijas locekļi?
1. solis. Pēc raksturīgās īpašības dubultots vidējais loceklis ir vienāds ar malu summu:
2. solis. Atveram iekavas: \(4x + 2 = 5x - 4\).
3. solis. Risinām: \(2 + 4 = 5x - 4x\), tas ir \(x = 6\).
4. solis. Pārbaude. Ievietojam \(x = 6\): pirmais loceklis \(6 - 3 = 3\), otrais \(2\cdot 6 + 1 = 13\), trešais \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Starpības: \(13 - 3 = 10\) un \(23 - 13 = 10\) — vienādas.
Atbilde: \(x = 6\), progresija 3, 13, 23 ar starpību 10.
Piemērs 6. Cik negatīvu locekļu ir progresijā
Uzdevums. Cik negatīvu locekļu ir progresijai \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
1. solis. Parametri: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). n-tā locekļa formula: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
2. solis. Pierakstām nosacījumu «loceklis ir negatīvs»: \(3n - 24 < 0\), no kurienes \(3n < 24\) un \(n < 8\).
3. solis. Numuri ir naturāli, tāpēc der \(n = 1, 2, \dots, 7\) — kopā septiņi locekļi.
4. solis. Robežas pārbaude. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatīvs. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nulle nav negatīvs skaitlis, tāpēc astoto locekli vairs neskaitām. \(a_9 = 3\) — pozitīvs.
Atbilde: septiņi negatīvi locekļi.
Biežas kļūdas uzdevumos par aritmētisko progresiju
-
n-tā locekļa formulā raksta $a_n = a_1 + nd$ tā vietā, lai rakstītu $a_n = a_1 + (n-1)d$.
No pirmā locekļa līdz n-tajam tiek veikts par vienu soli mazāk nekā numurs. Progresijai \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) desmitais loceklis ir \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), nevis 45. Ātrā formulas pārbaude: ievieto \(n = 1\) — jāiznāk tieši \(a_1\).
-
Starpību rēķina pretēji: $d = a_1 - a_2$, un zīme sanāk pretēja.
Starpība ir nākamais loceklis mīnus iepriekšējais: \(d = a_2 - a_1\). Progresijai \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) pareizi ir \(d = 34 - 40 = -6\). Mīnusa zīme šeit nav kļūda, bet dilstošas progresijas pazīme.
-
Summas formulā aizmirst izdalīt ar 2 vai reizināt ar $n$: raksta $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Tiek summēti pāri «pirmais ar pēdējo», to ir tieši \(\dfrac{n}{2}\), tāpēc dalīt ar 2 ir obligāti. Progresijai \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) mums ir \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) un \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), nevis 670.
-
Pārbaudot skaitļa ietilpšanu, iegūst $n = 0$ vai negatīvu $n$ un tik un tā atbild «ietilpst».
Locekļa numurs ir naturāls skaitlis, skaitīšana sākas ar vieninieku. Piemēram, progresijai \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) vienādojums \(10 + 4(n-1) = 6\) dod \(n = 0\), kas nozīmē, ka 6 progresijā neietilpst: šis skaitlis stāvētu pirms pirmā locekļa.
-
Jauc, kas ir atrasts: ievieto locekļa vērtību tur, kur vajadzīgs tā numurs, un otrādi.
\(a_n\) — tā ir vērtība, \(n\) — kārtas numurs. Ja uzdevumā jautā «kurš pēc kārtas loceklis ir vienāds ar 142», atbilde būs 28, nevis 142. Noderīgs ieradums: pirms risināšanas izrakstīt rindu «dots: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), atrast: \(n\)».
-
Uzskata, ka progresijai obligāti jāaug un jāsastāv no veseliem skaitļiem.
Starpība var būt negatīva (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), daļskaitlis (1; 1,5; 2; 2,5) un pat nulle (8, 8, 8, …). Visi trīs gadījumi ir likumīgas aritmētiskās progresijas, un visas formulas tām darbojas bez izmaiņām.
Jautājumi un atbildes
Kas ir aritmētiskā progresija vienkāršiem vārdiem?
Tā ir skaitļu virkne, kurā katrs nākamais skaitlis tiek iegūts no iepriekšējā, pieskaitot vienu un to pašu skaitli \(d\) — progresijas starpību. Piemēram, 3, 7, 11, 15, 19, … — progresija ar pirmo locekli 3 un starpību 4.
Kāda ir aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formula?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kur \(a_1\) — pirmais loceklis, \(d\) — starpība, \(n\) — numurs. Ja zināms nevis pirmais, bet kāds cits loceklis, darbojas vispārīgā forma \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Kā atrast aritmētiskās progresijas starpību?
Atņemt no jebkura locekļa iepriekšējo: \(d = a_n - a_{n-1}\). Ja doti divi locekļi ar dažādiem numuriem, izmantojiet \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Piemēram, ja \(a_5 = 23\) un \(a_9 = 43\), iegūstam \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), bet pirmais loceklis ir \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Kā atrast aritmētiskās progresijas pirmo locekli?
No n-tā locekļa formulas: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Piemēram, ja \(a_{12} = 60\) un \(d = 4\), tad \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Pārbaude: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Kā atrast aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summu?
Pēc formulas \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), ja zināms pēdējais loceklis, vai pēc formulas \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), ja zināms tikai pirmais loceklis un starpība. Abas dod vienādu rezultātu, tāpēc otro ir ērti izmantot kā pirmās pārbaudi.
Kā atrast aritmētiskās progresijas locekļu skaitu?
No n-tā locekļa formulas: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Piemēram, progresijā \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) starpība ir 5, tāpēc \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) locekļi.
Ar ko aritmētiskā progresija atšķiras no ģeometriskās?
Aritmētiskajā katram loceklim pieskaita starpību \(d\), bet ģeometriskajā katru locekli reizina ar kvocientu \(q\). n-tā locekļa formulas: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) pret \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Lai noteiktu tipu, saskaitiet blakus locekļu starpības un to attiecības: vienādas starpības — aritmētiskā, vienādas attiecības — ģeometriskā.
Vai starpība var būt negatīva vai vienāda ar nulli?
Jā. Ja \(d < 0\), progresija dilst (piemēram, 20, 17, 14, 11), ja \(d = 0\), visi locekļi ir vienādi (6, 6, 6, …) — tā ir konstanta progresija. Starpība var būt arī daļskaitlis: 1; 1,5; 2; 2,5 — arī aritmētiskā progresija.
Kurā klasē mācās aritmētisko progresiju?
- klasē algebrā, kopā ar ģeometrisko progresiju un skaitļu virknēm. Uzdevumi par progresijām ietilpst eksāmenā: parasti jāatrod loceklis pēc numura, numurs pēc vērtības, locekļu skaits vai pirmo \(n\) locekļu summa.
